KELUARGA EKSPONENSIAL

Anggota Kelompok 3:

Ratih Roesdiana (121810101004)

Solehatul Ummah (121810101030)

Anton Satria D. (121810101031)

Diana Nurfarida (121810101033)

Firda Rizki C. (121810101035)

Tri Puji Lestari (121810101040)

Silvia Triana Sari (121810101044)

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS JEMBER

TAHUN 2014

PEMBAHASAN

DEFINISI STATISTIK CUKUP

Misalkan X1,X2,...,Xn variable random saling bebas dan berdistribusi identic dengan

fungsi kepadatan probabilitas ( ) dan

( )

Misalkan ( ) dengan

( )

Untuk Statistik T dinamakan statistic cukup dimensi-m untuk keluarga

( atau untuk parameter jika berdistribusi bersyarat( ) diberikan

tidak bergantung pada untuk semua nilai t. Dengan menggunakan teorema berikut ini,

identifikasi statistic cukup dengan mudah dilakukan.

Teorema 1.1 (TeoremaFaktorisasi Fisher-Neyman)

Misalkan variabel random saling bebas dan berdistribusi identik dengan fungsi kepadatan

probabilitas f(x; ) dan = ( ) Statistik dimensi-m

(( ( ) ( ) ( )) ) merupakan statistic

cukup untuk jika dan hanya jika fungsi kepadatan probabilitas bersama dari dapat difaktorkan

sebagai ( ) [ ] ( ) dengan g tergantung pada

hanya melalui T dan h tidak tergantung pada .

Contoh:

Tunjukkan bahwa adalah setiap kasus distribusi tersebut merupakan anggota keluarga

eksponensial Variabel random X berdistribusi Poisson Karena berdisrinusi poisson ( ) maka

fungsi probabilitas dari adalah

( )

Untuk x=0,1,2, sehingga ( ) ( )

A ( )

Dengan A={0,1,2,}

Hal itu berarti bahwa ( )= , ( ) ( ), ( ) dan

( )

A ( )

akibatnya distribusi Poisson ( ) merupakan anggota keluarga eksponensial.

PENGANTAR DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

Pendahuluan Distribusi Poisson

Distribusi Poisson

Distribusi Poison merupakan hasil dari suatu eksperimen/ proses yang memenuhi asumsi

tertentu. Proses Poisson ini mendeskripsikan kejadian yang muncul pada suatu interval waktu

atau wilayah tertentu.

Asumsi proses ini adalah :

1. Peristiwa yang muncul pada suatu interval waktu / daerah tertentu saling bebas dengan

peristiwa lain yang terjadi pada interval waktu daerah lainnya.

2. Untuk interval waktu yang kecil, peluang suatu peristiwa muncul didalamnya berbanding

lurus dengan panjang interval.

3. Peluang dua atau lebih peristiwa muncul dalam interval waktu yang sangat kecil dapat

diabaikan.

Definisi 4.5

Peubah acak X dikatakan berdistribusi Poisson , dengan parameter dinotasikan P()

mempunyai fungsi kepadatan peluang berikut:

( ) ( ) {

Hubungan Distribusi Eksponensial dengan Proses Poisson

Terapan distribusi eksponensial yang terpenting ialah bila proses poisson berlaku.

Pembaca hendaknya ingat bahwa proses poisson memungkinkan penggunaan distrbusi diskrit

yang disebut distribusi poisson. Ingat bahwa distribusi poisson digunakan untuk menghitung

peluang khusus dalam 'kejadian' selama jangka waktu atau selang tertentu.Dalam banyak hal,

jangka waktu atau selang berbentuk peubah acak. Sebagai contoh:

Seorang insinyur Teknik Industri mungkiningin meneliti waktu T antara kendaraan tibadi suatu

persimpangan yang padat selama waktu kerja di suatu kota besar.Waktu tibamerupakan kejadian

Poisson.

