persamaan diferrensial.pdf

Matematika Teknik KimiaOleh:

Ir. Sufriadi Burhanuddin, M.Eng

Persamaan diferensial adalah persamaan matematis yang mengandung satu variabel bebas, variabel terikat dan turunan-turunan variabel terikat terhadap variabel bebasnya.

Jika persamaan diferensial tersebut mengandung peubah tak bebas yang hanya bergantung pada satu peubah bebasnya maka persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial biasa. Sedangkan jika peubah bebasnya lebih daru satu dinamakan persamaan diferensial parsial. Orde atau tingkat dari suatu persamaan diferensial adalah turunan tertinggi pada persamaan diferensial tersebut.

Sebagai ilustrasi, jika variabel bebas adalah y dan variabel x maka bentuk umum fungsi dari suatu persamaan diferensial ditulis seperti berikut ini.

0...,,,,2

2

=

dx

yd

dx

dyyxF (1)

Bentuk-bentuk persamaan diferensial,

1. Persamaan Diferensial Orde 1

A. Persamaan Diferensial Variabel Terpisah

B. Persamaan Diferensial Variabel Tereduksi

C. Faktor Integral

D. Persamaan Diferensial Linear

E. Persamaan Diferensial Homogen

F. Persamaan Diferensial Bernoulli

G. Persamaan Diferensial Eksak


A. Persamaan Diferensial Linear Homogen ( 0)( =xf )

B. Persamaan Diferensial Linear NonHomogen ( 0)( ≠xf )

C. Fungsi Komplementer

D. Integral Khusus


A. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 1

Bentuk umum persamaan diferensial orde satu, yaitu

)(

)(

yg

xf

dx

dy = (2)

A.1 Persamaan Diferensial Variabel Terpisah

Persamaan diferensial orde satu jenis ini, variabel y dan x dapat dipisahkan dengan cara manipulasi aljabar sederhana, sehingga diperoleh:

dxxfdyyg )()( = (3)

Penyelesaian dari persamaan (2) adalah dengan mengintegralkan kedua sisi masing terhadap y dan x, sehingga diperoleh:

∫∫ += cdxxfdyyg )()( (4)

Contoh 1.

Selesaikan persamaan diferensial yxdx

dy2−=

Penyelesaian:

Variabel y dan x dipisahkan dan selanjutnya diintegralkan di kedua sisinya, yaitu:

∫∫ −= dxxy

dy2

Hasilnya adalah:

12ln cxy +−=

12 cxey +−= 1

2

. cx eey −= ; namakan cec =1 , maka hasil akhirnya

menjadi:

2xecy −=

Contoh 2.

Selesaikan persamaan diferensial 0)1( 2

=+

+xx

y

dx

dy

Penyelesaian:

Variabel y dan x dipisahkan dan selanjutnya diintegralkan di kedua sisinya, yaitu:

0)1( 2

=+

+∫∫ xx

dx

y

dy

∫∫∫ =+

−+ 0)1( 2x

dxx

x

dx

y

dy

0)1(lnlnln 12

21 =++−+ cxxy

cxxy ln)1(lnlnln 221 =+−+ dimana 1ln cc −=

cxxy ln)1(lnlnln 212 =+−+ , disederhanakan sehingga diperoleh hasil

akhir dalam bentuk:

x

xcy

21

)1( 2+=

Contoh 3.

Selesaikan persamaan diferensial 1

12

++=

y

x

dx

dyxy

Penyelesaian:

Pisahkan variabel yang sama (x,y), selanjutnya diintegralkan secara langsung dikedua sisinya, yaitu

∫ ∫ +=+

+=+

++=

dxx

xdyyy

dxx

xdyyy

y

x

dx

dyxy

)1

()(

1)1(

1

1

2

2

2

dengan cara integral langsung, maka Cxxyy ++=+ ln223

223

Contoh 4.

Selesaiakan persamaan diferensial xyydx

dyx +=

Penyelesaian:

Sederhanakan persamaan diferensial diatas, pisahkan variabel yang sama, dan selesaikan dengan cara integral langsung, yaitu

Integral Fraksional

)1( xydx

dyx +=

x dy dxxy )1( +=

dxx

x

y

dy +=1 , diselesaikan dengan integral langsung

∫ ∫ += dxxy

dy)1

1(

Cxxy ++=lnln , dapat disederhanakan lebih lanjut

CxCx eeex

y

Cxx

y

Cxxy

.

ln

lnln

⇒=

+=

+=−

+

perhatikan bahwa Ce nilai konstan, kita simbolkan dengan A, maka

xx xAeyAex

y =⇒=

Contoh 5.

Selesaikan persamaan diferensial xydx

dyxy 22 sec)4(tan +=

Penyelesaian;

Pisahkan variabelnya, selesaikan dengan cara interal langsung, yaitu

Cxy

dxx

xdy

y

y

dxx

xdy

y

y

+=+

=+

=+

∫ ∫

tanln)4ln(2

1

tan

sec

4

tan

sec

4

2

2

2

2

2

dapat kita sederhanakan menjadi,

Axy lntanln2)4ln( 2 +=+ , dimana A merupakan C2

Ay =+ 24 x2tan

Ay =2 4tan 2 −x 4tan 2 −=⇒ xAy

Latihan !!

1. Selesaikan persamaan diferensial 563 2 +−= xxdx

dy

2. Selesaikan persamaan diferensial 4=dx

dye x , hitung konstanta jika 3=y

dan 0=x

3. Selesaikan persamaan diferensial )1)(1( yxdx

dy =+=

4. Selesaikan persamaan diferensial x

y

dx

dy

++=2

1

5. Selesaikan persamaan diferensial xdx

dy

y

xcos.

1

sin =+

6. Selesaikan persamaan diferensial 3cos 2 += ydx

dyx

7. Selesaikan persamaan diferensial yxydx

dy −=

8. Selesaikan persamaan diferensial y

x

dx

dy 22 +=

9. Selesaikan persamaan diferensial x4 ydy − dyxdx 2=

10.Selesaikan persamaan diferensial 0)1()1( 22 =−++ xydxyx

A.2 Persamaan Diferensial Variabel Tereduksi

Terkadang dijumpai persamaan diferensial orde satu yang variabelnya tidak terpisah, tetapi dengan teknik “reduksi variabel”, maka persamaan diferensial tersebut menjadi persamaan diferensial variabel terpisah. Persamaan diferensial ini sering digunakan pada persamaan diferensial Homogen (akan dijelaskan nanti).

Persamaan diferensial yang dapat direduksi menjadi variabel terpisah adalah persamaan diferensial yang berbentuk:

)(x

yf

dx

dy = (5)

Artinya, suku yang ada y/x disubtitusikan dengan suatu variabel u, atau ux

y =

dan xuy = . Bentuk persamaan diferensial selanjutnya menjadi:

),( xufdx

du =

(6)

Persamaan (5) adalah persamaan diferensial variabel terpisah untuk selanjutnya diselesaikan seperti cara yang dijelaskan pada A.1. Langkah akhir adalah mengembalikan bentuk hasil f(u,x) kembali ke dalam bentuk f(x,y).

Contoh 6 .

Selesaikan persamaan diferensial yxdx

dyx +=

Penyelesaian:

x

y

dx

dy +=1 (*)

Selanjutnya dinyatakan ux

y = sehingga duxdxudy += dan substitusikan ke

dalam persamaan (*), diperoleh:

∫∫ =x

dxdu

cxu += ln

Gantikan kembali x

yu = dengan demikian penyelesaian akhir adalah:

)(ln cxxy +=

Contoh 7.

Selesaikan persamaan diferensial 02 22 =+− xydx

dyxy .

Penyelesaian:

Persamaan soal dibagi dengan 2x , sehingga diperoleh:

0122

=+

−

x

y

dx

dy

x

y(**)

Selanjutnya dinyatakan ux

y = sehingga duxdxudy += dan substitusikan ke

dalam persamaan (**), diperoleh:

012 2 =+−

+ u

dx

duxuu , atau

012 2 =++udx

duux

Dengan pemisahan variabel, diperoleh bentuk sebagai berikut:

x

dx

u

duu −=+ 21

2(***)

Integralkan persamaan (***) menghasilkan:

cx

u ln1

ln)1ln( 2 +

=+ , atau

x

cu =+ 21

Gantikan kembali x

yu = dengan demikian penyelesaian akhir adalah:

xcyx =+ 22 atau42

22

2c

yc

x =+

−

Tidak selamanya dapat digunakan substitusi ux

y = untuk menyelesaikan

persamaan diferensial variabel tereduksi. Karena sering juga digunakan substitusi variabel dalam bentuk khusus untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang khusus pula. Beberapa contoh dapat dilihat seperti di bawah ini.

Contoh 8 .

Selesaikan persamaan diferensial yedx

dyx yx −= − .

