filsafat matematika hirarki matematika unik

22
BAB I PENDAHULUAN Filsafat sebagai proses berfikir yang sistematis dan radikal memiliki objek material dan formal. Objek material filsafat adalah segala yang ada, mencakup ada yang tampak dan yang tidak tampak. Yang tampak adalah dunia empiris, sedangkan yang tidak tampak adalah dunia metafisika. Sedangkan objek formal filsafat adalah sudut pandang yang menyeluruh, radikala, rasional, tentang segala yang ada. Seiring berkembangya objek kajian filsafat, mak filsafat dijadikan tempat berpijaknya kegiatan keilmuan, filsafat oleh filosof disebut sebagai induk ilmu. Sebab dari filsafatlahilmu-ilmu modern dan kotemporer berkembang sehingga, manusia dapat menikmati ilmu sekaligus hasilnya yaitu teknologi. BAB II PEMBAHASAN 1. Hirarki dalam Matematika Tema pada bab sebelumnya membahas asumsi dimana matematika memiliki struktur hirarki tetap yang unik. Analog tesis ini mencakup asumsi dimana pembelajaran matematika disusun dengan cara terbaik, dalam arti kemampuan matematika yang terstruktur dan masyarakat memiliki struktur hirarki yang tetap terkait dengan bidang pendidikan yang ditunjukkan. Asumsi ini berkaitan dengan arti penting masyarakat dan pendidikan. 1

Upload: tetty-khairani

Post on 09-Feb-2017

340 views

Category:

Education


11 download

TRANSCRIPT

Page 1: Filsafat matematika hirarki matematika unik

BAB I

PENDAHULUAN

Filsafat sebagai proses berfikir yang sistematis dan radikal memiliki objek

material dan formal. Objek material filsafat adalah segala yang ada, mencakup ada

yang tampak dan yang tidak tampak. Yang tampak adalah dunia empiris, sedangkan

yang tidak tampak adalah dunia metafisika. Sedangkan objek formal filsafat adalah

sudut pandang yang menyeluruh, radikala, rasional, tentang segala yang ada. Seiring

berkembangya objek kajian filsafat, mak filsafat dijadikan tempat berpijaknya

kegiatan keilmuan, filsafat oleh filosof disebut sebagai induk ilmu. Sebab dari

filsafatlahilmu-ilmu modern dan kotemporer berkembang sehingga, manusia dapat

menikmati ilmu sekaligus hasilnya yaitu teknologi.

BAB II

PEMBAHASAN

1. Hirarki dalam Matematika

Tema pada bab sebelumnya membahas asumsi dimana matematika memiliki

struktur hirarki tetap yang unik. Analog tesis ini mencakup asumsi dimana

pembelajaran matematika disusun dengan cara terbaik, dalam arti kemampuan

matematika yang terstruktur dan masyarakat memiliki struktur hirarki yang tetap

terkait dengan bidang pendidikan yang ditunjukkan. Asumsi ini berkaitan dengan

arti penting masyarakat dan pendidikan.

A. Apakah matematika memiliki struktur hirarki yang unik ?

Pertanyaan ini dapat dianalisa dalam dua bagian, berkaitan dengan

keberadaan dan keunikan struktur hirarki untuk matematika. Dalam hal ini, dua

pertanyaan diajukan yakni : apakah struktur hirarki pengetahuan matematika yang

menyeluruh ada ? Dan jika demikian, apakah struktur hirarki tersebut tetap dan

unik ?

Hirarki dapat didefenisikan untuk badan pengetahuan matematis dengan

struktur menyeluruh. Apakah hal tersebut dikatakan sebagai struktur aksiomatik

berdasarkan atas axiom dan aturan penarikan kesimpulan, atau struktur defenisi

berdasarkan ketentuan primitif dan defenisi lainnya, maka hirarki tersebut dijelaskan

sebagai berikut. Ungkapan primitif mengenai hirarki (istilah axiom atau primitif)

1

Page 2: Filsafat matematika hirarki matematika unik

terdiri dari tingkat yang paling rendah (0). Ungkapan E lainnya dalam struktur

tersebut dapat dicapai dengan jumlah minimum n dari aturan aplikasi (aturan

kesimpulan atau defenisi) dari ungkapan tingkat 0. Jumlah n mendefenisikan tingkat

ungkapan E dalam hirarki tersebut. Dengan demikian,setiap ungkapan tersebut

dibuat pada tingkat unik dalam hirarki. Karenanya, pengetahuan matematika dapat

diberikan dalam bentuk hirarki besar yang menyatakan bahwa hal tersebut

menggantikan sistem atau struktur matematika tertentu, yang dihubungkan dengan

kesimpulan atau hubungan definisi. Hubungan inferensial yang dimaksud perlu

dipertimbangkan karena hal tersebut menunjukkan hubungan pembenaran antara

ketentuan matematika dan rumusan yang ada dan menjelaskan struktur tentang teori

aksiomatik deduktif.

