8.1 transformasi linier umum - · pdf filebukti bahwa t adalah suatu transformasi linier...

42
8.1 Transformasi Linier Umum Bukan lagi transformasi R n R m , tetapi transformasi linier dari ruang vektor V vektor W.

Upload: ngoxuyen

Post on 06-Feb-2018

310 views

Category:

Documents


6 download

TRANSCRIPT

Page 2: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Definisi

Jika T: V→W adalah suatu fungsi dari suatu ruang vektor V ke ruangvektor W, maka T disebut tranformasi linier dari V ke W jika untuksemua vektor u dan v pada V dan semua skalar c:

T (u+v) = T (u) + T (v)

T (cu) = cT (u)

Page 3: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v
Page 4: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Transformasi Linier

Pada kasus khusus dimana V=W, transformasi linierT:V→V disebut operator linier V.

Page 5: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Transformasi Nol

Pemetaan T:V→W , disebut transformasi nol jika ,

T (u+v) = 0 T (u) = 0, T (v) = 0 dan T (k u) = 0

Dengan demikian,

T (u+v) =T (u) +T (v) dan T (k u) = kT (u)

Page 6: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Operator Identitas

Pemetaan I: V→V yang didefinisikan olehI (v) = v disebut operator identitas pada V.

Page 7: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Dilation and Contraction operators

Jika V sebarang vektor dan k sebarang skalar, maka fungsiT:V V yang didefinisikan oleh

T (v) = k v operator linier pada V

Dilation/Pelebaran V : k > 1

Contraction/ Penyempitan V: 0 < k < 1

Page 8: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Proyeksi Orthogonal

Jika W adalah sub ruang berdimensi terhingga darisuatu ruang hasil kali dalam V, maka proyeksi orthogonal dari V pada W adalah transformasi yang didefinisikanoleh:

T (v ) = projwv

Page 9: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Proyeksi OrthogonalT (v ) = projwv

Jika S = {w1, w2, …, wr} sebarang basis ortonormal untuk W, maka T (v ) :

T (v ) = projwv = <v,w1>w1 + <v,w2>w2 +…+<v,wr>wr

Bukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat-sifat hasil kali dalam, sbb”:

T (u+v) = <u+v, w1>w1 + <u+v, w2>w2 +… +<u+v, wr> wr

= <u, w1>w1 + <u, w2>w2 +… + <u, wr>wr

+ <v, w1>w1 + <v, w2>w2 +… + <v, wr>wr

= T (u) + T (v)

Dengan cara yang sama:T (ku) = kT (u)

Page 10: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Computing an Orthogonal Projection

Anggap V = R3 memiliki hasil kali dalam Euclidean.

Vektor w1 = (1,0,0) dan w2 = (0,1,0) membentuk basisortonormal bidang xy. Jika v = (x,y,z) adalah sebarang vektorR3 , proyeksi ortogonal dari R3 pada bidang xy adalah:

T (v ) = <v, w1>w1 + <v, w2>w2

= x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0)

= ( x, y, 0 )

Proyeksi Ortogonal R3 pada bidang xy

Page 11: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Transformasi Linier Ruang Vektor V to Rn

Jika S = {w1 , w2 , …, wn } adalah suatu basis untuk suaturuang vektor V, dan

(v)s = (k1, k2, …, kn )adalah vektor koordinat relatif terhadap S dari suatu vektorv dalam V sehingga;

v = k1 w + k2 w2 + …+ kn wn

Definisikan T: V→Rn sebagai fungsi yang memetakan v padavektor koordinat relatif terhadap S; yaitu,

T (v) = (v)s = (k1, k2, …, kn )

Page 12: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Transformasi Linier Ruang Vektor V to Rn

Fungsi T adalah suatu transformasi linier, dimana:u = c1 w1+ c2 w2+ …+ cn wn danv = d1 w1+ d2 w2+ …+ dn wn

Jadi (u)s = (c1, c2, …, cn ) dan (v)s = (d1, d2, …, dn )

Tapi;u+v = (c1+d1) w1+ (c2+d2) w2+…+ (cn+dn) wn

k u = (kc1) w1 +(kc2) w2 +…+ (kcn) wn

Sehingga;(u+v)s = (c1+d1, c2+d2 …, cn+dn )(k u)s = (kc1, kc2, …, kcn )

Dengan demikian;(u+v)s = (u)s + (v)s dan (k u)s = k (u)s

Page 13: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Transformasi Linier Ruang Vektor V to Rn

Dengan demikian;(u+v)s = (u)s + (v)s dan (k u)s = k (u)s

Jika persamaan dalam bentuk T, maka:

T (u+v) = T (u) + T (v) and T (k u) = kT (u)

Yang menunjukkan bahwa T adalah suatu transformasi linier.