Penyelesaian:Persamaan diferensial tersebut hanya bisa diselesaikan jika disubstitusikan dengan uxy = .

Contoh 9 .

Selesaikan persamaan diferensial 2)( xydx

dy −= .

Penyelesaian:Persamaan diferensial tersebut hanya bisa diselesaikan jika disubstitusikan dengan uxy =−

A.3 Faktor Integral

Faktor integral ini digunakan untuk penyelesaian persamaan diferensial yang berbentuk linear, persamaan diferensial Bernoulli, dan persamaan diferensial

yang lainnya, dengan catatan memiliki bentuk umum QPydx

dy =+

(7)

Faktor integral ini memiliki bentuk umum , yaitu ∫=Pdx

eFI

Catatan : bahwa dalam menentukan ∫Pdx , kita tidak perlu menyertakan konstanta integrasinya, hal ini dilakukan untuk penyederhanakan saja, karena konstanta integrasi tersebut akan memberikan faktor konstan dikedua ruas persamaan diferensial, yang akhirnya akan saling meniadakan satu sama lain. Ha ini hanya berlaku pada penggunaan faktor integral saja.

A.3 Persamaan Diferensial Linear

Persamaan diferensial dikatakan linear, apabila persamaan tersebut memiliki peubah tak bebas maupun turunannya berifat linear. Bentuk umum dari persamaan diferensial orde pertama dam suatu fungsi )(xy yang dicari adalah

).(' yxfdx

dyy == (8)

Bila dalam persamaan (6) tersebut kita tulis sebagai )()(),( xQyxPyxf +−= , yang memiliki maksud adalah sebagai fungsi dari x dikalikan y , ditambah dengan fungsi dari x . Persamaan diferensial yang seperti itu disebut dengan Persamaan Diferensial Linear, biasanya ditulis dalam bentuk,

QPydx

dy =+ (9)

dimana P,Q merupakan fungsi dari x atau konstanta. Pada umumnya pengerjaan persamaan diferensial linear ini menggunakan faktor integral, yang nantinya dikalikan pada kedua ruas persamaan diferensial tersebut dan mengintegralkannya (terhadap x ) secara langsung. Sehingga akan didapatkan penyelesaian persamaan yang lebih sderhana, yaitu

y ∫=∫ QePdx

dxePdx∫

y ∫= QFI FI dx(10)

Penting untuk diingat bahwa dalam faktor integral terdapat aturan logaritma seperti,

xe

fungsie

xe

xe

x

fungsi

x

x

tanh

sin

ln

tanhln

ln

sinln

ln

==

==

xe

xe

xe

Fe

x

x

x

F

3

sinh3ln

sinhln

2ln

ln

2

==

=

=

Contoh 10.

Selesaikan persamaan diferensial xeydx

dy 25 =+

Penyelesaian :

Kita kerjakan faktor integral atau integrasinya terlebih dahulu,

dengan ∫ ∫ ==⇒= xdxPdxP 555

xPdxee 5=∫ , nilai ini kita kalikan pada kedua

ruas

xx

xxxx

eyedx

d

eeyedx

dye

75

2555

)(

5

=

=+

y dxee xx ∫= 75

y Ce

ex

x +=7

75 x

x

Cee

y 52

7−+=⇒

Catatan : jangan lupa untuk membagi nilai C dengan xe5 !!!!!!

Contoh 11.


dy =−

Penyelesaian ;

yang memiliki nilai xQ

P

=−= 1

kita kerjakan terlebih dahulu faktor integrasinya ∫ ∫ −=−= xdxPdx

maka faktor integrasinya, xeFI −=

dengan menggunakan persamaan (10), maka

y ∫= QFI FI dx

y ∫=− xe xdxe x−

y dxeexe xxx ∫ −−− +−= )(

y Cexee xxx +−−= −−− 1−−=⇒ xCey x

Contoh 12.

Selesaikan persamaan diferensial 3)2(2)2( −+=− xydx

dyx

Penyelesaian :

Ubahlah ke bentuk umum persamaan diferensial linear, dengan cara membagi persamaan tersebut dengan )2( −x , maka

2)2(22

1 −=−

− xyxdx

dy

yang memiliki nilai 2)2(2

2

1

−=−

−=

xQ

xP

kita kerjakan terlebih dahulu faktor integrasinya,

∫ ∫ −−=−

−= )2ln(2

1xdx

xPdx

maka faktor integrasinya,

2

1)2ln(

−==∫= −−

xeeFI xPdx


y ∫= QFI FI dx

dxx

xx

y ∫ −−=

− 2

1)2(2

2

1 2

)2()2()2(2

1

)2(22

1

32 −+−=⇒+−=−

−=− ∫

xCxyCxx

y

dxxx

y

Contoh 13.

Selesaikan persamaan diferensial xecxxxydx

dy2cos22cot212cot2 −−=−

Penyelesaian :

yang memiliki nilai xecxxQ

xP

2cos22cot21

)2cot2(

−−=−=

kita kerjakan faktor integrasinya dahulu, xdxxPdx 2sinln)2cot2( −=−= ∫∫

maka faktor integrasinya, xeceFI x 2cos2sinln == −


y ∫= QFI FI dx

y ∫ −−= dxxecxecxxxec )2)(cos2cos22cot21(2cos

y ∫ −−= dxxecxecxxxecxec )2cos22cos2cot22(cos2cos 2

y Cxxecxxec ++= 2cot2cos2cos

xCxxy 2sin2cos ++=

Contoh 14.

Selesaikan persamaan diferensial 3)2()2( −=−− xydx

dyx , jika 4=x dan 10=y

Penyelesaian :

Sederhanakan persamaan tersebut menjadi,

2)2(2

−=−

− xx

y

dx

dy

yang memiliki nilai 2)2(

2

1

−=−

−=

xQ

xP

kita kerjakan faktor integrasinya dahulu, ∫ ∫ −−=−

−= )2ln(2

1xdx

xPdx

maka faktor integrasinya, 2

1)2ln(

−== −−

xeFI x


y ∫= QFI FI dx

Cxxx

y

dxxdxx

y

dxxx

y

dxx

xx

y

+−=−

−=−

−=−

−−=

−

∫ ∫

∫

∫

22

1

2

1

22

1

)2(2

12

1)2(

2

1

2

2

jika 4=x dan 10=y , maka

5

)2()2)(8()2)(16(2

110

)2()2(2)2(2

1 2

=

+−=

−+−−−=

C

C

xCxxxxy

Latihan !!

1. Selesaikan persamaan diferensial 75 xydx

dyx =−

2. Selesaikan persamaan diferensial 1)1( 2 =−− xydx

dyx

3. Selesaikan persamaan diferensial xxydx

dy42 =+

4. Selesaikan persamaan diferensial xxxydx

dyx 23 23 −++=

5. Selesaikan persamaan diferensial xexydx

dy cos5cot =+

6. Selesaikan persamaan diferensial 323 )32( xxdx

dyx =−+

7. Selesaikan persamaan diferensial xydx

dyx sectan =+

8. Selesaikan persamaan diferensial xxydx

dycoscot =+

9. Selesaikan persamaan diferensial 4

3

22xz

xdx

dz =−

10.Suatu zat radioaktif tertentu diketahui mengalami peluruhan dengan laju yang sebanding dengan jumlah yang ada, Jika awalnya terdapat 100 mg zat dan setelah dua jam diamati bahwa zat tersebut telah kehilangan 20% dari massa awalnya, carilah a. ekspresi matematika untuk massa zat pada setiap waktu t

b. massa zat tersebut setelah 4 jam

c. lamanya waktu yang dibutuhkan zat tersebut luruh untuk menjadi

setengah dari massa awalnya

A.4 Persamaan Diferensial Homogen

Persamaan ini dapat dikayakan homogen apabila pangkat dari variabel yang ada bernilai sama, dalam hal ini pangkat x dan y bernilai sama atau sama derajatnya. Kunci penyelesaian persamaan diferensial homogen ini ialah

dengan cara mensubstitusikan vxy = atau x

yv = , dimana v merupakan

fungsi dari x . Substitusi ini akan mengubah persamaan yang ada menjadi bentuk persamaan yang dapat kita pisahkan variabelnya. Persamaan diferensial homogen ini memiliki bentuk umum,

0),(),( =+ dyyxQdxyxP (11)

bila kita turunkan terhadap x , maka y = v . x

dx

dy= v

dx

dx + x

dx

dv

(12)

dx

dy= v + x

dx

dv(13)

sehingga didapatkan [ ])(),(),( vRxvxPyxP mx =→

(14)

[ ])(),(),( vSxvxQyxQ mx =→ (15)

jika persamaan (12, 14, 15) kita substitusikan ke persamaan (11), maka

0))(()( =++ xdvvdxvSxdxvRx mm

(16)

jika perssamaan 16 kita bagi dengan mx , maka

[ ] 0)()()( =++ xdvvSdxvvSvR (17)

persamaan (17) dapat kita pisahkan berdasarkan variabel x dan y , maka

0)()(

)( =+

+ dvvvSvR

vS

x

dx

0)()(

)( =+

+∫ ∫ dvvvSvR

vS

x

dx

(18)

Bentuk persamaan (18) merupakan bentuk persamaan yang variabelnya sudah terpisah, dan persamaan tersebut menjadi dasar pengerjaan persamaan diferensial homogen.