Dengan menggunakan defenisi tingkat formal, informal dan wacana sosial

tentang matematika, selanjutnya kami menemukan teori matematika yang lebih

formal dan kemudian hirarki tersebut dapat dijelaskan. Terkait dengan hasil kajian

matematika yang tidak formal, hal ini tidak memungkinkan. Untuk aksiomatik, dasar

tersebut tidak ditentukan sepenuhnya, dan hubungan logika antara ketentuan

matematika informal tidak dapat dibuat dengan baik. Pada bagian selanjutnya, kami

hanya berfokus pada teor matematika formal, atau teori matematika informal yang

siap dirumuskan. Untuk tujuan lain, ketentuan untuk menetapkan hirarki tersebut

tidak terpenuhi.

Sekarang, kami siap ditanya mengenai kedua pertanyaan tersebut. Pertama,

apakah struktur hirarki menyeluruh tentang pengetahuan matematika ada ? Kami

melihat bahwa untuk teori matematika formal dengan rangkaian axiom yang tetap

ditemukan ada struktur hirarki. Pilihan terhadap rangkaian axiom tersebut,

bersamaan dengan spesifikasi aturan kesimpulan dan bahasa formal latarbelakang

menentukan teori matematika hirarki. Namun, matematika terdiri dari beberapa teori

yang berbeda, dan banyak diantaranya yang memiilki rumusan aksiomatik yang

berbeda. Teori rangkaian aksiomatik memiliki jumlah aksiomasi yang berbeda

seperti teori Zermelo-Eranekel Set dan Teori Godel-Bernays-von Neumann

(Kneebone, 1963). Diluar teori ini, banyak ahli matematika selanjutnya

membedakan teori aksiomatik set yang mereka pelajari dengan mengunakan aksiom

selanjutnya (Jech, 1971, Maddy, 984).

Hasilnya, tidak ada struktur menyeluruh terhadap matematika formal,

karena hal tersebut terbuat dari rangkaian teori yang berbeda dan formulasi teori,

2

Page 3: Filsafat matematika hirarki matematika unik

dan masing-masing memiliki hirarki dan susunan tersendiri. Selanjutnya, menurut

dalil Godel (1931), tidak satupun teori aksiomatik tersebut yang tidak lengkap.

Dalam hal ini ada kebenaran teori yang tidak ditemukan dalam hirarki deduktif.

Seperti yang kita lihat pada bab sebelumnya, usaha-usaha yang dilakukan oleh ahli

matematika pada abad ini untuk menetapkan pengetahuan matematis dalam sistem

fundasi tunggal dimana semua ahli logistic, formalistic atau lembaga gagal

melakukannya. Karenanya, hasil meta-matematika memaksa kami mengetahui

bahwa matematika terdiri dari beberapa teori yang berbeda, dan tidak dapat

dikurangi menjadi sistem tunggal, dan tidak ada yang dianggap cukup untuk

menjelaskan semua kebenaran bahkan dalam domain aplikasi yang terbatas.

Hal ini menjelaskan bahwa pertanyaan mengenai keberadaan hirarki

matematika secara menyeluruh pasti dijawab dengan cara negatif. Hal ini tidak

dapat dibantah lagi. Namun, kita sebaiknya lebih fair lagi untuk mempertimbangkan

pertanyaan yang lebih lemah. Apakah struktur matematika informal yang besar dan

baik ada bahkan jika gagal memenuhi kriteria yang diperlukan untuk menghasilkan

susunan ganda terhadap matematika ? Struktur tersebut dapat ditemukan dalam

elemen-elemen Bourbaki (Kneebone, 1963). Bourbaki melengkapi pertimbangan

sistemik tentang matemtika, mulai dengan teori rangkaian, dan berkemban ke teori

murni lainnya, struktur matematika. Walaupun struktur Bourbaki dianggap tidak

lengkap (dalam arti informal), karena menunjukkan perhitungan dan aspek lainnya

untuk bidang matematika, maka hal ini menghadirkan kodifikasi informal terkait

dengan porsi substansial bidang matematika. Apakah hal ini melengkapi jawaban

yang jelas terhadap pertanyaan yang lema ? Jika kita mengatakan memang demikian

adanya, maka aturan berikut perlu diingat.

