rangkuman matematika peminatan kelas 10 semester 1...

Rangkuman Matematika Peminatan Kelas 10 Semester 1(2019/2020)

Wildan Bagus WicaksonoX MIPA 8

@wildanwicaksono 27

Daftar Isi

Daftar Isi i

1 Eksponensial 11.1 Sifat-sifat Eksponensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Pangkat Bulat Positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Pangkat 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Pangkat Bulat Negatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Grafik Fungsi Eksponensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Pengertian Fungsi Eksponensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Bentuk Umum Fungsi Eksponensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Grafik Fungsi Eksponensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.4 Menggambar Grafik Eksponensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Persamaan Eksponensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Pertidaksamaan Eksponensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Logaritma 252.1 Sifat-Sifat Logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Grafik Fungsi Logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1 Grafik Fungsi Logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.2 Bentuk Umum Fungsi Logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.3 Menggambar Grafik Fungsi Logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.4 Hubungan Grafik Eksponensial dan Grafik Logaritma . . . . . . . . . . . 32

2.3 Persamaan Logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4 Pertidaksamaan Logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Kunci Jawaban 353.1 Eksponensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Bibliografi 37

ii Wildan Bagus Wicaksono

1Eksponensial

1.1 Sifat-sifat Eksponensial

Gambar 1.1: Bakteri

Perhatikan gambar di samping. Gambar di samping merupak-an bakteri. Bakteri tersebut berkembang biak dengan mem-belah diri. Bakteri-bakteri tersebut membelah menjadi duadalam periode tertentu. Misalkan terdapat 3 bakteri. Bakte-ri tersebut membelah menjadi dua setiap 10 menit. Berapabanyak bakteri setelah 1 jam (60 menit)? Perhatikan Tabel1.1.

Menit ke- Periode ke- Banyak Bakteri0 0 3 = 310 1 2× 3 = 2× 320 2 2× 2× 3 = 22 × 330 3 2× 2× 2× 3 = 23 × 3

Tabel 1.1: Perkembangan bakteri

Dilihat dari pola perkembangan pada Tabel 1.1, banyak bakteri setelah 1 jam (60 menit)atau periode ke-6 yaitu

2× 2× 2× 2× 2× 2× 3 = 26 × 3

1.1.1 Pangkat Bulat Positif

Jika a ∈ bilangan real dan n ∈ bilangan bulat positif, maka an (dibaca a pangkat n)didefinisikan sebagai perkalian berulang a sebanyak n kali (n faktor).

an = a× a× a× a× · · · × a︸︷︷︸sebanyak n faktor

Keterangan:

an = bilangan berpangkat

a = bilangan pokok

n = bilangan pangkat (eksponen)

1

1.1. SIFAT-SIFAT EKSPONENSIAL BAB 1. EKSPONENSIAL

Adapun contohnya adalah sebagai berikut,(−1

3

)4

=

(−1

3

)×(−1

3

)×(−1

3

)×(−1

3

)︸︷︷︸

sebanyak 4 faktor

46 = 4× 4× 4× 4× 4× 4︸︷︷︸sebanyak 6 faktor

1.1.2 Pangkat 0

Jika a ∈ bilangan real dan a 6= 0, berlaku a0 = 1.

Adapun contohnya adalah sebagai berikut,

(−4)0 = 1 dan

(3

4

)0

= 1

1.1.3 Pangkat Bulat Negatif

Jika a ∈ bilangan real, a 6= 0 dan n ∈ bilangan bulat positif, berlaku a−n =1

an.

Adapun contohnya adalah sebagai berikut,(−1

3

)−4

=1(−1

3

)4 =1(

−13

)×(−1

3

)×(−1

3

)×(−1

3

) =1181

= 81

4−6 =1

46=

1

4× 4× 4× 4× 4=

1

4096

1.1.4 Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat

Jika a, b, p, q ∈ bilangan real, berlaku sifat-sifat berikut.

(i). ap × aq = ap+q

(ii). ap : aq = ap−q dengan a 6= 0

(iii). a−p =1

apdengan a 6= 0

(iv).(ap)q

= ap×q

(v). (ab)p = ap × bp

(vi).(ab

)p=

ap

bpdengan b 6= 0

(vii). p√a = a

1p dengan p 6= 0

(viii). p√aq = a

pq dengan p 6= 0

2 Wildan Bagus Wicaksono

BAB 1. EKSPONENSIAL 1.1. SIFAT-SIFAT EKSPONENSIAL

Contoh 1.1. Tentukan hasil dari

(a). 22 × 24 × 21

(b). 55 : 53

(c).

(2

3

)4

(d).(32)5

(a). Berdasarkan sifat (i), diperoleh

22 × 24 × 21 = 22+4+1 = 27 = 128

(b). Berdasarkan sifat (ii), diperoleh

55 : 53 = 55−3 = 52 = 25

(c). Berdasarkan sifat (vi), diperoleh (2

3

)4

=24

34=

16

81

(d). Berdasarkan sifat (iv), diperoleh (32)5

= 32×5 = 310

Contoh 1.2. Nyatakan dalam bentuk pangkat positif.

(a). 2−10,

(b). 5−3a2b−3

(c).a−1q5

4−2r−3

(a). Berdasarkan sifat (iii), diperoleh

2−10 =1

210

(b). Berdasarkan sifat (iii), diperoleh

5−3a2b−3 =1

53× a2 × 1

b3=

a2

125b3

(c). Berdasarkan sifat (iii), diperoleh

a−1q5

4−2r−3=

1a× q5

142× 1

r3

=q5

a1

16r3

=16r3q5

a

Wildan Bagus Wicaksono 3


Contoh 1.3. Sederhanakan bentuk berikut dan tuliskan dalam bentuk pangkat positif.

(a).a3

2b× b4

a2× 2−2

b

(b).3sr2 × 4s2r3

8s3r2

(a). Jadikan dalam satu kelompok.

a3

2b× b4

a2× 2−2

b=

a3 × b4 × 2−2

2b1 × a2 × b1

=a3

a2× b4

b1 × b1× 2−2

21Sifat (i) dan (ii)

= a3−2 × b4

b1+1× 2−2−1

= a1 × b4−2 × 2−3

a3

2b× b4

a2× 2−2

b=

ab2

8

(b). Dengan cara yang sama,

3sr2 × 4s2r3

8s3r2= (3× 4)× s× s2

s3× r2 × r3

r2Sifat (i) dan (ii)

= 12× s1+2−3 × r2+3−2

= 12× s0 × r3 Bilangan berpangkat nol bernilai 1

= 12× 1× r3

3sr2 × 4s2r3

8s3r2= 12r3

Contoh 1.4. Tentukan nilai perpangkatan berikut.

(a). 34323

(b). 1612 − 27

13

(c).16

12 + 27

13

12523 − 81

34

(d). 103 × 52 : 25

(e).6912 − 6911 − 136

611 − 2

(a). Perhatikan bahwa 343 = 73.