Contoh 15.

Selesaikan persamaan diferensial xy

yx

dx

dy 22 +=

Penyelesaian :

kita kali silang pada persamaan tersebut, maka

xy dxyxdy )( 22 += (*)

substitusikan vxy = dan xdvvdxdy += kedalam persamaan (*)

dxvxxdyvxx 22 )()( +=

vx2 dxxvxxdvvdx )()( 222 +=+

dxxvxvdvxdxvx )( 222322 +=+

032 =− vdvxdxx (**)

Persamaan (**) kita bagi dengan 3x , maka

∫ ∫ =−

=−

0

0

vdvx

dx

vdvx

dx

0ln)(2

1ln

02

1ln

2

12

=+−

=+−

Cx

yx

Cvx

2222

2

2

2

ln22

ln)(2

1lnln Cxxxy

x

yCx

x

yCx +=⇒=⇒=+

Contoh 16.

Selesaikan persamaan diferensial x

yx

dx

dy

2

3+=

Penyelesaian :

terlihat sangat mudah, tapi kita tidak bisa memisahkan variabelnya, caranya dengan

melakukan substitusi vxy = , dengan vmerupakan fungsi dari x , serta substitusikan

persamaan 13 diruas kiri pada persamaan tersebut.

2

312

)31(2

)(32

3

v

dx

dvxv

x

vx

dx

dvxv

x

vxx

dx

dvxv

x

yx

dx

dvxv

+=+

+=+

+=+

+=+

2

1 v

dx

dvx

+= (*)

Persamaan (*) sudah dalam bentuk v dan x , sekarang kita tinggal memisahkan

variabelnya dan langsung mengintegralkannya , yaitu

Axv

Cxv

dxx

dvv

lnln)1ln(2

ln)1ln(2

1

1

2

+=++=+

=+∫ ∫

dimana CA =ln

Axv ln)1ln(2 =+

Axv =+ 2)1( (**)

Persamaan (**) kita substitusikan dengan x

yv = , maka

322 )()1( AxyxAxx

y =+⇒=+

Contoh 17.

Selesaikan persamaan diferensial 2222 yxdx

dyx +=

Penyelesaian :

langkah pengerjaan sama seperti contoh 16, dengan mensubstitusikan vxy = dan

persamaan 13, tapi sederhanakanlah dahulu, maka

2

1

2

)(

2

2

2

22

2

22

v

dx

dvxv

x

vxx

dx

dvxv

x

yx

dx

dy

+=+

+=+

+=

2

)1( 2−= v

dx

dvx (*)

Persamaan (*) dapat diselesaikan dengan cara pemiasahan variabel, maka

∫ ∫=−

dxx

dvv

1

)1(

22

Cxv

+=−

− ln1

12 (**)


yv = , maka

Cxyx

xCx

v+=

−⇒+=

−ln

2ln

1

2

Contoh 18.


2

yx

xy

dx

dy

−=

Penyelesaian :

Langkah yang sama dilakukan seperti pada contoh 16 dan 17, yaitu

22 )(

)(2

vxx

vxx

dx

dvxv

−=+

1

)1(2

2

−+−=

v

vv

dx

dvx (*)

Persamaan (*) diselesaikan dengan pecahan parsial, maka akan didapatkan

∫ ∫ ∫ +−=

=+

−−

dvv

vdv

vdx

x

dvv

v

vdx

x

1

211

0)1

21(

1

2

2

vCvx

Cvvx

ln)1(ln

ln)1ln(lnln2

2

=+

++−=

vAvx =+ )1( 2 (**)

dimana CA ln=

persamaan (**) kita substitusikan dengan x

yv = , maka

AyyxAx

y

x

yx =+⇒=+ 222 )1)((

Contoh 19.

Selesaikan persamaan diferensial xyx

yxy

dx

dy

2

322

2

++=

Penyelesaian :

langkah pengerjaaan yang sama seperti sebelumnya, yaitu

v

vv

dx

dvxv

vxx

xvvx

dx

dvxv

vxxx

vxvxx

dx

dvxv

21

32

2

32

)(2

)(3)(2

2

22

222

2

2

++=+

++=+

++=+

v

vv

dx

dvx

21

2

++= (*)

Persamaan (*) kita integralkan dengan pemisahan variabel, maka

∫ ∫=++

dxx

dvvv

v 1212

Cxvv +=+ ln)ln( 2

Axvv lnln)ln( 2 +=+ , dimana AC ln=

Axvv =+ )( 2 (**)


yv = , maka

Axx

y

x

y =+ )))((( 2

322

2

AxyxyAxx

y

x

y =+⇒=+

Latihan !!


dyyx =+ )( 22

2. Selesaikan persamaan diferensial yxdx

dyyx +=− )(

3. Selesaikan persamaan diferensial 22 )( yxydx

dyxyx −=+

4. Selesaikan persamaan diferensial yxdx

dyxy +=− 2)2( , jika 3=y dan

2=x

5. Selesaikan persamaan diferensial 0)()( 22 =−++dx

dyxyxyxy

6. Selesaikan persamaan diferensial 0)34(3 =++−dx

dyxyxy

7. Selesaikan persamaan diferensial 0)3()( 233 =−+ dyxydxyx

8. Selesaikan persamaan diferensial 22 yxydxxdy −−− 0=dx

9. Selesaikan persamaan diferensial 443 2 xydx

dyxy +=

10.Sebuah benda dengan temperatur awal yang tidak diketahui diletakkan dalam sebuah ruangan yang dijaga temperaturnya konstan 30˚F. Jika setelah 10 menit temperatur benda tersebut menjadi 0˚F dan setelah 20 menit temperatur benda tersebut menjadi 15˚F. Carilah temperatur awal benda tersebut

A.5 Persamaan Diferensial Bernoulli

Persamaan diferensial bernoulli ini hampir sama dengan persamaan diferensial linear, hanya berbeda diruas kanan pada persamaan diferensial terdapat pangkat )(n . Dimana n tersebut merupakan sebuah nilai ,.......).3,2,1(

Pesamaan Bernoulli memiliki bentuk umum, yaitu

QPydx

dy =+ ny (18)

dimana P dan Q merupakan fungsi dari x atau konstanta

pada persamaan diferensial bernoulli terdapat beberapa langkah, yaitu

(i). bagi kedua ruas persamaan 18 dengan ny

Pdx

dyy n +− Qy n =−1

(!9)

(ii). kita misalkan nyz −= 1 , sehingga dengan menurunkannya,

dx

dyyn

dx

dz n−−= )1( (20)

(iii). persamaan 19 kita kalikan dengan )1( n− ,

Pndx

dyyn n )1()1( −+− − Qny n )1(1 −=− (21)

(iv). perhatikan persamaan 21, bahwa suku pertama merupakan

dxdz , maka

persamaannya menjadi,

11 QzPdx

dz =+

(22)

(v). persamaan 22 sudah dalam bentuk persamaan diferensial linear dan dapat

diselesaikan dengan faktor integral

Lima langkah diatas harus dipahami dan dimengerti agar pengerjaan persamaan diferensial Bernoulli menjadi lebih mudah, serta persamaan 22 menjadi dasar perngerjaan.

Contoh 20.

Selesaikan persamaan diferensial 21xyy

xdx

dy =+

Penyelesaian :

Ikutilah kelima langkah diatas,

21xyy

xdx

dy =+ , dengan 2=n

xyxdx

dyy =+ −− 12 1

(*)

misalkan 11 −− == yyz n

dx

dyy

dx

dz 2−−=

persamaan (*) kita kalikan dengan 1)1( −=−n ,

xyxdx

dyy −=−− −− 12 1

(**)

xzxdx

dz −=−1 (***)

perhatikan persamaan (***) yang sudah dalam bentuk persamaan 22, maka

langkah selanjutnya mengintegralkannya dengan faktor integral,

dengan nilai xQx

P

−=

−= 1

∫ ∫ −=−= xx

dxPdx ln

xeeFI xPdx 1ln ==∫= −

gunakan persamaan (10),

z ∫= QFI FI dx

∫−= dxx

xx

z11

CxxzCx

x

z

dxx

z

+−=⇒+−=

−= ∫2

dimana 1−=yz , maka

122 )(1 −+−=⇒+−= CxxyCxxy

Contoh 21.


dyy 3432 =−

Penyelesaian :

Ubah kebentuk umum persamaan diferensial Bernoulli,

33

2 34 xeyy

dx

dy −=−

ikuti kelima langkah untuk pengerjaan persamaan diferensial Bernoulli,

33

2 334

xey

dx

dyy −=− −− (*)

misalkan 31 −− == yyz n , dengan 4=n

dx

dyy

dx

dz 43 −−=

persamaan (*) kita kalikan dengan 3)1( −=−n

xeydx

dyy 334 23 =+− −− (**)

xezdx

dz 32 =+ (***)

kita integralkan dengan faktor integral,

dimana nilai xeQ

P3

2

=

=∫ ∫ == xdxPdx 22

xPdxeeFI 2=∫=


z ∫= QFI FI dx dengan 3−=yz ,

z ∫= dxeee xxx 232 5

5

3

2 Ae

y

e xx +=

z Ce

ex

x +=5

52 3

5

25

Ae

ey

x

x

+=

dimana CA ln=

C ontoh 22.


