PERSAMAAN DIFFERENSIAL (DIFFERENTIAL EQUATION)

Suatu persamaan dimana terdapat hubungan antara variabel bebas, variabel tak

bebas dan turunan-turunannya dinamakan persamaan differensial.

Contoh : 0...,.........,,,, 2

2

=

dx

yddxdyzyxf

0...,.........,,,,2

=

∂∂

∂∂∂

yxz

xzzyxg

Ada 2 jenis persamaan differensial :

- Persamaan differensial biasa → 02

2

=++ ydxdyxy

dxydx

- Persamaan differensial partial → 0 ∂ ∂

∂ ∂

∂ 222

2

2

=+++ yxyx

zxz

Pembahasan hanya dibatasi pada persamaan differensial biasa.

PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA.

Definisi :

- Turunan tertinggi di dalam suatu persamaan differensial (PD) disebut orde dari

persamaan differensial tersebut

3 ⇒ 03

3

2

2

ordealdifferensipersamaanydxdy

dxydy

dxydx =+++

- Pangkat tertinggi dari turunan tertinggi persamaan differensial disebut pangkat

dari persamaan differensial tersebut.

2 3 . ⇒062

3

33

2

2

pangkatordediffpersamaanydxdy

dxydy

dxydx =+

+

+

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 PANGKAT 1

I. Persamaan differensial dengan variabel yang dapat dipisahkan

Bentuk Pers. Diff. )y,x(fdxdy

= → dipisahkan menjadi M(x) dx + N(y) dy=0

Dengan demikian variabel x dipisahkan dengan variabel y

Contoh :

1. oyx

dxdy

=+2

ydy + x2dx = 0

∫ ∫ 2 cdxxdyy =+

) (3312

21 umumJawabCxy =+

2. ex 0dyxydxy1 2 =+−

�𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 + �𝑦𝑑𝑦

�1 − 𝑦2= 𝐶

�𝑥𝑑(𝑒𝑥) − 12�

𝑑(1 − 𝑦2)�1 − 𝑦2

= 𝐶

𝑥𝑒𝑥 − �𝑒𝑥𝑑𝑥 − 12 2 �1 − 𝑦2 = 𝐶

𝑒𝑥(𝑥 − 1) −�1 − 𝑦2 = 𝐶

3. 𝑥2(𝑦2 + 1)𝑑𝑥 + 𝑦√𝑥3 + 1 𝑑𝑦 = 0

𝑥2(𝑦2 + 1)𝑑𝑥 = −𝑦√𝑥3 + 1 𝑑𝑦

�𝑥2𝑑𝑥

√𝑥3 + 1+ �

𝑦𝑑𝑦𝑦2 + 1

= 0

13�

𝑑(𝑥3 + 1)√𝑥3 + 1

+ 12�

𝑑(𝑦2 + 1)𝑦2 + 1

= 𝐶

23√𝑥3 + 1 + 12𝑙𝑛(𝑦2 + 1) = 𝐶

Soal-soal :

Carilah jawaban umum persamaan differensial berikut :

1. 𝑑𝑦𝑑𝑥

= sin2 𝑥sin𝑦

2. dxdyyxy

dxdyx 222 =−

3. xxdxdyy

dxdy 2sectanln +=

4. dyedxxy

y )1(arcsin1−=

II. Persamaan Differensial Homogen (PDH)

Definisi :

Suatu f(x, y) dikatakan homogen, bila mempunyai sifat f(λx, λy) = λn f(x, y)

Dimana λ = konstanta dan n = suatu bilangan

Contoh :

a) f(x, y) = )( ),( 44444 yxyxfyx +=→+ λλλ

= λ2 44 yx +

= λ2 f(x, y) → orde 2

b) f(x, y) = )xy(

)yx()y,x(fxy

yx2

22222

λ+λ

=λλ→+

= λo nolorde)y,x(fxy

yx o22

λ=

+

Persamaan differensial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, disebut Persamaan

Diferensial homogen bila berlaku M(x, y) dan N(x, y) adalah fungsi homogen

dengan orde yang sama.

Contoh :

a) (x2 + y2) dx + x3 dy = 0 → bukan PDH karena orde N(x, y) ≠ M(x, y)

b) (x2 + xy) dx + x2 dy = 0 → PDH dimana M(x, y) dan N(x, y) adalah

fungsi homogen orde 2

Bentuk persamaan differensial )y,x(Q)y,x(P

dxdy

= juga disebut persamaan diferensial

homogen bila terpenuhi fungsi homogen f(x, y) = )y,x(Q)y,x(P mempunyai orde nol.

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN

Untuk penyelesaian persamaan differensial homogen maka dapat digunakan:

- permisalan y = ux dimana u = u(x) , sehingga didapat dy = x du + u dx

- permisalan x = vy dimana v = v(y) , sehingga didapat dx = y dv + v dy

Contoh :

Pecahkan persamaan differensial berikut :

1) (x2 + xy) dx + x2 dy = 0

Jawab :

M(x,y) = x2 + xy adalah fugsi homogen orde dua

N(x,y) = x2 adalah fungsi homogen orde dua juga, dengan demikian

persamaan differensial diatas adalah pers. diff. Homogen

Misal : y = ux → dy = x du + u dx

Sehingga : (x2 + ux2) dx + x2 (x du + u dx) = 0

(x2 + ux2 + ux2) dx + x3 du = 0

x2 (1 + 2u) dx + x3 du = 0

1213

2 Cdx udu

xx =+∫ ∫ +

ln x + 1)21(ln21 Cu =+

ln x (1 + 2u)1/2 = ln C

x (1 + 2u)1/2 = C

x Cxy21 =

+

(jawab umum)

2) Carilah jawab umum dari : 𝑑𝑦𝑑𝑥

= 3𝑦3−𝑥3

3𝑥𝑦2

Jawab:

f(x,y) = 3𝑦3−𝑥3

3𝑥𝑦2 adalah fungsi homogen orde nol, sehingga pers. diff.

diatas adalah pers diff homogen

misal : y = ux → dxdu

xudxdy

+=

𝑢 + 𝑥 𝑑𝑢𝑑𝑥

= 3𝑢3𝑥3−𝑥3

3𝑢2𝑥3

𝑢 + 𝑥 𝑑𝑢𝑑𝑥

= 3𝑢3−13𝑢2

𝑥 𝑑𝑢𝑑𝑥

= 3𝑢3−1−3𝑢3

3𝑢2

𝑥𝑑𝑢𝑑𝑥

=−13𝑢2

�𝑑𝑥𝑥

+ �3𝑢2𝑑𝑢 = 0

𝑙𝑛𝑥 + 𝑢3 = 𝐶

𝑙𝑛𝑥 + �𝑦𝑥�3

= 𝐶

𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑒�𝑦𝑥�3

= 𝑙𝑛𝐶

𝑥𝑒�𝑦𝑥�3

= 𝐶

Pecahkan soal-soal berikut:

1. xxyy

dxdy

xyx −=

coscos

2. yxdxdyyx −=+ )(

3. x

yxydxdy 22 −−

=

4.

xyx

yxy

dxdy

ln+=

Rumus-rumus Differensial yang dapat dipergunakan untuk pemecahan persamaan

differensial

1. d(xy) = xdy + y dx

2. 2xdxydyx

xyd −

=

3. 2ydxydyx

yxd −

=

−

4. 221tan

yxdxydyx

xyd

+−

=

−

5. 22ln21

yxdxydyx

yxyxd

−−

=

−+

6. 2

22 2x

dxydyxyxyd −

=

7. 2222 )(ln

21

yxdxydxxyxd

++

=

+

Contoh soal :

1. xdy + ydx = 2 x2 y dx

dxx2yx

dxydyx=

+

∫ d {ln (xy)} =∫ 2x dx dengan demikian : ln (xy) = x2 + C

2. x2 (xdx + y dy) + y (x dy – y dx) = 0

Jawab :

x dx + y dy = )(21 22 yxd + dan x dy – y dx = x2 d (y/x)

Persamaan menjadi :

x2 . 21 d(x2 + y2) + yx2 d(y/x) = 0

Substitusi : x2 + y2 = r2 , y/x = tan θ, x = r cos θ , y = r sin θ

Sehingga didapat :

21 r2 Cos 2 θ 2dr + r3 Sin θ Cos2 θ .

