Makalah:

MATEMATIKA DASAR

“PELUANG”

Oleh:

Kelompok II

ASMIRATI F1G1 12 033SUHERDIN F1G1 12 034HANIFA F1G1 12 035YOGI F1G1 12 036AHMAD F1G1 12 037EKA ARDILA F1G1 12 038KASRIA KASMAN FIG1 12 039WD.SUWARDI F1G1 12 040EFRIANTO F1G1 12 041YUDIARTANTO F1G1 12 042PANDI F1G1 12 044SYAHNAS A.M F1G1 12 046EKA PUTRI F1G1 12 047

JURUSAN FISIKA

PROGRAM STUDI GEOLOGI

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HALUOLEO

KENDARI

2012

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR …………………………………………………….. ii

DAFTAR ISI …………………………………………………………….…. iii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ……………………………………………………………. 1

1.2 Rumusan Masalah ………………………………………………………… 1

1.3 Tujuan ……………………………………………………………………… 1

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Peluang ……………………………………………………………………… 2

A. Pengisian tempat ………………………………………………………… 3

B. Faktor ……………………………………………………………………. 4

C. Permutasi ………………………………………………………………… 5

D. Kombinasi ………………………………………………………………... 7

E. Peluang …………………………………………………………………… 8

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan …………………………………………………………………. 18

3.2 Saran ………………………………………………………………………... 18

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 19

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Kebanyakan mahasiswa menganggap Matematika adalah pelajaran yang sulit.

Pada dasarnya Matematika adalah ilmu yang mempelajari tentang logika berpikir.Soal

sesulit apapun akan menjadi mudah jika mahasiswa memiliki logika berpikir yang

baik.Sama halnya dengan sub bab Matematika yang berjudul “PELUANG”.Untuk

menjawab soal Peluang ini sendiri tentu setiap mahasiswa harus memiliki kecakapan

dalam menganalisis semua data yang diperoleh dengan system logika berpikir yang baik.

Berdasarkan uraian tersebut penulis mengangkat sebuah makalah yang

berjudul: “PELUANG”.

1.2 RUMUSAN MASALAH

Adapun rumusan masalah dalam makalah ini yaitu menyebutkan macam-

macam peluang serta penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.

1.3 TUJUAN

Adapun tujuan dalam makalah ini yaitu agar dapat mengetahui macam-

macam peluang serta penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 PELUANG

Peluang suatu kejadian A sama dengan jumlah terjadinya kejadian A dibagi dengan seluruh yang mungkin.

P(A) = k / n

Dimana

k : jumlah terjadinya kejadian An : jumlah seluruh yang mungkin

Jika kita melakukan percobaan, maka himpunan semua hasil disebut Ruang Sampel

Contoh:

1. Percobaan melempar uang logam 3 kali. A adalah kejadian muncul tepat dua muka berturut-turut. Maka : S = {mmm,mmb,mbm,mbb, bmm, bmb, bbm, bbb} A = {mmb, bmm} n(S) = 23 = 8 n(A) = 2 P(A) = 2/8 = 1/4

2. Percobaan melempar dadu satu kali. A adalah kejadian muncul sisi dengan mata dadu genap. Maka : S = {1,2,3,4,5,6} A = {2,4,6} n(S) = 6

n(A) = 3 P(A) = 3/6 = 1/2

Jika peluang terjadinya A adalah P(A) dan peluang tidak terjadinya A adalah P(A) maka berlaku _P(A) + P(A) = 1

Contoh:

Dari setumpuk kartu Bridge yang terdiri dari 52 kartu diambil 1 kartu. Berapakah peluang kartu yang terambil bukan kartu King?

Jawab:

P (King) = 4/52 = 1/13P bukan King = 1 - 1/13 = 12/13

A. PENGISIAN TEMPAT

Jika terdapat n buah tempat yang tersedia dengan :

p1 adalah banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama.

p2adalah banyaknya cara untuk mengisi tempat kedua sesudah tempat pertama

terisi.

p3adalah banyaknya cara untuk mengisi tempat ketiga sesudah tempat pertama

dan kedua terisi dan seterusnya.

pnadalah banyaknya cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat

pertama,kedua,…, dan ke-n terisi.