1. Porsi signifikan untuk pengetahuan matematika dihilangkan.

2. Sistem tersebut tidak didefenisikan dengan cara formal untuk membuat

hirarki tetap dan hasil dari pengetahuan matematika.

3. Sistem menyeluruh tergantung pada asumsi teori rangkaian klasik sebagai

dasar matematika.

4. Sistem menyeluruh yang terikat terhadap budaya, menunjukkan

strukturalisme abad pertengahan dua puluh.

Dengan demikian, hanya dalam bentuk yang sangat lemah, kita dapat menyatakan

adanya struktur menyeluruh terhadap bagian matematika yang perlu.

3

Page 4: Filsafat matematika hirarki matematika unik

Pertanyaan kedua adalah sebagai berikut. Ada asumsi bahwa ada struktur

menyeluruh terhadap pengetahuan matematika. Apakah hal ini merupakan struktur

yang unik dan tetap untuk dasar hirarki ? Pertanyaan ini juga memiliki dua bagian.

Yang pertama berkaitan dengan keunikan struktur matematika. Yang kedua

berkaitan dengan defenisi hirarki tetap dalam kaitannya dengan struktur yang ada.

Kami melihat bahwa bagian kedua ini tidak dapat dipertahankan. Bahkan jika

struktur tersebut dilengkapi dengan Bourbaki dengan keunikan yang ada, ini

merupakan hal informal dan tidak cukup untuk defenisi tetap mengenai hirarki.

Dalam arti yang jelas, kami menyatakan bahwa dalam hal ini tidak ada hirarki yang

unik terhadap matematika.

Mari kita kembali ke bagian keunikan struktur matematika. Keunikan

tersebut tergantung pada kesepakatan mengenai dasar-dasar matematika. Bourbaki

mengasumsikan dasar-dasar rangkaian teoritis. Dengan mengabaikan perbedaan teori

yang ada, apakah dapat dikatakan bahwa teori tersebut melengkapi dasar-dasar unik

yang disepakati secara universal untuk matematika ? Pertanyaan yang demikian

pasti dijawab dengan cara negative. Kami sudah melihat bahwa para pendiri

menyatakan bahwa matematika yang terletak pada fundasi yang unik ternyata

gagal. Dalam hal ini setidaknya ada dua pilihan terhadap rangkaian dasar-dasar

teoritis untuk matematika. Pertama-tama, dinyatakan bahwa teori Category dapat

melengkapi dasar pilihan terhadap matematika, yakni teori rangkaian (Lawvere,

1966). Pandangan ini belum sepenuhnya dibenarkan, namun tidak menggantikan

tantangan terhadap keuniukan dasar-dasar rangkaian teoritis. Dalam hal ini juga

ada cabang teori kategori (teori Topos) dalam hal logika instuionist dan klasik

dapat dikurangi (Bell, 1981). Karena teori rangkaian aksiomatik dapat dinyatakan

dalam logika klasik urutan pertama, maka hal tersebut selanjutnya dapat dikurangi

untuk teori kategori.

Kedua instuisi yang masuk akal memberikan dasar untuk matematika.

Walaupun tidak semua matematika klasik dalam hal dasar ini, banyak program

instuisi sudah diterapkan untuk menganalisis , oleh uskup (1967) dan lain-lain.

Selanjutnya intuisi yang masuk akal berisi tentang penggabungan matematika, tidak

seperti dasar penetapan teori pada matematika klasik. Demikianlah didasar ini ada 2

pendapat,yaitu tuntutan untuk membantah struktur matematika yang unik..

Faktanya, sejarah matematika mengajarkan kita pelajaran yang berlawanan.

Seluruhnya perkembangan matematika itu berubah melalui dasar penyusunan kembali

4

Page 5: Filsafat matematika hirarki matematika unik

konsep matematika, teori dan pengetahuan (Lakatos, 1976). Jadi meskipun struktur

memainkan peran sentral dan mengatur pengetahuan matematika, mereka adalah

beberapa struktur yang mengatasi dan memperbaiki selama perjalanan waktu. Tidak

ada alasan untuk menduga bahwa teori-teori alternatif dan formulasi akan pernah

habis. Pandangan semacam itu merupakan pusat costructivisim sosial, dan filsafat lain

yang mengakui matematika sebagai dasar sejarah. Jadi tidak hanya itu benar bahwa

pada satu waktu matematika dapat dijelaskan oleh struktur hirarkis tunggal yang unik,

tetapi juga dari waktu ke waktu apa struktur yang hadir berubah dan berkembang.