Hubungan antara distribusi eksponensial dan proses Poisson cukup sederhana. Distribusi

Poisson diturunkan sebagai distribusi berparameter tunggal dengan , disini dapat ditafsirkan

sebagai rataan banyaknya kejadian per satuan waktu. Pandang sekarang peubah acak yang

diberikan dengan waktu yang diperlukan agar kejadian pertama muncul. Dengan menggunakan

distribusi Poisson, kita peroleh bahwa peluang tidak ada kejadian yang muncul dalam jangka

waktu t diberikan oleh:

( ) ( )

Sekarang hasil di atas akan digunakan dan dimisalkan waktu sampai kejadian Poisson

yang pertama. Peluang bahwa jangka waktu sampai kejadian pertama melampaui sama dengan

peluang bahwa tidak ada kejadian Poisson yang muncul dalam waktu . Yang terakhir ini,

tentunya sama dengan .

( )

Jadi fungsi distribusi kumulatif untuk adalah:

( )

Sekarang agar kita mengetahui tentang keberadaan distribusi eksponensial, turunkanlah

fungsi distribusi kumulatif di atas sehingga diperoleh fungsi padat sebagai berikut:

( )

Yang merupakan fungsi padat dari distribusi eksponensial dengan

Distribusi Eksponensial

Apabila suatu peubah acak X berdistribusi gamma dengan parameter , maka distribusi ini

lebih dikenal sebagai distribusi eksponensial dengan fungsi padat peluang.

( ) {

Dengan mean dan variansi

( )

Nilai Harapan Distribusi Eksponensial

( )

( )

(

) (

)

((

)

(

))

Sehingga:

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

))

( (

))

Akibatnya:

[ (

)]

(

) ( (

))

(

)

( ) ( ) ( ( )

KELUARGA EKSPONENSIAL

Statistik Cukup

Statistik T = T(X1, X2, , Xn)dikatakan cukup bagi parameter, jika fkp bersyarat:

( ( ))

tidak bergantung pada .

Suatu statistik T = t(X) adalah CUKUP atau sufficient untuk suatu keluargadistribusi

fx(x| ) JIKA dan HANYA JIKA fungsi likelihoodnya bergantungterhadap Xhanya

melalui T:

L() = h(t(X), )

Suatu statistik T = t(X) adalah CUKUP untuk suatu keluarga distribusifx(x| ) JIKA dan

HANYA JIKA distribusi bersyarat dari XTIDAK BERGANTUNGpada :

fx|T(x|t, ) = h(x)

Suatu statistik T = t(X) adalah CUKUP untuk suatu keluarga distribusifx(x| ) JIKA dan

HANYA JIKA fungsi peluangnya dapat difaktorkan sebagai:

fx(x|) = g(t(x)|) h(x)

Teorema 1 (Teorema Faktorisasi Fisher-Neyman)

Misalkan variabel random saling bebas dan berdistribusi identik dengan fungsi kepadatan

probabilitas f(x, ) dan = ( 1, 2, ..., r)t Rr.

Statistik dimensi-m

T = (T1(X1,X2, ..., Xn), T2(X1, X2, ..., Xn), ... , Tm(X1,X2, ..., Xn))t

merupakan statistik cukup untuk _ jika dan hanya jika fungsi kepadatan probabilitas bersama

dari dapat difaktorkan sebagai

f(x1, x2, ..., xn) = g[x1, x2, ..., xn; ]h(x1,x2, ..., xn)

dengan g tergantung pada hanya melalui T dan h tidak tergantung pada .

Dimensi dari statistik cukup sama dengandimensi parameternya. Jika X1, X2, ..., Xn variabel

random saling bebas dan berdistribusi identik dari distribusi Cauchy dengan parameter = ( ;

) dan fungsi kepadatan probabilitas

f(x; , ) =

untuk < x < maka tidak ada statistik cukup yang dimensinya lebih

kecil dari statistik cukup (X1,X2, ..., Xn)t.

Keluarga Eksponensial

Penetuan statistik cukup bagi suatu parameter dapat dilakukan dengan menggunakan

keluarga eksponensial.Keluarga eksponensial yang akan dibahas disini adalah keluarga

eksponensial untuk satu parameter.