)1(

2

1 3yxy

xdx

dy +−=−

Penyelesaian :

Ikuti kelima langkah untuk pengerjaan persamaan diferensial Bernoulli,

2

)1(

2

1 23 +−=− −− xy

xdx

dyy (*)


dx

dyy

dx

dz 22 −−=


)1(1

2 23 +=+− −− xyxdx

dyy (**)

)1(1 +=+ xzxdx

dz(***)

kita integralkan dengan faktor integral,

dimana nilai )1(

1

+=

=

xQX

P ∫∫ == xdx

xPdx ln

1

xeeFI xPdx==∫= ln


z ∫= QFI FI dx dengan 2−=yz , maka

z ∫ += )1(xx x dx 6

32 23

2

Axx

y

x ++=

z ∫ += dxxxx )( 2 Axx

xy

++=

23 32

6

z x Cxx ++=23

23

Contoh 23.


dyxyx cos432 =−

Penyelesaian :

Ubah ke bentuk persamaan diferensial Bernoulli,

3

4 cos1

x

xyy

xdx

dy −=−

334 cos1

x

xy

xdx

dyy −=− −− (*)


dx

dyy

dx

dz 43 −−=


334 cos33

3x

xy

xdx

dyy =+− −− (**)

3

cos33

x

xz

xdx

dz =+ (***)

persamaan (***) kita integralkan dengan faktor integral,

dimana nilai

3

cos3

3

x

xQ

xP

=

=

∫ ∫ == xdxx

Pdx ln33

3ln3 xeeFI xPdx==∫=


z ∫= QFI FI dx dengan 3−=yz

z ∫=3

3 cos3

x

xx dxx3 Cx

y

x += sin33

3

z ∫= xx cos33 dx 3

3

sin3 Cx

xy

+=

z Cxx += sin33

Untuk persamaan diferensial Bernoulli ini terlihat sangat mudah tapi tidak ada salahnya jika sering latihan agar lebih paham.

Latihan !!

1. Selesaikan persamaan diferensial 3xyydx

dy =+

2. Selesaikan persamaan diferensial xeyydx

dy 4=+

3. Selesaikan persamaan diferensial xyxydx

dy 43 sectan =+

4. Selesaikan persamaan diferensial xyxydx

dy 22 tantan2 =−

5. Selesaikan persamaan diferensial 3)1(2 yxxdx

dyxy +=−

6. Selesaikan persamaan diferensial 4)21(3

1

3

1yxy

dx

dy −=+

7. Selesaikan persamaan diferensial )sin(cos2 xxyydx

dy −=+

8. Selesaikan persamaan diferensial x { } 0)ln1(3 =++− dxxxyydy

9. Selesaikan persamaan diferensial 02 =+− xxydx

dyy

10.Selesaiakan persamaan diferensial 0cos2 3 =+− yxy

x

dx

dy

A.6 Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah persamaan diferensial orde satu yang berbentuk:

0),(),( =+ dyyxNdxyxM

(23)

Persamaan (6) disebut persamaan diferensial eksak jika:

x

N

y

M

∂∂=

∂∂

(24)

Didefinisikan bentuk umum penyelesaian persamaan (23) adalah:

cyxz =),( (25)

Selanjutnya diferensialtotalkan persamaan (25) akan menghasilkan:

0),(),( =

∂∂+

∂∂= dy

y

yxzdx

x

yxzdz atau 0

),(),( =∂

∂+∂

∂dy

y

yxzdx

x

yxz

(26)

Analog dengan persamaan (23), maka dapat diambil kesimpulan:

x

yxzM

∂∂= ),(

(27)

y

yxzN

∂∂= ),(

(28)

Dari sini akan diperoleh cara menyelesaikan persamaan diferensial eksak, yaitu dengan mengintegralkan persamaan (27):

∫ += )(ykdxMz (29)

Catatan: y dianggap konstan dalam proses integrasi, dan k(y) adalah konstanta integrasi yang selanjutnya harus ditentukan nilainya yaitu dengan cara mendiferensialparsialkan z terhadap y dengan anggapan x konstan.

( )∫ +∂∂=

∂∂

)(ykdxMyy

z(30)

Karena Ny

yxz =∂

∂ ),(, maka diperoleh hubungan ( )∫ +

∂∂= )(ykdxMy

N

(31)

Hasil integrasi persamaan (31) memberikan:

( ) )(' ykdxMy

N +∂∂= ∫ (32)

Dari persamaan (32) dapat dicari nilai k(y), yaitu:

( )∫∂∂−== dxMy

Ndy

ykdyk

)()('

(33)

( ) dydxMy

Nykykd ∫ ∫∫

∂∂−== )()(

(34)

Maka rumus umum penyelesaian persamaan diferensial eksak merujuk ke persamaan (29) adalah:

( ) dydxMy

NdxMyxz ∫ ∫∫

∂∂−+=),(

Contoh 24 . Buktikan persamaan diferensial 0)3cos32(3sin2 2 =++ dyyxydxyx ekasak atau tidak

Penyelesaian:

Identifikasi: yxM 3sin2= dan )3cos32( 2 yxyN +=

Cek syarat eksak, yaitu: yxy

M3cos6=

∂∂

yxx

N3cos6=

∂∂

Terkadang persamaan diferensial yang kita temukan tidak berbentuk persamaan diferensial eksak, namun dalam bentuk persamaan diferensial non eksak (tidak eksak). Persamaan diferensial tidak eksak dapat dipecahkan dengan menggunakan faktor integral. Faktor integral ini dapat kita cari atau sudah ada beberapa faktor integral yang tersedia berdasarkan kelompok suku-suku dalam persamaan difrensial tersebut. Bila dengan faktor integral penyelesaian persamaan diferensial yang ada tidak dapat diselesaikan, maka gunakanlah cara lain untuk menyelesaikannya.

Proses pencarian faktor integral, jika

a. )(xf

NX

N

Y

M

=∂∂−

∂∂

, merupakan fungsi x saja, maka ∫=dxxf

eFI)(

b. )(xg

MX

N

Y

M

−=∂∂−

∂∂

, merupakan fungsi y saja, maka ∫=dyyg

FI)(

c. persamaan diferensial non eksak menjadi persamaan diferensial homogen dan

0≠+NyMx , maka faktor integralnya adalah NyMx +

1

d. persamaan diferensial non eksak berbentuk y xdxxyf +)(0)( =dyxyg , dimana )()( xygxyf ≠ , maka faktor integralnya adalah

NyMx −1

Contoh 25.

Selesaikan persamaan diferensial 0)3()24( 22433 =−+− dyxyxdxxyyx

Terbukti Eksak

Penyelesaian :

Kita cek dahulu apakah persamaan tersebut eksak atau tidak?

xyyxM 24 33 −= dan 2243 xyxN −=

xyxx

N

xyxy

M

212

212

23

23

−=∂∂

−=∂∂

terbukti eksak

dengan cara menyederhanakan dan mengintegralkan pada suku )(xM dan )(xN ,

xydyyxdxyx 2()34( 2433 −+ )2dyxdx + 0=

=− )()( 234 yxdyxd C

maka hasilnya ialah Cyxyx =− 234

Contoh 26.

Selesaikan persamaan diferensial 0)sin(sin)cos(cos =−++ dyyxxdxxyy

Penyelesaian :


xyyM coscos += dan yxxN sinsin −=

yxx

N

xyy

M

sincos

cossin

−=∂∂

+−=∂∂

terbukti eksak

dengan menyederhanakan dan mengintegralkan pada suku )(xM dan )(xN ,

y(cos yxdx sin− xydy cos()+ xdx sin+ 0) =dy

Cxydyxd =+ )sin()cos(

maka hasilnya ialah Cxyyx =+ sincos

Contoh 27.