Dalam menyangkal dianggap bahwa matematika memiliki struktur hirarkis

yang unik, perhatian larangan yang telah dibatasi secara masuk akal, itu adalah

struktur deduktif dari teori matematika. Sebagaimana telah kita lihat hierarki dapat

didefinisikan dengan cara lain, yang paling menonjol, memiliki hirarki istilah dan

definisi. Meskipun hal ini hampir tidak signifikan dalam matematika sebagai struktur

deduktif, argumen yang sama dapat ditransposisikan dalam bidang ini. Untuk struktur

deduktif teori apapun disertai dengan definisi hirarki, dan hampir sebanyak struktur

definisi yang ada deduktif. Jadi tidak ada definisi hirarki yang unik. Untuk lebih

lanjut, hierarki global digunakan dalam matematika. Dalam teori individul atau

domain beberapa hierarki tentu memang ada, seperti derajat turing (dari unsolvability)

dalam teori rekursi (lonceng dan machover, 1977). Tapi ini bukan dalam struktur satu

pun pecahan yang signifikan pengetahuan matematika. Dengan demikian dapat

ditegaskan bahwa matematika unequaivocally tidak memiliki struktur hirarki secara

keseluruhan, dan tentu bukan satu yang unik, bahkan ketika menduga itu ditafsirkan

murah hati dan longgar.

Apakah matematika seperangkat komponen pengetahuan diskrit?

Ada anggagpan lebih lanjut mengenai dalam sifat dan struktur pengetahuan

matematika yang layak impor pemeriksaan karena pendidikannya. Ini adalah asumsi

bahwa matematika dapat dianalisa menjadi komponen-komponen pengetahuan diskrit,

jumlah tidak terstruktur (atau lebih tepatnya set) yang lebih tepatnya merupakan

disiplin. Anggapan ini mensyaratkan bahwa proposisi matematika adalah pembawa

independen makna dan signifikansi.

Membedakan antara formal, informal dan wacana matematika sosial, jelas

bahwa tuduhan ini yang terbaik dibuat untuk matematika formal. Selama dua domain

lainnya mengandaikan makna konteks, seperti yang akan dikatakan di bawah ini.

5

Page 6: Filsafat matematika hirarki matematika unik

Karena struktur adalah salah satu ciri pengetahuan matematika, tuduhan ini juga

dapat beristirahat dianggap yang tidak beralasan bahwa ada struktur yang unik untuk

matematika. Hal ini mungkin diperlukan agar ketika diskrit 'molekul' pengetahuan

adalah rekombinasi, tetap dan ditentukan seluruh (tubuh pengetahuan matematika)

hasil: kami telah membuang anggapan kedua di atas. Namun, perkiraan bahwa

proposisi matematika adalah pembawa makna bebas dan signifikansi juga gagal.

Pertama-tama, ekspresi matematika formal maknanya berasal dari teori aksiomatik

atau sistem formal di mana mereka muncul. Tanpa konteks ini mereka kehilangan

beberapa signifikansi mereka, dan struktur yang dikenakan oleh teori kegagalan.

Kedua, ekspresi matematika formal secara tegas makna semantik mereka dari

kelas interpretasi atau interpretasi yang dimaksudkan terkait dengan teori formal

diberikan dan bahasa. semantik tersebut telah menjadi bagian standar yang masuk

akal secara resmi sejak Tarski (1936). bangsa ini telah diperpanjang untuk perawatan

teori-teori ilmiah secara resmil oleh sneed (1971), yang menambahkan kelas

penafsiran dimaksudkan untuk struktur secara resmi dari teori. Jadi perbedaan

ungkapan matematika ke bagian terisolasi dan diskrit menyangkal mereka banyak

signifikansi mereka dan semua makna semantik. ungkapan tersebut akibatnya

memiliki sedikit tuduhan dianggap sebagai komponen "molekul" pengetahuan

matematika.