θθ

2Cosd = 0

r3 Cos2 ϴ dr + r3 Sin θ dθ = 0

∫ dr + ∫ θθ

2CosSin dθ = C

r + θCos

1 = C

r + xr = C ⇒ r ( 1 +

x1 ) = C

Cx

xyx =

+

+122

(x2 + y2) (1 + x)2 = Cx2

Carilah Jawab dari Persamaan Differensial berikut :

1. (x + e-x Sin y) dx – (y + e-x cos y) dy = 0

2. x dy – y dx = 2 x3 dx

III. PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER

Bentuk umum : dxdy + P(x) y = Q(x) ………. ( 1 ) pers. Bernoulli

Cara pemecahan :

Misalkan : y = uv ………….............................. ( 2 )

dimana : u = u (x) dan v = v (x)

dengan demikian didapat:

dxdvu

dxduv

dxdy

+= …………................. ( 3 )

Dari (1), (2) dan (3) diperoleh :

)()( xQuvxPdxduv

dxdvu =++

)(.)( xQuxPdxduv

dxdvu =

++ ………… ( 4 )

Selanjutnya pilihlah u sedemikian rupa sehingga :

0)( =+ uxPdxdu ……………...................................... ( 5 )

∫ ∫−= dxxPudu )(

ln u = ∫ +− 1)( CdxxP

ambil C1 = 0, sehingga : u =𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 .......................................( 6 )

dari (4) dan (5) didapat : u )x(Qdxdv

= …………….. ( 7 )

subsitusi pers (6) ke pers (7) didapat )()(

xQdxdve

dxxP=∫−

dv = dxe)x(Qdx)x(P

∫

v = ∫

∫ dxe)x(Q

dx)x(P

Dengan demikian y = uv dapat diselesaikan.

Contoh soal :

Selesaikan persamaan differensial berkut :

1. 2/5)1x(1x

y2dxdy

+=+

−

Jawab :

2/5)1x(y1x

2dxdy

+=+

−

2/5)1()( 1

2)( :dimana +=+

−= xxQdanx

xP

Misal : y = uv

dxduv

dxdvu

dxdy

+=

2/5)1(1

2+=

+

−+ xx

vdxdvu

dxduv

Pilihlah v sedemikian rupa sehingga :

01

2=

+−

xv

dxdv

∫ ∫ +=

12

xdx

vdv

ln v = 2 ln x + 1 + C1 → ambil C1 = 0

∴ v = (x + 1)2

v 2/5)1( += xdxdu

2/52 )1()1( +=+ xdxdux

du = (x + 1)1/2 dx

Cxu ++= 2/3)1(32

Maka : y = u v

[ ] 22/332 )1( )1( +++= xCxy

2.

yxedxdy x 2 : dari jawabTentukan

2

−= −

Jawab:

menjadian disederhak 22

yxedxdy x −= −

2

2 xexydxdy −=+

Misal : y = uv → dxdvu

dxduv

dxdy

+=

2

2 xeuxdxduv

dxdvu −=

++

Pilihlah u sedemikian rupa sehingga :

02 =+ xudxdu

dxxudu 2−=

ln u = - x2 + C1 → ambil C1=0

2xeu −=

222

maka xxx edxdvee

dxdvu −−− ==

dv = dx

v = x + C

2

)( umumnya jawab jadi xecxyuvy −+==

Soal-soal :

Pecahkan Persamaan Differensial berikut :

1. x

yxdxdy 22 +

=

3. 22 2)1( xxydxdyx =++

2. xyxdxdy coscos3 −=

4.

11

2 +−

=xy

dxdy

IV. PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON LINIER YANG DAPAT

DIJADIKAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER

nyxQyxPdxdy )()( =+ ………………………………….………. ( 1 )

Disebut persamaan differensial non linier.

Pemecahan dilakukan dengan memisalkan : Z = y-n+1 ………..… ( 2 )

maka ,)1( karena .. nyndydz

dxdy

dydz

dxdz

dxdz

dzdy

dxdy −+−==⇒=

didapat : dxdyy)1n(

dxdz n−+−=

dxdzy

1n1

dxdy n

+−= …………………………. ( 3 )

Dari (1), (2) dan (3) maka diperoleh :

didapat sehinggadengan kalikan,)()(1

1 nnn yyxQyxPdxdzy

n−=+

+−

didapat sehingga 1dengan kalikan)()(1

1 1 )(-nxQyxPdxdz

nn +=+

+−+−

)()1()()1( 1 xQnyxPndxdz n +−=+−+ +−

)x(Q)1n(Z.)x(P)1n(dxdz

+−=+−+

⇒=+ )(.)( xWzxHdxdz persamaan differensial linier.

Dengan memisalkan uvz = maka persamaan differensial dapat diselesaikan.

Contoh soal :

1. ⇒=+→=+ 3

)(1

3 )( yxyxPdxdyxyy

dxdy

xQpersamaan differensial non linier

Misalkan z = y-n+1 sehingga z= y-3+1 atau z= y-2 , dengan demikian maka

xydxdz 22 2 −=− −

xzdxdz 22 −=−

Mis : z = uv ⇒ xuvdxduv

dxdvu 22 −=−+

xudxduv

dxdvu 22 −=

−+

Pilihlah u sedemikian rupa sehingga :

02 =− udxdu ⇒ dxu

du ∫∫ = 2

ln u = 2 x + C1 , ambil C1= 0 sehingga didapat

u = e2x

xdxdvex

dxdvu x 22 2 −=⇒−=

dv = -2x e-2x dx

v = ∫ x d e-2x

v = x e-2x + 21 e-2x + C

= e-2x (x + ½) + C

∴ Z = e2x [e-2x (x + ½) + C]

y-2 = x + 21 + C e2x

2. 256

11 xxydx

dyy

=+

→=

+⇒=+ 6262 )(1 yxy

xdxdyyx

xy

dxdy pers. differensial non linier

Dengan memisalkan : z = y-5 maka didapat :

→−=− 255 xxz

dxdz persamaan differensial linier

Persamaan differensial diselesaikan dengan mengambil z = uv

Soal-soal :

1. 02

2

=+−xy

xy

dxdy

2. xyydxdyx ln2=+

3. 2

2

2 x1yx

x1xy

dxdy

−=

−−

V. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EXACT

Suatu persamaan differensial : N(x, y) dx + M (x, y) dy = 0, disebut persamaan

differensial exact bila mempunyai sifat bahwa :

xM

yN

∂∂

=∂∂

Misalkan F (x, y) = C merupakan jawaban persamaan differensial tersebut. maka

0≡∂∂

+∂∂

= dyyFdx

xFdF

bila ),( yxNxF

=∂∂

⇒ N (x, y) dx + M(x, y) dy = 0

),( yxMyF

=∂∂

xy

FyN

∂∂∂

=∂∂ 2

∴ x

MyN

∂∂

=∂∂

yx

Fx

M∂∂

∂=

∂∂ 2

Dari xF

∂∂ = N (x, y) didapat : F(x, y) = ∫ N(x, y) dx + g(y), sedangkan

),( yxM

yF

=∂∂

sehingga M(x, y) = [ ]∫ +

∂∂ )(),( ygdxyxNy

∴ g(y) = …………. ? (dapat dicari)

Contoh soal :

1. (x2 + xy) dx + (y2 + 21 x2) dy = 0

xyNyxNxyx =

∂∂

⇒=+ ),(2

Exact PDmerupakan jadi ,x

MyN

∂∂

=∂∂

xMyxMxy∂

∂⇒=+ ),(

21 22 = x

misal : F(x,y)=C adalah jawab persamaan differensial Exact tersebut

maka ),( yxNxF

=∂∂ F (x, y) = ∫ N (x, y) dx

= ∫ (x2 + xy) dx

sehingga F (x, y) = 31 x3 +

21 x2 y+ g(y)

222

21)(

21),( xyygxyxM

yF

+=′+⇒=∂∂

jadi : 132

31)( )( Cyygsehinggayyg +==′

Dengan demikian didapat : F(x, y) = 21

323

323CCyyxx

=+++

sehingga: tersebutPDE jawabmerupakan 31

21

31 323 Cyyxx =++

2. (2xey + ex) dx + (x2 + 1) ey dy = 0

Karena N (x, y) = 2 x ey + ex → yxeyN 2=

∂∂ dan

yy xex

MexyxM 2)1(),( 2 =∂

∂→+=

...