REMARK. Penulisan dalam bentuk matriks:[u+v] = [u]s +[v]s and [k u]s = k [u]s

Page 14: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Contoh : Transformasi linier pn ke pn+1

Jika p = p(x) = C0 X + C1X2 + …+ CnX

n+1 adalah polinom dalam

Pn , maka fungsi T: Pn → Pn+1 :

T (p) = T (p(x)) = xp(x)= C0 X + C1X2 + …+ CnX n+1

Fungsi T adalah suatu transformasi linier, dimana untukskalar k dan sebarang polinom p1 dan p2 dalam Pn

T (p1+p2) = T (p1(x) + p2 (x)) = x (p1(x)+p2 (x))= x p1 (x) + x p2 (x) = T (p1) +T (p2)

danT (k p) = T (k p(x)) = x (k p(x))= k (x p(x))= k T(p)

Page 15: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Operator Linier dalam Pn

Jika p = p(x) = c0 X + c1X2 + …+ cnX n+1 adalah polinom

dalam Pn , dan anggap a dan b

sebarang skalar. Fungsi T didefinisikan sbb:

T (p) = T(p(x)) = p (ax+b) = c0 + c1 (ax+b) + …+ cn(ax+b) n

adalah suatu operator linier.

Contoh, jika ax+b = 3x – 5, maka T: P2 → P2 akan menjadi operator linier sbb:

T (c0 + c1x+ c2 x2 ) = c0 + c1 (3x-5) + c2 (3x-5) 2

Page 16: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

A Linear Transformation Using an Inner Product

Jika V adalah suatu hasil kali dalam dan v0 adalah sebarangvektor tetap pada V.Anggap T:V→R adalah transformasi yang memetakan suatuvektor v ke hasil kali dalamnya dengan v0 ;yaitu,

T (v) = <v, v0> Dari sifat-sifat suatu hasil kali dalam:

T (u+v) = <u+v, v0>= <u, v0> + <v, v0>dan

T (k u) = <k u, v0 > = k <u, v0 > = kT (u)Sehingga T adalah suatu transformasi linear..

Page 17: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Sifat-sifat Transformasi Linear

Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear, maka untuk sebarang vektor v1 dan v2 dalam V dan sebarang skalars c1 dan c2 , kita dapatkan:

T (c1 v1 + c2 v2) = T (c1 v1 ) + T (c2 v2) = c1T (v1 ) + c2T (v2)

Dan secara lebih umum v1 , v2 , …, vn adalah vektor-vektor pada V dan c1 , c2 , …, cn adalah skalar, maka:

T (c1 v1 + c2 v2 +…+ cn vn ) = c1T (v1 ) + c2T ( v2 ) +…+ cnT ( vn )

transformasi linear mempertahankan kombinasi linear.

1)

1)

Page 18: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Tiga Sifat Dasar Transformasi Linear

Theorem 8.1.1

Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear, maka:

(a) T (0) = 0

(b) T (-v ) = -T (v ) untuk semua v dalam V

(c) T (v-w ) = T (v ) - T (w) untuk semua v dan w dalam V

Proof.(a) Let v be any vector in V. Since v=0, we have

T (0)=T (0v)=0T (v)=0

(b) T (-v) = T ((-1)v) = (-1)T (v)=-T (v)

(c) v-w=v+(-1)w; thus,T (v-w)= T (v + (-1)w) = T (v) + (-1)T (w)

= T (v) -T (w)

Page 19: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Mencari Transformasi Linear dari Bayangan Vektor Basis

Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear dan{v1 , v2 , …, vn } adalah sebarang basis untuk V,maka bayangan T (v) dari sebarang vektor v pada V dapatdihitung dari bayangan:

T (v1), T (v2), …, T (vn)dari vektor-vektor basis.Nyatakan v sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis;

v = c1 v1+ c2 v2+ …+ cn vn

Gunakan rumus (1) untuk menulis:T (v) = c1 T (v1) + c2 T (v2) + … + cn T (vn)

Suatu transformasi linear secara lengkap ditentukan olehbayangan sebarang vektor-vektor basis.