Banyaknya cara untuk mengisi n buah tempat yang tersedia secara

keseluruhan adalah:

p1 x p2 x p3 x…..xpn

Contoh:

Dari bilangan-bilangan 1,2,3,4,5,6 akan dibentuk bilangan yang terdiri atas

tiga angka dengan ketentuan dalam bilangan tersebut tidak boleh ada angka yang

sama. Berapakah banyaknya bilangan yang dapat dibentuk?

Jawab:

Perhatikan kotak berikut ini:

I II III

Kotak I ditempati nilai tempat ratusan, untuk mengisinya dapat dipilih dari enam

angka.

Kotak II ditempati nilai tempat puluhan, untuk mengisinya dapat dipilih dari lima

angka (karena satu angka sudah terpakai untuk mengisi tempat pertama).

Kotak III ditempati nilai tempat satuan, untuk mengisinya dapat dipilih dari empat

angka (karena dua angka sudah terpakai untuk mengisi tempat pertama dan

kedua).

6 5 4

Banyaknya bilangan tiga angka yang dapat dibentuk adalah 6x5x4=120.

B. FAKTORIAL

Untuk setiap n bilangan asli didefinisikan :

n !=n ∙ ( n−1 ) ∙ ( n−2 ) ∙ ….∙3 ∙2 ∙1

Notasi n ! disebut n faktorial.

Didefinisikan pula :

1! = 1 dan 0! = 1

Contoh:

1. 4! = 4 x 3 x 2 x 1= 24

2. 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

C. PERMUTASI

Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan

tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga

Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda

Banyaknya permutasi dengan k unsur dari n unsur berbeda adalah :

nPk= n!(n−k ) !

, k ≤n

Contoh:

Dari 6 orang siswa, akan dipilih seorang ketua, seorang wakil ketua, dan seorang

sekretaris.Berapakah banyaknya susunan pengurus yang dapat dibentuk?

Jawab:

Banyaknya susunan pengurus yang terdiri atas 3 orang yang dapat dibentuk dari

6 siswa yang ada, adalah:

63

P= 6 !(6−3 ) !

=6 !3 !

=6 ∙5 ∙ 4 ∙ 3 ∙2 ∙13 ∙2∙1

= 120 Susunan

Permutasi dengan beberapa unsur yang sama

Misalkan terdapat n unsur sebagai berikut:

Banyaknya permutasi yang memuat a dan b unsur yang sama adalah :

P= n !a !b !

Contoh :

Tentukan banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata “ PALAPA”!

Jawab:

Huruf P = 2, A = 3

Banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata “PALAPA”:

P = 6 !

2!3 ! =

6 ∙5 ∙ 4 ∙3 ∙2 ∙ 1(2 ∙ 1 )(3 ∙2 ∙1) = 60 susunan

.

Permutasi siklis

Permutasi dari n unsur yang disusun melingkar adalah:

P = (n – 1 )!

Contoh:

Diketahui ada 5 orang yang duduk mengelilingi suatu meja bundar.Berapa

macam susunan yang dapat terjadi ?

Jawab:

Banyaknya susunan yang dapat terjadi adalah :

P = ( 5 – 1)!= 4!= 4∙ 3∙ 2 ∙1 = 24 susunan

Contoh:

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?

Jawab :Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

D. KOMBINASI

Kombinasi adalah susunan yang tidak memperhatikan urutan. Banyaknya

kombinasi k unsure yang diambil dari n unsure yang tersedia adalah:

nC k = n !

(n−k )! k !, k ≤ n

Contoh :

Dari 10 orang siswa akan dipilih 3 orang siswa untuk menjadi petugas pengibar

bendera.Berapa banyaknya cara untuk memilih petugas pengibar bendera

tersebut?

Jawab:

Banyaknya cara untuk memilih petugas pengibar bendera tersebut adalah:

C= ¿310 ¿

10 !(10−3 )!3 !

= 10 !7 !3 !

=120

Jadi,banyaknya cara untuk memilih petugas pengibar bendera tersebut adalah 120

cara.

Contoh :

Diketahui himpunan .Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!

Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

E. PELUANG

Misalkan dalam suatu percobaan yang menyebabkan munculnya n buah hasil,

kejadian A dapat muncul sebanyak k kali. Peluang kejadian A didefinisikan sebagai :

P (A) = kn

Himpunan semua hasil dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kisaran

nilai peluang kejadian A adalah 0 ≤ P ( A )≤ 1. Jika P (A) = 0 berarti kejadian A

mustahil terjadi , sebaliknya jika P(A) = 1 berarti kejadian A pasti terjadi. Frekuensi

harapan terjadinya A dalam m kali percobaan adalah :

F = P(A) ∙ m

Contoh:

Diketahui suatu dadu dilempar sebanyak 20 kali. Tentukan peluang dan harapan

muncul mata dadu ganjil dalam percobaan tersebut !

