persamaan diff. parsial

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Dasar Persamaan Diferensial Parsial

Suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat

terhadap satu atau lebih variabel bebas disebut persamaan diferensial. Jika turunan fungsi

itu hanya tergantung pada satu variable bebas maka disebut persamaan diferensial biasa

(PDB) dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut persamaan

diferensial parsial (PDP). Pada PDP, variabel bebas dapat berupa waktu dan satu atau

lebih koordinat ruang. Bentuk umum persamaan diferensial adalah:

F (x,y, (2.1)

Orde dari persamaan diferensial adalah orde tertinggi dari turunan dalam persamaan.

Persamaan diferensial parsial menempati bagian utama fisika komputasi karena

berbagai gejala penting dalam fisika dapat dinyatakan dalam bentuk PDP. Bentuk umum

persamaan diferensial parsial yang sering ditemukan dalam problema fisika adalah PDP

orde dua, yaitu:

(2.2)

di mana a11, a12, a22 : koefisien

u : variabel tak bebas

x, y : variabel bebas berupa koordinat ruang dalam sistem

koordinat Cartesian

Universitas Sumatera Utara

Berdasarkan nilai koefisien-koefisiennya, bentuk umum ini dapat dibedakan atas

beberapa bentuk khusus, yang kemudian dikenal sebagai bentuk PDP parabolik,

hiperbolik, dan eliptik. Persamaan-persamaan ini banyak ditemui pada persamaan

transport polutan. Pembagian persamaan diferensial menjadi tiga jenis di atas harus

memenuhi syarat-syarat berikut:

1. Jika maka persamaan disebut PDP eliptik. Contohnya adalah

persamaan Laplace:

(2.3)

Dengan V menyatakan potensial pada lokasi x dan waktu t.

2. Jika, , maka disebut PDP parabolik. Contohnya adalah

persamaan difusi panas:

(2.4)

Dengan D menyatakan koefisien difusi dan Q menyatakan suhu pada lokasi x dan

waktu t.

3. Jika, maka persamaan disebut PDP hiperbolik. Contohnya

adalah persamaan gelombang:

(2.5)

Dengan A menyatakan amplitudo gelombang dan c adalah laju gelombang.


2.2 Persamaan Adveksi

PDP hiperbolik dapat diformulasikan ke dalam hukum konservasi yang menyatakan

bahwa kuantitas “u” dialirkan dalam ruang dan waktu, dan kemudian “dikekalkan” secara

lokal. Hukum kontinuitas mengantarkan pada persamaan yang disebut persamaan

konservatif (kekekalan) yang dinyatakan dengan:

(2.6)

dengan u(x,t) merupakan kerapatan besaran atau konsentrasi, F adalah rapat fluks, dan x

adalah vector dari koordinat ruang. Dalam kebanyakan problema fisika, rapat fluks F

sering tidak bergantung secara eksplisit terhadap x dan y, tetapi bergantung secara

implisit melalui kerapatan u(x,t), misalnya F = F (u(x,t)).

Bentuk awal dari persamaan di atas adalah:

(2.7)

Dengan S(U) adalah istilah umum untuk sumber yang mengindikasikan asal dan tujuan

dari vektor U. Jika dimisalkan S(U) = 0, maka persamaan menjadi homogen. Sifat umum

dari persamaan homogen adalah vektor U(x,t) yang diberikan pada titik x dan waktu t

dapat menetukan laju aliran, atau fluks, dari setiap variabel pada keadaan (x,t).

Hukum kekekalan yang diberikan persamaan (2.6) dapat pula dituliskan menjadi:

(2.8)

Dimana A(U) ≡ dan merupakan Jacobian dari F(U).

