Pengenalan

Matematik merupakan perkara penting yang perlu dipelajari dalam kehidupan manusia.

Sejak dari kecil lagi ada kanak-kanak yang sudah belajar mengira dan melukis sesuatu

objek. Adakah anda sedar bahawa semua fenomena ini adalah merupakan persediaan

yang penting dalam mempelajari algebra? Keupayaan dalam algebra akan membantu

manusia berjaya dalam bidang yang kita ingin ceburi. Pelbagai bidang di dalam dunia

ini mempunyai kaitan dengan pembelajaran algebra. Mungkin antara kita yang tidak

tahu dan tidak sedar akan kewujudan “linear algebra” dalam kehidupan manusia.

Jelasnya, linear algebra adalah merupakan bidang matematik yang mengkaji system

persamaan linear dan penyelesaian vector serta transformasi linear. Matriks dan

operasi juga merupakan antara bidang yang berkaitan dengan bidang linear algebra.

Linear algebra juga adalah salah satu subjek penting dalam bidang matematik. Ia amat

berguna dalam permasalahan kehidupan seharian kita. Oleh itu, kita perlu bersedia

untuk tahu supaya kita boleh aplikasinya dalam kehidupan seharian.

Antara tajuk dalam linear algebra ialah system persamaan dan ketaksamaan linear.

Terdapat beberapa kaedah yang boleh digunakan untuk menyelesaikan persamaan

linear. Antaranya:

Kaedah penghapusan

Kaedah gantian

Kaedah Gaus – Jordon

Dibawah ketaksamaan linear dan pengaturcaraan linear pula terdapat system homogen

dan penggunaan persamaan dan ketaksamaan linear dalam kehidupan seharian

Melalui tugasan ini, saya akan merungkaikan aplikasi linear algebra dalam kehidupan

manusia. Antaranya ialah :

1. Kewangan

Adakah anda sedar yang anda menggunakan linear algebra dalam merancang

kewangan seharian anda? Sebenarnya linear algebra banyak diaplikasikan

semasa anda meminjam duit, membuka akuan pengurusan kewangan untuk diri

sendiri dalam perbelanjaan harian.

Contohnya :

Pinjaman bank untuk membeli kereta, cara bayarannya adalah secara bulanan.

Untuk merancang kewangan dalam pembayaran kereta , kita boleh

menggunakan formula ini :

Pmt = L x [r x ( (1+r)^n)]/ [( ((1+r)^n))-1]

L ialah jumlah pinjaman

r ialah bunga setiap bulan

n ialah tempoh bulan pembayaran

Sekiranya harga kereta RM30,000 dengan APR of 9%, tempoh pembayaran 60

bulan

Maka bayaran bulanannya RM622.75 untuk 59 bulan dan pembayaran terakhir

adalah RM622.79 untuk bulan terakhir.

Oleh itu, jumlah yang akan dibayar adalah RM37,365.04

Manakala jumlah bunga nya ialah RM7,365.04

Tetapi sekiranya menyelesaikan persamaan ini untuk n, dan menukarkan Pmt +A

untuk Pmt di mana A ialah additional principle payment. Anda dapat membayar

semua pinjaman anda lebih awal dan jimat dalam pembayaran bunga.

Contoh lain bagi menunjukkan aplikasi linear algebra.

Seseorang individu perlu menaiki monorail ke pejabat dan kos pengangkutan

setiap hari ialah RM 5.00. Dengan penggunaan linear algebra beliau boleh

menganggarkan atau pengiraan tepat dalam mengira kos pengangkutan beliau

ke pejabat selama sebulan mahupun kos pengangkutan selama setahun.

Contoh pengiraan :

RM 5.00 x X hari = RM Y

RM 5.00 x 365 hari = RM 1,825.00

Contoh lain, berapa jumlah barang yang dapat dibeli dengan jumlah wang yang

kita ada.

Anda pergi ke kedai serbaneka dan mempunyai RM 10.00 dan anda ingin

membeli coklat yang berharga RM 2.00. Berapakah jumlah coklat yang boleh

dibeli dengan wang sebanyak RM 10.00?

Persamaannya ialah 2x = 10

x = 10 ÷ 2

x = 5

X ialah jumlah coklat yang boleh dibeli dengan wang RM 10.00

Jelasnya, kebanyakkan orang tidak sedar tentang pengiraan yang dilakukan

mereka adalah algebra.

2. Kriptografi

Kriptografi ialah salah satu contoh aplikasi linear algebra dalam satu bidang

matematik. Ia merupakan satu kajian tentang penyulitan (encryption) dan

penyahsulitan (decryption) mesej. Mesej tanpa penyulitan dipanggil plaintext.

Manakala mesej yang tersulit dipanggil chiphertext. Algorithma untuk proses

penyulitan dan penyahsulitan dipanggil chipher. Salah satu jenis chipher yang

melibatkan aplikasi linear algebra ialah Hill Chipher. Berikut contoh membuat kod

rahsia.

