MASALAH STURM – LIOUVILLE DAN PENGGUNAANNYA

DALAM MASALAH-MASALAH KHUSUS YANG LAIN

SOH MEN CHEE

UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA

“Saya akui bahawa saya telah membaca karya ini dan pada pandangan saya

karya ini adalah memadai dari segi skop dan kualiti untuk tujuan

penganugerahan ijazah Sarjana Muda Sains serta Pendidikan

(Matematik)”.

Tandatangan :

Nama Penyelia : Dr. Maslan Hj Osman

Tarikh : 16 April 2006

MASALAH STURM-LIOUVILE DAN PENGGUNAANNYA

DALAM MASALAH-MASALAH KHUSUS YANG LAIN

SOH MEN CHEE

Laporan projek ini dikemukakan sebagai memenuhi sebahagian daripada

syarat penganugerahan Ijazah Sarjana Muda Sains Serta Pendidikan

(Matematik)

Fakulti Sains

Universiti Teknologi Malaysia

APRIL, 2006

ii

“Saya akui karya ini adalah hasil kerja saya sendiri kecuali nukilan dan ringkas

yang tiap-tiap satunya telah saya jelaskan sumbernya.”

Tandatangan :

Nama Penulis : SOH MEN CHEE

Tarikh : 16 April 2006

iii

Khas untuk ayah dan ibu tersayang…

Soh Eng Chuan & Koh Cha Boo

serta adinda yang dikasihi

Soh Jiun Yi

iv

PENGHARGAAN

Salam sejahtera saya ucapkan kepada Dr Maslan Haji Osman, selaku penyelia

projek saya sepanjang dua semester. Terlebih dahulu, saya ingin merakamkan setinggi-

tinggi penghargaan kepada beliau yang telah banyak memberi bimbingan dan tunjuk ajar

kepada saya dalam usaha menyiapkan projek ini. Beliau memang sentiasa bersedia

untuk memberi pandangan yang membina kepada saya.

Pada masa yang sama, saya juga tidak terlupa merakamkan penghargaan ikhlas

kepada ayah, ibu dan ahli-ahli keluarga tercinta yang mendoakan kejayaan serta

memberi dorongan dan sokongan kepada saya.

Setinggi-tinggi penghargaan juga ditujukan khas kepada Prof. Madya Dr.

Mukheta bin Isa selaku pemeriksa dalaman saya yang turut memberi komen dan

cadangan dalam menghasilkan projek yang baik.

Akhir kata, saya ingin berterima kasih kepada rakan-rakan yang terlibat secara

langsung dan tidak langsung dalam usaha menjayakan projek ini.

v

ABSTRAK

Laporan ini membincangkan satu jenis masalah nilai sempadan (MNS) iaitu

masalah Sturm-Liouville. Perbincangan dimulakan dengan menghuraikan secara ringkas

mengenai persamaan terbitan biasa dan persamaan terbitan separa. Seterusnya, sejarah

ringkas teori Sturm-Liouville dan penurunan persamaan terbitan biasa peringkat kedua

ke persamaan berbentuk Sturm-Liouville juga dibincangkan. Sehubungan itu, masalah

Sturm-Liouville diaplikasikan kepada beberapa masalah yang khusus iaitu persamaan

gelombang bermatra satu, masalah aliran haba bermatra satu dan persamaan Laplace.

Setiap masalah yang diberikan disertakan dengan syarat-syarat awal dan syarat-syarat

sempadan. Terdapat empat jenis syarat sempadan yang dibincangkan iaitu syarat

Dirichlet, syarat Neumann, syarat Robin dan syarat campuran. Di samping itu,

pengembangan fungsi eigen bagi fungsi polinomial, fungsi eksponen dan siri fungsi

Bessel juga dibincangkan.

vi

ABSTRACT

This report is discussing about a special type of boundary value problem (BVP)

that is Sturm-Liouville problem. The discussion begins with simple explanation about

ordinary differential equations dan partial differential equations. Then, history of Sturm-

Liouville Theory and modification from ordinary differential equations of order two to

Sturm-Liouville equation was demonstrated. Apart from that, Sturm-Liouville problem

was applied in some specific boundary value problems namely the one dimensional

wave equation, the one dimensional heat equation and the Laplace equation. Each given

problem must come with initial conditions and boundary conditions. There are four

types of boundary conditions that is Dirichlet condition, Neumann condition, Robin

condition and combination condition. Other than that, eigen function expansion of

polynomial function, exponential function and Bessel Series was discussed.

vii

KANDUNGAN

BAB PERKARA MUKA SURAT

BORANG PENGESAHAN STATUS TESIS

PENGESAHAN PENYELIA

JUDUL i

PENGAKUAN ii

DEDIKASI iii

PENGHARGAAN iv

ABSTRAK v

ABSTRACT vi

KANDUNGAN vii

SENARAI RAJAH xi

SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN xii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Pengenalan 1