34323 =

(73) 2

3 Sifat (iv)

= 73× 23

= 72

34323 = 49


BAB 1. EKSPONENSIAL 1.1. SIFAT-SIFAT EKSPONENSIAL

(b). Perhatikan bahwa 16 = 42 dan 27 = 33.

1612 − 27

13 =

(42) 1

2 −(33) 1

3 Sifat (iv)

= 42× 12 − 33× 1

3

= 41 − 31

= 4− 3

1612 − 27

13 = 1

(c). Perhatikan bahwa 16 = 42; 27 = 33; 125 = 53; dan 81 = 34.

1612 + 27

13

12523 − 81

34

=

(42) 1

2 +(33) 1

3(53) 2

3 −(34) 3

4

Sifat (iv)

=42× 1

2 + 33× 13

53× 23 − 3

34

=4 + 3

25− 27

=7

−2

1612 + 27

13

12523 − 81

34

= −7

2

(d). Perhatikan bahwa 10 = 2× 5.

103 × 52 : 25 = (2× 5)3 × 52 : 25 Sifat (v)

= 23 × 53 × 52 : 25

=(23 : 25

)×(53 × 52

)= 23−5 × 53+2

= 2−2 × 55 Sifat (iii)

=1

22× 55

103 × 52 : 25 =55

22

(e). Berdasarkan sifat (i),

6912 = 6911+1 = 6911 × 691 = 6911 × 69

Maka kita peroleh

6912 − 6911 − 136

6911 − 2=

6911 × 69− 6911 × 1− 136

611 − 2

=6911(69− 1)− 68× 2

611 − 2

=611 × 68− 68× 2

611 − 2

=68(611 − 2

)611 − 2

6912 − 6911 − 136

6911 − 2= 68



Latihan 1

1. Tuliskan dalam bentuk perpangkatan dari operasi berikut.

(a) 21 × 22 × 23 × 24

(b) 510 : 58

(c)

(3

4

)4

(d)(42)3

(e) 24 × 29 : 27

(f)

(2

3

)7

:

(2

3

)5

× 2

3

(g) 56 × 52 :(52)3

(h)32 × 35 × 3−6

32

2. Sederhanakan bentuk berikut dan tuliskan dalam bentuk pangkat positif.

(a)x2

y× zy2

x3:z

y

(b)

(xy2z

)3x2yz4

(c)

(3a−2b3c4

15a3b−5c−2

)−2

(d)12x4y−2z

3−1yz−3

(e)

(24xy−5

35y2

)−1(22x−2y−1

3x−1y

)2

(f)ab−1 − a−1b

a−1 + b−1

3. Tentukan nilai dari bentuk berikut.

(a)16

14 − 1

6412 − 49

12

(b)512

23 + 27

43

12513

(c)22 × 35

182+

123 × 3−2

24 × 3

(d)32019 − 32018 + 2

32018 + 1

4. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 6561 cm. Bola memantul kembali dengan keting-

gian2

3kali dari ketinggian sebelumnya. Tentukan ketinggian bola setelah

(a) memantul sebanyak 2 kali,


BAB 1. EKSPONENSIAL 1.2. GRAFIK FUNGSI EKSPONENSIAL

(b) memantul sebanyak 5 kali,

(c) memantul sebanyak 9 kali,

(d) memantul sebanyak n kali.

1.2 Grafik Fungsi Eksponensial

Perhatikan pada Tabel 1.1∗. Misalkan mula-mula terdapat bakteri sebanyak x, sedangkanbakteri setelah periode ke-n sebanyak f(n). Hubungan antara n dengan f(x) dapat dinyatakandengan

f(n) = x× 2n

Fungsi ini dapat ditampilkan dalam bentuk grafik pada bidang koordinat kartesius. Bagai-mana cara menggambar grafiknya? Seperti apa bentuk grafik fungsi eksponensial? Berikutpenjelesannya.

1.2.1 Pengertian Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial merupakan fungsi yang memetakan setiap x ∈ bilangan real ke f(x) =ax, dengan a > 0 dan a 6= 1.

1.2.2 Bentuk Umum Fungsi Eksponensial

Bentuk umum fungsi eksponensial yaitu y = f(x) = kax atau f : x→ kax.x disebut peubah (variabel) bebas dengan daerah asal (domain) Df = {x | −∞ < x <

∞, x ∈ R}.a disebut bilangan pokok (basis) dengan syarat a > 0 dan a 6= 1 (0 < a < 1 atau

a > 1).y disebut variabel tak bebas dengan daerah hasil (range) Rf = {y | 0 < y <∞}.k disebut konstanta.

R menyatakan himpunan semua bilangan real.

1.2.3 Grafik Fungsi Eksponensial

Perhatikan grafik fungsi eksponensial di bawah.

x

y

kf(x) = kax

g(x) = k

(1

a

)x

Gambar 1.2: Grafik f(x) = kax dan g(x) = k

(1

a

)x

dengan a > 1

Dari grafik tersebut, dapat diperoleh beberapa kesimpulan.

∗Halaman 1


1.2. GRAFIK FUNGSI EKSPONENSIAL BAB 1. EKSPONENSIAL

1. Grafik f(x) = kax dan g(x) = k

(1

a

)x

simetris terhadap sumbu-y.

2. Grafik g(x) merupakan hasil pencerminan grafik f(x) terhadap sumbu-y, begitu pulasebaliknya.

3. Grafik f(x) dan g(x) memotong sumbu-y di titik (0, k).

4. Sumbu-x merupakan asimtot, yaitu garis yang didekati grafik fungsi, tetapi tidaksampai berpotongan dengan fungsi tersebut.

5. Grafik fungsi f(x) = kax merupakan fungsi monoton naik karena untuk setiap x1 < x2

berlaku f(x1) < f(x2).

6. Grafik fungsi g(x) = k

(1

a

)x

merupakan fungsi monoton turun karena untuk setiap

x1 < x2 maka g(x1) > g(x2).

1.2.4 Menggambar Grafik Eksponensial

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi eksponensial adalah sebagai berikut.

1. Buatlah tabel titik bantu berupa nilai-nilai x dan y, yaitu dengan memiliki beberapa nilaix sehingga nilai y mudah ditentukan.

2. Gambarlah titik-titik tersebut pada bidang koordinat.

3. Hubungkan titik-titik yang dilalui dengan kurva.

Perhatikan pada Tabel 1.1. Banyak bakteri mula-mula adalah 3 dan setiap bakteri membelahmenjadi dua dalam setiap periode. Maka rumus fungsi eksponensialnya adalah

f(x) = 3× 2x

Disini, kita dapatkan k = 3 dan a = 2. Karena a > 1, maka f(x) merupakan fungsi monotonnaik (lihat Gambar 1.2 grafik f(x) = kax). Untuk mencari titik potong f(x) dengan sumbu-y,subtitusikan x = 0 (karena titik potong terhadap sumbu-y adalah (0, y)). Maka

y = f(0) = 3× 20 = 3× 1 = 3

Demikian titik potongnya adalah (0, 3).

x −2 −1 0 1

y = 3× 2x 3

4

3

23 6

(x, y)

(−2,

3

4

) (−1,

3

2

)(0, 3) (1, 6)

Tabel 1.2: Hubungan x dan f(x)

Setelah itu, buat titik-titik (x, y) pada bidang koordinat kartesius. Lalu, hubugnkan titik-titik tersebut membentuk kurva seperti pada Gambar 1.2.



x

y

3

y = f(x) = 3× 2x

1

6

−1

3/2

−2

3/4

Gambar 1.3: Grafik y = f(x) = 3× 2x

Tinjau Gambar 1.3. Bagaimana kalau grafik tersebut digeser ke kanan, ke kiri, ke atas, atauke bawah? Perhatikan Gambar 1.4 berikut.

x

y

3

6

3/2

y = f(x) = 3× 2x

y = f1(x) = 3× 2x+1

y = f2(x) = 3× 2x−1

Gambar 1.4: Pergeseran ke kanan atau ke kiri dari grafik y = f(x) = 3× 2x

Grafik f1(x) merupakan hasil penggeseran 1 satuan ke kiri dan grafik f2(x) merupakan hasilpenggeseran 1 satuan ke kanan. Jika kita perumum, misalkan fungsi eksponensial f(x) = kax.

Diberikan f(x) = kax.

(a). Jika grafik f(x) digeser c satuan ke kiri menghasilkan g(x), maka

g(x) = kax+c



(b). Jika grafik f(x) digeser c satuan ke kanan menghasilkan g(x), maka

g(x) = kax−c

Bagaimana kalau grafik f(x) tersebut digeser ke atas atau ke bawah? Perhatikan Gambar 1.5berikut.

Grafik f1(x) merupakan hasil pergeseran f(x) ke atas sejauh 1 satuan dan grafik f2(x)merupakan hasil pergeseran f(x) ke bawah sejauh 1 satuan. Asimtot dari f(x) adalah sumbu-xatau garis y = 0, asimtot dari f1(x) adalah garis y = 1, dan asimtot dari f2(x) garis y = −1.Jika kita perumum, misalkan fungsi eksponensial f(x) = kax.

x

y

3

2

4

y = f(x) = 3× 2x

y = f1(x) = 3× 2x + 1

y = f2(x) = 3× 2x − 1

−1

1

Gambar 1.5: Pergeseran grafik ke atas atau ke bawah dari grafik y = f(x) = 3× 2x

Diberikan f(x) = kax.

(a). Jika grafik f(x) digeser c satuan ke atas menghasilkan g(x), maka

g(x) = kax + c

Grafik g(x) memiliki asimtot garis y = c.

(b). Jika grafik f(x) digeser c satuan ke bawah menghasilkan g(x), maka

g(x) = kax − c

Grafik g(x) memiliki asimtot garis y = −c.

Contoh 1.5. Tentukan titik potong grafik f(x) = 6x+1 + 61−x terhadap sumbu-y.

Titik potong terhadap sumbu-y berbentuk (0, y). Demikian haruslah x = 0. Maka

y = f(0) = 60+1 + 61−0 = 61 + 61 = 12

Jadi, titik potong terhadap sumbu-y adalah (0, 12) .



Contoh 1.6. Grafik fungsi f(x) = k × 2x melalui titik (2, 4).

(a). Tentukan nilai k.

(b). Gambarkan grafik f(x).

(c). Jika grafik f(x) digeser sejauh 2 satuan ke atas dan digeser ke kanan sejauh 3 satuanmenghasilkan g(x), tentukan rumus g(x).

(d). Gambarkan grafik g(x).

(e). Deskripsikan grafik dari g(x).

(a). Karena y = f(x) melalui titik (2, 4), haruslah 4 = f(2). Maka

4 = k × 22 = k × 4 = 4k

yang berarti k =4

4= 1. Jadi, nilai k adalah 1 .

(b). Kita peroleh bahwa f(x) = 2x.

x −1 0 1 2

y = 2x 1

21 2 4

(x, y)

(−1,

1

2

)(0, 1) (1, 2) (2, 4)

Tabel 1.3: Hubungan nilai x dan y pada f(x) = 2x

Buat titik-titik (x, y) pada bidang koordinat kartesius, lalu hubungkan titik tersebutmermbentuk kurva. Karena a > 1, maka f(x) monoton naik. Bentuk grafiknya sepertipada Gambar 1.3.

x

y

1

y = f(x) = 2x

2

4

−1

1/2

1

2

Gambar 1.6: Grafik y = f(x) = 2x

(c). Karena f(x) digeser 2 satuan ke atas, maka menghasilkan

f1(x) = 2x + 2



Karena f1(x) digeser ke kanan sejauh 3 satuan, maka menghasilkan

g(x) = 2x−3 + 2

Jadi, rumus g(x) adalah g(x) = 2x−3 + 2 .

(d). Kita dapat menggesernya langsung. Untuk lebih pastinya, kita dapat mensubtitusikannyaseperti pada Tabel 1.3.

x 0 3 4 5

y = 2x−3 + 217

83 4 6

(x, y)

(0,

17

8

)(3, 3) (4, 4) (5, 6)

Tabel 1.4: Hubungan nilai x dan y pada g(x) = 2x−3 + 2

Buat titik-titik (x, y) pada bidang koordinat kartesius dan hubungan membentuk kurva.Karena a > 1, maka g(x) monoton naik.

x

y

1

17/8

y = g(x) = 2x−3 + 2

3

3

4

4

5

6

y = f(x) = 2x

y = f(x) = 2x + 2

1

Gambar 1.7: Grafik y = g(x) = 2x−3 + 2

Deskripsi dari grafik g(x):

(i) Grafik g(x) merupakan fungsi monoton naik.

(ii) Grafik g(x) memotong sumbu-y di titik

(0,

17

8

).

(iii) Grafik g(x) memiliki asimtot garis y = 2.

(iv) Grafik g(x) merupakan hasil pergeseran 2 satuan ke atas dan 3 satuan ke kanan darigrafik f(x).



Pada bagian awal, telah dijelaskan bahwa f(x) = kax merupakan hasil pencerminan sumbu-y

dari grafik g(x) = k

(1

a

)x

. Lalu, bagaimana dengan terhadap sumbu-x? Perhatikan Gambar

1.6∗. Perhatikan Gambar 1.8 berikut. Kita cerminkan f(x) = 2x terhadap sumbu-x dansumbu-y.

x

y

−1

1

y = f(x) = 2x

y =

(1

2

)x

y = −(

1

2

)xy = −2x

Gambar 1.8: Pencerminan grafik y = f(x) = 2x terhadap sumbu-x dan sumbu-y

Diberikan f(x) = kax + c dimana c adalah kostanta.

(a). Jika f(x) dicerminkan terhadap sumbu-y, maka akan menghasilkan

g(x) = k

(1

a

)x

+ c

(b). Jika f(x) dicerminkan terhadap sumbu-x, maka akan menghasilkan

g(x) = −kax + c

(c). Jika k > 0, maka f(x) terletak diatas sumbu-x.

(d). Jika k < 0, maka f(x) terletak dibawah sumbu-x.

Contoh 1.7. Diberikan f(x) = 2x + 1.

(a). Tentukan rumus g(x) dimana g(x) merupakan hasil pencerminan f(x) terhadapsumbu-x.

(b). Tentukan rumus h(x) dimana h(x) merupakan hasil pencerminan f(x) terhadapsumbu-y.

(c). Tentukan rumus j(x) dimana j(x) merupakan hasil pencerminan f(x) terhadap sumbu-

∗Halaman 11



x lalu dicerminkan lagi terhadap sumbu-y.

(a). Hasil pencerminan f(x) = 2x + 1 terhadap sumbu-x adalah

g(x) = −2x + 1

(b). Hasil pencerminan f(x) = 2x + 1 terhadap sumbu-y adalah

h(x) =

(1

2

)x

+ 1

(c). Jika f(x) dicerminkan terhadap sumbu-x, diperoleh

f1(x) = −2x + 1

Lalu f1(x) dicerminkan terhadap sumbu-y, diperoleh

j(x) = −(

1

2

)x

+ 1

Contoh 1.8. Tentukan persamaan grafik eksponensial pada gambar di bawah.

x

y

1/3

f(x) = 3ax+b

3

1

Pada grafik tersebut, terlihat bahwa grafik f(x) = 3ax+b melalui titik

(0,

1

3

)dan (1, 3).

• Karena melalui

(0,

1

3

), maka f(0) =

1

3.

1

3= 3a×0+b = 3b

Padahal1

3= 3−1. Maka

3−1 = 3b ⇐⇒ b = −1



• Karena melalui (1, 3), maka f(1) = 3.

3 = 3a×1+b = 3a+b

Padahal 3 = 31. Maka31 = 3a+b ⇐⇒ a + b = 1

Kita peroleh b = −1 dan a + b = 1. Maka

a + (−1) = 1

a− 1 = 1

a = 1 + 1

a = 2

Kita peroleh f(x) = 32x−1. Jadi, persamaan grafik eksponensial yang memenuhi adalah

y = 32x−1 .

Latihan 2

1. Deskripsikan (simpulkan) grafik dari y = 3x dan y =

(1

2

)x

.

2. Gambarkan grafik f(x) dimana

(a) f(x) = 3x

(b) f(x) = 2x+1

(c) f(x) = 2×(

1

3

)x

(d) f(x) = 3×(

1

3

)x+1

3. Diberikan grafik f(x) = 2x.

(a) Jika grafik f(x) digeser ke kiri sejauh 2 satuan menghasilkan a(x), tentukan rumusa(x).

(b) Jika grafik f(x) digeser ke kanan sejauh 3 satuan dan ke bawah sejauh 2 satuanmenghasilkan b(x), tentukan rumus b(x).

(c) Jika grafik f(x) dicerminkan terhadap sumbu-x menghasilkan c(x), tentukan rumusc(x).

(d) Jika grafik f(x) dicerminkan terhadap sumbu-y, lalu digeser ke kanan sejauh 2 sa-tuan, lalu dicerminkan terhadap sumbu-x menghasilkan d(x), tentukan rumus d(x).

(e) Gambarkan grafik d(x).

4. Tentukan rumus f(x) jika

(a) Digeser ke kanan 2 satuan menghasilkan g(x) = 4x.

(b) Digeser ke atas 4 satuan ke bawah menghasilkan g(x) = 4× 3x − 1.

(c) Dicerminkan terhadap sumbu-x menghasilkan g(x) = −(

2

3

)x+2

+ 5.


1.3. PERSAMAAN EKSPONENSIAL BAB 1. EKSPONENSIAL

(d) Dicerminkan terhadap sumbu-x, lalu dicerminkan terhadap sumbu-y, lalu digeser keatas sejauh 1 satuan menghasilkan g(x) = −5x + 1.

5. Tentukan persamaan grafik eksponensial berikut.

x

y

3

y = 3ax+b

1

1

Gambar 1.9: Solve for a and b

6. Perhatikan Gambar 1.10.

Diberikan grafik eksponensial f(x).Grafik f(x) digeser ke kanan sejauh2 satuan lalu dicerminkan terhadapsumbu-y. Tentukan rumus f(x) jikagrafik g(x) seperti pada Gambar 1.10.

x

y

2

g(x) = 2ax+b

1

8

Gambar 1.10: Grafik g(x)

1.3 Persamaan Eksponensial

Persamaan eksponensial adalah persamaan bentuk eksponensial yang memuat variabel. Va-riabel tersebut dapat terletak pada eksponen atau bilangan pokoknya. Persamaan eksponensialmempunyao beberapa bentuk persamaan dan penyelesaian. Berikut bentuk-bentuk persamaaneksponensial.

(i). Jika af(x) = am dengan a > 0 dan a 6= 1 maka f(x) = m.

(ii). Jika af(x) = ag(x) dengan a > 0 dan a 6= 1 maka f(x) = g(x).

(iii). Jika af(x) = bf(x) dengan a, b > 0 dan a 6= b 6= 1, maka f(x) = 0.

(iv). Jika af(x) = bg(x) dengan a, b > 0 dan a 6= b 6= 1, maka f(x) = g(x) = 0.

(v). Jika h(x)f(x) = h(x)g(x), penyelesaiannya sebagai berikut.

(a) f(x) = g(x)


BAB 1. EKSPONENSIAL 1.3. PERSAMAAN EKSPONENSIAL

(b) h(x) = 1

(c) h(x) = 0, dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya positif.

(d) h(x) = −1 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil.

(vi). f(x)h(x) = g(x)h(x), penyelesaiannya sebagai berikut.

(a) f(x) = g(x)

(b) f(x) = −g(x) dengan syarat h(x) genap.

(c) h(x) = 0 dengan syarat f(x) 6= 0 dan g(x) 6= 0.

(vii). Dengan a > 0, a 6= 1, A 6= 0, dan A,B,C ∈ R:

A(af(x)

)2+ B

(af(x)

)+ C = 0

Untuk menyelesaikan bentuk persamaan ini digunakan pemisalan y = af(x) sehinggadiperoleh

Ay2 + By + C = 0

Setelah nilai y diperoleh, subtitusikan kembali pada pemisalan y = af(x) sehinggadiperoleh nilai x.

Trik 1. Jika a > 1, tanda pertidaksamaan tidak berubah. Sebagai contoh, jika af(x) >ag(x), maka tandanya tidak berubah, yaitu menjadi f(x) > g(x).Jika 0 < a < 1, tanda pertidaksamaan berubah menjadi kebalikannya. Sebagai contoh,jika af(x) < ag(x), maka tandanya berubah menjadi f(x) > g(x).