1. Suatu fkp dengan satu parameter dikatakan termasuk kedalam keluarga eksponensial, jika

fkp tersebut dapat diuraikan dalam bentuk:

( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )

( )

2. Jika X1, X2, , Xn merupakan sampel acak yang berasal dari distribusi dengan fkp

gabungannya dinotasikan dengan f(x1, x2, , xn;). Maka f(x;) dikatakan termasuk

keluarga eksponensial

Teorema 1.6

Misalkan X variabel random dengan fungsi kepadatan probabilitas f(x; )dengan R seperti

tersebut di atas. Keluarga

G = {g(x; )| }

dengan adalah fungsi kepadatan probabilitas dari T(X) maka G lengkap

asalkan mengandung interval non degenerate.

Teorema 1.7

Misalkan X1, X2, ..., Xn variabel random saling bebas dan berdistribusi identikdengan fungsi

kepadatan probabilitas merupakan anggota keluarga eksponensial 1 parameter.

1. Statistik T*= ( ) merupakan statistik cukup untuk .

2. Fungsi kepadatan probabilitas dari T* selalu berbentuk

g(t; ) = [c()]n exp[Q()t]h*(t)

dengan h(t) tidak bergantung terhadap asalkan T*variabel random diskrit.

3. Jika variabel random kontinu maka fungsi kepadatan probabilitasnya dapat dinyatakan

sebagai

g(t; ) = [c()]nexp[Q()t]h*(t).

Teorema berikut ini menyatakan sifat kelengkapan dari suatu keluargadistribusi.

Teorema 1.8

Keluarga G = {g(x; )| lengkap asalkan mengandung interval nondegenerate.

Dalam hal ini G = {g(x; )| dengan g(x;) adalah keluarga fungsi

kepadatan probabilitas dari statistik cukup T*.

Teorema 1.9

Misalkan X1, X2, ..., Xn variabel random saling bebas dan berdistribusi identikdengan fungsi

kepadatan probabilitas merupakan anggota keluarga eksponensial dan T* seperti dide_nisikan

pada Teorema 1.7.1. Jika V sebarang statistik yang lain, V saling bebas jika dan hanya jika

distribusi dari V dan T* tidak tergantung pada .

Generalisasi dari Keluarga Eksponensial

Misalkan X1, X2, ..., Xn variabel random saling bebas danX = (X1, ..., Xn)t. Fungsi kepadatan

probabilitas bersama dari merupakan anggota keluarga eksponensial r parameter jika mempunyai

bentuk

f(x; ) = c() exp[ ( ) ( ) ] ( )

dengan x = (x1, x2, ..., xn)t untuk j = 1, 2, ..., k dan k 1,

= (1, 2, r)t Rr;

C() > 0, dan h(x) > 0 untuk x S himpunan nilai positif dari f(x; ) yang saling bebas

terhadap .

MACAM MACAM KELUARGA EKSPONENSIAL

Distribusi Binomial Negatif

Distribusi Binomial Negatif maka fungsi probabilitas dari X adalah

( ) (

) ( )

Untuk x=1,2,3,...., sehingga ( )dapat dinyatakan sebagai

( ) ( ) (

) ( )

Dengan A={1,2,3,...}.

Hal itu berarti bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

) ( ). Akibatnya distribusi Binomial Negatif merupakan keluarga Eksponensial.

Distribusi Poisson

Karena X berdistribusi Poisson ( )maka fungsi probabilitas dari X adalah

( )

Untuk x=0,1,2,3,... sehingga ( ) dapat dinyatakan sebagai

( )

( )

Dengan A= {0,1,2,3,...}.

Hal itu berarti bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ). Akibatnya

distribusi Poisson ( )merupakan anggota keluarga eksponensial.

Distribusi Gamma

Karena berdistribusi Gamma ( )dengan maka fungsi kepadatan probabilitas dari X :

( )

( )

Untuk , sehingga ( ) dapat dinyatakan sebagai

( )

( ) ( )

Atau

( )

( )

Hal itu berarti bahwa ( )

( ) ( ) ( ) ( )

akibatnya

distribusi ( ) dengan diketahui merupakan anggota keluarga eksponensial.