Jawab:

Ruang sampel dari perlemparan dadu tersebut adalah {1,2,3,4,5,6 } → n=6

A: kejadian muncul mata dadu ganjil adalah {1,3,5 } → k=3

P(A) = kn

= 36=1

2

F = P(A) ∙ m=12

∙20=10

Contoh:

Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-

masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua

angka, tentukan S, P (kejadian)!

Jawab :

S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}

P = {AAG, AGA, GAA}

Peluang komplemen suatu kejadian

Misalkan A adalah suatu kejadian, maka kejadian “ tidak terjadinya kejadian

A “ dinamakan komplemen kejadian A ( AC ¿ .

P(AC) = 1 – P(A)

Contoh:

Diberikan satu dek kartu remi kemudian diambil satu buah. Tentukan peluang

tidak munculnya kartu As dalam penarikan tersebut.

Jawab:

Misal A adalah kejadian terambilnya kartu As dalam penarikan tersebut, maka;

P(A) = 4

52= 1

13

Peluang tidak munculnya kartu As dalam penarikan tersebut adalah

P(AC ¿=1−P ( A )=1− 113

= 1213

Peluang Kejadian Majemuk

Misalkan A dan B adalah dua buah kejadian dalam ruang sampel 5, peluang

kejadian A ∪B dapat ditentukan dengan :

P (A ∪B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Keterangan :

P(A∪B ¿: peluang terjadinya kejadian A atau kejadian B

P (A) : peluang terjadinya kejadian A

P(B) : peluang terjadinya kejadian B

P(A∩ B): peluang terjadinya kejadian A sekaligus kejadian B

Contoh :

Diberikan satu dek kartu remi kemudian diambil satu buah kartu.Tentukan

peluang terambilnya kartu Queen atau kartu berwarna merah!

Jawab:

Dalam percobaan ini, kejadian yang mungkin terjadi adalah :

Kejadian terambilnya satu kartu Queen, namakan sebagai kejadian A,

maka:P(A) = 4

52

Kejadian terambil satu kartu berwarna merah, namakan sebagai kejadian B,

maka:P(B) = 2652

Kejadian terambilnya satu kartu Queen warna merah, namakan sebagai

kejadian A ∩B, maka P( A ∩ B ) = 2

52

Peluang terambilnya kartu Queen atau kartu berwarna merah adalah:

P( A∪B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B )

= 4

52+ 26

52− 2

52

= 2852

= 7

13

Peluang Kejadian Majemuk yang Saling Lepas

Kejadian A dan kejadian B dalam suatu percobaan dikatakan saling lepas jika

masing-masing kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama.

Peluang kejadian A atau B yang saling lepas dapat ditentukan dengan rumus:

P( A ∪B ) = P (A) + P(B)

Contoh :

Diberikan satu dek kartu remi kemudian diambil satu buah kartu. Tentukan

peluang terambilnya kartu hati atau kartu berwarna hitam!

Jawab:

Perhatikan bahwa pada percobaan ini tidak mungkin muncul kartu hati berwarna

hitam.

Dengan demikian kejadian terambilnya satu kartu hati dan kejadian terambilnya

satu kartu berwarna hitam dikatakan saling lepas.

Misal:

A: kejadian terambilnya satu kartu hati,maka P (A) = 1352

B: kejadian terambilnya satu kartu berwarna hitam, maka P(B) = 2652

Peluang terambilnya satu kartu hati atau kartu berwarna hitam adalah :

P ( A ∪B ) = P (A) + P (B) = 1352

+ 2652

=3952

= 34

Peluang Kejadian Majemuk yang Saling Bebas

Kejadian A dan kejadian B dalam suatu percobaan dikatakan saling bebas jika

kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya.

Peluang kejadian A atau B yang saling bebas dapat ditentukan dengan

rumus:

P(A ∩B) = P (A) ∙P(B)

Contoh:

Dua keping uang logam dilemparkan bersamaan sebanyak satu kali. Tentukan

peluang munculnya sisi gambar pada mata uang pertama dan munculnya sisi

mata uang yang sama untuk kedua mata uang tersebut!