Selesaikan persamaan diferensial 0)13()32( 3 =−+++ dyyxdxyx

Penyelesaian :


yxM 32 3 += dan 13 −+= yxN

3

3

=∂∂

=∂∂

x

N

y

M

terbukti eksak

cara lain dengan menggunakan persamaan (29),

∫ +=x

dxyxyxz )32(),( 3

)(32

1),( 4 ykxyxyxz ++= (*)

kita integralparsilkan z persamaan (*) terhadap y , maka

)('3 ykxy

z +=∂∂

(**)

13),( −+= yxyxN (***)

perhatikan persamaan (***), terlihat nilai )(' yk ialah 1−y

maka nilai ∫ −=⇒= yyykdyykyk 2

2

1)()(')(

kembali ke persamaan (*), maka hasilnya yyxyx −++ 24

2

13

2

1=C

Contoh 28.

Selesaikan persamaan diferensial 0)32()4( 232 22

=−++ dyyxyedxxey xyxy

Penyelesaian :


32 42

xeyM xy += dan 2322

yxyeN xy −=

22

22

3

3

22

22

xyxy

xyxy

exyyex

N

exyyey

M

+=∂∂

+=∂∂

terbukti eksak

dengan menggunakan persamaan (29),

)(),(

)4(),(

4

32

2

2

ykxeyxx

dxxeyyxz

xy

x xy

++=

+= ∫

kita integralparsialkan persamaa diatas, maka

)('22

ykxyey

z xy +=∂∂

(**)

232),(2

yxyeyxN xy −= (**)

perhatikan persamaan (**), terlihat bahwa nilai 23)(' yyk −=

maka nilai ∫ −=⇒= 3)()(')( yykdyykyk

kembali ke persamaan (*), maka hasilnya Cyxe xy =−+ 342

Contoh 29.

Selesaikan penyelesaian persamaan diferensial

0)(2)2242( 2342223 =+++++++ dyxyxydxyxyxyyxyx

Penyelesaian :


yxyxyyxyxM 2242 42223 ++++= dan )(2 23 xyxyN ++=

)12(2

24444 323

+=∂∂

++++=∂∂

xyx

N

xyxyxyxy

M

tidak eksak

ternyata persamaan tersebut tidak eksak, maka langkah yang dilakukan ialah

dengan mencari faktor integralnya terlebih dahulu, kemudian kita kalikan dengan

kedua ruas pada persamaan tersebut dan mengelompokkannya berdasarkan

pangkat tertinggi,

xxyxy

xyxyxyxyx

Nx

N

y

M

2)(2

)12(2)24444(23

323

=++

+−++++=∂∂−

∂∂

22 xxdx eeFI ==

maka persamaan awalnya menjadi

0)(2)2242(22 2342223 =+++++++ dyexyxydxeyxyxyyxyx xx (*)

persamaan (*) sudah pasti eksak (buktikan !!)


dxeyxyxyyxyxyxz xx 2

)2242(),( 42223 ++++=∫

dxexydxeyxydxeyxxyyxzx xx xx x ∫∫∫ ++++=

222 42232 )42()22(),(

)(2

12),(

222 422 ykeyxyeeyxyxz xxx +++=

(**)

kita integralparsialkan persamaan (**),

)('222222 32 ykeyxyeyex

y

z xxx +++=∂∂

(***)

222 32 222),( xxx eyxyeyexyxN ++=(****)

perhatikan persamaan (****), terlihat bahwa nilai 0)(' =yk

maka nilai ∫ =⇒= takonsykdyykyk tan)()(')(

kembali ke persamaan (***), maka hasilnya Ceyxyeyex xxx =++222 32 222

Contoh 30.

Selesaikan persamaan diferensial 0)3()22( 224234 =−−+++ dyxyxeyxdxyxyexy yy

Penyelesaian :


yxyexyM y ++= 34 22 dan xyxeyxN y 32242 −−=

322

1628

24

243

−−=∂∂

+++=∂∂

xyexyx

N

xyexyexyy

M

y

yy

tidak eksak

kita cari faktor integralnya terlebih dahulu,

yyxyxy

xyexy

M

x

N

y

My 4

22

48834

23

=++++=∂

∂−∂∂

⇒ merupakan fungsi y ,

maka faktor integralnya ialah 4ln4 1

yeeFI yy

dy

==∫= −−

maka persamaan awalnya menjadi,

0)3()1

22(42

22

3=−−+++ dy

y

x

y

xexdx

yy

xxe yy (*)

persamaan (*) sudah eksak (buktikan !!)


∫ ++=x y dx

yy

xxeyxz )

122(),(

3

)(),(3

22 yk

y

x

y

xexyxz y +++= (**)

kita integralparsialkan persamaan (**),

)('342

22 yk

y

x

y

xex

y

z y +−−=∂∂

42

22 3),(

y

x

y

xexyxN y −−= (***)

perhatikan persamaan (***), terlihat bahwa nilai takonsykyk tan)(0)(' =⇒=

kembali ke persamaan (**), maka hasilnya

Cy

x

y

xex y =++

3

22

Contoh 31.

Selesaikan persamaan diferensial 0)( 344 =−+ dyxydxyx

Penyelesaian :

Perhatikan persamaan tersebut, persamaan tersebut ialah persamaan diferensial

homogen, jika kita membuktikan eksak atau tidak, sudah pasti tidak eksak,

oleh karena itu, kita cari faktor integralnya terlebih dahulu. Faktor integral

bila persamaan diferensial homogen, ialah

5

11

xNyMx=

+

faktor integral yang kita dapatkan kita kalikan pada persamaan tersebut menjadi,

0)(1

)(1 3

544

5=−+ dyxy

xdxyx

x

0)1(

4

3

5

4

=−+ dyx

ydx

x

y

x(*)

persamaan (*) sudah pasti eksak (buktikan !!)


∫ +=x

dxx

y

xyxz )

1(),(

5

4

)(4

1ln),(

4

4

ykx

yxyxz +−= (**)

persamaan (**) kita integralparsialkan, maka

)('4

3

ykx

y

y

z +−=∂∂

4

3

),(x

yyxN −= (***)

perhatikan persamaa (***) terlihat bahwa nilai 0)(' =yk

maka nilai takonsdyykyk tan)(')( ==∫kembali ke persamaan(**), maka hasilnya ialah

14

4

4

1ln C

x

yx =− atau 444 ln4 Cxxxy +=

Contoh 32.

Selesaikan persamaan diferensial 0)22()2( 2222 =−++ dyyxxdxyxy

Penyelesaian :

Perhatikan baik-baik persamaan diatas, persamaan tersebut berbentuk

y xdxxyf +)( 0)( =dyxyg

maka tentulah persamaan tersebut tidak eksak, oleh karena itu kita cari

faktor integralnya terlebih dahulu. Faktor integral bila bentuk persamaannya

seperti itu, maka

333

11

yxNyMx=

+

faktor integral yang kita dapatkan kita kalikan pada persamaan tersebut, menjadi

03

22

3 32

22

23

22

=−+ dyyx

yxdx

yx

yx(*)

persamaan (*) sudah pasti eksak (buktikan!!)


∫=x

dxyx

yxyxz )

3(),(

23

22

∫ +=x

dxyxx

yxz )3

2

3

1(),(

23

)(3

1ln3

1),(

22yk

yxxyxz +−= (**)

kita integralparsialkan persamaan (**), maka

)('3

232

ykyxy

z +=∂∂

yyxyx

yxyxN

3

2

3

2

3

22),(

3232

22

−=−= (***)

perhatikan persamaan (***), terlihat bahwa nilai yyk 32)(' −=

maka nilai ∫ −== ydyykyk ln3

2)(')(

kembali ke persamaan (**), maka hasilnya

122lnln

3

2

3

1ln3

1Cy

yxx =−− atau 22

1

2 yxeCyx =

Latihan !!

1. Selesaikan persamaan diferensial 0)1(2 2 =++ dyxxydx

2. Selesaikan persamaan diferensial 0)2()2( =−++ dyyxdxyx

3. Selesaikan persamaan diferensial 0)sin(sin)cos(cos =−++ dyyxxdxxyy

4. Selesaikan persamaan diferensial 0)53()46( 44265335 =+++ dyyxyxdxyxyx

5. Selesaikan persamaan diferensial 0)( 222 =−−+ dyyxyxdxy

6. Selesaikan persamaan diferensial 0)21()12( 33 =−+++ dyyxxyxdxxyy

7. Selesaikan persamaan diferensial dxexydxxdy x2=−

8. Selesaikan persamaan diferensial 0)3(43 322 =−+ dyyxdxyx

9. Selesaikan persamaan diferensial 0)2( 3 =+− xdydxxy

10.Selesaikan persamaan diferensial 0)1( 2 =−+ dyyxxydx

B. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE DUA

Persamaan diferensial orde dua merupakan persamaan diferensial yang turunan

pangkat tertingginya orde dua. Persamaan diferensial orde dua memiliki bentuk

umum, yaitu

)(2

2

xfcydx

dyb

dx

yda =++ (35)

Dimana cba ,, merupakan koefisien-koefisien konstan dan )(xf merupakan

fungsi x yang diketahui. Nilai )(xf pada persamaan (35) dapat bernilai 0)( =xf

atau 0)( ≠xf .