Contoh 1.9. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut ini.

(a). 3x−7 =1

27

(b). 2x2+3x+4 = 4−x−1

(c). 3x2−5x−4 = 5x2−5x−4

(d). 2x2−2x−3 = 3x2+4x+3

(a). Perhatikan bahwa1

27= 3−3. Maka

3x−7 = 3−3 Sifat (i)

⇔ x− 7 = −3

x = −3 + 7

x = 4



(b). Perhatikan bahwa 4 = 22. Maka

2x2+3x+4 = 4−x−1

=(22)−x−1

2x2+3x+4 = 2−2x−2 Sifat (ii)

⇔ x2 + 3x + 4 = −2x− 2

x2 + 3x + 4 + 2x + 2 = 0

x2 + 5x + 6 = 0

(x + 2)(x + 3) = 0

x = −2 atau x = −3

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = −2 atau x = −3 .

(c). Karena 3x2−5x−4 = 5x2−5x−4, berdasarkan sifat (iii), maka

x2 − 5x− 4 = 0

(x− 1)(x− 4) = 0

x = 1 atau x = 4

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 1 atau x = 4 .

(d). Karena 2x2−2x−3 = 3x2+4x+3, menurut sifat (iv), maka x2 − 2x− 3 = x2 + 4x + 3 = 0.

x2 − 2x− 3 = 0

(x− 3)(x + 1) = 0

x = 3 atau x = −1

x2 + 4x + 3 = 0

(x + 1)(x + 3) = 0

x = −1 atau x = −3

Dapat dilihat bahwa x = −1 yang memenuhi bahwa x2− 2x− 3 = x2 + 4x+ 3 = 0. Jadi,nilai x yang memenuhi adalah x = −1 .

Contoh 1.10. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponensial berikut.

(a). (x + 1)2x−1 = (x + 1)x+3

(b). (x− 1)x+1 = (2x− 3)x+1

(a). Bentuk h(x)f(x) = h(x)g(x).

Diperoleh h(x) = x+1, f(x) = 2x−1, dan g(x) = x+3. Penyelesaiannya sebagai berikut.

• Untuk f(x) = g(x),

f(x) = g(x)

2x− 1 = x + 3

2x− x = 3 + 1

x = 4



• Untuk h(x) = 1,

h(x) = 1

x + 1 = 1

x = 0

• Untuk h(x) = 0,

x + 1 = 0

x = −1

Cek bahwa f(x) dan g(x) keduanya harus positif.

f(−1) = 2x− 1 = 2(−1)− 1 = −2− 1 = −3 (Tidak memenuhi)

Jadi, untuk x = −1 bukan solusi.

• Untuk h(x) = −1,

h(x) = −1

x + 1 = −1

x = −2

Cek bahwa f(x) dan g(x) keduanya harus genap atau keduanya harus ganjil.

f(−2) = 2(−2)− 1 = −4− 1 = −5

g(−2) = (−2) + 3 = −1

Karena f(−2) dan g(−2) keduanya bilangan ganjil, maka x = −2 merupakan solusi.

Jadi, himpunan penyelesaiainnya adalah {−2, 0, 4} .

(b). Bentuk f(x)h(x) = g(x)h(x).

Diperoleh f(x) = x− 1, g(x) = 2x− 3, dan h(x) = x + 1.

• Untuk f(x) = g(x),

x− 1 = 2x− 3

−1 + 3 = 2x− x

2 = x

• Untuk f(x) = −g(x),

x− 1 = −(2x− 3)

x− 1 = −2x + 3

x + 2x = 3 + 1

3x = 4

x =4

3

Cek bahwa h(x) haruslah genap.

h

(4

3

)=

4

3+ 1 =

7

3

Karena h

(4

3

)tidak genap, maka x =

4

3bukan solusi.



• Untuk h(x) = 0,

x + 1 = 0

x = −1

Cek bahwa haruslah f(x) 6= 0 dan g(x) 6= 0.

f(−1) = −1− 1 = −2

g(−1) = 2x− 3 = 2(−1)− 3 = −2− 3 = −5

Karena f(x) dan g(x) keduanya tidak sama dengan 0, maka x = −1 merupakansolusi.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {−1, 2} .

Contoh 1.11. Tentukan himpunan penyelesaian dari

(a). 32x − 4× 3x + 3 = 0

(b). 3x+2 + 9x+1 − 810 = 0

(c). 25x − 6× 5x + 5 = 0

(a). Perhatikan bahwa 32x =(3x)2

. Maka

32x − 4× 3x + 3 =(3x)2 − 4× 3x + 3 = 0

Misalkan y = 3x. Diperoleh

y2 − 4y + 3 = 0

(y − 1)(y − 3) = 0

y = 1 atau y = 3

Subtitusikan kembali.

• Untuk y = 1, maka 3x = 1 yang berarti 3x = 30 ⇐⇒ x = 0.


Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0, 1} .

(b). Perhatikan bahwa

9x+1 = 9x × 91 = 9× 9x = 9×(3x)2

3x+2 = 3x × 32 = 9× 3x

Demikian kita peroleh

3x+2 + 9x+1 − 810 = 9× 3x + 9×(3x)2 − 810 = 0



Misalkan 3x = y. Diperoleh

9y + 9y2 − 810 = 0 Bagi kedua ruas dengan 9

y + y2 − 90 = 0

y2 + y − 90 = 0

(y + 10)(y − 9) = 0

y = −10 atau y = 9

Tinjau bahwa y = 3x > 0. Maka untuk y = −10 tidak mungkin.

Untuk y = 9, maka 3x = 9 yang berarti 3x = 32 ⇐⇒ x = 2.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2} .

(c). Perhatikan bahwa 25x =(52)x

=(5x)2

. Maka

25x − 6× 5x + 5 =(5x)2 − 6× 5x + 5 = 0

Misalkan y = 5x. Diperoleh

y2 − 6y + 5 = 0

(y − 1)(y − 5) = 0

y = 1 atau y = 5

Subtitusikan kembali.



Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0, 1} .

Latihan 3

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut.

(a) 22x+1 = 128

(b) 8x−1 =1

2

(c) 2x2+4x+4 = 16

(d) 3x2−2x−1 =1

9

(e) 4x2+6x+8 = 7x2+6x+8

(f) 2x2+3x+2 = 5x2−3x−4

(g) 2019x2+2x+1 = 1

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari

(a) (x− 2)x+2 = (x− 2)x+1

(b) (x + 1)x2−2x = (x + 1)x+4

(c)(x2 − 2x− 3

)x=

1(x2 − 2x− 3

)x−2

(d) (2x− 1)x+1 = (x + 2)x+1

(e) (x− 1)x2−4 = (2x + 1)x

2−4

3.


1.4. PERTIDAKSAMAAN EKSPONENSIAL BAB 1. EKSPONENSIAL

1.4 Pertidaksamaan Eksponensial

1. Untuk a > 1.

(i). Jika af(x) > ag(x) maka f(x) > g(x).