Karena X berdistribusi Gamma ( ) dengan maka fungsi kepadatan probabilitas dari X

adalah

( )

( )

Untuk sehingga ( )dapat dinyatakan sebagai berikut

( )

( )

Hal itu berarti ( )

( )

( ) ( )

( )

Akibatnya distribusi Gamma ( ) dengan diketahui merupakan anggota keluarga

eksponensial.

Distribusi Beta

Karena X berdistribusi Beta ( ) dengan maka fungsi kepadatan probabilitas dari X

adalah

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Sehingga ( )dapat dinyatakan sebagai

( ) ( )

( ) ( )

( )

Hal itu berarti bahwa ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Akibatnya distribusi Beta (( )dengan diketahui sebagai keluarga eksponensial.

Karena X berdistribusi Beta ( ) dengan maka fungsi kepadatan probabilitas dari X

adalah

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Sehingga ( )dapat dinyatakan sebagai

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

Hal itu berarti bahwa ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

)

( )

Akibatnya distribusi Beta ( ) dengan diketahui merupakan anggota keluarga eksponensial.

Distribusi Normal

Misalkan variabel random berdistribusi ( ) Fungsi kepadatan probabilitas

dari dapat dinyatakan sebagai

( )

*

+ [

]

ini berarti keluarga distribusi normal merupakan anggota keluarga distribusi eksponensial dengan

( )

*

+ ( )

( )

Dan

( ) ( ) ( )

Dalam hal ini

HUBUNGAN ANTARA STATISTIKA CUKUP DENGAN KELUARGA

EKSPONENSIAL

Statistika T=T( ) dikatakan cukup bagi parameter , jikafkpbersyarat:

( | ( ))

Tidak tergantung

Penentuan statistic cukup bagi suatu parameter dapat dilakukan dengan menggunakan

keluarga eksponensial. Keluarga fungsi kepadatan probabilitas yang tergantung pada parameter

dan berbentuk ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )

Dengan x R, (R) dan C( )>0 serta h(x)>0 untuk x dinamakan keluarga

eksponensial. Jika variabel random saling bebas dan berdistribusi identik dengan ( ) dengan

R maka fungsi kepadatan probabilitas dari X sebagai

( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )

CONTOH SOAL KELUARGA EKSPONENSIAL

Metode estimasi parameter dari distribusi waktu kerusakan

Estimasi reliabilitas membutuhkan pengetahuan distribusi waktu kerusakan yang

mendasari dari komponen atau sistem yang dimodelkan. Untuk memprediksi reliabilitas atau

mengestimasi MTTF komponen atau sistem yang dikenai uji hidup dipercepat, diperlukan

estimasi parameter dari distribusi probabilitas yang menggambarkan waktu kerusakan populasi

yang dilakukan uji.

Keakuratan estimasi parameter tergantung pada ukuran sampel dan metode yang

digunakan untuk estimasi parameter. Statistik yang dihitung dari sampel yang digunakan untuk

estimasi parameter populasi disebut estimator. Suatu estimator yang baik mempunyai sifat-sifat:

tak bias, konsisten, efisien dan sufiisien. Statistik yang digunakan untuk estimasi parameter

populasi, , disebut suatu estimator titik untuk dinotasikan . Ada 3 metode yang banyak

digunakan untuk estimasi parameter dari populasi yaitu metode momen, metode maximum

likelihood dan metode kuadrat terkecil.

Metode Momen

Ide utama dari metode momen adalah menyamakan karakteristik sampel tertentu

seperti mean dan varians untuk nilai-nilai yang diharapkan populasi yang bersesuaian

dan kemudian menyelesaikan persamaan yang dihasilkan untuk mendapatkan nilai

perkiraanparametertidak diketahui.

Jika mewakili himpunan data, maka momenkek sampeladalah

Jika adalah parameter yang tidak diketahui dari populasi, maka estimator momen

diperoleh dengan menyamakan momen sampel m yang pertama dengan momen

populasi myang pertama yang bersesuaian dan menyelesaikan untuk .

Contoh4.1:

Misal bahwa mewakili suatu sampel random dari suatu distribusi Eksponensial

dengan parameter . Bagaimana estimasi ?

Jawab:

Pdf dari distribusi Eksponensial adalah ( ) dan [ ]

. Menggunakan momen

pertama sampel

[ ]

.