: jadi

EDP

xM

yN

∂∂

=∂∂

maka),( Karena yxNxF

=∂∂ F(x, y) = ∫ + )(),( ygdxyxN

= ∫ ++ )()2( ygdxeex xy

= x2 ey + ex + g(y)

yy exygexyxMyF )1()(),( sedangkan 22 +=′+⇒=

∂∂

𝑔′(𝑦) = 𝑒𝑦

𝑔 (𝑦) = 𝑒𝑦 + 𝐶1

Jadi : F(x, y) = x2 ey + ex + ey + C1 = C2

Dengan demikian maka : ex + (x2 + 1) ey = C jawab umumnya

Soal-soal :

1. (y2 + 2 xy + 1) dx + (2x y + x2) dy = 0

2. xCos

xyxdxdy sin2 +

=

3. 1( 2 ++ yx ) dx – (y - 0)12

=+

dyyxy

E

R1

R2 L

S1

2

R2

R1

Li(t)

4. (ex + ln y + 0sinln) =

+++ dyyx

yxdx

xy

5. 0)sinh2tan2(21

12

2

=+−+

−

+− dyyxxydxy

xy

6. 0sin=

−+ dx

xxydy

APLIKASI PERSAMAAN DIFFERENSIAL PADA RANGKAIAN LISTRIK

1.

pada t < 0, saklar s di 1

Pada t > 0, saklar s di 2

Tentukan i(t) pada t>0

Penyelesaian

Pada t > 0, rangkaian menjadi :

(R1 + R2) i(t) + L 0)(=

dttdi

)()()(21 tiRR

dttdiL +−=

dtL

RR)t(i)t(di 21 +

−=

Jadi : ∫ ∫+

−= dtL

RRidi 21

ln i = ktL

RR+

+

− 21

L

tRR

keti)21(

)(+−=

Dari rangkaian diatas untuk t = 0 maka didapat i(0) = 1R

E

i(t)

t

1RE

R2

R11

E C

2

R2

R1

Ci(t)

sedangkan dari perhitungan untuk t=0 maka didapat i(0) = k

dengan demikian LtRR

etik RE

RE

)21(

11)(didapat sehingga

+−==

Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut :

2. Selesaikan rangkaian berikut :

Pada t < 0, saklar di 1

Pada t > 0, saklar di 2

Tentukan i(t) pada t > 0

Penyelesaian :

Pada t > 0, rangkaian menjadi :

(R1 + R2) i(t) + 0dtiC1

=∫

(R1 + R2) 0C

)t(idtdi

=+

sehingga : C)RR(

)t(idtdi

21 +−=

∫∫ +

−= dtCRRti

tdi)(

1)()(

21

ln i = kCRR

t+

+−

)( 21

CRR

t

ekti )21( )( +−=

Dari persamaan diatas didapat, pada t = 0 maka 𝑖(0) = 𝑘 , sedangkan dari

rangkaian pada t=0 didapat 𝑖(0) = 𝐸𝑅1+𝑅2

, sehingga 𝑘 = 𝐸𝑅1+𝑅2

jadi dengan

demikian akan diperoleh 𝑖(𝑡) = 𝐸𝑅1+𝑅2

𝑒− 𝑡

(𝑅1+𝑅2)𝐶

E

R1

R2

L

S

R2

Li(t)E

3.

Pada t < 0, saklar s dibuka

Pada t > 0, saklar s ditutup

Tentukan i(t) pada t > 0

Jawab :

Pada t > 0, rangkaian seperti terlihat disebelah :

sehingga didapat R2 i(t) + L Edtdi

=

LEti

LR

dttdi

=+ )()( :didapat demikian dengan 2

Misalkan : i = pq → dtdqp

dtdpq

dtdi

+=

LEpq

LR

dtdqp

dtdpq =++ 2

LEq

LR

dtdqp

dtdpq =

++ 2

Pilih q sedemikian rupa sehingga :

02 =+ qLR

dtdq

ktLRqdt

LR

qdq

+−=⇒−= 22 ln

t

LR

eq2−

=

LE

dtdpe

LE

dtdpq

tLR

==− 2

sehingga

∫ ∫= dteLEdp

tL

R2

22

2

. keRL

LEp

tL

R

+=

E

R1

R2

L

S

R2

R1 S

E

1

2

C

22

2

keREp

tL

R

+=

Dengan demikian didapat :

+=

−

22

22

)( keREeti

tL

RtL

R

t

LR

ekREti

2

22

)(−

+=

Untuk t = 0 ⇒ 21

)0(RR

Ei+

=

Jadi : 2221

kRE

RRE

+=+

−

+=

2212

11RRR

Ek

+−−

=)( 212

212

RRRRRRE

jadi : 221

12 )( RRR

REk+

−=

maka

+−=

− tL

R

eRR

RREti

2

21

1

2

1)(

TUGAS 1 (dikumpulkan minggu depan)

Carilah penyelesaian rangkaian berikut ini:

1.

pada t < 0, s ditutup

pada t > 0, s dibuka

Tentukan i( t ) pada t > 0

2.

pada t < 0, s di 1

pada t > 0, s di 2

Tentukan i( t ) pada t > 0

m F

X

-ky

Perhatikan gambar berikut, bagaimanakah persamaan diffrensial

penyelesaiannya ?

VI. PERSAMAAN DIFFERENSIAL DENGAN ORDE LEBIH DARI SATU

I. Bentuk : )()( xxxfdx

ydn

n

≡=

Penyelesaian dengan menurunkan ordenya.

Ambil : dxdp

dxydp

dxdy

2

2

=⇒=

2

2

3

3

dxpd

dxyd

=

1

1

−

−

= n

n

n

n

dxpd

dxyd

Bila : q = 2

2

dxpd

dxdq

dxdp

=⇒

∴ 2

2

1

1

−

−

−

−

= n

n

n

n

dxpd

dxqd ......... dst.

Contoh :

Selesaikan persamaan differensial : x3

3

exdx

yd=

Jawab :

misal : p = 2

2

dxyd

dxdp

dxdy

=⇒

3

3

2

2

dxyd

dxpd

=

x2

2x

3

3

exdx

pdexdx

yd=→=

ambil : q = 2

2

dxpd

dxdq

dxdp

=→

∴ xexdxdq

=

dq = x ex dx

q = x ex – ex + C1

Dengan demikian maka : 1Ceexdxdp xx +−=

dp = (x ex – ex + C1) dx

p = x ex – ex – ex + C1 x + C2

∫ ∫ ++−== dxCxCexysehinggapdxy x )})2{( 21

322

1)3( CxCxCex x +++−=

II. Bentuk : )()( ygyfdx

ydn

n

≡=

Misalkan : dydpp

dxdy

dydp

dxdpmaka

dxdyp === .

dydpp

dxyd2

2

=

dxdy

dydpp

dyd

dxyd3

3

=

= p 2

22

2

dypdp

dydp

+

demikian seterusnya

Contoh :

yadx

ydyadx

yd 22

22

2

2

0 :berikut PD Selesaikan 1. −=⇒=+

Penyelesaian :

Misalkan : p = dxdy

2

2

dxyd

dydpp

dxdy.

dydp

dxdp

===

∴ p yadydp 2−=

p dp + a2y dy = 0

1222 Cya

21p

21

=+

p2 + a2y2 = C2 → ambil C2 = c2

p2 = c2 – a2 y2

p = + 222 yac −

222 yacdxdy

−±= → ambil +

dx = 222 yac

dy−

x = ∫− 222 yacdy = 3sin1 C

cayarc

a+

∴ ax = arc sin

cay + C3

)(sin 4caxcay

+=

= sin ax cos c4 + cos ax sin c4

y = P cos ax + Q sin ax

Soal-soal:

Selesaikan persamaan differensial : 1. xexdx

yd −=3

3

0 2. 2

2

2

=− yadx

yd

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER ORDE N

Persamaan umum : F 0dx

yd,.....,dx

yd,dxdy,y,x n

n

2

2

=

Bila variabel bebas dan turunan-turunannya mempunyai pangkat tertinggi sama

dengan 1, maka persamaan differensial ini disebut persamaan differensial linier.

Bentuk umum persamaan differensial linier orde-n :

(*) .................)()(.....)()( 011

1

1 xgyadxdyxa

dxydxa

dxydxa n

n

nn

n

n =++++ −

−

−

bila : g(x) = 0 ⇒ disebut persamaan differensial homogen

g(x) ≠ 0 ⇒ disebut persamaan differensial in-homogen

Sifat Persamaan Differensial Homogen

1. Jika y1 merupakan jawaban persamaan * dan y2 juga merupakan jawaban

persamaan *, maka y1+y2 juga merupakan jawaban persamaan *.