Jawab:

Misal:

A: Kejadian munculnya sisi gambar pada mata uang pertama .

B: Kejadian munculnya sisi mata uang yang sama untuk kedua mata uang

tersebut.

Perhatikan bahwa tiap uang logam terdiri atas sisi gambar ( G) dan sisi angka (A).

Ruang sampel : {(G , G ) , (G , A ) , ( A ,G ) ,( A , A)} → n=4

Kejadian A : {(G , G ) ,(G , A)} → P ( A )=24=1

2

Kejadiaan B : {(G , G ) ,(A , A) } → P ( B )= 24

= 12

Kejadiaan A ∩ B : {(G ,G ) } → P ( A ∩ B )= 14

Peluang Kejadian Bersyarat

Peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian B telah muncul adalah:

P( A|B ) = P (A ∩B)

P(B) , P (B) ≠ 0

Peluang munculnya kejadiaan B dengan syarat kejadiaan A telah muncul adalah:

P (B|A )= P ( A ∩ B )P( A)

,P ( A )≠ 0

Contoh:

Sebuah dadu enam sisi dilemparkan satu kali.Tentukan peluang munculnya

bilangan ganjil jika diketahui telah muncul bilangan prima.!

Jawab:

Misal:

A : Kejadiaan munculnya bilangan ganjil, maka A = {1,3,5 } → P(A) = 36

B : Kejadiaan muncul bilangan prima, maka B = {2,3,5 } → P(B) = 36

A∩ B :Kejadiaan munculnya bilangan prima ganjil, maka

A∩ B = {3,5 }→ P ( A ∩ B )=26

Peluang munculnya bilangan ganjil jika diketahui telah muncul bilangan prima

adalah:

P( A|B )=P( A ∩ B)P(B) =

2636

= 23

Peluang Pengambilan Tanpa Pengembalian

Contoh:

Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah dan 3 bola putih. Dari dalam kotak

tersebut diambil satu buah bolapertama dan satu bola kedua secara berturut-

turut tanpa pengembalian.

Tentukan peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua putih.

Jawab:

Misal:

A: kejadian terambilnya sebuah bola merah pada pengambilan pertama

B: kejadian terambilannya sebuah bola putih pada pengsmbilan kedua

Peluang terambilnya bola pertama merah adalah P(A) = 47

Peluang terambilnya bola kedua putih jika diketahui bola pertama merah adalah

P(( B|A ) = 36=1

2

Dengan demikian peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua

putih adalah :

P (A∩ B ¿ = P(A) ∙ P( B|A )

= 47

∙12

= 27

Peluang pengambilan dengan pengembalian

Contoh:

Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah dan 3 bola putih. Dari dalam kotak

tersebut diambil satu buah bola pertama kemudian dikembalikan lagi kedalam

kotak. Lalu diambil lagi sebuah bola kedua. Tentukan peluang terambilnya bola

pertama merah dan bola kedua putih.

Jawab:

Misal:

A: kejadian terambilnya sebuah bola merah pada pengambilan pertama, maka P

(A) = 47

B: kejadian terambilnya sebuah bola putih pada pengembalian kedua, maka P(B)

= 37

Dengan demikian peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua

putih adalah:

P(A∩ B ¿=¿P(A) ∙P( B|A )= 47

∙37

= 1249

BAB III

PENUTUP

3.1 KESIMPULAN

Adapun kesimpulan dalam makalah peluang ini adalah suatu peluang terdiri

dari 5 macam yaitu pengisian tempat, factorial, permutasi, kombinasi,dan peluang.

3.2 SARAN

Adapun saran yang dapat diajukan yaitu agar makalah ini dapat menjadi

rujukan untuk pembaca budiman sekalian, yang kelak akan membuat makalah

selanjutnya.

DAFTAR PUSTAKA

Liu, C. L. 1995. Dasar-Dasar Matematika Diskret. Jakarta: Penerbit PT. Gramedia Pustaka Utama

Ngurah,I Gusti,2002.Statistika.Raja Grafindo Persada: Jakarta Sembiring, Suwah. 2002. Olimpiade Matematika. Bandung: Yrama Putra Spiegel, M. R. 1991. Seri Buku Schaum Teori dan Soal-Soal Matematika Dasar.

Jakarta: Penerbit Erlangga Wijaya, Rony. 2012. Peluang. Jakarta: Erlangga