Persamaan (2.8) identik dengan persamaan gelombang linear orde satu:

(2.9)


Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial parsial linear orde satu-

dimensi satu dalam koordinat Cartesian. Persamaan ini juga biasa disebut dengan

persamaan adveksi yang umumnya diterapkan pada permasalahan transport polutan

menggambarkan gradient konsentrasi. Persamaan adveksi menggambarkan mekanisme

transportasi suatu substansi yang mengalir bersama fluida dalam arah tertentu dengan v

menyatakan laju aliran fluida dan u adalah konsentrasi substansi yang dibawa bersama

aliran fluida. Adveksi murni dipahami sebagai gerakan horizontal substansi tersebut

tanpa terjadi proses pencampuran dan hanya dipengaruhi oleh kecepatan aliran sehingga

bentuk gelombangnya diharapkan sama sepanjang daerah aliran. Secara matematis,

gerakan fluida dinyatakan dalam medan vektor dan material yang diangkut merupakan

besaran skalar.

Berikut ini adalah contoh penerapan persamaan adveksi pada analisis

pencemaran minyak di sungai Donan, Kabupaten Dati II Cilacap, Jawa Tengah yang

dibuat oleh R. Soedradjat dari Laboratorium Ekologi Tanaman Fakultas Pertanian,

Universitas Jember.

Sungai Donan memiliki ciri yang khas yaitu merupakan lingkungan estuari

dengan kadar salinitas antara 26,8 – 32,1 ‰, lebih banyak dipengaruhi oleh pasang surut

daripada angin. Asumsi yang digunakan untuk membangun model transport yang

disimulasi adalah sebagai berikut:

1. Termasuk perairan dangkal, panjang sungai yang ditinjau 6500 m, kedalaman

konstan 9,23 m , lebar sungai konstan (150 m),dan debit sungai konstan pada

613,287 m3/detik.

2. Termasuk estuari yang pergerakannya dipengaruhi oleh pasang surut tanpa

gesekan.

3. Variasi komponen aliran utamanya adalah komponen horizontal yang digerakkan

oleh mekanisme adveksi sehingga suku persamaan transport yang ditinjau hanya

suku adveksi.

4. Air sungai dianggap tidak mampat dan kemiringan sungai dianggap kecil.


5. Tekanan yang bekerja pada potongan melintang sungai adalah tekanan hidrostatis,

artinya komponen gerak arah vertical tidak mempengaruhi distribusi tekanan.

6. Konsentrasi awal yang digunakan untuk simulasi adalah konsentrasi campuran.

Untuk memperoleh penyelesaian numerik persamaan transport ditentukan syarat batas

dan nilai awal, yaitu:

1. Syarat batas terbuka diberikan pada sisi hilir dan hulu sungai yaitu kecuali

pada titik sumber, konsentrasi untuk minyak 4,2135 mg/L saat pasang dan 6,2539

mg/L saat surut. Konsentrasi fenol saat pasang 0,2258 mg/L dan 0,2710 mg/L saat

surut.

2. Syarat batas tertutup diberikan yang menyatakan bahwa konsentrasi

pencemar pada sel reflektif sama dengan konsentrasi pencemar di sebelah

dalamnya.

3. Syarat awal diberikan dengan asumsi konsentrasi pencemar telah tersebar merata

sedangkan konsentrasi pada semua grid selain grid sumber adalah nol (Soedradjat,

2003).

Simulasi dilakukan dalam waktu 24 jam (82400 detik), langkah waktu 50 detik dan

daerah model sepanjang 6500 dibagi ke dalam 13 grid. Debit sungai konstan sebesar

613,287 m3/detik, kecepatan aliran rerata saat surut menuju pasang 0,4430 m/detik dan

ssat pasang menuju surut sebesar 0,5155 m/detik. Hasil simulasi sungai Donan saat surut

menuju pasang adalah sebagai berikut:


Gambar 2.1 Simulasi konsentrasi minyak saat surut menuju pasang selama 14400

detik (dt=500 detik, i = 288, Cawal = 4,2135 mg/L, kecepatan v = 0,5155 m/detik.

Hasil simulasi sungai Donan saat pasang menuju surut,

Gambar 2.2 Simulasi konsentrasi minyak saat pasang menuju surut selama 14400

detik (dt=500 detik, i = 288, Cawal = 6,5239 mg/L, kecepatan v = 0,4430 m/detik.