Persamaan diferensial orde dua ini dibagi dua bagian berdasarkan nilai )(xf

tersebut yaitu, persamaan diferensial orde dua homogen dan persamaan diferensial

orde dua non homogen.

B.1 Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

Dalam persamaan diferensial orde dua homogen ini nilai 0)( =xf , maka persamaan (35) menjadi

02

2

=++ cydx

dyb

dx

yda (36)

Misalkan dalam persamaan (36) nilai 0=a , maka kita dapatkan persamaan diferensial orde pertama , yaitu

0=+cydx

dyb (37)

0=+kydx

dy(38)

dengan bck = pada persamaan (38),

dengan menggunakan cara pemisahan variabel, maka persamaan (38) dapat kita pecahkan, yaitu

∫ ∫−= ky

dydx

Ckxy +−=ln

CkxCkx eeey .−+− == , karena Ce nilai konstan, maka

kxAey −= (39)

jika k− pada persamaan (39) kita nyatakan dengan m , maka solusinya ialah

mxAey = (40)

persamaan (40) tersebut akan menjadi dasar pengerjaan persamaan diferensial orde dua homogen. Jika mxAey =

mxAmedx

dy = (41)

mxeAmdx

yd 22

2

=

(42)

persamaan (41) dan (42) kita substitusikan kedalam persamaan (36), akan diperoleh

02 =++ mxmxmx cAebAmeeaAm (43)

persamaan (43) kita bagi dengan mxAe , maka didapatkan

02 =++ cbmam (44)

persamaan (44) merupakan persamaan kuadrat yang akan memberikan nilai,

1mm = dan 2mm =

xmAey 1= dan xmBey 2= (43)

jadi pemecahan persamaan diferensial orde dua homogen pada persamaan (36) ialah

xmxm BeAey 21 += (44)

dengan BA, merupakan dua konstanta sembarang dan 1m , 2m merupakan

akar-akar persamaan kuadrat 02 =++ cbmam ,

persamaan ini dapat disebut dengan persamaan karakteristik, yang dapat diperoleh langsung dari persamaan (36), dengan menggantikan

22

2

mdx

yd = , mdx

dy = , 1=y

persamaan (43) dan (44) juga menjadi dasar pengerjaan persamaan diferensial orde dua homogen.

Contoh 33.


2

=+− ydx

dy

dx

yd

Penyelesaian :

Pemecahan persamaan tersebut sangat mudah sekali, yaitu dengan membuat

persamaan kuadrat terlebih dahulu dari persamaan tersebut,

01272 =+− mm

0)3)(4( =−− mm

maka akan diperoleh 41 =m dan 32 =m

berdasarkan persamaan (44), maka hasilnya xx BeAey 34 +=

Contoh 34.


2

=−+ ydx

dy

dx

yd

Penyelesaian :

Langkah yang sama seperti contoh 35 diatas,

01032 =−+ ymm

0)5)(2( =+− mm

maka akan diperoleh 21 =m dan 52 −=m

berdasarkan persamaan (44), maka hasilnya xx BeAey 52 −+=

Persamaan (36) memiliki pemecahan persamaan kuadrat (karakteristik), persamaan kuadrat pasti memiliki nilai-nilai akarnya ( 1m dan )2m . Nilai akar tersebut memiliki sifat, yaitu

(i). jika kedua akarnya real dan berbeda

1mm = dan 2mm =

xmxm BeAey 21 += (45)

(ii). jika kedua akarnya real dan sama

21 mmm ==

)( BxAey mx += (46)

persamaan (46) tersebut ada atas dasar persamaan diferensial orde dua

akan selalu memberikan dua konstanta sembarang, jadi harus ada suku lain

yang memuat konstanta kedua.

(iii). jika kedua akarnya kompleks

βα jm ±=

)sincos( xBxAey x ββα += (47)

persamaan (47) tersebut ada atas dasar jika βα jm +=1 dan βα jm −=2 ,

maka pemecahannya berbentuk,

xjxj DeCey )()( βαβα −+ +=

xjxxjx eDeeCey βαβα −+=

{ }xjxjx DeCeey ββα −+=

[ ])sin(cos()sin(cos xjxDxjxCey x ββββα −++=

[ ]xDCjxDCey x ββα sin)(cos)( −++=

)sincos( xBxAey x ββα +=

Yang perlu diketahui dalam akar kompleks, yaitu

xjxe

xjxe

xjxe

xjxe

xj

xj

jx

jx

ββββ

β

β

sincos

sincos

sincos

sincos

−=+=

−=+=

−

−

Contoh 35.


2

=++ ydx

dy

dx

yd

Penyelesaian :

Kita buat persamaan kuadrat dahulu dari persamaan tersebut,

0442 =++ ymm

0)2)(2( =++ mm

maka akan diperoleh 221 −==mm

berdasarkan persamaan (46), maka hasilnya )(2 BxAey x += −

Contoh 36.

Selesaikan jika dalam suatu persamaan terdapat 32 jm ±−=

Penyelesaian :

Pengerjaannya sangat mudah, dengan menggunakan persamaan (47), maka akan

diperoleh )3sin3cos(2 xBxAey x += −

Contoh 37.


2

=+− ydx

dy

dx

yd

Penyelesaian :

Kita buat terlebih dahulu persamaan kuadratnya,

01022 =+− ymm

dengan menggunakan rumus CBA ,, ,

2

4042 −±=m

312

362

2

362j

jm ±=±=−±= (*)

perhatikan persamaan (*), nilai m tersebut merupakan akar bilangan kompleks,

maka hasilnya akan diperoleh )3sin3cos( xBxAey x +=

B.1.1. Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen Berbentuk

022

2

=± yndx

yd

Kita perhatikan pada persamaan (36), jika nilai 0=b , maka akan didapatkan persamaan

02

2

=+cydx

yda atau 0

2

2

=+ ya

c

dx

yd

(48)

persamaan (48) diatas dapat kita tulis

022

2

=± yndx

yd

(49)

nilai y pada persamaan (49) kemungkinan dapat bernilai positif atau negative. Kita akan meninjau bila y positif dan y negatif.

(i). jika 022

2

=+ yndx

yd

022 =+ nm , 22 nm −= , jnm ±=

pemecahan ini dapat dilakukan dengan sifat akar kompleks, dengan

penyelesaian, yaitu nxBnxAy sincos += (50)

(ii). jika 022

2

=− yndx

yd

022 =−nm , 22 nm = , nm ±=

penyelesaiannya dapat berupa nxnx DeCey −+=(51)

persamaan (51) dapat dituliskan dalam bentuk lain, dengan mengunakan

fungsi hiperbolik, yaitu

nxnxnxnx

eenxee

nx −−

+=⇒+= cosh22

cosh (52)

nxnxnxnx

eenxee

nx −−

−=⇒−= sinh22

sinh (53)

bila persamaan (52) dan (53) kita jumlahkan, maka

nxnxenx sinhcosh += (54)

bila persamaan (52) dan (53) kita kurangkan, maka

nxnxe nx sinhcosh −=− (55)

persamaan (54) dan (55) kita substitusika kedalam persamaan (51), maka akan

didapatkan suatu penyelesaian, yaitu

)sinh(cosh)sinh(cosh nxnxDnxnxCy −++=

nxDCnxDCy sinh)(cosh)( −++=

nxBnxAy sinhcosh += (56)

Contoh 38.


2

=− ydx

yd

Penyelesaian :

persamaan tersebut memiliki nilai 3±=m

maka hasilnya ialah xBxAy 3sinh3cosh +=

Contoh 39.


2

=+ ydx

yd

Penyelesaian :

persamaan tersebut memiliki nilai 7jm ±=

maka hasilnya ialah xBxAy 7sin7cos +=

Contoh 40.


2

=− ydx

yd

Penyelesaian :

persamaan tersebut memiliki nilai 3jm ±=

maka hasilnya ialah xBxAy 3sin3cos +=

Latihan !!


2

=++ ydx

dy

dx

yd


2

=+− ydx

dy

dx

yd


2

=++ ydx

dy

dx

yd


2

=++ ydx

dy

dx

yd


2

=+ ydx

yd


2

=+ ydx

yd


2

=+− ydx

dy

dx

yd


2

=−+ ydx

dy

dx

yd


2

=++ Idt

dI

dt

Id

10.Selesaikan persamaan diferensial 0201002

2

=+− Ndt

dN

dt

Nd

B.2 Persamaan Diferensial Orde Dua Non Homogen

Persamaan diferensial orde dua non homogen memiliki bentuk umum yang sama dengan bentuk umum pada persamaan (35), yaitu

)(2

2

xfcydx

dyb

dx

yda =++ (57)

dimana )(xf tidak sama dengan nol. Jika pemecahan yang digunakan seperti pada persamaan diferensial orde dua homogen yaitu, xmxm BeAey 21 += akan membuat ruas kanan pada persamaan itu akan sama dengan nol. Oleh karena itu penyelesaiannya akan berbentuk XBeAey xmxm ++= 21

(58)

dengan X merupakan fungsi tambahan yang harus kita cari.