1.2 Objektif Laporan 2

1.3 Skop Laporan 3

1.4 Kepentingan Kajian 3

1.5 Rangka Laporan 4

viii

BAB II PEMBENTUKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE

2.1 Pendahuluan 6

2.2 Syarat Awal dan Syarat Sempadan

2.2.1 Syarat Awal 7

2.2.2 Syarat Sempadan 7

2.3 Masalah Nilai Awal dan Masalah Nilai Sempadan

2.3.1 Masalah Nilai Awal 8

2.3.2 Masalah Nilai Sempadan 8

2.4 Bentuk Am Masalah Nilai Sempadan 9

2.5 Sejarah Teori Sturm-Liouville 14

2.6 Pembentukan Masalah 18

2.7 Kesimpulan 22

BAB III MASALAH STURM-LIOUVILLE

3.1 Pendahuluan 23

3.2 Fungsi Ortogon 23

3.3 Masalah Nilai Sempadan Homogen Linear: 33

Nilai Eigen dan Fungsi Eigen

3.4 Sifat-sifat Nilai Eigen 45

3.5 Kesimpulan 50

BAB IV PENGGUNAAN MASALAH STURM-LIOUVILLE

DALAM BEBERAPA MASALAH KHUSUS

4.1 Pendahuluan 51

4.2 Masalah Nilai Awal – Nilai Sempadan 52

4.2.1 Syarat Dirichlet 52

ix

4.2.2 Syarat Neumann 53

4.2.3 Syarat Robin 53

4.2.4 Syarat Campuran 54

4.3 Persamaan Gelombang Dalam Ruang Matra Satu (R1)

4.3.1 Penerbitan Persamaan 54

4.3.2 Penyelesaian Persamaan Gelombang 58

4.4 Persamaan Haba Matra Satu (R1)

4.4.1 Penerbitan Persamaan 66

4.4.2 Masalah Aliran Haba Dalam Ruang Matra 1 69

4.5 Persamaan Laplace 76

4.5.1 Kaedah Pemisahan Pembolehubah dari Koordinat

Cartes 78

4.6 Kesimpulan 85

BAB V PENGEMBANGAN FUNGSI EIGEN

5.1 Pendahuluan 86

5.2 Pengembangan Fungsi Eigen bagi Fungsi-fungsi

Tertentu 86

5.2.1 Fungsi Polinomial 87

5.2.2 Fungsi Eksponen 91

5.2.3 Siri Fungsi Bessel 95

5.3 Kesimpulan 103

BAB VI KESIMPULAN DAN CADANGAN

6.1 Kesimpulan 104

6.2 Cadangan 106

x

RUJUKAN

xi

SENARAI RAJAH

NO. RAJAH TAJUK MUKA SURAT

2.1 Jacques Charles-Francois Sturm 15

2.2 Joseph Liouville 16

3.1 Penyelesaian bergraf λ−=λ tan 43

3.2 Penyelesaian bergraf µ−=µ tanh 45

xii

SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN

λ - Nilai eigen

ny - Fungsi eigen

( )xR - Fungsi pemberat

( )xT~

- Ketegangan tali

~τ - Vektor tangen kepada tali

c - Tenaga haba

ρ - Ketumpatan logam

A - Luas keratan rentas

( )z,y,xη - Taburan ketumpatan cas 2∇ - Pengoperasi laplace

u∇ - Laplacian u

0J - Fungsi Bessel jenis pertama peringkat sifar

1J - Fungsi Bessel jenis pertama peringkat satu

0Y - Fungsi Bessel jenis kedua peringkat sifar

nZ - Pensifar bagi ( )dλ0J

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Pengenalan

Dalam bidang matematik, banyak masalah melibatkan persamaan terbitan sama

ada persamaan terbitan biasa atau persamaan terbitan separa. Persamaan terbitan ialah

persamaan yang berkait rapat dengan fungsi bagi satu atau lebih pembolehubah berserta

dengan pekali terbitannya. Jika fungsi tersebut bergantung kepada satu pembolehubah

tak bersandar sahaja, maka terbitan yang wujud dalam persamaan ini ialah terbitan biasa.

Oleh itu, persamaan tersebut dinamakan persamaan terbitan biasa. Sekiranya fungsi itu

bergantung kepada beberapa pembolehubah tak bersandar, maka terbitan yang wujud

dalam persamaan ini ialah terbitan separa. Dengan demikian, persamaan terbitan ini

dinamakan persamaan terbitan separa. Antara contoh-contoh persamaan terbitan biasa

ialah

03'2" =++ yyy

=−+ ydxdy

dxyd 62

2

kos x

2

Seterusnya, beberapa contoh untuk persamaan terbitan separa ialah

xyxu 3sin=∂∂

0=+ yxx uu

Persamaan terbitan separa yang mengandungi lebih daripada satu pembolehubah

diaplikasikan secara meluas dalam banyak cabang sains dan kejuruteraan. Salah satu

kaedah yang digunakan untuk menyelesaikan masalah persamaan terbitan separa ialah

kaedah pemisahan pembolehubah. Kaedah ini mempunyai beberapa kepincangannya

yang tersendiri iaitu masalah yang ingin diselesaikan mestilah linear dan homogen