2.3. Metode Analitik dan Numerik


Penyelesian analitis model matematika adalah penyelesian yang didapat dari manipulasi

aljabar terhadap persamaan dasar sehingga didapat suatu penyelesaian yang berlaku

untuk setiap titik dalam domain yang menjadi perhatian.

Namun, tidak semua masalah fisis dalam model matematis dapat diselesaikan

secara analistis. Untuk menyelesaikan permasalahan ini biasanya digunakan penyelesaian

numeris, di mana persamaan dasar diubah menjadi persamaan yang hanya berlaku pada

titik-titik tertentu di dalam domain penyelesaian. Pengubahan persamaan tersebut dapat

menggunakan metode elemen hingga ataupun metode beda hingga. Untuk permasalahan

satu dimensi, metode yang umum digunakan adalah metode beda hingga karena mudah

digunakan dan lebih dahulu dikenal sehingga sifat-sifatnya sudah difahami (Luknanto,

2003).

2.4 Metode Beda Hingga

2.4.1 Dasar Metode

Metode beda hingga adalah metode numerik yang umum digunakan untuk menyelesaikan

persoalan teknis dan problem matematis dari suatu gejala fisis. Secara umum metode

beda hingga adalah metode yang mudah digunakan dalam penyelesaian problem fisis

yang mempunyai bentuk geometri yang teratur, seperti interval dalam 1D (satu dimensi),

domain kotak dalam dua dimensi, dan kubik dalam ruang tiga dimensi ( Li, 2010).

Aplikasi penting dari metode beda hingga adalah dalam analisis numerik,

khususnya pada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.

Prinsipnya adalah mengganti turunan yang ada pada persamaan diferensial dengan

diskritisasi beda hingga berdasarkan deret Taylor. Secara fisis, deret Taylor dapat

diartikan sebagai besaran tinjauan pada suatu ruang dan waktu (ruang dan waktu

tinjauan) dapat dihitung dari besaran itu sendiri pada ruang dan waktu tertentu yang

mempunyai perbedaan yang kecil dengan ruang dan waktu tinjauan (Anderson, 1984).

Atau secara matematis dapat dituliskan sebagai:


……..(2.10)

Dengan h adalah Δx , subskrip i merupakan titik grid, superskrip n menunjukkan

time step dan adalah reminder atau biasa disebut truncation error yang merupakan

suku selanjutnya dari deret tersebut yang dapat dinyatakan sebagai berikut,

, dimana xo< < xo + Δx (2.11)

Metode ini akan membuat pendekatan terhadap harga-harga yang tidak diketahui

pada setiap titik secara diskrit. Dimulai dengan pemodelan dari suatu benda dengan

membagi-bagi dalam grid atau kotak-kotak hitungan kecil yang secara keseluruhan masih

memiliki sifat yang sama dengan benda utuh sebelum terbagi menjadi bagian-bagian

yang kecil. Penerapan metode ini pada persamaan adveksi adalah memperkirakan

persamaan differensial yang bersangkutan beserta syarat-syarat batasnya dengan

seperangkat persamaan aljabar. Dengan mengganti daerah yang kontinu dengan suatu

pola titik-titik tersebut. Sistem dibagi menjadi sejumlah subluas yang kecil dan memberi

nomor acuan kepada setiap subluas.

Metode beda hingga bersifat eksplisit, artinya keadaan suatu sistem atau solusi

variabel pada suatu saat dapat digunakan untuk menentukan keadaan sistem pada waktu

beriukutnya. Berbeda dengan metode implisit, yang mana penentuan solusi sistem harus

dengan memecahkan sistem pada kedua keadaan, sekarang dan yang akan datang.

Berdasarkan ekspansi Taylor di atas (persamaan 2.10), terdapat tiga skema beda

hingga yang biasa digunakan dalam diskritisasi PDP, yaitu skema maju, skema mundur,

dan skema tengah.