Jadi estimasi dari adalah

.

Contoh4.2:

Sebuah produsen sistemdata wirelessmenggunakansinar inframerah yangditransmisikan

antaraperangkatyang dipasangpada bagian luargedunguntuk menyediakanlink data kecepatan

tinggi. Ukuran sinarin fra merah memiliki efek langsung pada reliabilitas sistem dan

kemampuannya untuk mengurangi efek dari kondisi cuaca seperti salju dan kabut yang

menghalangi jalur sinar tsb. Data ditransmisikan secara kontinyu menggunakan sinar inframerah

dan waktu sampai terjadi kerusakan dalam jam (tidak menerima data yang ditransmisikan)

dicatat sebagaiberikut:

47, 81, 127, 183, 188, 221, 253, 311, 323, 360, 489, 496, 511, 725, 772, 880,1,509,

1,675,1,806,2,008,2,026,2,040,2,869,3,104,3,205.

Dengan asumsi bahwa waktu kerusakan mengikuti distribusi eksponensial, tentukan

parameter distribusi menggunakan metode momen. Perkirakan reliabilitas sistemsaat=1000 jam.

(Perhatikan bahwa data di atas dihasilkan dari sebuahdistribusi eksponensial dengan parameter

1/ = 1000).

Jawab:

Parameter dari distribusi Eksponensial adalah

atau

Ini sangat dekat dengan nilai parameter yang sama yang digunakan dalam menghasilkan data.

Jelas, selama meningkatnya jumlah observasi, parameter yang diestimasi( ) dengan cepat

mendekati parameter dari distribusi waktu kerusakan yang sebenarnya.

Contoh 4.3

Misal adalah suatu sampel random dari suatu distribusi gamma yang mempunyai

pdf :

( )

( )

Gunakan metode momen untuk mendapatkan estimasi parameter

Jawab:

Sebagaimana yang telah ditunjukkan dalam Bab 1, mean dan varians dari distribusi gamma,

berturut-turut adalah: [ ] dan ( ) [ ] ( [ ]) .

[ ]diganti dengan estimator dan [ ] diganti dengan estimator , diperoleh

dan .

Penyelesaian dua persamaan di atas secara simultan menghasilkan

(

)

( )

Contoh 4.4:

Sebuahprodusen komputer pribadi melakukan suatu uji burn-in pada 20 monitor komputer dan

mendapatkan (dalam jam) sebagai berikut:130, 150, 180, 40, 90, 125, 44, 128, 55, 102,

126, 77, 95, 43, 170, 130, 112, 106, 93, 71.

Asumsikan bahwa populasi dari waktu kerusakan yangutama mengikuti distribusi gamma

dengan parameter . Tentukan estimasi parameter- parameter ini!

Jawab:

Mula-mula, tentukan dan sebagai berikut:

Selanjutnya, tentukan estimasi parameter-parameternya:

( )

( )

( )

Jadi rata-rata suatu monitor hidup yang diharapkan adalah jam.

Contoh 4.5:

Gunakan metode momen untuk mengestimasi parameter dan dari distribusi normal.

Jawab:

Pdf dari distribusi normal:

( )

(

)

Momen pertama dan momen kedua dari distribusi di atas berturut-turut adalah

(

)

(

)

Dengan menggunakan transformasi

, kemudian mengintegralkannya (lihat kembali

catatan mata kuliah Statistika Matematika II) maka diperoleh nilai-nilai dan sebagai

berikut:

Jadi estimasi untuk parameter dan adalah

(

)

( )

Metode momen merupakan metode sederhana untuk memperkirakan parameter

distribusi waktu kerusakan yang tersedia yaitu distribusi yang mendasari diketahui.

Kesalahan dalam memperkirakan parameter adalah minimum ketika distri-

busi yang mendasari simetris dengan tidak ada skewness dan ketika waktu kerusakan tidak

tersensor atau terpotong.

Selang Kepercayaan

Setelah penentuan estimasi titik parameter distribusi, selanjutnya menentukan selang

kepercayaan yang mana parameter yang diperkirakan dekat dengan nilai-nilai sebenarnya dari

populasi. Selang kepercayaan untuk parameter adalah

[ ]

di mana LCL adalah batas bawah kepercayaandan UCL adalah batas atas kepercayaan.