Contoh yang digunakan adalah I LOVE THE WAY YOU LOVE ME

Sebelum membuat enkripsi, kita perlu menentukan nilai yang diwakili oleh setiap

abjad tersebut, dimana index bermula dari 0 iaitu abjad A hingga 25 iaitu abjad Z.

Setelah itu, memilih key matrik yang akan digunakan dalam mod 29. Key matrik

haruslah mempunyai matrik songsang yang betul. Contoh key matrik yang

digunakan:

Key matriks = matrik songsang =

Langkah pertama , gabung semua perkataan menjadi

I*LOVE*THE*WAY*YOU*LOVE*ME. Selepas itu , tentukan nilai tiap-tiap huruf

seperti berikut :

I * L = 8, 28, 11

O V E = 14, 21, 4

* T H = 28, 19, 7

E * W = 4, 28, 22

A Y * = 0, 24, 28

Y O U = 24, 14, 20

* L O = 28, 11, 14

V E * = 21, 4, 28

M E * = 12, 4, 26

Setelah mendapat nilai setiap abjad dalam perkataan tersebut, maka lakukan

pendaraban dengan key matrik yang sudah ditentukan di atas :

Dari hasil pendaraban matrik di atas, maka terdapat hasil perkataan baru yang

membentuk ciphertext.

Plain text = I_LOVE_THE_WAY_YOU_LOVE_ME.

Chipper text = DFPRBMPYYJEMNKQINK*CFJXYTWY

Untuk pengetahuan, kriptografi ini sebenarnya amat penting dan digunakan

untuk keselamatan maklumat sulit pengguna seperti akaun email, kad kredit dan

kad pengenalan daripada disalahgunakan oleh pihak yang tidak

bertanggungjawab. Tambahan pula, kriptografi ini juga telah digunakan dalam

bidang ketenteraan dari segi komunikasi dan isyarat.

3. Aliran trafik

Aliran trafik dalam matematik adalah kajian interaksi antara kenderaan,

pemandu dan infrastruktur ( termasuk lebuh raya, papan tanda dan alat kawalan

lalu lintas) dengan tujuan untuk memahami dan membangunkan rangkaian

jalanraya yang optimum dengan pergerakan lalul lintas yang efektif dan masalah

kesesakan lalu lintas yang minimum.

Linear algebra digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berlaku di dalam

rangkaian lalu lintas terutama di persimpangan jalan. Ini boleh dibuktikan melalui

penyelesaian berikut:

Soalan

Rajah menunjukkan sebahagian dari persimpangan jalan sehala di sebuah

Bandar. Purata setiap jam kenderaan yang melalui persimpangan tersebut

ditunjukkan seperti di dalam rajah. Tentukan bilangan kenderaan yang bertanda

Persamaan yang terlibat :

Pindahkan dalam bentuk matrik

Langkah 1 : jadikan kemasukan pelopor pada baris pertama = 1

Langkah ke 2 : Jadikan nombor-nombor dibawah pelopor baris 1 = 0

Langkah ke 3 : Jadikan kemasukan pelopor baris ke 2 = 1

Langkah ke 4 : Jadikan nombor-nombor di bawah kemasukan pelopor baris ke 2

= 0

Langkah ke 5 : Jadikan nombor-nombor di bawah kemasukan pelopor baris ke 3

= 0

X4 tiada sebarang pembolehubah. Maka, kita anggap X4 = t dan tunjukkan

pelopor pembolehubah dalam sebutan X4, dan kita dapati :

Katakan t = 10

Pindahkan jawapan dalam bentuk matrik

4. Aliran elektrik

Hukum Krichhoff merupakan hukum yang digunakan untuk menganalisis

pelbagai lingkaran litar elektrik.

I. Hukum pertama :

Jumlah arus elektrik yang masuk di persimpangan (anggap sebagai

positif) adalah bersamaan dengan jumlah arus elektik yang keluar dari

persimpangan (anggap sebagai negative)

II. Hukum kedua :

Hasil tambah algebra voltan mestilah bersamaan hasil tambah algebra

yang menyusut

Hukum OHM pula ialah hubungan antara beza keupayaan dengan arus yang

mengalir dalam satu litar elektrik yang lengkap.

Berdasarkan formula diatas ,dapat dirumuskan bahawa arus berkadar terus

dengan voltan dan berkadar songsang dengan rintangan , V = IR dimana V

adalah voltan (V) dan I adalah arus (A) dan R adalah rintangan (ohm).

Contoh soalan:

Penyelesaian soalan :

1. Menggunakan Hukum Kirchhoff yang pertama pada bahagian kiri litar

Untuk I2 + I3 = I1 ( arus elektrik masuk = arus elektrik keluar). Persamaan

ini sama dengan persamaan 1 diatas.