(ii). Jika af(x) ≥ ag(x), maka f(x) ≥ g(x).

(iii). Jika af(x) < ag(x), maka f(x) < g(x).

(iv). Jika af(x) ≤ ag(x), maka f(x) ≤ g(x).

2. Untuk 0 < a < 1.

(i). Jika af(x) > ag(x) maka f(x) < g(x).

(ii). Jika af(x) ≥ ag(x), maka f(x) ≤ g(x).

(iii). Jika af(x) < ag(x), maka f(x) > g(x).

(iv). Jika af(x) ≤ ag(x), maka f(x) ≥ g(x).

Trik 2. Misalkan terdapat bilangan real a dan b dengan a > b.

(a). Jika (x− a)(x− b) > 0, maka x > a atau x < b.

(b). Jika (x− a)(x− b) ≥ 0, maka x ≥ a atau x ≤ b.

(c). Jika (x− a)(x− b) < 0, maka b < x < a.

(d). Jika (x− a)(x− b) ≤ 0, maka b ≤ x ≤ a.


(a). 2x+1 <1

4

(b). 9x−2 ≥ 1

27

(c).1

5x≤ 1

25

(a). Perhatikan bahwa1

4=

1

22= 2−2. Diperoleh

2x+1 < 2−2 a = 2 > 1 =⇒ Sifat 1(iii)

⇔ x + 1 < −2

x < −3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x < −3, x ∈ R}.


BAB 1. EKSPONENSIAL 1.4. PERTIDAKSAMAAN EKSPONENSIAL

(b). Perhatikan bahwa1

27= 3−3 dan 9x−2 =

(32)x−2

= 32x−4. Diperoleh

9x−2 ≥ 1

2732x−4 ≥ 3−3 a = 3 > 1 =⇒ Sifat 1(ii)

⇔ 2x− 4 ≥ −3

2x ≥ −3 + 4

2x ≥ 1

x ≥ 1

2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

{x | x ≥ 1

2, x ∈ R

}.

(c). Perhatikan bahwa1

25=

1

52. Diperoleh

1

5x≤ 1

52a =

1

5< 1 =⇒ Sifat 2(iv)

⇔ x ≥ 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x ≥ 2, x ∈ R} .


(a). 22x − 6× 2x + 8 ≤ 0

(b). 32x − 4× 3x + 3 > 0

(c). 36x − 42× 6x + 216 ≥ 0

(d). 4x −×2x+1 − 8 < 0

(e). 16x + 4x − 2 ≥ 0

(a). Perhatikan bahwa 22x =(2x)2

. Misalkan y = 2x. Maka

y2 − 6y + 8 ≤ 0

(y − 2)(y − 4) ≤ 0

2 ≤ y ≤ 4 y = 2x

21 ≤ 2x ≤ 22

1 ≤ x ≤ 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | 1 ≤ x ≤ 2, x ∈ R} .

(b). Perhatikan bahwa 32x =(3x)2


y2 − 4y + 3 > 0

(y − 1)(y − 3) > 0

y < 1 atau y > 3 y = 3x

3x < 1 atau 3x > 3

3x < 30 atau 3x > 31

x < 0 atau x > 1


1.4. PERTIDAKSAMAAN EKSPONENSIAL BAB 1. EKSPONENSIAL

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x < 0 atau x > 1, x ∈ R} .

(c). Perhatikan bahwa 36x =(62)x

=(6x)2


y2 − 42y + 216 ≥ 0

(y − 6)(y − 36) ≥ 0

y < 6 atau y > 36 y = 6x

6x < 61 atau 6x > 62

x < 1 atau x > 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x < 1 atau x > 2, x ∈ R} .

(d). Perhatikan bahwa 4x =(22)x

=(2x)2

dan 2x+1 = 2× 2x. Misalkan y = 2x. Maka

y2 − 2y − 8 < 0

(y − 4)(y + 2) < 0

−2 < y < 4 y = 2x

−2 < 2x < 4

Ingat bahwa bentuk pangkat dari suatu bilangan positif selalu bernilai positif. Maka2x > 0. Maka kita tinggal perlu meninjau bahwa 2x < 4.

2x < 22 ⇐⇒ x < 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x < 2, x ∈ R} .

(e). Perhatikan bahwa 16x =(42)x

=(4x)2


y2 + y − 2 ≥ 0

(y + 2)(y − 1) ≥ 0

y < −2 atau y > 1 y = 4x

4x < −2 atau 4x > 1

Karena bentuk pangkat dari suatu bilangan positif selalu bernilai positif, maka tidakmungkin 4x < −2. Maka kita tinggal meninjau 4x > 1. Karena 1 = 40,

4x > 40 ⇐⇒ x > 0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > 0, x ∈ R} .


2Logaritma

Dalam fungsi logaritma, kita perlu mencari pangkat suatu bilangan pokok untuk memperolehsuatu nilai. Fungsi logaritma sendiri merupakan invers dari fungsi eksponen.

Jika terdapat bilangan real a, b, x dengan x > 0, a 6= 1 yang memenuhi x = ab maka

b = alog x

Keterangan:

x = peubah (variabel) bebas atau numerus

a = bilangan pokok atau basis logaritma

b = peubah (variabel) tak bebas

2.1 Sifat-Sifat Logaritma

Misalkan a, b, x, dan y adalah bilangan positif, m,n ∈ R, dan a, b 6= 1, maka:

(i). alog 1 = 0

(ii). alog a = 1

(iii). alog xy = alog x + alog y

(iv). alogx

y= alog x− alog y

(v). alog xn = n× alog x

(vi). alog x =blog xblog x

(vii). alog x =1

xlog adengan x 6= 1

(viii). aalog x = x

(ix). an log x =1

n× alog x

25

2.1. SIFAT-SIFAT LOGARITMA BAB 2. LOGARITMA

(x). an log xm =m

n× alog x

(xi). log x = 10log x

Contoh 2.1. Tentukan nilai logaritma berikut.

(a). 3log 27

(b).12 log 4

(c). 3log√

27

(d). 32log 64

(e). log 125 + log 8

(f). log 2 + log 6 + log 125− log 3− log 5

(a). Tinjau 27 = 33. Maka

3log 27 = 3log 33 Sifat (v)

= 3× 3log 3 Sifat (ii)

= 3× 13log 27 = 3

(b). Tinjau1

2= 2−1 dan 4 = 22. Maka

12 log 4 = 2−1

log 22 Sifat (x)

=2

−1× 2log 2 Sifat (ii)

= (−2)× 112 log 4 = −2

(c). Tinjau√

27 = 2712 =

(33) 1

2 = 332

Maka

3log√

27 = 3log 332 Sifat (v)

=3

2× 3log 3 Sifat (ii)

3log√

27 =3

2


BAB 2. LOGARITMA 2.1. SIFAT-SIFAT LOGARITMA

(d). Tinjau 64 = 32× 2. Maka

32log 64 = 32log(32× 2) Sifat (iii)

= 32log 32 + 32log 2 Sifat (ii)

= 1 + 25 log 2 Sifat (ix)

= 1 +1

5× 2log 2 Sifat (ii)

= 1 +1

5

32log 64 =6

5

Atau kita dapat menggunakan sifat (vi) dengan b = 2.