T (c1 v1 + c2 v2 +…+ cn vn ) = c1T (v1 ) + c2T ( v2 ) +…+ cnT ( vn )

Page 20: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Computing with Images of Basis Vectors

Contoh:

Tinjau basis S = {v1 , v2 , v3 } untuk R3 , dimana v1 = (1,1,1), v2 =(1,1,0), dan v3 = (1,0,0). Anggap T: R3 →R2 adalah transformasi linear sedemikiansehingga:

T (v1)=(1,0), T (v2)=(2,-1), T (v3)=(4,3)

Carilah rumus untuk T (x1 , x2 , x3 ); kemudian gunakanuntuk menghitung T (2,-3,5).

Page 21: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Computing with Images of Basis Vectors

Jawab:

Nyatakan x = (x1 , x2 , x3 ) sebagai kombinasi linear

v1 =(1,1,1), v2 =(1,1,0), and v3 = (1,0,0).

(x1 , x2 , x3 ) = c1 (1,1,1) + c2 (1,1,0) + c3 (1,0,0)

Dengan menyamakan komponen yang bersepadanan:

c1 + c2 + c3 = x1

c1 + c2 = x2

c1 = x3

c1 = x3 , c2 = x2 - x3 , c3 = x1 - x2

Page 22: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

c1 = x3 , c2 = x2 - x3 , c3 = x1 - x2 , sehingga

Kombinasi Liner:

(x1 , x2 , x3 ) = x3 (1,1,1) + (x2 - x3 ) (1,1,0) + (x1 - x2 ) (1,0,0)

= x3 v1 + (x2 - x3 ) v2 + (x1 - x2 ) v3

Jadi transformasi linear:

T (x1 , x2 , x3 ) = x3 T (v1) + (x2 - x3 ) T (v2) + (x1 - x2 ) T (v3)

= x3 (1,0) + (x2 - x3 ) (2,-1) + (x1 - x2 ) (4,3)

= (4x1 -2x2 -x3 , 3x1 - 4x2 +x3)

Dari rumus ini kita dapatkan

T (2 , -3 , 5 ) =(9,23)

Page 23: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Komposisi T2 dengan T1

Jika T1 :U→V dan T2 :V→W adalah transformasi linear,komposisi T2 dan T1 , dinotasikan T2 oT1 (baca“T2 circleT1 ”), adalah fungsi yang didefinisikan oleh rumus

(T2 oT1 )(u) = T2 (T1 (u)) (2)

dimana u adalah vektor dalam U

Page 24: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Theorem 8.1.2

Jika T1 :U→V dan T2 :V→W adalah transformasi linearmaka (T2 o T1 ):U→W juga merupakan transformasi linear.

Proof. If u and v are vectors in U and c is a scalar, then it follows from (2) and the linearity of T1 andT2 that

(T2 oT1 )(u+v) = T2 (T1(u+v)) = T2 (T1(u)+T1 (v))

= T2 (T1(u)) + T2 (T1(v))

= (T2 oT1 )(u) + (T2 oT1 )(v)

and

(T2 oT1 )(c u) = T2 (T1 (c u)) = T2 (cT1(u))

= cT2 (T1 (u)) = c (T2 oT1 )(u)

Thus, T2 oT1 satisfies the two requirements of a linear transformation.

Page 25: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Composition with the Identify Operator

Jika T:V→V adalah sebarang operator linear dan jika I:V→V adalah operator identitas, maka untuk semua vektor v pada V kita dapatkan:

(T o I )(v) = T (I (v)) = T (v)(I oT )(v) = I (T (v)) = T (v)

Kita dapatkan bahwa T o I dan I oT sama dengan T ; T o I =T and I oT = T (3)

Page 26: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Contoh

Page 27: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Dapat disimpulkan bahwa komposisi bisa didefinisikanuntuk lebih dari dua transformasi linear. Misalnya:

T1 : U → V and T2 : V→ W ,dan T3 : W → Yadalah transformasi linear, maka komposisi T3 o T2 oT1didefinisikan oleh:

(4)

T3 o T2 oT1

Page 28: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Contoh

Anggap T1 : P1 → P1 dan T2 : P2 → P2 adalah transformasi linear yang diberikan oleh rumus

T1(p(x)) = xp(x) dan T2 (p(x)) = p (2x+4)

Komposisi (T2 。T1 ): P1 → P2 diberikan oleh rumus:(T2 。T1 )(p(x)) = (T2)(T1(p(x))) = T2 (xp(x)) = (2x+4)p (2x+4)

Page 29: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

8.2 Kernel And Range

Page 30: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Definisi

ker(T ): the kernel of T

Jika T:V W adalah suatu transformasi linear, makahimpunan vektor pada V yang dipetakan T ke 0 disebut kernel dari T

R (T ): the range of T

Jika T:V W adalah suatu transformasi linear makahimpunan semua vektor pada W yang merupakanbayangan dibawah T yang paling tidak merupakan satuvektor pada V disebut daerah hasil dari Tdinyatakan R(T).