Misalkan sampel random diambil dari suatu populasidengan

mean danvarians . Misal adalah estimator titik untuk . Jika n besar (n30),

maka kira-kira memiliki suatu distribusi normal dengan mean dan varians , atau

memiliki suatu distribusi normal standar. Untuk sembarang nilai dapat ditemukan

suatu nilai sedemikian sehingga [ ]

Atau dapat ditulis

*

+ [

]

[

]

Sehingga diperoleh selang

(

)

membentuk selang kepercayaan dari parameter yang diestimasi untuk dengan koefisien

kepercayaan .

Contoh 4.6:

Pandang waktu kerusakan dari contoh 4.4. Tentukan suatu selang kepercayaan untuk mean

waktu kerusakan dengan koefisien kepercayaan 0,95.

Jawab:

Dari data diperoleh dan adalah estimasi dari standar deviasi .

Karena ukuran sampel kecil (< 30), lebih tepat menggunakan distribusi t daripada

distribusi normal dalam menentukan selang kepercayaan. Jadi selang kepercayaan adalah

( ) Dari tabel diperoleh dan substitusi s untuk

, didapat

atau

(84,39 , 122,31).

Dengan kata lain, dengan tingkat kepercayaan 95% bahwa mean waktu kerusakan yang

sebenarnya terletak antara 84,39 dan 122,31 jam.

Metode Maksimum Likelihood

Metode kedua dalam estimasi parameter dari suatu distribusi probabilitas didasarkan pada

fungsi likelihood. Misal dipunyai n pengamatan adalah yang masing-masing

mempunyai suatu pdf ( ). Fungsi likelihood adalah suatu fungsi dari yaitu

( ) ( ) ( ) ( )

Jika adalah anggota suatu selang terbuka dan ( ) terdiferensial dan mempunyai suatu nilai

maksimum pada selang tersebut, maka MLE adalah suatu penyelesaian dari

persamaanmaksimum likelihood

( )

Beberapa nilai dari yang memaksimumkan ( ) juga akan memaksimumkan log likelihood

( ), maka untuk perhitungan yang cepat, sebagai bentuk alternatif dari persamaan maksimum

likelihood adalah

( )

Contoh 4.7:

Banyak cacat dalam suatu lini produksi ditemukan mengikuti distribusi Poisson dengan suatu

rata-rata yang tidak diketahui. Dua sampel random diambil dan banyaknya unit-unit yang cacat

adalah 10 dan 12. Tentukan estimasi kemungkinan maksimum (MLE) dari ?

Jawab:

Probabilitas yang mempunyai x unit dari suatu distribusi Poisson adalah

( )

Probabilitas yang mempunyai 10 dan 12 cacat berturut-turut adalah:

( )

( )

Fungsi likelihood [ ( )] adalah perkalian dari ( ) ( ), yaitu:

( )

( ) ( )

Evaluasi dari persamaan di atas untuk nilai-nilai yang berbeda dari dapat disederhanakan

dengan mengambil logaritma dari ( ). Misal

( ) ( )

dan logaritma dari fungsi likelihood adalah

( ) ( )

Derivatif dari ( ) terhadap adalah

( )

Jadi estimasi terbaik dari adalah 22/2=11.

Contoh 4.8:

Anggap bahwa pabrik Integrated Circuits mengambil 3 sampel random dari sekumpulan yang

sama dari ukuran 10, 15 dan 20 unit. Pada pemeriksaan ditemukan bahwa sampel-sampel ini

berturut-turut mempunyai 2, 3 dan 5 yang cacat. Bagaimana estimasi kemungkinan maksimum

(MLE) dari ?

Jawab:

Karena 3 sampel diambil dari sekumpulan produksi yang sama, distribusi probabilitas yang

mendasari mempunyai parameter yang sama Probabilitas 3 hasil adalah:

(

) ( ) (

) ( ) (

) ( )

Fungsi likelihood secara sederhana merupakan hasil kali dari 3 probabilitas:

( ) (

) ( ) (

) ( ) (

) ( ) ( )

di mana adalah suatu konstan yang meliputi semua suku yang tidak melibatkan .