32log 64 =2log 642log 32

=2log 26

2log 25Sifat (v)

=6× 2log 2

5× 2log 2Sifat (ii)

32log 64 =6

5

(e). Dengan sifat (iii), maka

log 125 + log 8 = log(125× 8) Sifat (xi)

= 10log 1000

= 10log 103 Sifat (v)

log 125 + log 8 = 3

(f). Dengan sifat (iii) dan sifat (iv), maka

log 2 + log 6 + log 125− log 3− log 5 = log2× 6× 125

3× 5Sifat (xi)

= 10log 100

= 10log 102 Sifat (v)

log 2 + log 6 + log 125− log 3− log 5 = 2

Contoh 2.2. Tentukan nilai dari

2log 3× 3log 4× 4log 5× 5log 6× 6log 7× 7log 8


2.1. SIFAT-SIFAT LOGARITMA BAB 2. LOGARITMA

Dengan menggunakan sifat (vi) dengan b = 10,

2log 3× 3log 4× 4log 5× 5log 6× 6log 7× 7log 8 =log 2

log 3× log 3

log 4× log 4

log 5× log 5

log 6× log 6

log 7× log 7

log 8

=log 2

log 8Sifat (vi)

= 8log 2

= 23 log 2 Sifat (ix)

2log 3× 3log 4× 4log 5× 5log 6× 6log 7× 7log 8 =1

3

Contoh 2.3. Jika 2log 3 = m dan 3log 5 = n, tentukan 4log 5.

Dengan sifat (vi) dengan b = 3, maka

4log log 5 =3log 53log 4

=n

3log 22Sifat (v)

=n

2× 3log 2Sifat (vii)

=n

2× 12log 3

=n

2× 1m

4log 5 =mn

2

Contoh 2.4. Jika 2log p + 4log q = 14, tentukan nilai p2q.

Perhatikan bahwa

2log p =2

2× 2log p

= 22 log p2

2log p = 4log p2

Demikian kita peroleh

2log p + 4log q =1

44log p24log q =

1

4Sifat (iii)

4log p2q =1

4

p2q = 414

=(22) 1

4

= 212

p2q =√

2


BAB 2. LOGARITMA 2.2. GRAFIK FUNGSI LOGARITMA

Contoh 2.5. Jika x > y > 1 dan x2 + 4y2 = 12xy, tentukan nilai log(x + 2y)2

(x− 2y)2.

log(x + 2y)2

(x− 2y)2= log

x2 + 4xy + 4y2

x2 − 4xy + 4y2x2 + 4y2 = 12xy

= log12xy + 4xy

12xy − 4xy

= log16xy

8xy

log(x + 2y)2

(x− 2y)2= log 2

2.2 Grafik Fungsi Logaritma

2.2.1 Grafik Fungsi Logaritma

x

y

1

f(x) = k × alog x

g(x) = k ×1a log x

Gambar 2.1: Grafik f(x) = k × alog x dan g(x) = k ×1a log x dengan a > 1

Dari grafik tersebut, dapat diambil beberapa kesimpulan.

1. Grafik f(x) = k × alog x dan g(x) = k × alog x simetris terhadap sumbu-x.

2. Grafik f(x) merupakan hasil pencerminan grafik g(x) terhadap sumbu-x, atau seba-liknya.

3. Grafik f(x) dan g(x) memotong sumbu-x di titik (0, 1).

4. Grafik f(x) dan g(x) memiliki asimtot sumbu-y atau garis x = 0.

5. Fungsi f(x) merupakan fungsi monoton naik karena untuk setiap x1 < x2 berlakuf(x1) < f(x2).

6. Fungsi g(x) merupakan fungsi monoton turun karena untuk setiap x1 < x2 berlakuf(x1) > f(x2).

2.2.2 Bentuk Umum Fungsi Logaritma


2.2. GRAFIK FUNGSI LOGARITMA BAB 2. LOGARITMA

Bentuk umum fungsi logaritma yaitu y = f(x) = k × alog x atau f : x→ k × alog x.x disebut peubah (variabel) bebas dengan daerah asal (domain) Df = {x | 0 < x <∞, x 6=1, x ∈ R}.a disebut bilangan pokok (basis) dengan syarat a > 0 dan a 6= 1 (0 < a < 1 atau a > 1).y disebut variabel tak bebas dengan daerah hasil (range) Rf = {y | −∞ < y <∞}.k disebut konstanta.

2.2.3 Menggambar Grafik Fungsi Logaritma

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi eksponensial adalah sebagai berikut.

1. Buatlah tabel titik bantu berupa nilai-nilai x dan y yaitu dengan memilih beberapa nilaix sehingga nilai y mudah ditentukan.

2. Gambarlah titik-titik tersebut pada bidang koordinat.

3. Hubungkan titik-titik yang dilalui dengan kurva.

Bagaimana kalau grafik f(x) digeser ke kanan, ke kiri, ke atas, atau ke bawah? Berikut penje-lasannya.

Misalkan grafik f(x) = 2log x.

x 1 2 4 8y = 2log x 0 1 2 3

(x, y) (1, 0) (2, 1) (4, 2) (8, 3)

Tabel 2.1: Hubungan nilai x dan y pada f(x) = 2log x

Buat titik-titik pada bidang koordinat. Karena a > 1, maka f(x) merupakan fungsi monotonnaik.

x

y

1

f(x) = 2log x

2

1

4

2

8

3

Gambar 2.2: Grafik f(x) = 2log x

Grafik pada Gambar 2.2 kita geser ke kanan sejauh 1 satuan atau ke kiri sejauh satuan. LihatGambar 2.3. Pada Gambar 2.3, grafik f1(x) hasil pergeseran grafik f(x) ke kiri 1 satuan dangrafik f2(x) merupakan hasil pergeseran grafik f(x) ke kanan 1 satuan.


BAB 2. LOGARITMA 2.2. GRAFIK FUNGSI LOGARITMA

x

y

1

f(x) = 2log x

f1(x) = 2log(x + 1) f2(x) = 2log(x− 1)

2

1

4

2

8

3

−1

Gambar 2.3: Pergeseran grafik f(x) = 2log x ke kanan atau ke kiri

Diberikan f(x) = alog x dengan a, x > 0 dan a 6= 1.