Bukti :

)()(.....)()(21

2111

211

121 yya

dxyyda

dxyyda

dxyyda on

n

nn

n

n +++

+++

++

−

−

−

++++

+++ −

−

−−

−

− 2o1n2

1n

1nn2

n

n1o1n1

1n

1nn1

n

n ya.....dx

ydadx

ydaya.....dx

ydadx

yda

2. Jika y1 merupakan jawaban persamaan *, maka cy1, juga merupakan jawaban

persamaan *.

Bukti :

=++++ −

−

− 1o1

11n1

1n

1nn1

n

n cyadx

dcya.....dx

)cy(dadx

)cy(da

0yadxdya.....

dxyda

dxydaC 1o

111n

11n

1nn1

n

n =

++++ −

−

−

3. Jika y1 dan y2 adalah jawaban persamaan *, maka y=c1y1+c2y2 juga

merupakan jawaban persamaan *.

Bukti : dari sifat 1 dan 2 dapat disimpulkan bahwa y=c1y1+ c2y2

merupakan juga persamaan *.

4. Suatu persamaan differensial orde n akan mempunyai n jawaban yang bebas

linier dan n jawaban yang linier. Bila y1, y2, y3, y4, ....., yn merupakan jawaban

persamaan * maka y = c1 y1 + c2 y2 + c3 y3 + ..... + cn yn juga merupakan

jawaban.

VII. PEMECAHAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN

DENGAN MENGGUNAKAN OPERATOR D

Didefinisikan : D = dxd

Sehingga : D2 = 2

2

dxd

D3 = 3

3

dxd

Dn = n

n

dxd

Contoh :

D sin x = cos x D2 x2 = D . Dx2

Dx2 = 2 x = D.2x= 2

D3 cos x = - D2 sin x (Dx2) sin x = 2 x sin x

= - D cos x x2 D sin x = x2 cos x

= sin x ∴ Dx2 ≠ x2 D

Hitung : θ2 sin x bila θ sin x = x cos x

Jawab :

θ2 sin x = θ . θ sin x

= θ . x cos x

= )cos( xxdxdx

= x (cos x - x sin x)

= x cos x – x2 sin x

Dengan menggunakan operator D persamaan diferensial homogen dapat ditulils :

0..... 11

1

1 =++++ −

−

− yadxdya

dxyda

dxyda on

n

nn

n

n

an Dny + an-1 Dn-1 y + ..... + a1 Dy + ao y = 0

atau

(an Dn + an-1 Dn-1 + ..... + a1 D + ao) y = 0

Dapat ditulis pula sebagai:

Φ (D) y = 0

Sehingga persamaan differensial ln-homogen dapat ditulis : Φ (D) y = g(x)

SIFAT-SIFAT OPERATOR D

I. (Dr + Ds) u = (Ds + Dr) u ⇒ Hk. Komutatif

II. {Dr + (Ds + Dt)} u = {(Dr + Ds) + Dt} u ⇒ Hk. Asosiatip

III. (Dr . Ds) u = (Ds . Dr) u ⇒ Hk. Komutatif Perkalian

IV. Dr (Ds . Dt) u = (Dr Ds) . Dt u ⇒ Hk. Asosiatip

V. Dr (Ds + Dt) u = (Dr Ds + Dr Dt) u ⇒ Hk. Distributip

VI. (Dr Ds) u= Dr+s u ⇒ Rumus Pangkat

VII. Dr (cu) = c Dr u ⇒ Sifat Turunan

r, s, t = konstanta

SIFAT-SIFAT DARI φ (D)

I. φ (D) emx = φ (m) emx (m = konst)

Bukti : D emx = m emx

D2 emx = m2 emx

D3 emx = m3 emx

Dn emx = mn emx

Sedangkan :

φ(D) emx = (an Dn + an-1 Dn-1 + ..... + a1 D + ao) emx

= (an mn + an-1 mn-1 + ..... + a1 m + ao) emx

= φ (m) emx

(q e d)

Contoh :

a). (D2 – 2.D + 3) e2x = (22 – 2.2 + 3) e2x

= 3 e2x

b). (D3 – D2 – D + 6) e3x = (33 – 32 – 3 + 6) e3x

= (27 – 9 – 3 + 6) e3x

= 21 e3x

II. φ(D) (u.emx) = emx φ(D + m) u dimana u = f(x)

Bukti :

Du emx = emx Du + mu emx

= emx (D + m) u

D2 (emxu) = D[D (emx.u)]

= D[emx (D + m) u] misalkan (D+m)u = v

= D(emx v)

= emx (D + m)v

= emx (D + m) (D + m) u

= emx (D + m)2 u Jadi :

φ(D) (u. emx) = (an Dn + an-1 Dn-1 + ..... + a1.D + ao) (u emx)

= emx [an (D+m) n + an-1 (D+m)n-1 + ..... + a1 (D+m) + ao ]u

= emx φ (D + m) u

(q . e . d)

Contoh :

1. (D2 – D + 6) e2x . x2 = e2x {(D + 2)2 – (D + 2) + 6} x2

= e2x (D2 + 3 D + 8) x2

= e2x (2 + 6 x + 8 x2)

2. (D2 + 2 D-3) (tan x - x2 ) = D2 (tan x -

x2 ) +2D(tan x -

x2 ) – 3 (tan x -

x2 )

= D (sec2 x + 2

2x

) + 2 (sec2 x + 2

2x

) – 3 tan x + x6

= 2 tan x sec2 x - 3

4x

+ 2 sec2 x + 2

4x

- 3 tan x + x6

= 2 sec2 x + 2 sec2 x tan x - 3 tan x + 3

1x

(4 x + 6 x2 - 4)

Kerjakan Soal berikut : 1) (D2 + 2 D – 3) (e2x sin x + ex cos x+ e-3x x2)

2) (D2 – 3 D +2) ex (x2 – 3 sin x)

3) (3 D2 + D + 2) e2x (ln 2 x - 2

1x

)

PERSAMAAN KARAKTERISTIK

Telah diketahui bahwa bila φ(D)y=0 disebut persamaan differensial homogen

sedangkan bila φ(D) y = g(x) disebut persamaan differensial in homogen

Bila φ(D) = (D - m1) (D - m2) ..... (D - mn) = 0

Maka φ(m) = (m – m1) (m – m2) .... (m – mn) = 0,

sehingga :

m = m1, m = m2 ....., m = mn

Jadi bila φ(D) y = A (D – m1) (D – m2) ..... (D – mn) y = 0

sedang A = konstanta ≠ 0, maka akan berlaku : (D – m1) (D – m2) ..... (D – mn) y = 0 ........... ( 1 ) Misalkan: (D – m1) y1 = 0 memenuhi persamaan ini, maka

111

111 0 ym

dxdyym

dxdy

=→=−

xmydxmy

dy111

1

1 ln =→=

y1 = c1 em1x

Jelaskan bahwa y1 memenuhi φ(D)y = 0

Demikian pula jika (D – m2) y2 = 0 memenuhi persamaan (1)

Maka y2 = c2 em2x akan memenuhi φ(D) y = 0

Sehingga : Didapat jawaban umum dari φ(D) y = 0 adalah :

y = C1 em1x + C2 em2x + C3 em3x + ..... + Cn emnx

Contoh soal:

Tentukan jawaban umum dari :

1. (D – 1) (D + 2) (D – 3) (D + 1) y = 0

Jawab :

y = c1 ex + c2 e-2x + c3 e3x + c4 e-x

2. 0652

2

=++ ydxdy

dxyd

Jawab :

(D2 + 5D + 6) y = 0

(D + 3) (D + 2) y = 0

∴ y = c1 e-3x + c2 e-2x atau y = Ae-2x + Be-3x

3. 0)44(044 22

2

=++⇒=++ yDDydxdy

dxyd

(D + 2)2 y = 0

maka y = ce-2x bukan jawaban lengkapnya karena akar harus ada dua

jadi misalkan jawaban umumnya y = u(x) e-2x

Substitusi ke (D + 2)2 y = 0 didapat (D + 2)2 u(x) e-2x = 0

Dengan menggunakan sifat : φ(D) u emx = emx φ (D + m) u

Didapat : e-2x [D – 2 + 2]2 u(x) = 0 ⇒ e-2x D2u= 0

D2u = 0

Du = A

u = Ax + B

∴ y = (Ax + B) e-2x atau y = (c1x + c2) e-2x merupakan jawaban umumnya.