supaya prinsip superposisi dapat digunakan untuk membina penyelesaian tambahan

melalui pembentukan gabungan linear penyelesaian asasi masalah homogen yang

sepadan. Kaedah ini akan menghasilkan beberapa persamaan terbitan biasa. Kaedah ini

akan dibincangkan dengan mendalam dalam Bab IV iaitu menggunakan masalah Sturm-

Liouville untuk menyelesaikan beberapa masalah khusus mengenai masalah nilai

sempadan. Masalah-masalah khusus yang berkaitan dengan persamaan terbitan separa

ialah persamaan gelombang dalam ruang bermatra satu, masalah aliran haba dalam

ruang bermatra satu dan persamaan Laplace.

1.2 Objektif Laporan

Objektif laporan projek ini ialah:

(i) Menurunkan persamaan terbitan peringkat kedua kepada persamaan

dalam bentuk Sturm-Liouville.

(ii) Mengkaji syarat keortogonan bagi fungsi Ortogon.

(iii) Menentukan set ortonormal bagi suatu fungsi.

3

(iv) Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi pemberat, nilai

eigen dan fungsi eigen.

(v) Mengkaji istilah dan bentuk khusus masalah nilai sempadan, kaedah

penyelesaian dan penggunaannya dalam beberapa masalah fizikal.

(vi) Mengembangkan fungsi eigen bagi beberapa fungsi seperti fungsi

polinomial, fungsi eksponen dan siri fungsi Bessel.

1.3 Skop Laporan

Laporan ini merangkumi pengertian dan konsep masalah nilai sempadan (MNS).

Perbincangan adalah tertumpu masalah nilai sempadan kerana masalah Sturm-Liouville

adalah suatu masalah nilai sempadan. Di samping itu, beberapa masalah khusus iaitu

masalah gelombang dalam ruang bermatra satu, masalah aliran haba dalam ruang

bermatra satu dan persamaan Laplace yang memenuhi syarat awal dan syarat sempadan

tertentu juga dibincangkan. Perbincangan terbatas kepada persamaan terbitan biasa

peringkat kedua.

1.4 Kepentingan Kajian

Dalam laporan ini, persamaan terbitan linear peringkat kedua dan persamaan

terbitan separa merupakan pengetahuan asas kepada masalah-masalah yang

dibincangkan. Selain itu, kaedah pemisahan pembolehubah akan dipelajari dan difahami

serta digunakan untuk menyelesaikan masalah gelombang, masalah aliran haba dan

4

persamaan Laplace. Kaedah ini merupakan suatu kaedah yang baik dan berkesan untuk

mencari nilai eigen, fungsi eigen dan penyelesaiannya.

1.5 Rangka Laporan

Secara keseluruhannya, laporan ini merangkumi enam bab utama. Bab I

merupakan pendahuluan terhadap penulisan projek yang merangkumi pengenalan,

objektif, skop, kepentingan dan rangka laporan.

Bab II membincangkan tentang istilah masalah nilai awal dan masalah nilai sempadan

serta bentuk amnya. Selain itu, bab ini juga merangkumi sejarah ringkas Jacques

Charles-François Sturm dan Joseph Liouville dalam teori Sturm-Liouville. Seterusnya,

penurunan persamaan terbitan peringkat kedua ke persamaan berbentuk Sturm-Liouville

juga dibincangkan.

Perbincangan dalam Bab III pula tertumpu kepada fungsi Ortogon. Dalam usaha

menyelesaikan masalah set ortogon, beberapa definasi fungsi Ortogon telah

dibincangkan. Konsep ciri keortogonan juga diaplikasikan di dalam bab ini untuk

membuktikan keortogonan sesuatu fungsi. Di samping itu, bab ini juga merangkumi

masalah nilai sempadan (MNS) yang linear dan homogen yang bertujuan menyelesaikan

masalah nilai eigen dan fungsi eigen. Sehubungan itu, sifat-sifat nilai eigen juga

dibincangkan.

Seterusnya dalam Bab IV, empat jenis syarat sempadan dalam masalah nilai awal-nilai

sempadan diperkenalkan. Perbincangan tertumpu kepada masalah nilai sempadan yang

khusus iaitu masalah Sturm-Liouville. Masalah ini akan diaplikasikan ke dalam

5

masalah-masalah yang lain iaitu masalah gelombang dalam ruang matra satu, masalah

aliran haba dalam ruang matra satu dan persamaan Laplace.

Bab V merangkumi pengembangan fungsi eigen bagi fungsi-fungsi tertentu. Fungsi-

fungsi yang dibincangkan adalah fungsi polinomial, fungsi eksponen dan siri fungsi

Bessel. Ini juga merupakan salah satu pengaplikasian bagi masalah Sturm-Liouville.

Akhir sekali, Bab VI merupakan bab terakhir laporan yang memuatkan kesimpulan dan

cadangan berdasarkan kepada hasil kajian yang telah dijalankan.