2. Menggunakan Hukum Kirchhoff yang kedua pada lingkaran 1 (Hukum

Ohm V = IR ) menggunakan Hukum Ohm untuk mendapatkan

persamaan 2 dan 3

Masukkan nilai dalam persamaan di atas

Untuk lingkaran 2,

Masukkan nilai dalam persamaan di atas

3. Tuliskan ketiga-tiga persamaan di atas untuk mendapatkan matrik

imbuhan

4. Selesaikan ketiga-tiga persamaan menggunakan kaedah penghapusan

Gauss-Jordan

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii.

ix.

x.

xi.

xii.

5. Berdasarkan penyelesaian di atas , nilai I1 , I2 dan I3 dan dapat

dikenalpasti iaitu

Program linear algebra adalah cabang ilmu matematik yang mempunyai banyak

manfaat dan kegunaannya dalam kehidupan seharian. Antara manfaat yang diperolehi

ialah :

Dalam sektor pendidikan :

Program linear dapat memudahkan tenaga pengajar dalam membuat jadual

kuliah dan sekolah serta pembahagian kerja dan menyusun bahan kuliah juga

kokurikulum

Dalam sektor industri :

Memudahkan untuk pengusaha perusahan kecil dalam meminimumkan

kerugian dan memaksimumkan keuntungan. Program linear mudah diterapkan

untuk pengilang , petani dan pengusaha dalam menyelesaikan permasalahan

seharian.

Dalam bidang pengurusan:

Linear algebra dapat membantu serta memudahkan kehidupan sehariaan

khususnya dalam pengurusan masa. Dengan bantuan linear algebra sesorang

mampu mengurus masa dengan baik serta menjadikan kehidupan sehariannya

lebih sistematik. Contohnya ibu bapa yang bekerja dan mempunyai anak harus

memikirkan beberapa aspek yang penting bagi memastikan mereka dapat hadir

ke sekolah dan pejabat sebelum masa yang ditetapkan. Bagi memastikan masa

lebih singkat untuk sampai ke destinasi dan kos perjalanan yang rendah maka

ibu bapa tersebut haruslah membuat pilihan jalan yang tepat yang akan

digunakan setiap hari.

Dalam sektor perniagaan :

peniaga mampu mencapai kejayaan sekiranya mereka menguasai sepenuhnya

linear algebra . di mana mereka mampu menganggar pulangan dari hasil

perniagaan , bilangan pembeli dan juga mengenal pasti kos kerugian dalam

sesuatu perniagan yang dijalankan. Selain itu, linear algebra juga mampu

memberi pengetahuan tentang mengira dan memilih barangan yang lebih murah

untuk dibeli dan dijadikan modal dalam perniagaan. Juga mampu memgenal

pasti perbezaan harga barangan mereka dengan peniaga lain serta dapat

mengubah harga barangan dan mengekalkan keuntungan yang diperolehi.

Kesimpulannya algebra linear amat penting dalam kehidupan seharian kita dan

masih digunakan sehingga ke hari ini. Linear algebra merupakan asas pengetahuan

dalam matematik di mana kita memerlukan kemahiran algebra linear untuk

menyelesaikan masalah terutama yang berkaitan dengan pembolehubah. Daripada

masalah tersebut , kita dapat membuat analisa atau data yang diperolehi untuk

membuat perbandingan dan menentukan sesuatu nilai jawapan itu.

Oleh itu, algebra linear bukan sahaja satu set langkah atau prosedur untuk

menyelesaikan masalah tetapi suatu jenis pemikiran yang boleh diaplikasi dalam

setiap masalah yang dihadapi dalam kehidupan seharian.

Jelasnya kegunaan algebra linear boleh memudahkan dan membuat kerja seharian

kita lebih sistematik. Selain itu, penggunaan nya juga sangat luas dalam pelbagai

bidang.

BIBLIOGRAFI

Aplikasi Fungsi linear

http://mathed.utm.my/duniamatematik/index.php/2011/oktober-2011/735-

aplikasi/997-fungsi-linearq-dalam-ekonomi

Aplikasi matriks

http://aljabarlineara4.blogspot.com/2013/03/aplikasi-aljabar-linear-

dalambidang.html

Tujuan mempelajari program linear http://fungsi.org/tujuan-mempelajari-

program-linear

Application of linear algebra http://ndu2009algebra.blogspot.com/

Flow from traffic to pipes http://www.facstaff.bucknell.edu/ap030/Math345LAApplications/Flow.html

Apa itu algebra ? http://www.scribd.com/doc/88383028/Apa-Itu-Algebra

http://www.scribd.com/doc/89640963/Mte-3110-Decode

http://www.scribd.com/doc/87657484/koay

elements of algebraic concept http://mathematicalideas.blogspot.com/2011/04/elements-of-algebraic-concept.html