SISTEM LINIER

Oleh :

Kholistianingsih, S.T., M.Eng.

lts 1

lts 2

2 Isyarat Waktu Diskrit di kawasan waktu.

2.1 Representasi Isyarat Waktu Diskrit

2.2 Klasifikasi Runtun

2.3 Runtun runtun Dasar

2.4 Operasi di kawasan waktu

lts 3

0 20 40 60 80 100-10

0

10

t (ms)

0 10 20 30 40 50-10

0

10

n (samples)

lts 4

I.2 Representasi Isyarat di Kawasan Waktu

Isyarat waktu diskrit (digital maupun non-digital), dapat dipandang

sebagai runtun angka, dengan notasi

{ x[n] } = { . . . x[-3] , x[-2] , x[-1] , x[0] , x[1] , x[2] , . . . }

Runtun { x[n] } hanya terdefinisikan pada harga harga

n = . . . -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , . . .

x[n] adalah harga cuplikan ke n.

Contoh :

n0-1-2-3 1 2 3

1

3

0.50

2

3

{ x[n] }

{ x[n] } = { . . . , 2 , 3 , 0 , 1 , -1 , 3 , 0.5 , . . . }

-1

lts 5

Periode (interval) Pencuplikan

Jarak antara dua cuplikan disebut periode pencuplikan T.

Frekuensi pencuplikan

fs = 1

T

lts 6

Berdasarkan nilai cuplikannya,

Runtun kompleks bila nilai cuplikannya berupa bilangan

kompleks

Runtun real bila nilai cuplikannya berupa bilangan real

Klasifikasi runtun

Berdasarkan durasinya (panjang runtun atau jumlah cuplikannya),

N1 < n < N2 ,

Runtun panjang berhingga : N1 > , N2 <

Runtun panjang tak-berhingga : N2 - N1 =

n

88-

N1 N2

8-

8

durasi

8

lts 7

Berdasarkan rentang cuplikannya

Runtun sisi-kanan :

x[n] = 0 untuk n < N1

Bila N1 > 0 maka runtun

disebut runtun kausal

Runtun sisi-kiri :

x[n] = 0 untuk n > N2.

Bila N2 < 0 maka runtun disebut

runtun non-kausal

N1

N2

n

n

lts 8

Runtun runtun dasar

1. Runtun Unit Step

1, untuk n > 0

u[n] =

0, untuk n < 0

0

2. Runtun Unit Step tertunda k

1, untuk n > k

u[n - k] =0, untuk n < k

n

u[n - 2]

0 1 2

n

u[n +1]

-2 -1 0 1 2

k = 2

k = - 1

u[n]

lts 9

3. Runtun Unit Impuls

1, untuk n = 0

d[n] =

0, untuk n =/= 0

1, untuk n = k

d[n-k] =

0, untuk n =/= k

0

k

d[n-k]

0

4. Runtun Unit Impuls Tertunda k

d[n +2]

-2 -1 0 1 2

k = - 2

n

n

n

d[n]

lts 10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

n

u[?]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

n

u[?]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

n

d[?]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

n

d[?]

lts 11

Relasi antar runtun unit-impuls dan runtun unit-step

d[n] = u[n] – u[n-1]

u[n]

u[n-1]

d[n]u[n]

u[n - 1]

lts 12

Runtun sembarang dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan

runtun unit-impuls tergeser dan terskala.

x[n] = x[-3] .d[n+3] + x[1] . d[n-1] + x[4] . d[n-4]

x[k] . d[n-k]Sk = -

8

8

x[n] =

Runtun sembarang

lts 13

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6n

x[n]

x[1]

x[4]

x[-3]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6n

x[-3].d[n+3]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6n

x[1].d[n-1]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6n

x[4].d[n-4]

=+

+

lts 14

4. Runtun Sinusoida

A : amplitudo x[n]

f : fase x[n]

w0 : frekuensi sudut x[n]

0 10 20 30 40

0

1

2

-1

-2

x[n] = A cos(w0n + f)

x[n] = 2 cos(0,1 n + 0)

n

lts 15

5. Runtun eksponensial

x[n] = A an , - < n <

(a) Bila A dan a adalah bilangan real , maka runtun eksponensialnya

real.

8 8A > 0 , 0 < a < 1

x(n)

n0 1 2 3 4 5 . . .

x(n)

n

0 1 2 3 4 5 . . .

A > 0 , a > 1A

A

lts 16

(b) Bila A dan a bilangan kompleks ,

a = e (s

0+ j w

0)

dan A = |A| e j F , maka

xRe[n] = |A| e s

0n

cos (w0n + f)

xIm[n] = |A| es0 n

sin (w0n + f)

x[n] = |A| e j f

e (s

0+ j w

0) n

xRe[n] dan xIm[n] adalah runtun sinusoida real

= xRe

[n] + j xIm

[n]

= |A| es0n

. e j(w0n+f)