Secara umum dapat diperoleh :

Bila ∅(D) y = A (D – m1) (D – m2) ..... (D – ms)s ..... (D – mn) y = 0

Maka jawaban dari (D – ms)s ys = 0 adalah ys = u emsx

∴ (D – ms)s u emsx = emsx (D + ms – ms)s = 0

emsx Ds u = 0 ⇒ Dsu = 0

u = co + c1 x + c2 x2 + ..... + cs-1 xs-1

∴ Jawaban umumnya : ys = (co + c1 x + c2 x2 + ..... + cs-1 xs-1) ems x

Contoh :

1. (D – 1) (D + 2)3 (D – 3) (D + 1) y = 0

Jawab umumnya: xx

rangkapKarena

xx ececexcxccecy −− +++++= 63

5

3

224321 ) (

2. (D – 1)2 (D + 1)3 (D – 2)2 Dy = 0

Akan mempunyai jawaban umum :

y = (c1 + c2 x) ex + (c3 + c4 x + c5 x2) e-x + (c6 + c7x) e2x + C8

3. (D – 3)2 (D + 1)3 D5 y = 0

Akan mempunyai jawaban umum :

y = (c1 + c2 x) e3x + (c3 + c4 x+ c5 x2) e-x + c6 + c7 x + c8 x2 + c9 x3 + c10 x4

Bila persamaan karakteristik mempunyai akar kompleks :

m1 = α + i β atau m2 = α - i β, maka jawaban umum :

y = c1 em1x + c2 em2x

= c1 e(α+iβ)x + c2 e(α-iβ)x

= c1 eαx eiβx + c2 eαx e-iβx

= eαx (c1 eiβx + c2 e-iβx)

= eαx (c1 cos βx + i c1 sin βx + c2 cos βx – i c2 sin βx)

= eαx [(c1 + c2) cos βx + i(c1 – c2) sin βx]

= eαx [A cos βx + B sin βx)] dimana : A = c1 + c2

B = i(c1 – c2)

∴ y = eαx (A cos βx + B sin βx)

Jika α = 0 ⇒ y = A cos βx + B sin βx

Contoh :

1. (D2 – 4D + 13) y = 0 ⇒ {(D – 2)2 + 9} y = 0

{(D – 2) +i3} {(D – 2) –i3} y = 0

(D – 2 + 3i) (D – 2 – 3i) y = 0

∴ y = e2x (A cos 3x + B sin 3x)

2. (D6 + 4D4) y = 0 ⇒ D4 (D2 + 4) y = 0

D4 (D + 2i) (D – 2i) y = 0

∴ y = (c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3) + (A cos 2x + B sin 2x)

DAPAT DISIMPULKAN :

Jika persamaan karakteristik φ(m) = 0 atau m2 + pm + q = 0, mempunyai akar-

akar sebagai berikut :

a. m1 dan m2 riel, maka : y = c1 em1x + c2 em2x

b. m1 = m2 = m (riel rangkap), maka : y = (c1 + c2 x) emx

c. m1 = α + iβ & m2 = α-iβ, maka : y = eαx (A cos βx + B sin βx)

dan bila α = 0 ⇒ y = A cos βx + B sin βx

Kerjakan Soal-soal berikut :

1. (D2 – 4 D + 4) y = 0 6. (D3 – 3 D2 – D + 3) y = 0

2. (D3 + 3D2 + 3D + 1) y = 0 7. (4D3 – 3D2 + D) y = 0

3. (D3 + 9D) y = 0 8. (D2 – 2D + 4) y = 0

4. (D4 – 2D3) y = 0 9. (D2 – 6 D + 10) y = 0

5. (D6 – 4D4+ 4D2) y = 0 10. (D3 – 1) y = 0

PERSAMAAN DIFFERENSIAL IN HOMOGEN

)(..... 011

1

1 xgyadxdya

dxyda

dxyda n

n

nn

n

n =++++ −

−

− .......................... ( I )

Sifat-sifat:

a. Bila yc = c1 y1 + c2 y2 + ..... + cn yn merupakan salah satu jawaban persamaan I

(yc = jawaban complementer) dan yp merupakan jawaban lain dari persamaan I

(jawaban partikelir / khusus), maka y = yc + yp merupakan jawaban umum dari

persamaan I.

yc didapat dengan mengambil g(x) = 0 , sedangkan yp tergantung dari g(x)

Bukti :

=++++

++

−

−

− )yy(a.....dx

)yy(da

dx)yy(d

a pco1npc

1n

1nnpc

n

n

)(

1

1

11

1

1 ..........)(

xg

ponp

n

nnp

n

n

O

conc

n

nnc

n

n yadx

yda

dxyd

ayadx

ydadx

yda

++++

+++ −

−

−−

−

−

b. Dari persamaan an )x(g)x(gya.....dx

ydadx

yd21o1n

1n

1nn

n

+=+++ −

−

− ............. ( II )

Bila yp1 dan yp2 merupakan jawaban khusus dari persamaan II maka yp = yp1

+ yp2 merupakan jawaban khusus persamaan II.

Bukti :

)(.....)()(211

211

121 ypypa

dxypypda

dxypypda on

n

nn

n

n ++++

++

−

−

− =

0..... 212

1

12

11

1

11 =

++++

++ −

−

−−

−

− ponp

n

nnp

n

nponp

n

nnp

n

n yadx

yda

dxyd

ayadx

yda

dxyd

a

φ (D) y = g(x) ⇒ A (D – m1) (D – m2) ..... (D – mn) y = g(x)

Dapat diselesaikan dengan metode reduksi sebagai berikut :

A (D – m1) (D – m2) (D – m3) ..... (D – mm) y = g(x)

Mis : A (D – m2) (D – m3) ..... (D – mn) y = u(x)

Shg : (D – m1) u(x) = g(x), merupakan persamaan differensial linier.

Maka : u(x) dapat diperoleh.

Dengan cara yang sama dapat dimisalkan :

A (D – m3) D – m4) ..... (D – mn) y = v(x)

Shg: (D – m2) v(x) = u(x) ⇒ v(x) diperoleh

Demikian seterusnya sehingga akhirnya diperoleh :

(D – mn) y = w(x) ⇒ y dapat dicari.

Contoh :

(D + 1) (D – 1) (D + 2) y = x

Dengan mengambil : 0)2)(1)(1( =+−+ cyDDD

maka didapat : xxxc ecececy 2

321−− ++=

untuk mencari yp ambil : )()2)(1( xuyDD =+− sehingga didapat

xudxduxxuD =+=+ maka ,)()1( (persamaan differensial linier)

Misalkan : u = p . q

xqpdxdpq

dxdqp =++ .

xpdxdpq

dxdqp =

++

Pilih q sedemikian rupa sehingga : 0=+ pdxdp

dxp

dp−=

p = e-x

xdxdqex

dxdqp x =⇒= −

- sehingga ∫∫ ∫ == dxexeqdxxedq xxx

1)-(x- xxx eexeq ==

didapat sehingga )1( jadi −= xu 1)2)(1( −=+− xyDD

sekarang misalkan 1)()1( diperoleh sehingga )()2( −=−=+ xxvDxvyD

1 maka −=− xvdxdv (persamaan differensial linier)

Misalkan : v = p . q

1. −=−+ xqpdxdpq

dxdqp

1−=

−+ xp

dxdpq

dxdqp

Pilih q sedemikian rupa sehingga : 0pdxdp

=−

dxp

dp=

p = ex

11 −=⇒−= xdxdqex

dxdqp x

)1( sehingga )1( ∫∫ ∫ −−− +−−=−= dxeexqdxexdq xxx

)1( xxx xeeexq −−− −=−−−=

Jadi xv −=

xyD −=+ )2( :demikian dengan

Misalkan : y = p . q

xqpdxdpq

dxdqp −=++ .2

xpdxdpq

dxdqp −=

++ 2

Pilih q sedemikian rupa sehingga : 02 =+ pdxdp

dxp

dp 2−=

p = e-2x

xdxdqex

dxdqp x −=⇒−= −21

) ( sehingga 22212 ∫∫ ∫ −−=−= dxexeqdxxedq xxx

)( 241

212

412

21 xxx exexeq +−=+−=

Jadi 41

21 +−= xy p

Dengan demikian jawab umumnya adalah :