Page 31: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Kernel and Range of a Matrix Transformation

Jika TA :Rn →Rm adalah perkalian matriks A, m×n, maka

• the kernel of TA nullspace of A

• the range of TA column space of A

Page 32: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Kernel and Range of the Zero Transformation

Anggap T:V→W adalah transformasi nol. Karena Tmemetakan setiap vektor pada V ke 0 ker(T ) = V.

Apabila 0 adalah satu-satunya bayangan di bawah T darivektor-vektor pada V, R (T ) = {0}.

Page 33: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Kernel and Range of the Identity Operator

Jika I:V→V adalah operator identitas.

Dimana I (v) = v untuk semua vektor pada V, setiapvektor pada V adalah bayangan dari suatu vektor, yaituvektor itu sendiri,

R(I ) = V.

Karena satu-satunya vektor yang dipetakan I ke 0adalah 0,

ker(I ) = {0}.

Page 34: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Theorem 8.2.1

Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear , maka

(a) The kernel of T is a subspace of V.

(b) The range of T is a subspace of W.

Proof (a).

Let v1 and v2 be vectors in ker(T ), and let k be any scalar. Then

T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) = 0+0 = 0

so that v1 + v2 is in ker(T ).

Also,

T (k v1) = kT (v1) = k 0 = 0

so that k v1 is in ker(T ).

Proof (b).

Let w1 and w2 be vectors in the range of T , and let k be any scalar. There are vectors a1

and a2 in V such that T (a1) = w1 and T(a2) = w2 . Let a = a1 + a2 and b = k a1 .

Then

T (a) = T (a1 + a2) = T (a1) + T (a2) = w1 + w2

and

T (b) = T (k a1) = kT (a1) = k w1

Page 35: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Peringkat dan Kekosongan Transformasi Linear

• rank (T): peringkat T Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear, maka dimensi daerah hasil dari T disebut peringkat dari T rank(T).

• nullity (T): the nullity of TDimensi kernel disebut kekosongan dari T nullity (T).

Page 36: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Theorem 8.2.2

Jika A adalah suatu matriks mxn dan TA :Rn →Rm

adalah perkalian dengan A, maka

• nullity (TA ) = nullity (A )

• rank (TA ) = rank (A )

Page 37: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Teorema Dimensi untuk Transformasi Linear

• Theorem 8.2.3

Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear darisuatu ruang vektor V berdimensi n ke suatu ruangvektor W, maka

rank (T ) + nullity (T ) = n

Transformasi linear peringkat ditambah kekosongansama dengan dimensi daerah asal.

Page 38: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Contoh

Jika TA :R6 →R4 dikalikan oleh

A=

Cari peringkat dan kekosongan TA

744294

164252

410273

354021

Page 39: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Bentuk baris-eselon tereduksi A:

Ada 2 baris tak-nol atau ada dua utama 1, maka;Ruang baris dan ruang kolom berdimensi 2, sehingga

rank(A) = 2

Cari peringkat dan kekosongan dari matriks A sbb:

Page 40: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

Untuk mencari kekosongan dari A, cari dimensi ruang penyelesaian dari sistem liner homogen Ax = 0

Ruang Null

Empat vektor membentuk suatu basis untuk ruang penyelesaian, sehingga;

kekosongan(A) = 4

Page 41: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

rank(A) = 2 rank(TA) =2

kekosongan(A) = 4 kekosongan (TA) = 4

Page 42: 8.1 Transformasi Linier Umum - · PDF fileBukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifat- ... Jawab: Nyatakan x = (x 1 ,x 2 , x 3 ) sebagai kombinasi linear v

• rank (T): peringkat T Jika T:V→W adalah suatu transformasi linear, maka dimensi daerah hasil dari T disebut peringkat dari T rank(T).

• nullity (T): the nullity of TDimensi kernel disebut kekosongan dari T nullity (T).

Jika A adakah suatu matriks mxn dan TA :Rn →Rm

adalah perkalian dengan A, maka

• nullity (TA ) = nullity (A ) Kernel TA

• rank (TA ) = rank (A ) rank TA