( ) ( )

( )

Jadi estimasi terbaik dari adalah 1/5.

MLE dari Distribusi Ekxponensial

Pdf dari distribusi eksponensial dengan parameter adalah ( ) .

Pdf dari n pengamatan adalah ( ) .

Fungsi likelihood:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Logaritma dari fungsi likelihood:

( )

Derivatif dari ( ) terhadap adalah

( )

Jadi estimasi terbaik dari adalah n/ .

(Hasil MLE dari sama seperti estimasi yang diperoleh menggunakan metode momen).

Contoh 4.9:

Suatu uji reliabilitas dilakukan pada sampel yang terdiri dari 6 komponen elektronik untuk

mengestimasi MTTF. Berikut adalah waktu kerusakan dari komponen-komponen tersebut: 25,

75, 150, 230, 430 dan 700 jam. Bagaimana bentuk laju kerusakan dan tentukan MLE dari

parameter distribusi waktu kerusakan yang mendasari?

Jawab:

MTTF adalah 260 jam dan standar deviasi adalah 232 jam. Karenan mean dandeviasi standar

hampir sama, maka distribusi eksponensial dapat digunakan untuk mewakili distribusi waktu

kerusakan.

Jadi estimasi terbaik dari adalah

MLE dari Distribusi Rayleigh

Distribusi Rayleigh digunakan untuk merepresentasikan distribusi waktu kerusakan dari

komponen yang menunjukkan laju kerusakan meningkat secara linier. Pdf dari distribusi

Rayleigh adalah

( )

di mana adalah parameter dari distribusi Rayleigh.

Fungsi likelihood untuk n pengamatan adalah

( ) ( ) ( ) ( )

di mana

Logaritma dari fungsi likelihood:

( )

Derivatif dari ( ) terhadap adalah

( )

Contoh 4.10:

Waktu kerusakan berikut diamati ketika dilakukan suatu uji reliabilitas: 15, 21, 30,39, 52 dan 68

jam. Anggap bahwa distribusi Rayleigh dipandang sebagai distribusi yang tepat untuk

merepresentasikan waktu kerusakan ini. Tentukan parameter dari distribusi ini. Berapa mean dan

deviasi standar dari waktu kerusakan?

Jawab:

Parameter dari distribusi Rayleigh adalah

Mean dan deviasi standar dari waktu kerusakan adalah

(

)

MLE dari Distribusi Normal

Pdf dari pengamatan dari suatu distribusi normal dengan mean dan variansi yang tidak

diketahui

( )

(

)

Fungsi likelihood untuk n pengamatan adalah

( ) (

)

(

)

Logaritma dari fungsi likelihood:

( )

(

)

Derivatif dari ( ) terhadap adalah

( )

(

)

Derivatif dari ( ) terhadap adalah

( )

[

(

)

]

( )

( )

[

( )

]

( )

( )

Hasil yang sama sebagaimana diperoleh dengan metode momen.

Contoh 4.11:

Anggap bahwa diterapkan penekanan pada komponen-komponen dan waktu kerusakan yang

sesuai membentuk pasangan pengamatan ( ) ( ) yang mengikuti model

( ) ( )

di mana Y adalah variabel random berdistribusi normal dan independen. Gunakan pendekatan

maksimum likelihood untuk mengestimasi parameter dan .

Jawab:

Karena Yberdistribusi normal dan independen, maka log likelihood adalah

[( ) ( )]

( )

Dua suku pertama dari sisi kanan dari persamaan tersebut di atas adalah independen terhadap

dan .Karena itu untuk meminimumkan log likelihood, cukup untuk meminimumkan suku

( )

Ambil derivatif parsial dari terhadap dan dan samakan derivatif dengan nol mennghasilkan

2 persamaan linier dalam dan Penyelesaian persamaan tersebut adalah:

( )

