PERSAMAAN STURM LIOUVILLE

1. Pengertian

Nama Sturm dan Liouville merujuk pada matematikawan Swiss Jacques Sturm (1803-

1855) dan matematikawan Perancis Joseph Liouville (1809-1882). Keduannya

mempelajari masalah syarat tertentu dan perilaku solusinya. Ada dua alas an mengapa

persamaan diferensial perlu diberikan dalam kuliah ini.

Fungsi-fungsi ortogoanal sebagai solusi persamaan diferensial yang memenuhi syarat

batas Sturm Liouville.

Penyelesaian persamaan diferensial parsial menggunakan metode pemisahan variabel

akan memerlukan persamaan diferensial tipe Sturm Liouville.

Persamaan diferensial Sturm-Leouvill mempunyai bentuk

[r ( x ) y '(x )]'+ [ p ( x )+λs ( x ) ] y (x)=0

Yang terkait dengan syarat batas :

a1 y (a )+a2 y' (a )=0

b1 y (b )+b2 y' (b )=0

Dengan

a) λ adalah nilai eigen terkait dengan y ( x )

b) a1, a2 ,b1 ,b2, adalah bilangan-bilangan real

c) r , p , s tiga fungsi yang bias diturunkan di [a,b]

d) r ( x )>0 dan s ( x )>0 untuk setiap x ϵ [a ,b ]

Contoh 1

Tentukan nilai eigen dari masalah Sturm-Liouville berikut :

y ' ' ( x )+λy (x )=0

Dengan syarat batas : y (0 )=0 dan y (π )=0

Penyelesaian :

Kasus I

Jika λ<0,

Misal, λ=−v2

y ' ' ( x )−v2 y ( x )=0

(D2−v2 ) y=0

(D−v ) (D+v )=0

D=v atau D=−v

y=C1 evx+C2 e

−vx

Untuk x=0, y (0 )=C1+C2=0

C1=−C2

Untuk x=π, y (π )=C1eπx+C2 e

−πx=0

C1eπx+(−C ¿¿1)e−πx=0¿

C1eπx=C1e

−πx

C1eπx= 1

C1 eπx

C12 e2πx=0

C1=0

C2=0

Karena C1=C2=0, maka persamaan di atas tidak mempunyai penyelesaian saat λ<0

Kasus II

Jika λ=0,

y ' ' ( x )=0

y=∫ 0dx y=C1 x+C2

Untuk x=0, y (0 )=C1(0)+C2=0

C2=0

C1=0

Karena C1=C2=0, maka persamaan di atas tidak mempunyai penyelesaian saat λ=0

Kasus III

Jika λ>0,

Misal, λ=v2

y ' ' ( x )+v2 y (x )=0

(D2+v2) y=0

(D+vi ) (D−vi )=0

D=vi atau D=−vi

y=C1 cosvx+C2sin vx

Untuk x=0,

y (0 )=C1 cos0+C2sin 0=0

C1=0 , sehingga

y=C1 cosvx+C2sin vx

y= (0 ) cosvx+C2sin vx

y=C2 sin vx

Untuk x=π

y (π )=C2sin vπ=0

Maka v=0 , ±1 , ±2, ±3 ,…

Untuk v=0 maka y=0

λ=v2=1,4,9 ,. . . y ( x )=sin vx

Jadi, Solusi persamaan y ' ' ( x )+λy (x )=0, dengan y (0 )=0

y (π )=0

y ( x )=Acos ( λx )+Bsin ( λx )

Dengan menggunakan syarat batas, maka solusi non trivial akan diperoleh jika

λ=2n+12

Untuk n = 0,1,2,…… . jadi nilai-nilai eigennya adalah

λn=2n+12

Untuk n = 0,1,2,….. dan solusi persamaan differential di atas yang terkait dengan nilai

eigen λn adalah

yn ( x )=cos ( 2n+12 )xSelanjutnya, yn ( x )disebut fungsi eigen terkait dengan nilai eigen λn.

Dari contoh diatas, persamaan differential akan mempunyai solusi non trivial

jika λ>0, dan tidak mempunyai solusi non trivial jika λ≤0.

Teorema berikut memberikan pernyataan umum untuk persamaan diferential

tipe sturm-liouville.

Teorema 1

bukti :

Jika y adalah solusi untuk persamaan diferential sturm-liouville yang terkait dengan

nilai eigen λ maka λ>0

Sedangkan keortogonalan solusi-solusi untuk persamaan diferensial Sturm-Liouville

diberikan dalam teorema berikut.

Teorema 2

Jika y1dan y2 adalah suatu solusi untuk persamaan diferensial Sturm-Liouville

berturut-turut terkait dengan nilai eigen λ1dan λ2, maka

∫α

b

s ( x ) y1 ( x ) y2 ( x )dx=0

Asalkan λ1≠ λ2