1. Skema maju

(2.12)


Pada skema maju, informasi pada titik hitung i dihubungkan dengan titik hitung i+1

yang berada di depannya.

Gambar 2.3 Skema maju ruang dengan h=xi+1 – xi dan Δt = tn+1 – tn.

Dengan menggunakan kisi beda hingga, maka skema maju biasa ditulis sebagai

berikut,

Skema maju-ruang:

atau (2.13)

Skema maju-waktu:

atau (2.14)

2. Skema mundur

(2.15)

Pada skema mundur, informasi pada titik hitung i dihubungkan dengan titik hitung (i-

1) yang berada di belakangnya.


Gambar 2.4 Kisi beda hingga skema mundur

Dengan menggunakan kisi beda hingga, maka skema mundur biasa ditulis sebagai

berikut,

Skema mundur-ruang:

atau (2.16)

Skema mundur-waktu:

atau (2.17)

3. Skema tengah

Gambar 2.5 Kisi beda hingga skema tengah-ruang

atau (2.18)


Beda hingga terhadap ruang derivasi kedua:

(2.19)

Untuk tn ,

(2.20)

Dan untuk tn+1,

(2.21)

Sedangkan untuk beda hingga skema tengah terhadap waktu

, (2.22a)

, (2.22b)

(2.22c)

2.4.2 Diskritisasi

Benda atau struktur yang akan dianalsis dibagi atau dipotong menjadi bagian-bagian kecil

(disebut grid). Inilah yang dinamakan sebagai diskritisasi. Banyaknya grid yang dibentuk

bergantung pada bentuk benda yang akan dianalisis. Berikut ini contoh diskritisasi aliran

sungai.


Gambar 2.6. Diskritisasi aliran sungai.

Gambar 2.7 Kisi beda hingga ruang (x) dan waktu (t).

Meskipun suatu benda dapat didiskritisasi ke dalam sistem, komponen atau grid

yang lebih kecil, namun harus disadari bahwa sistem yang asli merupakan suatu

keseluruhan. Daerah kompleks yang mendefinisikan kontinuitas didiskritisasi/dibagi

menjadi sejumlah sub daerah/potongan-potongan geometrik sederhana yang tidak saling

tumpang tindih. Terkait dengan persamaan dasar, diskritisasi variabel dilakukan dengan

mengganti fungsi u(x,t) dengan nilai diskrit yang akan mendekati nilai u pada titik

yang ditentukan, .


2.5 Metode FTCS

Dalam analisis numerik, metode FTCS (Forward Time-Centered Space) adalah metode

beda hingga yang umum digunakan pada pemecahan numerik persamaan panas dan

persamaan differensial parsial yang sejenis. Metode ini menggunakan beda hingga maju

dalam waktu dan beda hingga sentral dalam ruang.

………(2.23)

………(2.24)

Persamaan 2.24 dikurangkan dengan persamaan 2.23 dan hasilnya dibagi dengan 2h

menghasilkan persamaan 2.25

(2.25)

n

n+1

i i+1i-1

Gambar 2.8 Skema FTCS

Persamaan (2.25) dapat digunakan untuk membedahinggakan persamaan

differensial melalui skema FTCS yang ditunjukkan pada gambar 2.8. dimana pendekatan

orde pertama digunakan untuk turunan waktu dan persamaan orde duanya digunakan

untuk turunan ruang. Dengan menggunakan notasi beda hingga yang telah dijelaskan

pada subbab 2.3.1 maka metode FTCS ini dapat diekspresikan melalui persamaan 2.26.