( )

di mana

Kadang-kadangdalam menemukanestimator maksimum likelihood (MLE),tidak

diperolehekspresibentuk tertutupuntuk estimasi parameter, karena itu perlumenggunakanmetode

lain, antara lain seperti: metode gradien likelihood dan metode iteratif Newton.estimator

maksimum likelihood adalah konsisten, efisien dan tak bias. Bias dari estimator menurun seiring

meningkatnya banyaknya pengamatan. Metode tersebut memerlukan perhitungan yang

sederhana untuk distribusi yang mempunyai parameter tunggal tetapi mungkin memerlukan

perhitungan yang panjang untuk distribusi yang mempunyai parameter dua atau lebih. Lebih

lanjut, metode tersebut dapat diaplikasikan untuk data tersensor maupun data tidak tersensor.

Matriks Informasi dan Matriks Varians Kovarians

Salah satu manfaat utama dari penggunaan estimator maksimum likelihood untuk

mendapatkan parameter distribusi adalah bahwa logaritma dari fungsi likelihood dapat

dimanfaatkan dalam menyususn matriks informasi Fisher (atau matriks Hessian). Kebalikan

(invers) dari hasil matriks dikenal sebagai matriks Varians Kovarians.

Berikut adalah definisi matriks varians kovarians (atau secara sederhana disebut matriks

kovarians). Jika adalah variabel random berdistribusi identik dan independen satu

dengan yang lain dengan suatu pdf ( ), dimana mempunyai k komponen dan nilai yang

sebenarnya, maka matriks kovarians didefinisikan sebagai

[

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ]

di mana ( ) adalah kovarians dari dan dan ( ) adalah variansi dari . Matriks

kovarians ini dapat diperoleh dari matriks informasi.

Ketika ukuran sampel data meningkat, bias MLE menurun, estimator menjadi tak bias

secara asimptotis. Dengan kata lain

[ ]

Untuk mendapatkan varians dan kovarians asimptotis dari estimator, pertama susun matriks

informasi I, berkenaan likelihood sebagai suatu fungsi variabel random yang diamati dalam suatu

sampel yang diberikan.

Elemen ke ij dari matriks informasi I adalah

* ( )

+

Matriks invers, , dengan elemen ke ij ditunjukkan oleh adalah matriks varians kovarians

dari , sehingga

( ) ( )

Contoh 4.12:

Suatu sampel random mengikuti suatu distribusi normal dengan parameter dan .

Gunakan matriks informasi untuk mendapatkan estimasi variansi dari dan .

Jawab:

Logaritma dari fungsi likelihood dari distribusi normal adalah

( )

(

)

Derivatif parsial dari L terhadap dan adalah

(

)

[

( )

]

(

)

(

)

Dalam rangka menyusun matriks informasi, dari persamaan derivatif kedua dari L ditentukan

nilai harapannya, yaitu

*

+

*

+ *

+

Sehingga matriks informasi I disusun sebagai

(

) (

)

Matriks varians dan kovarians, adalah

( ( ) ( )

( ) ( )) (

)

Contoh 4.13:

Sebuah timbangan pemeriksa adalah sebuah peralatan yang memiliki tiga komponen utama:

skala, pengontrol, danalat pengalih. Khususnya dalam sistem produksi kecepatan tinggi seperti

yang ditemukan dalam industri makanan kaleng atau industri manufaktur farmasi, satu atau lebih

timbangan pemeriksa biasanya dipasang dalam sistem untuk memastikan bahwa bobot dari

produk berada dalam batas spesifikasi yang dapat diterima. Jika produk tidak memenuhi

spesifikasi, itu dialihkan jauh dari produk diterima. Alat pengalih, menjadi sistem mekanis,

merupakan komponen yang paling rentan terhadap kegagalan. Berikut waktu kegagalan (dalam

minggu) dari alat pengalih yang diamati :

14, 18, 18, 20, 21, 22, 22, 20, 17, 17, 15, 13

Anggap bahwa pengamatan mengikuti suatu distribusi normal dengan mean dan variansi .

Tentukan , dan matriks varians kovarians!

Jawab:

, dan diperoleh sebagai berikut:

( )

Matriks varians dan kovarians adalah

(

) (

)

Jadi variansi adalah 0,700 dan variansi dari adalah 0,350.