Bahkan lebih daripada di atas, ungkapan matematika informal wacana

memiliki makna yang tersirat berkaitan dengan latar belakang teori dan konteks

keseluruhan. Untuk aturan dan makna yang mengatur ekspresi seperti tidak memiliki

ketentuan formal tepat, tetapi lebih bergantung pada aturan implicit/mutlak

penggunaan (Wittgenstein, 1955). Model semantik bahasa baik formal dan informal

semakin menarik konteks ujaran (barwise dan perry, 1982). Apakah diekspresikan

dalam bahasa formal atau informal, ekspresi matematika tidak dapat dianggap sebagai

berdiri sendiri, makna bebas. Jadi matematika tidak dapat diwakili hanya sebagai satu

set 'molekul' proposisi, karena ini tidak mewakili hubungan struktural antara

proposisi, serta kehilangan maknanya tergantung pada konteks.

B. Pendapat yang berbeda tentang masalah dan penylidikan

Salah satu dari perbedaan diatas bahwa tafsiran yang berbeda telah diberikan

kepada masalah-masalah dan penyelidikan-penyelidikan, dan peranya dalam

pengajaran matematika.

6

Page 7: Filsafat matematika hirarki matematika unik

Penolakan terhadap pemecahan masalah dan penyelidikan

Reaksi negatif yang sangat kuat terhadap masalah dan penyelidikan adalah

tertolaknya mereka sebagai ketidak pantasan untuk matematika sekolah. Hal ini

didasarkan pada persepsi bahwa matematika sekolah yang berorientasi pada isi, dan

fungsi utamanya untuk menanamkan ketrampilan matematika dasar. Di dalam

masalah dan penyelidikan dianggap sesuatu yang sembrono, yang menyia-nyiakan

waktu yang seharusnya lebih kepada 'kerja keras'.

Hal ini merupakan respon dari kelompok industri. Secara khusus, menentang

dengan tegas penelitian secaara eksplisit (Froome, 1970; Lawlor, 1988). Kelompok

ini memiliki pandangan yang sempit tentang isi matematika karena epistemologi

dualistiknya. Selain itu, teori industri mengatakan, mengajar merupakan sebuah model

pengiriman yang otoriter, dan sangat menentang setiap langkah untuk meningkatkan

otonomi pembelajaran (Lawlor, 1.988).

Penggabungan masalah dan pemeriksaan sebagai suatu isi

Tanggapan kelompok kedua atas masalah dan penyelidikan adalah

memperlakukan sebagai isi tambahan yang akan disatukan dalam kurikulum

matematika. Jadi, ini dianggap sebagai obyek penelitian yang digunakan untuk

memperkaya pengajaran, dan bukan dalam hal proses pembelajaran atau pendekatan

pedagogis yang dianut dalam matematika. Secara khusus, penyelidikan ini tidak

dipahami dalam syarat-syarat pengajuan masalah.

Dalam cara yang berbeda, ideologi humanis dan teknologi pragmatis,

keduanya berbagi tentang pandangan ini. Keduanya didasarkan pada filsafat yang

absolut dalam matematika. Yang lebih melihat masalah sebagai jalan memperkaya isi

dalam kurikulum matematika, dan lebih kurang mengidentifikasi penyelidikan dengan

masalah.

Orang-orang humanis lama berperspektif bahwa masalah sebagai aplikasi

pengetetahuan non-rutin, atau sebagai sarana penting untuk demonstrasi

pembelajaran, pemahaman dan bakat.Namun, perspektif ini menaruh perhatian pada

pengetahuan matematika murni untuk pelajar, sehingga penyelidikan tidak saja

dipahami sebagai hal mengajukan soal oleh peserta didik.

Nilai-nilai perspektif teknologi pragmatis mendorong diterapkanya pemecahan

masalah, dan pemodelan matematika. Dengan demikian pemecahan masalah dipahami

dalam hal ysng praktis, yang menyebabkan hasil nyata. Penyelidikan Matematika

7

Page 8: Filsafat matematika hirarki matematika unik

yang dimasukkan di dalam konsepsi masalah ini, dipahami sebagai teka-teki. Jadi

Burghes (1984), yang mewakili perspektif ini, mengkategorikan investigasi kedalam 4

bagian (1) eureka penyelidikan, (2) eskalator penyidikan, (3) keputusan masalah dan

(4) masalah nyata. Ini merupakan identifikasi penyelidikan berbasis masalah, untuk

mengajukan dimensi soal yang diabaikan atau ditolak. Secara keseluruhan, masalah

dan investigasi diidentifikasi dengan objek penelitian, dan diperlakukan sebagai

tambahan dalam kurikulum, kecuali pemodelan matematika yang dipahami dalam hal

proses.