Berdasarkan persamaan (58), kita dapat melihat ada dua hal yang harus kita cari, yaitu

(i). Fungsi Komplementer (complementary function) FK⇒

Fungsi komplementer ini dapat diperoleh dengan cara yang sudah kita pelajari

sebelumnya dengan berbagai pemecahan. Fungsi komplementer ini dapat

disebut dengan penyelesaian cara homogen , 0)( =xf

a. xmxm BeAey 21 += d. )( BxAey mx +=

b. )sincos( xBxAey x ββα += e. nxBnxAy sincos +=

c. nxBnxAy sinhcosh +=

(ii). Integral Khusus (particular integral) IK⇒

Integral khusus ini diperoleh dengan menggunakan bentuk umum dari fungsi

diruas kanan dari persamaan yang diberikan, yaitu dengan mensubstitusikan

bentuk umum tersebut ke dalam persamaan yang diberikan pada soal, dan

kemudian menyamakan koefisien-koefisiennya. Bentuk umum dari fungsi

diruas kanan pada persamaan yang ada dapat bermacam-macam bentuknya

seperti dibawah ini,

a. jika kxf =)( , kita misalkan dengan Cy =

b. jika kxxf =)( , kita misalkan dengan DCxy +=

c. jika 2)( kxxf = , kita misalkan dengan EDxCxy ++= 2

d. jika kxexf =)( , kita misalkan dengan kxCey =

e. jika xkxf sinh)( = atau xkxf cosh)( = , kita misalkan dengan

xDxCy sinhcosh +=

f. jika xkxf sin)( = atau xkxf cos)( = , kita misalkan dengan

xDxCy sincos +=

Integral khusus ini dapat disebut dengan penyelesaian cara non homogen 0)( ≠xf

Bentuk-bentuk umum diatas, dapat mewakili fungsi )(xf yang sering ada dalam permasalahan persamaan diferensial orde dua non homogen. Bila dalam pemecahan bentuk umum yang kita mau tidak ada dalam ke enam daftar diatas, kalian cari sendiri.

Yang harus diingat bahwa penyelesaian persamaan diferensial orde dua non homogen ini ialah dengan menjumlahkan antara penyelesaian dengan fungsi komplementer dan integral khusus.

Contoh 41.


2

=+− ydx

dy

dx

yd

Penyelesaian :

Kita selesaikan dengan cara FK dan IK

a. dengan FK, misalkan 0)( =xf

24652 =+− mm

0)3)(2( =−− mm

sehingga didapatkan 21 =m dan 32 =m

dan hasilnya ialah xx BeAey 32 += (*)

b. dengan IK, dimana 24)( =xf

kita misalkan Cy = (**)

0=dx

dy dan 0

2

2

=dx

yd(***)

persamaan (**) dan (***) kita substitusikan ke persamaan soal diatas, maka

24652

2

=+− ydx

dy

dx

yd

4246)0.5()0( =⇒=+− CC

kembali ke persamaan (**), maka 4=y (****)

sehingga hasil total merupakan penjumlahan antara FK dan IK, yaitu

432 ++= xx BeAey

Contoh 42.


dy

dx

yd 52

2

44914 =++

Penyelesaian :

Kita selesaikan dengan cara FK dan Ik


049142 =++ mm

0)7)(7( =++ mm

sehingga didapatkan 721 −==mm

dan hasilnya ialah )(7 BxAey x += − (*)

b. dengan IK, dimana xexf 54)( =

kita misalkan xCey 5= (**)

xCedx

dy 55= dan xCedx

yd 52

2

25= (***)


049142

2

=++ ydx

dy

dx

yd

xxxx eCeCeCe 5555 4495.1425 =++

sederhanakan persamaan diatas menjadi,

4497025 =++ CCC

3614144 =⇒= CC

kembali ke persamaan (**), maka 36

5xey = (****)


36)(

57

xx e

BxAey ++= −

Contoh 43.


2

65 xydx

dy

dx

yd =+−

Penyelesaian :

Kita selesaiakan dengan cara FK dan IK


0652 =+− mm

0)3)(2( =−− mm

sehingga didapatkan 21 =m dan 32 =m

dan hasilnya ialah xx BeAey 32 += (*)

b. dengan IK, dimana 2)( xxf =

kita misalkan EDxCxy ++= 2 (**)

DCxdx

dy +=2 dan Cdx

yd2

2

2

= (***)


22

2

65 xydx

dy

dx

yd =+−

22 )(6)2(52 xEDxCxDCxC =++++−

22 6665102 xEDxCxDCxC =+++−−

22 )652()106(6 xEDCxCDCx =+−+−+

dengan menyamakan koefisien dari x yang memiliki pangkat sama

diperoleh untuk 61162 =⇒=⇒ CCx

untuk 185

3560106 =⇒=⇒=−⇒ DDCDx

untuk 10819

181960652tan =⇒=⇒=+−⇒ EEEDCtakons


19

18

5

6

2

++= xxy (****)

sehingga hasil total merupakan penjumlaan antara FK dan IK, yaitu

108

19

18

5

6

232 ++++= xx

BeAey xx

Contoh 44.


dy

dx

yd2sin2

2

2

=−−

Penyelesaian :

Kita selesaikan dengan cara FK dan IK


022 =−−mm

0)2)(1( =−+ mm

sehingga didapatkan 11 −=m dan 22 =m

dan hasilnya ialah xx BeAey 2+= − (*)

b. dengan IK, dimana xxf 2sin)( =

kita misalkan xDxCy 2cos2sin += (**)

xBxAdx

dy2sin22cos2 −= dan xBxA

dx

yd2cos42sin4

2

2

−−=

kita substitusikan ke persamaan soal, maka

xydx

dy

dx

yd2sin2

2

2

=−−

xxDxCxDxCxDxC 2sin)2cos2sin(2)2sin22cos2()2cos42sin4( =+−−−−−xxCDxDC 2sin2cos)26(2sin)26( =−−++−

dengan menyamakan koefisien dari suku-suku yang sama

diperoleh 062

126

=−−=+−

DC

DC

20

3−=⇒C dan 20

1=D

kembali ke persamaan (**), maka xxy 2cos20

12sin

20

3 +−=


xxBeAey xx 2cos20

12sin

20

32 +−+= −

Contoh 45.


cos2

sin22562

2 tty

dx

dy

dx

yd −=+−

Penyelesaian :

Kita selesaikan dengan FK dan IK


02562 =+− mm (akar kompleks) (*)

pemecahan persamaan (*) tersebut ialah

)4sin4cos(3 xBxAey x += (**)

b. dengan IK, dimana 2

cos2

sin2)(tt

xf −=

kita misalkan 2

cos2

sint

Dt

Cy += (***)

2

sin22

cos2

tDtC

dx

dy −= dan 2

cos42

sin42

2 tDtC

dx

yd −−=

(****)

persamaan (***) kita substitusikan ke persamaan soal diatas, yaitu

2cos

2sin2)

2cos

2sin(25)

2sin

22cos2(6)

2cos

42sin4

(ttt

Dt

CtDtCtDtC −=++−−−−

2cos

2sin2

2cos)

4

993(

2sin)3

99(

tttDA

tB

C−=+−++

dengan menyamakan koefisien dari suku-suku yang sama,

diperoleh 11

4

993

234

99

−=+−

=+

DC

DC

663

56=⇒C dan 663

20−=D

kembali ke persamaan (***), maka 2

cos663

20

2sin

663

56 tty −=


2cos

663

20

2sin

663

56)4sin4cos(3

ttxBxAey x −++=

Contoh 46.


dy

dx

yd 32

2

1354 =++ jika 0=x , 21=dx

dy ,

25=y

Penyelesaian :

Kita selesaikan dengan FK dan IK


0542 =++ mm (akar kompleks)

pemecahannya ialah )sincos(2 xBxAey x += − (*)

b. dengan IK, dimana xexf 313)( =

misalkan xCey 3= (**)

xCedx

dy 33= dan xCedx

yd 32

2

9= (***)

substitusikan persamaan (***) ke persamaan soal diatas, yaitu

xxxx eCeCeCe 3333 1353.49 =++

2

11326 =⇒= CC


3xey =


2)sincos(

32

xx e

xBxAey ++= −

kita substitusikan batas kondisi pada soal diatas,

untuk 0=x dan 2

5=y ⇒ 22

1

2

5 =⇒+= AA

diperoleh 2

)sincos2(3

2x

x exBxey ++= −

2

)sincos2(2)cossin2(2

22x

xx exBxexBxe

dx

dy ++−+−= −−

untuk 0=x dan 2

1=dx

dy, maka

32

34

2

1 =⇒+−= BB

Jadi hasilnya adalah 2

)sin3cos2(3

2x

x exxey ++= −

Latihan !!


dy

dx

yd4sin265

2

2

=+−


dy

dx

yd2sin2106

2

2

=++


2

23 xydx

dy

dx

yd =+−

4. Selesaikan persamaan diferensial xeydx

dy

dx

yd 22

2

382 −=−−

5. Selesaikan persamaan diferensial xeydx

dy

dx

yd =−+ 22

2

6. Selesaikan persamaan diferensial texdt

dx

dt

xd 32

2

34 −=++


dy

dx

ydsin323

2

2

=++ , jika 0=x ,

9,0=y , 7,0−=dx

dy

8. Selesaikan persamaan diferensial xxdx

dy

dx

ydsin23

2

2

=+− , jika 0=x ,

25=y , 1=

dx

dy

9. Selesaikan persamaan diferensial 18633650256 232

2

+−−=+− tttydx

dy

dx

yd

10.Selesaikan persamaan diferensial 129 22

2

−+= xxdx

yd

C. FUNGSI GAMMA

Fungsi gamma disimbolkan dengan )(nΓ , didefinisikan untuk setiap bilangan real

positif n sebagai,

dxexn xn −∞ −∫=Γ0

1)(

(58)

oleh karena itu, 1)1( =Γ dan untuk setiap bilangan real positif n , yaitu

)()1( nnn Γ=+Γ (59)

maka fungsi gamma merupakan perpanjangan dari fungsi faktorial yang

terdefinisikan pada semua bilangan real positif, dengan kata lain fungsi

gamma memiliki sifat rekursif (persamaan 59).

dengan kata lain )()1( nnn Γ=+Γ ; 0>n

secara umum nn =+Γ )1( ! n( faktorial)

persamaan (59) dapat dinyatakan dengan

n

nn

)1()(

+Γ=Γ (60)

persamaan (60) mendefinisikan fungsi gamma untuk semua bilangan negatif, tapi

)0(Γ tetap tidak akan terdefinisikan.

Contoh 47.

Hitunglah )3(2

)6(

ΓΓ

Penyelesaian :

30!2.2

!5

)3(2

)6( ==ΓΓ

Contoh 48.

Hiutnglah

)(

)(

21

25

ΓΓ

Penyelesaian :

4 2 3,0!

)(

)( 23

21

25

==ΓΓ

πContoh 49.

Hitunglah integral ∫∞ −

0

3 dxex x

Penyelesaian :

Berdasarkan fungsi gamma bahwa ∫∞ −−=Γ0

1)( dxexn xn

berarti nilai 4=n , maka hasil integral diatas adalah

6!3)4(0

3 ==Γ=∫∞ − dxex x

Contoh 50.

Hitung integral dxex x∫∞ −

0

23

Penyelesaian :

Kita misalkan dxdy

yy

2

2

==

dan d yd x

yx

21

21

==

Persamaannya menjadi dyeydyey yx ∫∫

∞ −−∞=

0

670

6

2

1

2

1)2(

8

45

2

!6)7(

2

177

==Γ=

Contoh 51.

Hitung integral ∫∞ −

0

4 dxex x

Penyelesaian :

Berdasarkan fungsi gamma bahwa ∫∞ −−=Γ0

1)( dxexn xn

berarti nilai 5=n , maka hasil integral diatas adalah

∫∞ − ==Γ=0

4 24!4)5(dxex x

Latihan !!

1. Hitung integral ∫∞ −

0

36 dxex x


0

22 2

dxex x

3. Hitunglah )5,5(

)5,2()3(

ΓΓΓ

4. Hitunglah

)(5

)(6

32

38

ΓΓ

5. Buktikan jika π=Γ )( 21


0

313 dxex x


0

29

dxex x

8. Hitunglah )(

)5,2()3(

29Γ

ΓΓ


0

69 dxex x

10.Hitung integral ∫∞ −

0

15 dxex x

D. FUNGSI BETA

Fungsi beta ini merupakan perluasan dari fungsi gamma yang sudah kita pelajari

sebelumnya. Langkah pengerjaan untuk fungsi beta tidak berbeda jauh dengan

fungsi gamma. Fungsi beta ini umumnya dinyatakan dengan ),( nmB , dimana

memiliki persamaan umum, yaitu

∫ −− −=1

0

11 )1(),( dxxxnmB nm

(61)

yang konvergen untuk 0>m dan 0>n , maka dapat dirumuskan hubungan antara

fungsi beta dan fungsi gamma, yaitu

)(

)()(),(

nm

nmnmB

+ΓΓΓ=

(62)

Fungsi beta memiliki bentuk-bentuk umum, seperti

berdasarkan persamaan ∫ −− −=1

0

11 )1(),( dxxxnmB nm

(i). dengan substitusi )1( ωω

+=x

maka akan diperoleh ∫ +

−

+=

1

0

1

)1(),( ω

ωω

dnmBnm

m

(63)

(ii). dengan substitusi Θ= 2cosx

maka akan diperoleh ∫ ΘΘΘ= −−π2

0

1212 sincos2),( dnmB nm

(64)

(iii). dengan substitusi Θ= 2sinx

maka akan diperoleh ∫ ΘΘΘ= −−2

0

1212 cossin2),(π

dnmB nm

(65)

Contoh 52.

Hitunglah integral ∫ −1

0

34 )1( dxxx

Penyelesaian :

Berdasarkan fungsi beta, bahwa ∫ −− − dxxx nm 11 )1(

berarti nilai 5=m dan nilai 4=n

hasilnya ialah 00357,0!8

!3!4

)45(

)4()5()4,5( ==

+ΓΓΓ=B

Contoh 53.

Hitunglah jika )5,3(),( BnmB =

Penyelesaian :

Dengan menggunakan persamaan (62) secara langsung, maka didapatkan

hasilnya ialah 00952,0!7

!4!2

)53(

)5()3()5,3( ==

+ΓΓΓ=B

Contoh 54.

Hitunglah jika )2,(),( 23BnmB =

Penyelesaian :

Dengan menggunakan persamaan (62) secara langsung, maka didapatkan

hasilnya ialah 6 6 6 7,0!

1.

)2(

)2()()2,(

25

21

23

23

23 ==

+ΓΓΓ=B

Contoh 55.

Hitung integral ∫ ΘΘ2

0

4cosπ

d

Penyelesaian :

Dengan menggunakan persamaan (65), kita dapat mencari nilai m dan n untuk

persamaan tersebut, maka

012 =−m 412 =−n

21=m 2

5=nsecara langsung dapat kita gunakan persamaan (62) untuk

mendapatkan hasilnya,

3 3 2 5,02

1

)(

)()(),(

25

21

25

21

25

21 =

+ΓΓΓ=B

Contoh 56.

Hitung integral ∫ ΘΘΘ2

0

54 cossinπ

d

Penyelesaian :

Langkah yang sama dilakukan seperti pada contoh (55) diatas, kita dapat mencari

nilai m dan n untuk persamaan tersebut, maka

412 =−m 512 =−n

25=m 3=n

secara langsung dapat kita gunakan persamaan (62) untuk mendapatkan hasilnya,

. . . . . . . . .!

!2!

)3(

)3()()3,(

29

23

25

25

25 ==

+ΓΓΓ=B

Latihan !!

1. Hitunglah ),( 21

21B

2. Hitunglah ),( 32

31B

3. Hitung integral ∫ ΘΘΘπ2

0

75 sincos d

4. Hitung integral ∫ ΘΘΘπ2

0

97 sincos d

5. Hitung integral ∫ ΘΘπ2

0

13sin d

6. Hitung integral ∫ ΘΘπ2

0

11cos d

7. Hitung integral ∫ ΘΘ2

0

6sinπ

d

8. Hitung integral ∫ ΘΘ2

0

12cosπ

d

9. Hitung integral ∫ ΘΘΘ2

0

87 cossinπ

d

10.Hitung integral ∫ ΘΘΘπ2

0

45 sincos d

DAFTAR PUSTAKA

Ayres, Frank.1999.Persamaan Diferensial.Erlangga :Jakarta

Bronson, Richard.2007.Persamaan Diferensial Edisi Ketiga.Erlangga :Jakarta

Stroud, K.A.1996. Matematika Untuk Teknik.Erlangga:Jakarta

A.4 Persamaan Diferensial yang Penyelesaiannya dengan Menggunakan Faktor Integral

penyele

Persamaan Diferensial Ordiner dengan IVP (Initial Value Problem)

Sering kali masalah-masalah dalam bidang teknik kimia dapat diformulasikan dalam bentuk persamaan differensial, seperti misalnya masalah dalam hal diffusi-reaksi, mass-heat transfer dan aliran fluida.

persamaan diferrensial.pdf

Documents