41

212

321 +−++=+= −− xecececyyy xxxpc

MENCARI py DENGAN KOEFISIEN TAK TENTU

Untuk mencari py tergantung daripada bentuk persamaan diferensial inhomogen yang ingin dicari {tergantung dari g(x)}. I. a). ɸ(𝐷)𝑦 = 𝑥𝑟 atau (𝑎𝑛𝐷𝑛 + 𝑎𝑛−1𝐷𝑛−1+. . +𝑎𝑛−𝑚𝐷𝑛−𝑚)𝑦 = 𝑥𝑟

pada ruas kiri pangkat x yang tertinggi ditentukan oleh 0dengan 00 ≠ayayang berarti bahwa pangkat tertinggi dari polynom py adalah rx sehingga

py dapat dimisalkan sebagai : 𝑦𝑝 = (𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + 𝑏3𝑥3 + ⋯+ 𝑏𝑟𝑥𝑟)

Contoh: Pecahkan persamaan diferensial: (𝐷2 − 5𝐷 + 6)𝑦 = 2𝑥3 + 5𝑥 − 6 Penyelesaian: ambil : (𝐷2 − 5𝐷 + 6)𝑦𝑐=0 sehingga 𝑦𝑐 = 𝐴𝑒2𝑥 + 𝐵𝑒3𝑥 misal : 𝑦𝑝 = (𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3) 𝑦𝑝′ = (𝑐1 + 2𝑐2𝑥 + 3𝑐3𝑥2)

𝑦𝑝′′ = (2𝑐2 + 6𝑐3𝑥 )

jadi: (𝐷2 − 5𝐷 + 6)𝑦𝑝 = 2𝑐2 + 6𝑐3𝑥 − 5𝑐1 − 10𝑐2𝑥 − 15𝑐3𝑥2 + 6𝑐0 + 6𝑐1𝑥 + 6𝑐2𝑥2 + 6𝑐3𝑥3 = 6𝑐3𝑥3 − (15𝑐3 − 6𝑐2)𝑥2 + (6𝑐3 − 10𝑐2 + 6𝑐1)𝑥

+(2c2 − 5c1 + 6c0) ≡ 2𝑥3 + 5𝑥 − 6

dari koefisien 𝑥3 didapat 6c3=2 jadi c3= 13

𝑥2 didapat −15c3 + 6𝑐2=0 jadi c2= 56

𝑥1 didapat 6c3−10𝑐2 + 6c1=5 jadi c1= 179

𝑥0 didapat 2c2−5𝑐1 + 6c0 = −6 jadi c0= 827

dengan demikian didapat 𝑦𝑝= 8

27 + 179 𝑥 + 5

6𝑥2+13𝑥

3 jadi jawab umumnya adalah 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝

=𝐴𝑒2𝑥 + 𝐵𝑒3𝑥 + 827 + 17

9 𝑥 + 56𝑥

2+13𝑥

3

b). Bila ∅(𝐷)𝑦 = ∅1(𝐷)𝐷𝑠𝑦 = 𝑥𝑟 dimana ∅1(𝐷) ≠ 0 yang berarti bahwa pangkat tertinggi polynom ∅ (𝐷)𝑦 ditentukan oleh orde turunan terendah 𝐷𝑠𝑦 ∅1(𝐷)𝐷𝑠𝑦 = 𝑥𝑟 maka 𝐷𝑠𝑦𝑝 = (𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + 𝑏3𝑥3 + ⋯+ 𝑏𝑟𝑥𝑟) , dengan mengintegralkan 𝐷𝑠𝑦 sampai s kali maka didapat : 𝑦𝑝 = 𝑥𝑠(𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3 + ⋯+ 𝑐𝑟𝑥𝑟) Contoh : 1. Pecahkan persamaan diferensial: (𝐷 − 1)(𝐷 + 1)𝐷2𝑦 = 𝑥2 Penyelesaian: ambil : (𝐷 − 1)(𝐷 + 1)𝐷2𝑦𝑐=0 sehingga 𝑦𝑐 = 𝐴𝑒𝑥 + 𝐵𝑒−𝑥 + (𝐶 + 𝐷𝑥) misal : 𝑦𝑝 = 𝑥2(𝑔0 + 𝑔1𝑥 + 𝑔2𝑥2) = 𝑔0𝑥2 + 𝑔1𝑥3 + 𝑔2𝑥4 𝑦𝑝′ = (2𝑔0𝑥 + 3𝑔1𝑥2

+ 4𝑔2𝑥3)

𝑦𝑝′′ = (2𝑔0 + 6𝑔1𝑥 + 12𝑔2𝑥2 )

𝑦𝑝′′′ = (6𝑔1 + 24𝑔2𝑥)

𝑦𝑝′′′′ =

24𝑔2 jadi: (𝐷4 − 𝐷2)𝑦𝑝 = 24𝑔2 − 2𝑔0 − 6𝑔1𝑥 − 12𝑔2𝑥2 ≡ 𝑥2 dari koefisien 𝑥2 didapat −12𝑔2=1 jadi 𝑔2 = − 1

12

𝑥 didapat −6𝑔1=0 jadi 𝑔1=0 𝑥0 didapat 24𝑔2 − 2𝑔0 = 0 jadi 𝑔0 = − 1

dengan demikian didapat 𝑦𝑝=−𝑥2− 112𝑥4

jadi jawab umumnya adalah 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 =𝐴𝑒𝑥 + 𝐵𝑒−𝑥 + (𝐶 + 𝐷𝑥) − 𝑥2 − 1

12𝑥4

2. Pecahkan PD: (𝐷 + 1)(𝐷 + 3)(𝐷 − 2)𝐷2𝑦 = 2𝑥3 + 5𝑥2 + 6

𝑦𝑐 = 𝐴𝑒−𝑥 + 𝐵𝑒2𝑥 + 𝐶𝑒−3𝑥 + (𝐷 + 𝐸𝑥) 𝑦𝑝 = 𝑥2(𝐹𝑥3 + 𝐺𝑥2 + 𝐻𝑥 + 𝐼)

II. a) Bentuk ɸ(𝐷)𝑦 = 𝑥𝑟𝑒𝑞𝑥 karena ruas kanan mengandung qxe , maka permisalan yang diambil

)( dimana xuuuey qxp == ini berarti bahwa:

∅(𝐷)𝑢𝑒𝑞𝑥 = 𝑥𝑟𝑒𝑞𝑥 sehingga 𝑒𝑞𝑥∅(𝐷 + 𝑞)𝑢 = 𝑥𝑟𝑒𝑞𝑥

∅(𝐷 + 𝑞)𝑢 = 𝑥𝑟 misal ∅(𝐷 + 𝑞)𝑢 = 𝐹(𝐷)𝑢 sehingga 𝐹(𝐷)𝑢 = 𝑥𝑟

𝑢𝑝 = 𝑔0 + 𝑔1𝑥 + 𝑔2𝑥2 + ⋯+ 𝑔𝑟𝑥𝑟, sehingga 𝑦𝑝 = (𝑔0 + 𝑔1𝑥 + 𝑔2𝑥2 + ⋯+ 𝑔𝑟𝑥𝑟)𝑒𝑞𝑥

b). Bila ∅1(𝐷)𝐷𝑠𝑦 = 𝑥𝑟𝑒𝑞𝑥 dan D=0 maka ∅(𝑞) = 𝐹(0) = 0, mempunyai 𝑞 rangkap s kali, sehingga:

𝑦𝑝 = 𝑥𝑠(𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + 𝑏3𝑥3 + ⋯+ 𝑏𝑟𝑥𝑟)𝑒𝑞𝑥

Contoh: 1.(𝐷 + 1)(𝐷 + 3)𝑦 = 2𝑒2𝑥,karena 𝑦𝑐 tidak mengandung 𝑒2𝑥 , maka

misalkan : 𝑦𝑝 = 𝐴𝑒2𝑥 2.(𝐷 + 1)(𝐷 + 2)𝑦 = 2𝑥2𝑒2𝑥,karena 𝑦𝑐 tidak mengandung 𝑒2𝑥 , maka

misalkan : 𝑦𝑝 = (𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶)𝑒2𝑥 3.(𝐷 + 1)(𝐷 − 1)(𝐷 − 2)𝑦 = 3𝑥2𝑒2𝑥,karena 𝑦𝑐 mengandung 𝑒2𝑥 , maka

misalkan : 𝑦𝑝 = 𝑥(𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶)𝑒2𝑥

4.(𝐷 + 2)(𝐷 − 3)(𝐷 − 4)3𝑦 = 4𝑒4𝑥,karena 𝑦𝑐 mengandung 𝑒4𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥3𝑒4𝑥