Pemecahan masalah dan penelitian sebagai pedagogi

Prespektif kelompok ketiga melihat pemecahan masalah dan penyelidikan

sebagai pendekatan pedagogis untuk seluruh kurikulum, dan bukan hanya sekedar

tambahan. Pandangan semacam itu muncul dari filsafat matematika yang melihatnya

setidaknya sebagai bidang pengembangan ilmu pengetahuan, atau sebagai konstruksi

sosial. Mereka prihatin dengan peran manusia dalam perkembanan pengetahuan, dan

sebab itu hal ini mencerminkan proses pemecahan masalah dan investigasi dalam

kurikulum matematika, termasuk pengajuan masalah, yang mengarah pada

pemecahan masalah dan pedagogi dalam penelitian.

Perspektif pendidik progresif yang bersangkutan memfasilitasi kreativitas

individu dalam matematika, pemecahan masalah dan investigasi dianggap sebagai

pusatnya. Dengan demikian pemecahan masalah dan penyelidikan diterapkan dalam

ruang kelas baik dari segi proses pembelajaran dan pendekatan pedagogis. Untuk

mendukung pembelajaran ini pedagogi ditawarkan dan dirancang khusus dalam

lingkungan dan situasi untuk eksplorasi matematika, mendorong merumuskan dan

melanjutkan investigasi mereka sendiri. Peran guru dipahami dengan cara mendukung

pedagogi ini, sebagai manajer lingkungan belajar, sebagai sumber belajar dan

fasilitator belajar. Rentang mata pelajaran untuk investigasi mungkin dalam situasi

matematika murni, atau topik skematis tentang 'aman' sebagai lawan politik. Sesuai

dengan ideologi keseluruhan, penekanannya pada individu siswa dan kepentingan

mereka, dan bukan struktural dalam konteks sosial dimana mereka tinggal, belajar dan

akan mencari nafkah.

Pendidik publik ini menerima banyak pandangan perspektif yang sebelumnya

dari pemecahan masalah dan pedagogi yang diteliti, tetapi menambahkan dimensi

sosial-politik. Jadi pedagogi yang dianut oleh pendekatan ini akan melibatkan

8

Page 9: Filsafat matematika hirarki matematika unik

sejumlah fitur yang memudahkan pendekatan penelitian, termasuk kerja kelompok

dan diskusi, otonomi dan diri mahasiswa dalam pengajauan masalah dan investigasi.

Semua ini dapat dipergunakan bersama-sama dengan perspektif pendidik progresif.

Namun pendidik masyarakat melampaui hal ini, melalui dorongan dari pemikiran

kritis mempertanyakan pembelajaran yang berpusat pada isinya saja. Penilaian dan

penggunaan masalah pedagogy sosial yang relevan terhadap situasi, proyek dan topik,

keterlibatan sosial dan penguasaan pada pembelajaran. Dengan demikian pemecahan

masalah dan penyelidikan sebagian didasarkan pada bahan otentik seperti koran,

statistik resmi, dan masalah sosial. Untuk pendidik publik, pedagogi ini merupakan

sarana untuk mengembangkan keterampilan kewarganegaraan dan keterlibatan sosial

antara peserta didik.

C. Hubungan antara Epistemologi dan Pedagogi

Dalam beberapa tahun terakhir, sejumlah laporan resmi dan otoritatif telah

merekomendasikan pemecahan masalah untuk digabungankan ke dalam pengajaran

matematika sekolah. Di dalam Cockcroft (1982), Majesty’s Inspektorat (1985), dan di

Amerika Serikat NCTM (1989) hal ini telah termasuk di dalamnya.

Namun, satu hambatan bagi reformasi kurikulum adalah interpretasi yang

diberikan kepada rekomendasi tersebut. Untuk konsep pemecahan masalah dan

penyelidikan berasimilasi dengan perspektif penafsir dan dipahami seperti yang kita

lihat di atas. Kemampuan guru dalam pemecahan masalah, belum lagi pendekatan

mengajar mereka, tergantung pada keyakinan mereka tentang matematika

(Schoenfeld, 1985). Bukti empiris menunjukkan bahwa guru dapat menafsirkan

masalah dan penyelidikan dalam hal yang sempit. Lerman (1989a), misalnya,

menjelaskan bagaimana penelitian bekerja di dalam matematika sekolah yang

digerogoti oleh pandangan bahwa ada hasil yang unik, suatu filsafat absolut

mengkhianati dasar matematika tersebut.