= |A| es0 n

+ j sin (w0n + f)cos (w

0n + f)

lts 17

xRe[n] dan xIm[n] adalah runtun sinusoida real dengan

amplitudo tetap , bila

amplitudo membesar , bila

amplitudo mengecil , bila

s0 = 0

s0 > 0

s0 < 0

Contoh : x[n] = exp - + j n1

12

p

6

x[n] = |A| ejf

e (s

0+ j w

0) n

A = 1 , f = 0 ,

s0 = - 1/12 < 0 ,

w0 = p/6

= e - n/12

e j pn/6

= e - n/12

cos pn/6 + j sin pn/6

lts 18

Bagian Imaginer

0

1

0.5

-1

-0.5

0

1

0.5

-1

-0.5Bagian Real

0 10 20 30 40 0 10 20 30 40

xIm[n]xRe[n]

e - n/12

cos pn/6 sin pn/6e - n/12

lts 19

Sebuah runtun disebut bounded (berhingga) bila

x[n] < Bx <

8

Sebuah runtun disebut dapat dijumlahkan secara absolut bila

x[n] <

8Sn = -

88

Energi runtun adalah

x[n] Sn = -

88

E =2

untuk semua harga n

Bx : harga berhingga

lts 20

Metriks untuk isyarat x[n]

Energi :

Power :

Ex = x[n]2S

n = -

Px = lim x[n]2S

n = -N

1

2N + 1N

N

Untuk isyarat periodis dengan periode N cuplikan x[n] = x[n + N] ,

perhitugan energinya cukup satu periode saja.

Untuk sembarang harga n0 , energi isyarat periodis

Ex = x[n] 2Sn = n0

1

N

n0 + N -1

lts 21

0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

1

0,707

n

x[n]

Ex = cos(pn/4) 2Sn = 0

1

8

7

= Sn = 0

1

16

7

1 + cos (pn/2) = ½

Contoh :

periode N=8

lts 22

Operasi operasi dasar terhadap runtun

Perkalian

dengan konstante

(penyekala)

dengan runtun

(modulasi)

Penjumlahan

x[n] y[n] = A x[n]

A

xx[n] y[n] = x[n] w[n]

w[n]

+x[n] y[n] = x[n] + w[n]

w[n]

lts 23

Penundaan (pergeseran waktu)

unit tunda positif Z -1x[n] y[n] = x[n – 1]

unit tunda negatifZ+1x[n] y[n] = x[n + 1]

x[n] y[n]

nn

x[n] y[n]

n n

Z -1

Z +1

lts 24

Transformasi runtun

Transformasi

Antar kawasan (domain)

Contoh : dari domain waktu ke domain frekuensi,

menggunakan transformasi Fourier

Dalam domain.

Contoh : Dalam domain waktu.

lts 25

Transformasi dalam kawasan waktu

Pembalikan waktu

y[n] = x[-n]

x[n]

n

x[-n]

n

-2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2

x[-n] diperoleh dengan memutar

x[n] 180o , dengan garis

vertikal melalui n = 0 sebagai

sumbu putar

lts 26

Penyekalaan waktu

y[n] = x[m] m = an

Batasan harga a :

|a| > 1 , disebut speed-up atau sub-sampling ,

harga a harus integer.

|a| < 1 , disebut slow-down atau expanding , harga a = 1/k

dengan k adalah integer

Contoh : sub-sampling runtun x[n] untuk m = 2n ,

y[n] = x[2n]

lts 27

x[n]

n-2 -1 0 1 2

m=2n-2 -1 0 1 2

y[n] = x[2n]

y[n] = x[2n]

y[n] = x[2n + 1] ???

y[1] = x[2]

runtun asli

runtun hasil

sub-sampling

lts 28

Contoh expanding : y[n] = x[n/2] n y[n] x[n/2]

: : :

- 4 y[-4] x[-2]

-3 y[-3] ?

-2 y[-2] x[-1]

-1 y[-1] ?

0 y[0] x[0]

1 y[1] ?

2 y[2] x[1]

3 y[3] ?

4 y[4] x[2]

: :

Harga harga y[n] untuk n ganjil = ?

Karena x[-3/2] , x[-1/2] , x[1/2] dan

x[3/2] tidak terdefinisikan dalam

runtun x[n] ,

maka harga y[n] untuk n ganjil harus

dihitung melalui interpolasi.

x[n/2] , utk n genap

y[n] =

, untuk n ganjilx[(n-1)/2] + x[(n+1)/2]

2

lts 29

y[n] = x[n/2]

n-2 -1 0 1 2

x[n]

y[n]

n-2 -1 0 1 2

y[1] =x[0] – x[1]

Contoh interpolasi :

Untuk n =1 ,

2

runtun asli

runtun hasil expanding

lts 30

x[n]

n-2 -1 0 1 2

n-2 -1 0 1 2

y[n]

y[n]

n-2 -1 0 1 2

Sub-sampling

(kompresi)

Expanding

(dekompresi)

Pemampatan (kompresi) data

sederhana data asli

data terkompresi

data terpulihkan

lts 31

Soal Latihan :

1. Untuk runtun x[n] = (6 – n) { u[n] – u[n-6] , gambarkan runtun

(a) y[n] = x[4-n]

(b) y[n] = x[2n-3]

(c) y[n] = x[8-3n]

(d) y[n] = x[n2 – 2n +1]

2. Ekspresikan runtun

1 untuk n = 0

2 untuk n = 1

3 untuk n = 2

0 untuk n yang lain

x[n] =

sebagai penjumlahan unit impuls tergeser dan terskala