5.(𝐷 − 1)(𝐷 + 1)3𝐷2𝑦 = 𝑥2𝑒−𝑥,karena 𝑦𝑐 mengandung 𝑒−𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑝 = 𝑥3(𝐴 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥2)𝑒−𝑥

6.(𝐷 − 1)(𝐷 + 1)3𝐷2𝑦 = 𝑥2𝑒−𝑥 + 𝑥3,karena 𝑦𝑐 mengandung 𝑒−𝑥 , maka

misalkan : 𝑦𝑝 = 𝑥3(𝐴 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥2)𝑒−𝑥 + 𝑥2(𝐷 + 𝐸𝑥 + 𝐹𝑥2 + 𝐺𝑥3)

III. a) Bentuk ɸ(𝐷)𝑦 = 𝑥𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑞𝑥 karena )( cos 2

1 iqxiqx eeqx −+= ,maka berarti bahwa:

∅(𝐷)𝑦 = 12𝑥𝑟𝑒𝑖𝑞𝑥 +

12𝑥𝑟𝑒−𝑖𝑞𝑥 atau ∅(𝐷)𝑦 = 𝑥𝑟𝑒𝑖𝑞𝑥 + 𝑥𝑟𝑒−𝑖𝑞𝑥

Jadi 𝑦𝑝 = (𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯+ 𝑎𝑟𝑥𝑟)𝑒𝑖𝑞𝑥 + (𝑏0 + 𝑏1𝑥 + ⋯+ 𝑏𝑟𝑥𝑟)𝑒−𝑖𝑞𝑥 sehingga : 𝑦𝑝 = (𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋯+ 𝑎𝑟𝑥𝑟)(𝑐𝑜𝑠 𝑞𝑥 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝑞𝑥) +

(𝑏0 + 𝑏1𝑥 + ⋯+ 𝑏𝑟𝑥𝑟)(𝑐𝑜𝑠 𝑞𝑥 − 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝑞𝑥)

dengan demikian : 𝑦𝑝 = (𝑐0 + 𝑐1𝑥 + ⋯+ 𝑐𝑟𝑥𝑟)(𝑐𝑜𝑠 𝑞𝑥) + (𝑑0 + 𝑑1𝑥 + ⋯+ 𝑑𝑟𝑥𝑟)(𝑠𝑖𝑛 𝑞𝑥)

maka : 𝑦𝑝 = (𝑔0 + 𝑔1𝑥 + ⋯+ 𝑔𝑟𝑥𝑟)(𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑞𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛 𝑞𝑥)

b). Bila ∅1(𝐷)𝐷𝑠𝑦 = 𝑥𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑞𝑥 maka : 𝑦𝑝 = 𝑥𝑠(𝑔0 + 𝑔1𝑥 + ⋯+ 𝑔𝑟𝑥𝑟)(𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑞𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛 𝑞𝑥)

Contoh: 1.(𝐷 + 1)(𝐷 − 1)𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 2𝑥, karena 𝑦𝑐 tidak mengandung 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 , maka

misalkan : 𝑦𝑝 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛 2𝑥 2.(𝐷 + 1)(𝐷 + 2)𝑦 = 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥,karena 𝑦𝑐 tidak mengandung 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 ,

maka misalkan : 𝑦𝑝 = (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝐶𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝐷𝑠𝑖𝑛 2𝑥) 3.(𝐷 + 1)(𝐷 − 1)2(𝐷 + 2)𝑦 = 2𝑥3𝑐𝑜𝑠 2𝑥,

karena 𝑦𝑐 tidak mengandung 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑝 = (𝐴𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑃𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝑄𝑠𝑖𝑛 2𝑥)

4.(𝐷 − 1)(𝐷 − 2𝑖)2(𝐷 + 2𝑖)2(𝐷 + 4)𝐷2𝑦 = 𝑥2𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑥3𝑐𝑜𝑠 2𝑥, karena 𝑦𝑐 mengandung 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 , maka misalkan : 𝑦𝑝 = (𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶)(𝐷𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐸𝑠𝑖𝑛 𝑥) +

𝑥2(𝐹𝑥3 + 𝐺𝑥2 + 𝐻𝑥 + 𝐼)(𝑃𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝑄𝑠𝑖𝑛 2𝑥)

Soal-soal yang diselesaikan 1. (𝐷2 − 1)𝑦 = 𝑥2 maka (𝐷 + 1)(𝐷 − 1)𝑦 = 𝑥2

𝑦𝑐 = (𝐴𝑒−𝑥 + 𝐵𝑒𝑥) misalkan : 𝑦𝑝 = (𝐶𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝐸) maka didapat : 𝑦 = 𝐴𝑒−𝑥 + 𝐵𝑒𝑥 − (𝑥2 + 2)

2. (𝐷4 + 𝐷2)𝑦 = 2𝑥 maka 𝐷2(𝐷2 + 1)𝑦 = 2𝑥 , sehingga dapat ditulis sebagai (𝐷 + 𝑖)(𝐷 − 𝑖)𝐷2𝑦 = 2𝑥 𝑦𝑐 = (𝐴𝑥 + 𝐵) + (𝐶 cos 𝑥 + 𝐷 sin 𝑥) misalkan : 𝑦𝑝 = 𝑥2(𝐸𝑥 + 𝐹) maka didapat : 𝑦 = (𝐴𝑥 + 𝐵) + (𝐶 cos 𝑥 + 𝐷 sin 𝑥) + 1

3 𝑥2

3. (𝐷2 − 3𝐷 + 2)𝑦 = 𝑥𝑒2𝑥 maka (𝐷 − 2)(𝐷 − 1)𝑦 = 𝑥𝑒2𝑥

𝑦𝑐 = (𝐴𝑒2𝑥 + 𝐵𝑒𝑥) misalkan : 𝑦𝑝 = 𝑥(𝐶 + 𝐷𝑥)𝑒2𝑥 maka didapat : 𝑦 = ( 1

2𝑥2 − 𝑥 + 𝐴)𝑒2𝑥 + 𝐵𝑒𝑥

4. (𝐷2 − 1)𝑦 = 3𝑥2 − 4𝑥 + 2𝑒𝑥 maka

(𝐷 + 1)(𝐷 − 1)𝑦 = 3𝑥2 − 4𝑥 + 2𝑒𝑥 , sehingga didapat 𝑦𝑐 = (𝐴𝑒−𝑥 + 𝐵𝑒𝑥) misalkan : 𝑦𝑝 = (𝐶 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑥2) + 𝐹𝑥𝑒𝑥 maka didapat : 𝑦 = 𝐴𝑒−𝑥 + (𝑥 + 𝐵)𝑒𝑥 − (3𝑥2 − 4𝑥 + 6) Kerjakan dirumah : 1. (𝐷2 − 5𝐷 + 6)𝑦 = 12𝑥2 − 20𝑥 + 4 + 𝑒2𝑥 2. (𝐷2 + 1)𝑦 = 2 cos 𝑥 − 3 cos 2𝑥 3. (𝐷2 + 5𝐷 + 5)𝑦 = 3 𝑒−𝑥sin 𝑥 − 10 4. (𝐷4 − 2𝐷3 + 𝐷2)𝑦 = 6𝑒𝑥 − 2 5. (𝐷3 − 4𝐷)𝑦 = 24𝑥2 + 12 + 8 sin 2𝑥 6. (2𝐷2 − 3𝐷 − 2)𝑦 = (15𝑥2 + 12𝑥 − 5)𝑒2𝑥 − 18𝑒𝑥 7. (𝐷4 + 𝐷2)𝑦 = 18𝑥 − 4 sin 𝑥

IX. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EULER

Persamaan Differensial Euler adalah suatu persamaan differensial dengan

bentuk umum: (an XnDn + an-1Xn-1Dn-1+… + a1XD + ao)y = g(x), atau dapat

pula ditulis sebagai )()( xgyXD =φ

22

22

3

33 763 :contoh xy

dxdyx

dxydx

dxydx =+++

Untuk memecahkan Persamaan Differensial Euler dapat dilakukan dengan

memisalkan : x = ez sehingga ln x = z, Jadi : xdxdz 1= , sedangkan

diketahui pula bahwa : dzd

xdxd

dxdz

dzd

dxd 1didapat sehingga , == ,

jadi : xdzd

dxd

=

bila diambil DdxddanDz

dzd

== , maka diperoleh : XD = Dz

2

2

22

2

2

2

11

11

1 : dicaridapat maka 1 Dari

dzd

xdzd

x

dzd

dxd

xdzd

x

dzd

xdxd

dxd

dzd

xdxd

+−=

+−=

==

Dengan demikian maka : ( )zz DDx

D −= 22

2 1 atau ( )zz DDDX −= 222

Selanjutnya dapat dicari : ( ) ( )233

233

3 12zzzz DD

xDD

xdxd

−+−−=

atau : ( ) ( )23233 2 zzzz DDDDDX −+−−=

( )zzz DDD 23 23 +−=

( )( )21 −−= zzz DDD

Dengan cara yang sama akan didapat :

( )( )( )32144 −−−= zzzz DDDDDX

( )( )( )( )432155 −−−−= zzzzz DDDDDDX

..