(a). Jika f(x) digeser ke kanan sejauh c satuan menghasilkan g(x), maka

g(x) = alog(x− c)

(b). Jika f(x) digeser ke kiri sejauh c satuan menghasilkan g(x), maka

g(x) = alog(x + c)

Bagaimana kalau f(x) digeser ke atas atau ke bawah? Perhatikan Gambar 2.4. Kita gesergrafik f(x) ke atas sejauh 1 satuan menghasilkan f1(x) dan digeser ke bawah sejauh 1 satuanmenghasilkan f2(x).

x

y

1

f(x) = 2log x

f1(x) = 2log x + 1

f2(x) = 2log x− 1

2

1

4

2

8

3

Gambar 2.4: Pergeseran grafik f(x) = 2log x ke atas atau ke bawah

Pada bagian awal, telah dijelaskan bahwa f(x) = k × alog x merupakan hasil pencermin-

an g(x) = k × 1a log x terhadap sumbu-y, atau sebaliknya. Dengan mudah, pencerminan

f(x) = 2log x terhadap sumbu-x adalah f1(x) =12 log x. Lalu bagaimana jika dicerminkan


2.3. PERSAMAAN LOGARITMA BAB 2. LOGARITMA

terhadap sumbu-y? Perhatikan Gambar 2.4. Misalkan pencerminan f(x) terhadap sumbu-ymenghasilkan f2(x).

x

y

1−1

f(x) = 2log xf2(x) = 2log−x

f3(x) = −2log−xf1(x) =

12 log x

Gambar 2.5: Pencerminan grafik f(x) = 2log x dan f1(x) =12 log x terhadap sumbu-y

2.2.4 Hubungan Grafik Eksponensial dan Grafik Logaritma

x

yy = f(x) = ax

y = x

y = alog x

Gambar 2.6: Hubungan Grafik f(x) dan g(x)Grafik f(x) = ax diperoleh dari pencerminan grafik g(x) = alog x terhadap garis y = x,atau sebaliknya.

2.3 Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan pada bentuk logaritma yang di dalamnya memuatvariabel. Variabel tersebut dapat menempati numerus atau bilangan pokok. Beberapa bentukpersamaan logaritma beserta penyelesaiannya dijelaskan pada bagian berikut.


BAB 2. LOGARITMA 2.3. PERSAMAAN LOGARITMA

(i). Jika alog f(x) = alog p dengan a > 0 dan a 6= 1, maka f(x) = p dengan syaratf(x) > 0.

(ii). Jika alog f(x) = alog g(x) dengan a > 0 dan a 6= 1, maka f(x) = g(x) dengan syaratf(x) > 0 dan g(x) > 0.

(iii). Jika alog f(x) = blog f(x) dengan a > 0, a 6= 1, b > 0, b 6= 1, dan a 6= b, makaf(x) = 1.

(iv). Jika h(x)log f(x) = h(x)log g(x), maka f(x) = g(x) dengan syarat h(x) > 0, h(x) 6=1, f(x) > 0, dan g(x) > 0.

(v). Jika f(x)log h(x) = g(x)log h(x), maka f(x) = g(x) dengan syarat f(x) > 0, f(x) 6=1, g(x) > 0, g(x) 6= 1, dan h(x) > 0.

(vi). Untuk A(alog x

)2+ B

(alog x

)+ C = 0 dengan A,B,C ∈ R, A 6= 0, a > 0, a 6= 1, x >

0. Untuk menyelesaikan bentuk persamaa tersebut dilakukan pemisalan y = alog xsehingga diperoleh Ay2 +By+C = 0. Setelah diperoleh nilai y, subtitusikan kembalipada y = alog x sehingga diperoleh nilai x.


2.4. PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA BAB 2. LOGARITMA

2.4 Pertidaksamaan Logaritma

1. Untuk a > 1.

(a). Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) > g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0.

(b). Jika alog f(x) ≥ alog g(x), maka f(x) ≥ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0.

(c). Jika alog f(x) < alog g(x), maka f((x) < g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0.

(d). Jika alog f(x) ≤ alog g(x), maka f(x) ≤ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0.

2. Untuk 0 < a < 1.

(a). Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) < g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0.

(b). Jika alog f(x) ≥ alog g(x), maka f(x) ≤ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0.

(c). Jika alog f(x) < alog g(x), maka f((x) > g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0.

(d). Jika alog f(x) ≤ alog g(x), maka f(x) ≥ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0.

Trik 3. Jika a > 1, tanda pertidaksamaan tidak berubah. Sebagai contoh, jikaalog f(x) > alog g(x), maka tandanya tidak berubah, yaitu menjadi f(x) > g(x).Jika 0 < a < 1, tanda pertidaksamaan berubah menjadi kebalikannya. Sebagai contoh,jika alog f(x) < alog g(x), maka tandanya berubah menjadi f(x) > g(x).


3Kunci Jawaban

3.1 Eksponensial

Latihan 1

1. (a) 210 (b) 52 (c)34

44(d) 46 (e) 26 (f)

23

33(g) 52 (h) 3−1

2. (a)y2

z(b)

xy5

z(c)

25a10

b16c12(d)

36x4z4

y3(e)

27y3

x3(f) a− b

3. (a) 1 (b) 29 (c) 7 (d) 2

4. (a) 2916 cm (b) 864 cm (c)512

3cm (d) 6561×

(2

3

)n

cm = 38−n × 2n cm

Latihan 2

1. Untuk y = 3x,

(a) Memotong sumbu-y di titik (0, 1).

(b) Memiliki asimtot datar sumbu-x (atau garis y = 0).

(c) Merupakan fungsi monoton naik.

Untuk y =

(1

2

)x

,

(a) Memotong sumbu-y di titik (0, 1).

(b) Memiliki asimtot datar sumbu-x (atau garis y = 0).

(c) Merupakan fungsi monoton turun.

2. (a) a(x) = 2x+2

(b) b(x) = 2x−3 − 2

(c) c(x) = −2x

(d) d(x) = −(

1

2

)x−2

35

3.1. EKSPONENSIAL BAB 3. KUNCI JAWABAN

(e) .

x

y

−4

y = −(

1

2

)−x+2

Gambar 3.1: Grafik d(x)

3. (a) f(x) = 4x+2

(b) g(x) = 4× 3x + 3

(c) f(x) =

(2

3

)x+2

+ 5

(d) f(x) =

(1

5

)x

4. y = 3−x+1 atau y =

(1

3

)x−1

5. g(x) =

(1

2

)2x−1

Latihan 3

1. (a) x = 3 (b) x =2

3(c) x = 0 atau x = −4 (d) = 1 (e) x = −2 atau

x = −4 (f) x = −1 (g) x = −1

2. (a) {−1, 4} (b) {−2,−1, 0, 4} (c){

1−√

5, 1, 1 +√

5}

(d)

{−1,−1

3, 3

}(e) {−2, 0, 2}


Bibliografi

[1] Chakrabarti, D.K. 2018. Matematika Untuk SMA Kelas X Peminatan Matematika dan IlmuAlam. Bogor: Quadra.

[2] Aksin, Nur, D.K. 2018. Matematika Untuk SMA/MA Peminatan Matematika dan Ilmu-IlmuAlam. Yogyakarta: PT Intan Pariwara.

37

rangkuman matematika peminatan kelas 10 semester 1...

Documents