Hambatan kedua adalah implementasinya. Hal ini melibatkan hubungan antara

teori-teori pengajaran dan pembelajaran, yang mewujudkan pedagogi dari perspektif

tertentu, dan praktek di dalam kelas. Pada skala besar, ini adalah perbedaan antara

rencanakan akan kurikulum yang diajarkan. Pada skala kecil, ini adalah perbedaan

antara teori-teori yang dianut guru dalam belajar mengajar. Beberapa studi telah

mengungkapkan guru yang menganut pendekatan pemecahan masalah, mengajar

matematika dengan tipenya konsonan atau hampir sama dengan pendidik progresif.

9

Page 10: Filsafat matematika hirarki matematika unik

Epistemologi secara keselurahan Dan Perspektif Etis

Pandangan alam pada matematika

Model pendukung mengajar matematika

Membuat model mengajar

matematika

Mengunakan teks-teks

matematika

Model pendukung belajar matematika

Batasan dan kesempatan yang diberikan oleh konteks sosial mengajar

Membuat model belajar matematika

Tapi hal yang dipraktekan hanya berkisar ekspositoris saja, dan model transmisi

pengajaran diperkaya dengan penambahan masalah (Cooney, 1983; 1985; Thompson,

1984; Brown, 1986). Gambar 13.1 menyediakan model dari beberapa hubungan yang

terlibat.

Gambar 13.1

Hal ini menunjukkan bagaimana salah satu komponen utama ideologi guru,

dari filosofi pribadi matematika, yang mendasari dua komponen sekunder, yaitu teori

belajar dan mengajar matematika. Pada akhirnya berdampak pada praktek sebagai

model pembelajaran matematika, termasuk penggunaan salah satu sumber daya yang

dipilih, yaitu penggunaan teks matematika. Ini cukup penting untuk dibedakan, untuk

mewujudkan teks dan epistemologi, dan sejauh mana mereka mengurutkan presentasi

matematika sekolah dan kurikulum yang penting untuk dilaksanakan (Cooney,

1988;Goffree, 1985). Tanda panah ke bawah pada gambar menunjukkan arah

pengaruh yang utama. Isi komponen yang lebih tinggi tercermin pada komponen yang

lebih rendah. Karena model yang berlaku saat ini saling berkaitan, seperti teori belajar

mengajar yang dianut, ini diwakili dalam gambar sebagai rantai horisontal yang

digambar di antara mereka.

10

Page 11: Filsafat matematika hirarki matematika unik

Namun dampak dari teori-teori yang dianut pada praktek ditengahi oleh

peluang dan batasan yang disediakan oleh konteks sosial pengajaran (Clarkdan

Peterson, 1986). Konteks sosial memiliki pengaruh kuat, sebagai hasil dari sejumlah

faktor mencakup harapan dari yang lain, seperti para siswa, orang tua mereka, rekan-

rekan guru dan atasan. Ini juga hasil dari kurikulum dilembagakan; teks yang diambil

atau skema rencana kurikuler sistem penilaian, dan sistem pendidikan nasional secara

keseluruhan. Konteks sosial memimpin guru untuk menginternalisasi serangkaian

kendala yang kuat yang mempengaruhi diberlakukannya model pembelajaran

matematika. Model yang digambarkan pada Gambar 13.1 sangat sederhana, ini

terlihat karena hubungannya yang lebih kompleks dan lebih mekanistik. Jadi,

misalnya, walaupun kepercayaan yang ditetapkan saat ini ditampilkan terpisah dari

konteks sosial, mereka melekat di dalamnya. Selain itu, semua praktek dan

kepercayaan menjadi bagian dari suatu sistem interaktif, dan tekanan pada setiap titik,

seperti dalam kelas praktek, akankah umpan balik dapat mempengaruhi semua

komponen lainnya.

3. Kekuatan Masalah Pedagogi

Masalah pedagogi, seperti dalam teori mengajar matematika, dan pada tingkat

lebih rendah, teori progresif pendidik, merupakan emansipator yang kuat dalam

pendekatan pengajaran, dan ketika berhasil dilaksanakan, memberdayakan pelajar

epistemologis. Mengetahui aktif mendorong dan penciptaan pengetahuan oleh peserta

didik, dan melegitimasi bahwa matematika, setidaknya dalam konteks sekolah. Pada

umumnya bahwa bukan bentuk dan isi pendidikan yang memiliki dampak terbesar,

telah dikemukakan (Bowles dan Gintis, 1976), dan matemmatika (Noss, 1989).