..

( )( )( ) ( ))1(.......321 −−−−−= nDDDDDDX zzzzznn

Contoh :

1. Selesaikan Persamaan Diferensial : (X3D3 + X2D2 – 4XD) y = 0

Jawab :

Misal : ez = x maka z= lnx

XD = Dz

X2D2 = Dz (Dz – 1)

X3D3 = Dz (Dz – 1) (Dz – 2)

Dengan demikian : {Dz (Dz – 1) (Dz – 2) +Dz (Dz – 1) – 4 Dz} y = 0

Dz [D2z– 3Dz + 2 + Dz – 1 – 4] y = 0

Dz (D2z– 2Dz – 3) y = 0

Dz (Dz – 3) (Dz + 1) y = 0

Sehingga jawabannya : y = c1 + c2 e3z + c3 e-z

y = c1 + c2 x3 + c3 x-1

2. Carilah Jawab Umum PD : (X2D2 – XD + 5) y = x + 1

Jawab:

Misalkan: x = ez ⇒ z = ln x, dengan demikian (X2D2 – XD + 5) y = x + 1 menjadi: [Dz (Dz-1) – Dz + 5] y = x + 1 (D2z – 2 Dz + 5) y = x + 1 Sekarang ambil : (D2z – 2 Dz + 5)yc = 0 p.k : m2 – 2 m + 5 = 0

m1,2 = 2

5.442 −±

= 1 + 1621

− = 1 + 2 i

Jadi : yc = ez [A cos 2 z + B sin 2 z] = x [A cos 2 (ln x) + B sin 2 (ln x)] misal : yp = cez +E y'p = cez y''p = cez Jadi : (D2z - 2Dz + 5)yp = ez + 1 cez – 2 cez + 5 cez +5E = ez + 1 4 cez +5E = ez + 1 dari koefisien ez didapat 4 c = 1 → c = ¼ dan E=1/5 ∴ yp = ¼ ez +1/5

Sehingga : y = x [A cos 2 (ln x) + B sin 2 (ln x)] + 41 x +1/5

Kerjakan soal-soal berikut ini dirumah: 1. (X2D2 + 2XD - 2) y = 0 2. (X3D3–3X2D2 +7 XD - 8) y = 0 3. (X2D2 – 3XD + 5) y = 0 4. (X2D2 – XD + 3) y = 4x 5. (X2D2 – XD + 1) y = 6x + 2x3

6. (X2D2 + 2XD – 5) y = 4 + x2

X. PERSAMAAN DIFFERENTIAL SIMULTAN

Untuk mencari persamaan diferensial simultan :(x)f (D)z y (D)(x)f z (D) y (D)

242

131

=+=+

φφφφ

,

maka dilakukan hal sebagai berikut

[ ] −=−

=+=+

(x)f (D)-(x)f (D) z (D)} (D) (D) (D){(x)f (D) z (D) (D) y (D) (D)(x)f (D) z (D) (D) y (D) (D)

21121423

211421

122321

φφφφφφφφφφφφφφφφ

melalui eliminasi y akan diperoleh nilai z, dengan demikian nilai y dapat

pula dicari.

Contoh soal :

1. Selesaikan Persamaan Diferensial (D – 1) y – (2D + 1)z = (1 – x)

Dy + (D + 4)z = 1 + 4x

Penyelesaian:

(D – 1) y – (2 D + 1) z = (1 – x) kalikan D

Dy + (D + 4) z = 1 + 4x kalikan D – 1, sehingga didapat:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( ) ( )−

−−+−=+−+++−=−++−

−=+−−

xDxDzDDDDxDzDDyDD

xDzDDyDD

1411 4112 411 141

1. 12 1

(3D2 + 4D – 4) z = 4 –1 – 4x + 1

(3D – 2) (D + 2) z = 4 – 4x

(3D – 2) (D + 2) zc = 0 → zc = c1 e2/3 x + c2 e-2x

Misal : zp = Ax + B

z'p = A

z''p = 0

sehingga didapat : (3D2 + 4D – 4) zp = 4 – 4x

4A – 4Ax – 4B = 4 – 4x

pada komponen x didapat -4A= -4 → A= 1

pada komponen x0 didapat 4 – 4B= 4 → B= 0

jadi zp= x

Maka jawab umum adalah : z = c1 e 2/3 x + c2 e-2x + x

Untuk mencari y maka subsitusi z ke salah satu persamaan sehingga

didapat:

Dy + (D + 4) z = 1 +4 x

Dy = 1 + 4 x – (D + 4) (c1 e2/3 x + c2 e-2x + x)

dengan demikian y = dxecec xx

∫

−− −2

232

1 23

14

cec xx++= −2

232

1 e c 7-

2. Selesaikan Persamaan Diferensial berikut: ywDzzwDyzywD

+=+=+=

Jawab:

dari zyDw += didapat DzDywD +=2 )()( ywzw +++=

)(2 yzw ++= wDw 2+= jadi : 022 =−− wDwwD 0)1)(2( =+− wDD sehingga: xx ececw −+= 2

21

dari zwDy += didapat DzDwyD +=2 )()( wyzy +++=

)(2 zwy ++= yDy 2+= jadi : 022 =−− yDyyD 0)1)(2( =+− yDD sehingga: xx ededy −+= 2

21

dari yxDz += didapat DyDxzD +=2 )()( zxzy +++=

)(2 yxz ++= zDz 2+= jadi : 022 =−− zDzzD 0)1)(2( =+− zDD sehingga: xx eaeaz −+= 2

21

3. Selesaikan Persamaan Diferensial berikut: ( )

xeDzyDzyDD

−=+−

=+−

4)1( 1 1

Penyelesaian:

( )xeDzyD

zyDD−=+−

=+−

4)1( 1 1

dapat ditulis sebagai ( )

=

−

−−xez

yDD

DD4

1 1

1 1

Dengan cara crammer didapat :

De411

yD1D1)1D(D

x−=−−

……………….. ( 1 ) , dan

xe41D1)1D(D

zD1D1)1D(D

−−−

=−−

...……………… ( 2 )

Dari (1) didapat: {D2 (D-1) – (D-1) } y = 0 – 4 e-x (D3 – D2 – D+1) y = - 4 e-x (D2 – 1) (D – 1) y = - 4 e –x (D + 1) (D-1)2 y = - 4 e-x

Ambil : (D+1)(D-1)2 yc = 0 ∴ yc = A e-x + (Bx + C) ex Missal : yp = Px e-x y'p = P e-x – Px e-x y''p = -Pe-x - Pe-x + Pxe-x = -2 Pe-x + Pxe-x y'''p = 2Pe-x + Pe-x – Pxe-x = 3Pe-x – Pxe-x (D3-D2–D+1)yp =-4e-x jadi 3Pe-x–Pxe-x+2Pe-x–Pxe-x–Pe-x+Pxe-x+Pxe-x = -4e-x maka 4Pe-x = -4e-x , sehingga didapat P = -1 , jadi : yp = -xe-x Jawab umum PD adalah: y = yc + yp = Ae-x + (Bx + C) ex – xe-x = (A-x) e-x + (B x+ C) ex Dari persamaan 2 maka z dapat dicari (cari sendiri dirumah) Soal : Selesaikan Persamaan Diferensial dibawah ini 1. (D+1) y + Dz = ex sin x

(D+3) y + (D+2) z = ex cos x 2. Dy = z

Dz = w Dw = y

3. Dy + 3 Z = 4 X D2y + (2 D + 1) Z = 3

4. 2y + DZ = e3x (2D-3) y + D2 z = 2e2x – 6

5. 8 )1( )22(

)32()233(22

22

=+++−−

=+++++

zDDyDDezDDyDD x