Persamaan Diferensial

Dr. Ahmad Sabri

Universitas Gunadarma

Definisi

• Persamaan diferensial (PD)/differential equation (DE) adalah sebuahpersamaan yang terdiri dari sebuah fungsi yang tidak diketahui dan turunannya

• Sebuah PD dikatakan “PD biasa” (ordinary differential equation) jikafungsi yang dimaksud hanya bergantung pada satu variabel bebas. Jika bergantung pada dua atau lebih variabel bebas, maka PD tersebutdikatakan “parsial” (partial differential equation)

• Orde dari sebuah PD adalah turunan tertinggi dari fungsi yang adapada PD tersebut

ContohPD Biasa orde 1

PD Biasa orde 2

PD Biasa orde 3

PD Biasa orde 2

PD Parsial orde 2

Notasi

Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥). Notasi 𝑦′, 𝑦′′, 𝑦′′′, 𝑦(4), … , 𝑦(𝑛) (atau𝑑𝑦

𝑑𝑥,𝑑2𝑦

𝑑𝑥2,𝑑3𝑦

𝑑𝑥3,𝑑4𝑦

𝑑𝑥4, … ,

𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛, secara berurutan menyatakan turunan

pertama, kedua, ketiga, keempat, sampai ke-𝑛.

Solusi dari PD

• Sebuah solusi dari PD dengan fungsi tak-diketahui 𝑦 dan variabelbebas 𝑥 pada interval 𝐼, adalah fungsi 𝑦(𝑥) yang memenuhi PD tersebut untuk semua 𝑥 dalam interval 𝐼

• Solusi dari PD:• Tak-hingga solusi

• Tidak ada solusi

• Solusi tunggal

• Periksalah apakah 𝑦(𝑥) = 𝑐1sin 2𝑥 + 𝑐2cos 2𝑥, di mana 𝑐1 dan 𝑐2adalah sebarang konstanta, merupakan solusi dari 𝑦′′ + 4𝑦 = 0dalam interval (−∞,∞) ?

• Periksalah apakah 𝑦 = 𝑥2 − 1 merupakan solusi dari PD 𝑦′ 4 + 𝑦2 = −1

• Tentukan solusi dari 𝑦′ 4 + 𝑦2 = 0

• Solusi khusus dari sebuah PD adalah sebarang sebuah solusi dari himpunan solusi untuk PD tersebut

• Solusi umum dari sebuah PD adalah himpunan dari semua solusi untuk PD tersebut

Problem nilai awal

• Jika PD disertai dengan kondisi di mana fungsi dan turunannyadiberikan nilai pada variabel bebas yang sama, maka kondisi inidisebut problem nilai awal

• Contoh:𝑦′′ + 2𝑦′ = 𝑒𝑥; 𝑦 𝜋 = 1, 𝑦′ 𝜋 = 2

Problem nilai batas

• Jika PD disertai dengan kondisi di mana fungsi dan turunannyadiberikan nilai pada variabel bebas yang berbeda, maka kondisi inidisebut problem nilai batas

• Contoh:𝑦′′ + 2𝑦′ = 𝑒𝑥; 𝑦 0 = 1, 𝑦′ 1 = 1

Persamaan bentuk standar dan bentuk diferensial• Sebagian besar, namun tidak semuanya, PD orde satu dapat dituliskan

dalam bentuk standar

𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦).

• 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) selalu dapat dinyatakan dalam bentuk𝑀(𝑥, 𝑦)/−𝑁(𝑥, 𝑦), sehingga diperoleh bentuk diferensial

𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0.

Tuliskan PD berikut dalam bentuk standar dan bentuk diferensial, jikamemungkinkan

1. 𝑥𝑦′ − 𝑦2 = 0

2. 𝑒𝑥𝑦′ + 𝑒2𝑥𝑦 = sin 𝑥

3. (𝑦′ + 𝑦)5 = sin𝑦′

𝑥

4. 𝑦(𝑦𝑦′ − 1) = 𝑥

Jenis-jenis PD orde satu (First order DE)

1. PD homogen

2. PD terpisahkan

3. PD eksak

4. PD linier orde satu

5. PD non linier orde satu (PD Bernoulli)

PD homogen (homogenous DE)

PD orde satu dalam bentuk 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) dikatakan homogen jika, untuksebarang bilangan riil 𝑡, berlaku:

𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦)

Periksalah apakah PD berikut homogen:

PD terpisahkan (separable DE)

Bentuk umum:𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0

Solusi:

න𝐴 𝑥 𝑑𝑥 +න𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑐

Periksalah apakah PD berikut terpisahkan

2

2 3

2

1. 0

2. '

23.

4. 0; (0) 1x

xdx y dy

y y x

dy x

dx y

e dx ydy y

− =

=

+=

− = =

Carilah solusi dari PD berikut:

PD eksak

Jika 𝑀(𝑥, 𝑦) dan 𝑁(𝑥, 𝑦) adalah fungsi kontinu dan memiliki turunanparsial pertama yang kontinu di domain persegi panjang pada bidangXY, maka PD

𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

adalah eksak jika dan hanya jika

𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦=𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥

• Periksalah apakah PD berikut adalah eksak

Persamaan diferensial eksak: solusi

Langkah:

1. Temukan 𝑔(𝑥, 𝑦) dengan mencari solusi persamaan

𝜕𝑔(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥= 𝑀 𝑥, 𝑦

𝜕𝑔(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦= 𝑁(𝑥, 𝑦)

2. Solusi: 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑐, di mana 𝑐 adalah sebarang konstanta

Carilah solusi dari PD eksak berikut:

1.

2.

PD linier orde satu: solusi umum

Persamaan diferensial linier tingkat satu: solusi khusus

PD Bernoulli

• Bentuk umum:𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 𝑦𝑛

• Solusi: gunakan substitusi 𝑧 = 𝑦1−𝑛 sehingga bentuk umum di atasmenjadi persamaan diferensial linier dalam 𝑧(𝑥).

• Contoh: Carilah solusi dari 𝑦′ + 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦2