persamaan diferensial orde satu · 2019-02-13 · 2/13/2019 [mug1b3] kalkulus ii 2 persamaan...

PersamaanDiferensialOrde Satu

2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 2

Persamaan Diferensial

Definisi

• Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu ataulebih turunan dari fungsi yang tidak diketahui.

• Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah bebas maka disebutPersamaan Diferensial Biasa (PDB).

Contoh:

• Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan PersamaanDiferensial Parsial (PDP).

Contoh :

2 2' cos , " 9 , y'y"' 3y' 0xy x y y e−= + = − =

2 2

2 2 0u u

x y

+ =


Persamaan Diferensial [2]

• PDB dikatakan linier, apabila PD tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya yang bersifat linear (dalam pangkat satu).

• Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB

• Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikutan(x) y(n) + an-1(x) y(n-1) + … + a0(x) y = f(x)

dengan an(x) 0 dan an(x), an-1(x), … , a0(x) adalah koefisien PD.

• Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen.

4

Contoh

dt

dN(1)

(2) y ’ + 2 cos 2x = 0

(3) y” + ex y’ + sin (xy) = ex sin x , orde 2, tidak linier, tidak homogen

x3 y”+ cos 2x (y’)3= x2 y2 , orde 2, tidak linier, homogen

= kN , N = N(t)

(4)

, orde 1 dengan N peubah tak bebas dan t peubah bebas, linier, homogen

, orde 1 dengan y peubah tak bebas dan x peubah bebas, linier, tidak homogen


Solusi

• Suatu persamaan diferensial dimana y sebagai peubah tak bebas yang bergantung pada peubah bebas x (fungsi y = f (x)) disebut solusi PDB jikafungsi y = f (x) disubtitusikan ke PDB diperolehpersamaan identitas.

• Solusi umum dan solusi khusus

Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta C makasolusi disebut solusi umum, sebaliknya disebutsolusi khusus.


Contoh

(1) y = cos x + c → solusi umum

Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0Karena (cos x + c)’ + sin x = -sin x + sin x = 0

(2) y = cos x + 6 → solusi khusus

Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0Karena(cos x + 6)’ + sin x = -sin x + sin x = 0


PDB Orde 1

• PDB terpisah

• PDB dengan koefisien fungsi homogen

• PDB Linier


PDB terpisah

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : disebut PDB terpisah.

Penyelesaian : integralkan kedua ruas

Contoh : tentukan solusi umum PD (x ln x) y' = y

3' yy x e−= , y(2) = 0

1.

2.

2/13/20199

CONTOH1) Jawab:

(x ln x) y' = y

ydx

dyxx =ln

xx

dx

y

dy

ln=

=xx

dx

y

dy

ln

( )ln | | ln | ln | *y x c= +

*

| | | ln |cy e x=

Sehingga solusi umum adalah

*

ln ; ( )cy c x c e= =


Contoh

2. Jawab:

y' = x3 e-y

yexdx

dy −= 3

dxxe

dyy

3=−

= dxxdye y 3

cxe y += 4

4

1

+= cxy 4

4

1ln

+= c4)2(

4

1ln0

Jadi solusi khusus PD tersebut

adalah

−= 3

4

1ln 2xy

Diketahui y(2) = 0, sehingga

341 −=→+= cc


Latihan

2

2

1 y

x

dx

dy

−=

)1(2

243 2

−

++=

y

xx

dx

dy

)1('

3

2

xy

xy

+=

221' xyyxy +++=

1)0(,21

cos2

=+

= yy

xy

dx

dy

0)0(),1)(1(2' 2 =++= yyxy

)21)(21(' 32 xxyy +++=

1)0(,0)1( ==++ yyedx

dye xx

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

12

Fungsi homogen

• Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jikaA(kx,ky) = knA(x,y),

k konstan sembarang

• Contoh :

Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak !

1. A(x,y) = x + y

A(kx,ky) = kx + ky

= k (x + y) = k A(x,y)

Maka A(x,y) = x + y adalah fungsi homogen dengan derajat 1

2. A(x,y) = x2 + xy

A(kx,ky) = k2x2 + kx ky

= k2 (x2+xy) = k2 A(x,y)

Maka A(x,y) = x2 + xy adalah fungsi homogen dengan derajat 2


PD dengan koefisien fungsi homogen

• PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk

),(

),('

yxB

yxAy =

dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen.

Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x)

uxuy += ''

dx

dy

dx

du= x + u

dy = x du + u dx

dengan


ContohSelesaikan solusi persamaan diferensial berikut

'x y

yx

+=1)

Jawab:

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx

x

yx

dx

dy +=

+=

x

y

dx

dy1 u

dx

dxudux+=

+1 ( )dxudxudux +=+ 1

dxdux = x

dxdu = =

x

dxdu lnu x c= +

lny

x cx= + lny x x c x= +

Jadi solusi umum dari PD di atas adalah lny x x c x= +


Contoh

2)

Jawab:

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx

2

2 2

x

xyy

dx

dy +=

+

=

x

y

x

y

dx

dy2

2

uudx

dxudux22 +=

+ ( )dxuudxudux 22 +=+

( )dxuudux += 2

x

dx

uu

du=

+2 =+ x

dx

uu

du2

( 1)

du dx

u u x=

+ 1 1

1

dxdu

u u x

− =

+ ln ln 1 ln lnu u x c− + = +

0xy2ydx

dyx 22 =−− , y(1)=1

2/13/2019 16

2/13/201916

ln ln | |1

uc x

u=

+ ln ln | |1

yx c x

yx

=+

ln ln | |y

c xy x

=+

| |y

c xy x

=+

2( ); (k c)y k xy x= + =

2

1

kxy

kx=

−


11

k

k=

−

1

2k =

Jadi solusi khusus PD di atas adalahx

xy

−=

2

2

2(1 )y kx kx− =


Latihan

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

xy

yx

dx

dy

2

3 22 +=

2

2 2

x

xyy

dx

dy +=

yx

yx

dx

dy

−

+=

3

2

22

x

yxyx

dx

dy ++=

yx

yx

dx

dy

+

+−=2

34

yx

xy

dx

dy

−

−=2

34

2y dx – x dy = 0


PDB Linier

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :

y’+ P(x) y = r(x)

disebut PDB linier.

Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integrasi

dxxP

e)(

( ) ( ) ( )

'( ) ( )

' ( ) ( )

( )

P x dx P x dx P x dx

P x dx P x dx

y e P x y e r x e

ye r x e

+ =

=

Kemudian, kalikan kepada kedua ruas, sehingga diperoleh:

Integralkan kedua ruas

( ) ( )( )

P x dx P x dxye r x e dx C = +

Solusi Umum PDB

( )

( )

( )P x dx

P x dx

r x e dx C

y

e

+ =


Contoh

1.) xy’ – 2y = x3 ex

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

Jawab:

xexyx

y 22' =− (bagi kedua ruas dengan x)

Sehingga diperoleh faktor integrasi:

2lnln2

22 −−

−

=== −

xeee xxdx

x

kalikan kedua ruas dengan x-2, yaitu:

xeyx

yx

=−32

2'

1

'

2

1 xy ex

=

2

1 xy e dxx

=

22 xcexy x +=

Jadi solusi umumnya adalah22 xcexy x +=

2

1 xy e cx

= +


Contoh

2. y’ + y = (x + 1)2, y(0) = 3

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

Jawab:

Faktor integrasi dari PD di atas adalah:

xdx

ee =1

kalikan kedua ruas dengan ex, yaitu:

( )21' +=+ xeyeye xxx

2( ) ' ( 1)x xe y e x= +

+= dxxeye xx 2)1( ( ) +−+= dxexexye xxx )1(212

( ) ( ) xcexxy −+++−+= 21212

( ) ceexexye xxxx +++−+= 2)1(212

sehinggaxcexy −++= 12


Contoh (no. 2 Lanjutan)


c+=13 2=c

Jadi solusi khusus PD di atas adalah2 1 2 xy x e−= + +


Latihan

Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini:

( )211

2'.4 +=

++ xx

yy

xxyy sectan'.3 =+

xeyy −=+2'.1

1')1(.2 2 −=++ xyyx

( ) -x6. xy'+ 1+x y=e , y(1)=0

22'.5 xyy =+

26

,2sincos2'sin.7 =

=+

yxxyyx

Trayektori ortogonal (TO)

• Masalah dalam TO ini adalah bagaimana mendapatkan (keluarga)

kurva yang orthogonal (tegak lurus) terhadap (keluarga) kurva lain

yang diketahui.

• Cara untuk mendapatkan TO dari suatu kurva G(x,y,c)=0 :

1. Tentukan sebuah PDB dengan menurunkan G(x,y,c)=0 atas x, dengan kurva yang

diketahui adalah solusi umumnya. PDB ini tidak lagi mengandung parameter c.

Sehingga PDB dari kurva yg diketahui adalah

2. Tentukan PDB dari trayektori orthogonal . . PDB ini adalah :

; dengan f yang sama dengan langkah ke-1.

3. Trayektori orthogonal ditentukan dengan menyelesaikan PDB dari Langkah ke-2.

1'

( , )y

f x y= −

' ( , ).y f x y=

)(~~ xyy =


Contoh

2cxy =Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva

Jawab:

Langkah-langkah menentukan TO :

1. Tuliskan2cxy = dalam bentuk

2x

yc =

Kemudian turunkan yaitu:2cxy =

2. TO akan memenuhi PD

cxy 2'=

=

22'

x

yxy

x

yy 2'=

1'

2 / 2

xy

y x y= − = −


Contoh (lanjutan)3. TO dari adalah solusi dari PD berikut:

)(2

22

ellipscyx

=+

'2

xy

y= −

y

x

dx

dy

2−=

−= xdxydy2 cx

y +−=2

22

2cxy =

Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola2cxy =

adalah )(2

22

ellipscyx

=+

x

y


LatihanTentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut :

222 cyx =+ cxy +=

222 cyx =− 4 x2 + y2 = c

4.

2.

1.

5.

y = cx3.

persamaan diferensial orde satu · 2019-02-13 · 2/13/2019 [mug1b3] kalkulus ii 2 persamaan...

Documents