(2.26)

Atau,

(2.27)

dengan

Dan untuk sistem dengan persamaan linear hiperbolik

(2.28)

2.6 Metode Lax-Wendroff

Lax-Wendroff diambil dari nama Peter Lax dan Burton Wendroff. Metode ini juga

merupakan metode numerik untuk penyelesaian persamaan diferensial parsial hiperbolik

berdasarkan beda hingga dengan akurasi orde dua bergantung ruang dan waktu. Berbeda

dengan metode FTCS, metode ini memiliki dua langkah penyelesaian. Pada langkah

pertama, nilai f(x,t) dihitung pada setengah time step tn+½ dan setengah grid poin,

xi+½.(Rezzolla, 2010).

Yang mendasari metode ini adalah mengekspansikan u(x,t) ke dalam deret Taylor

untuk x tetap dan t berada pada orde dua menggunakan PDP untuk menggantikan turunan

waktu dengan turunan ruang, dan menggunakan beda tengah untuk mengaproksimasikan

turunan ruang pada orde dua. Persamaan beda hingga kemudian menghasilkan akurasi

orde dua.

Skema Lax-Wendroff merupakan kombinasi dari skema Lax-Friederichs dan

Leapfrog (loncat katak).

2.6.1 Skema Lax-Friederichs


Ide dasar skema Lax-Friederichs sangat sederhana dan didasarkan pada menggantikan

pada persamaan 2.27 dengan , sehingga penyelesaian persamaan

adveksi menjadi,

(2.29)

Untuk sistem persamaan hiperbolik linear:

(2.30)

Walaupun tidak nyata, skema Lax-Friedrichs memperkenalkan disipasi numerik. Agar

lebih jelas, maka persamaan ini dapat ditulis kembali ke dalam bentuk persamaan adveksi

awal.

(2.31)

Persamaan 2.29 merupakan bentuk eksak representasi beda hingga dari persamaan:

(2.32)

Dimana suku difusi ~ terdapat pada sisi kanan. Untuk membuktikannya,

diperoleh dengan menjumlahkan kedua deret Taylor pada persamaan (2.23) dan (2.24), di

sekitar xi untuk mengeliminasi turunan orde pertama dan didapatkan persamaan (2.33)

berikut:

(2.33)


Gambar 2.9 Skema Lax-Friedrichs

2.6.2 Skema Leapfrog

Skema FTCS dan Lax-Friedrichs adalah skema level satu dengan pendekatan orde-satu

untuk waktu dan orde-dua untuk ruang. Pada keadaan ini, vΔt harus diambil lebih kecil

daripada Δx (untuk mencapai akurasi yang diinginkan).

Gambar 2.10 Skema Leaprog (loncat katak)

Akurasi orde-dua dapat diperoleh dengan memasukkan

(2.34)

ke dalam skema FTCS, untuk mendapatkan skema Leapfrog

(2.35)

Faktor 2 pada h dihapuskan, ekuivalen faktor 2 pada Δt.


2.6.3 Tahapan Skema Lax-Wendroff

Secara partikuler, tahap pemecahan skema Lax-Wendroff adalah sebagai berikut:

1. Skema Lax-Friedrichs sebagai setengah tahap

(2.36a)

(2.36b)

Δt/2h diperoleh dengan mengambil time step Δt/2.

2. Evaluasi fluks dari nilai .

3. Setengah tahap Leapfrog.

(2.37)

Gambar 2.11 Skema Lax-Wendroff


Nilai setengah tahap dapat dihitung lebih spesifik sebagai berikut:

(2.38)

Sehingga, solusi pada level waktu baru akan menjadi

= (2.39)

Persamaan ini diperoleh dengan mensubstitusi persamaan 2.37 ke dalam persamaan 2.38.

2.7 Konvergensi, Stabilitas dan Konsistensi Skema Beda Hingga

Kesuksesan solusi numerik diukur berdasar kriteria konvergensi, konsistensi serta

stabilitas. Konvergensi berhubungan dengan besarnya penyimpangan solusi pendekatan

oleh metode numerik terhadap solusi eksak atau solusi analitik (closed form).

Gambar 2.12 Hubungan Konseptual antara konvergensi, stabilitas, dan konsistensi.