Pandangan ini ditantang di bab 11, yang dikatakan bahwa pandangan hierarkis

pengetahuan serta bentuk hirarki organisasi berkontribusi terhadap penciptaan-ulang,

jika tidak reproduksi, dari pertidaksamaan sosial melalui pendidikan. Implikasi ini

adalah bahwa baik isi dan bentuk materi pengajaran, meskipun mungkin ilusi untuk

berpikir bahwa mereka dapat dipisahkan. Untuk mencerminkan konstruktivis sosial,

atau bahkan pandangan progresif absolut matematika, masalah berpose pedagogi

harus mencakup perlakuan terhadap konten serta pendekatan pengajaran.

A. Melawan reproduksi dalam Kurikulum Matematika

Empat dari lima ideologi pendidikan matematika yang disajikan di atas memiliki

tujuan yang sosial reproduksi, baik dalam arti keras atau lembut. Rasa keras kaku

11

Page 12: Filsafat matematika hirarki matematika unik

sesuai dengan definisi batas kelas, sedangkan rasa lembut sesuai dengan semi-

permeabel definisi batas kelas, memungkinkan peningkatan sosial yang terbatas pada

merit, dalam masyarakat dilihat sebagai progresif dan mendebat balik. Dari lima

ideologi, hanya dari pendidik progresif adalah ideologi perubahan sosial. Ini bertujuan

untuk memberdayakan peserta didik untuk menjadi sadar dan kemudian untuk

mengendalikan kehidupan mereka untuk menantang kekuatan reproduksi di tempat

kerja di sekolah dan masyarakat. Berarti pusat untuk mencapainya adalah dengan

mengajukan soal pedagogi. Hal ini tercermin dalam pemberdayaan pelajar kelas, pada

awal dan akhir epistemologis, sosial dan politik, melalui kesadaran kritis tentang

peran matematika dalam masyarakat. Pendekatan ini berupaya untuk meminimalkan

atau membuat eksplisit hierarki kekuatan tersembunyi yang dicontohkan di kelas,

yang memainkan peran penting dalam memperkuat penerimaan dari hierarki sosial

tetap. Perspektif pendidik publik juga tantangan rigit hierarki dalam sifat pengetahuan

matematika, dalam kurikulum matematika, dan di atribusi kemampuan matematika

untuk pelajar. Semua hierarki dapat melayani untuk mendukung dan

mengkonsolidasikan reproduksi hirarki sosial.

Melanjutkan kesempatan yang sama dalam matematika

Ada masalah khusus reproduksi sosial dengan perhatian penolakan

kesempatan yang sama dalam matematika kelompok minoritas etnis, terutama orang

kulit hitam, dan untuk perempuan (chapter 12). Solusi yang diusulkan untuk masalah

ini adalah implementasi dari masalah berpose pedagogi, berdasarkan ideologi

pendidik publik. Semakin lebih lanjut peluang yang sama kulit hitam dalam

matematika, maka sekolah dan masyarakat memerlukan anti-rasis mengajar

matematika. Seperti bijaksana, untuk lebih lanjut peluang perempuan membutuhkan

anti-seksis mengajar matematika. Kedua pendekatan lain pada masalah berpose

pedagogi, yang diusulkan karena memberdayakan semua peserta didik, bukan

minoritas defcient.

BAB III

KESIMPULAN

Pandangan semacam itu merupakan pusat pembangunan sosial, dan filsafat

lain yang mengakui matematika sebagai dasar historisnya. Jadi tidak benar bahwa

12

Page 13: Filsafat matematika hirarki matematika unik

pada satu waktu matematika dapat dijelaskan oleh struktur hirarkis tunggal yang unik,

tetapi juga dari waktu ke waktu struktur yang hadir selalu berubah dan berkembang.

Dengan demikian dapat ditegaskan bahwa matematika tidak memiliki struktur

hirarki secara keseluruhan, dan tentu bukan satu yang unik, bahkan ketika klaim itu

ditafsirkan murah hati dan longgar.

Penyelidikan Matematika yang dimasukkan di dalam konsepsi masalah ini,

atau dipahami sebagai teka-teki. Jadi Burghes (1984), yang mewakili perspektif ini,

mengkategorikan investigasi kedalam (1) eureka penyelidikan, (2) eskalator

penyidikan, (3) keputusan masalah dan (4) masalah nyata. Ini merupakan identifikasi

penyelidikan dengan masalah, untuk mengajukan soal dimensi yang diabaikan atau

ditolak. Secara keseluruhan, masalah dan investigasi yang diidentifikasi dengan objek

penelitian, dan diperlakukan sebagai tambahan isi kurikulum, kecuali bahwa

pemodelan matematika dipahami dalam hal proses.

13