2.7.1 Konvergensi Metode Beda Hingga

Berdasarkan jenis PDP


, (2.40)

dengan adalah operator diferensial orde-dua quasi-linear. Operator diskritisasi

menjadi,

(2.41)

untuk mempersingkat, error dapat dituliskan menjadi

(2.42)

dengan C adalah koefisien kontan.

Representasi beda hingga dikatakan konsisten jika

(2.43)

u(x,t) melambangkan solusi eksak PDP dan melambangkan solusi eksak dari

persamaan beda hingga yang mengaproksimasikan PDP dengan truncation error

Persamaan beda hingga dikatakan konvergen jika truncation error menuju 0

dengan pangkat p untuk dan pangkat q untuk .

(2.44)

2.7.2 Stabilitas Metode Beda Hingga

Kriteria konvergen dipahami sebagai kriteria dimana solusi metode beda hingga (tanpa

hadirnya round off error) merupakan solusi pendekatan PDP, jika h → 0 dan ∆t → 0.

Ada dua kriteria lain yang diasosiasikan dengan kriteria konvergen, yaitu: stabilitas dan

konsistensi. Kriteria stabilitas merupakan kondisi perlu dan cukup agar diperoleh solusi

konvergen, sedang kriteria konsistensi merupakan kondisi ideal dimana solusi metode

beda hingga sesuai dengan solusi PDP yang diharapkan.

Terminologi stabilitas menunjukkan karakteristik persamaan diferensial tertentu

jika ∆t → 0 serta berhubungan dengan amplifikasi solusi selama proses komputasi. Jika


amplifikasi solusi semakin besar, maka proses komputasi akan divergen dan tidak

memperoleh hasil (tidak konvergen). Bisa jadi solusi divergen ini dipengaruhi oleh

amplifikasi yang terlalu besar selama komputasi. Di lain pihak, amplifikasi yang besar

belum tentu tidak menghasilkan solusi konvergen. Amplifikasi yang sangat besar

menunjukkan bahwa stabilitas komputasi sangat rendah.

2.7.3 Konsistensi Metode Beda Hingga

Terminologi konsistensi menunjukkan, bahwa solusi dengan metode beda hingga

merupakan pendekatan solusi PDP analitik seperti diharapkan, bukan solusi persamaan

yang lain. Jika h → 0 dan ∆t → 0, maka solusi dengan metode beda hingga sama dengan

solusi analitik PDP. Pada umumnya solusi dengan metode beda hingga akan sesuai

dengan solusi PDP, sehingga kriteria konsistensi dengan sendirinya terpenuhi (taken for

granted).

2.8 Syarat Kestabilan von Neumann

Dalam analisis numerik, analisis stabilitas von Neumann atau juga dikenal dengan

analisis stabilitas Fourier adalah sebuah prosedur yang digunakan untuk memeriksa

kestabilan skema beda hingga yang diaplikasikan pada persamaan diferensial parsial

linear. Stabilitas numerik sangat erat kaitannya dengan error numerik. Sebuah skema

beda hingga dikatakan stabil jika error yang terjadi pada satu perhitungan time step tidak

menyebabkan peningkatan error pada komputasi selanjutnya. Sebaliknya, jika error

tumbuh bergantung waktu maka solusi menyimpang dan tidak stabil.

Stabilitas skema numerik dapat diselidiki dengan syarat kestabilan von Neumann.

Syarat kestabilan von Neuman hanya berlaku untuk PDP linear, PDP harus memiliki

koefisien konstan dengan syarat batas periodik dan hanya memiliki dua variabel tak

bebas.

Solusinya dapat dilihat sebagai jumlah eigenmode di setiap titik grid, yaitu:


(2.43)

di mana adalah faktor penguatan gelombang, j merupakan vektor, k adalah angka

gelombang, subskrip i menunjukkan posisi dan n menunjukkan waktu. Syarat perlu dan

cukup kestabilan von Neumann adalah modulus dari faktor amplifikasi harus kurang dari

atau sama dengan 1 atau


persamaan diff. parsial

Documents