MAKALAH

LIMIT DAN KEKONTINUAN

FUNGSI VEKTORDisusun Untuk Memenuhi Tugas

Mata Kuliah Kalkulus Lanjut I

Dosen Pengampu : Dra. Emi Puji Astuti

Disusun oleh:Tri Khidayanti (4101408027)

Yudha Arviani (4101408075)

Siti muawanah (4101408111)

Windha Kartika Kusumaningtyas (4101408112)

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAMUNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2009

A. Pengantar

Limit fungsi vektor didefinisikan dengan memanfaatkan konsep limit fungsi real. Kita

ingat kembali konsep limit fungsi real x=f(t) yang terdefinisi pada selang terbuka D yang

memuat a kecuali mungkin di a sendiri, yaitu

limt →a

f ( t)=l⟺∀ ε>0∃δ >0∋0<|t−a|<δ⇒|f ( t)−l|<ε

Perhatikan bahwa situasi yang terjadi sebelum konsep limit fungsi real dirancang adalah

bahwa nilai f(t) dapat dibuat sebarang dekat ke l dengan cara mengambil nilai t yang cukup

dekat ke a. Dengan kata lain, jarak f(t) ke l dapat dibuat sebarang kecil dengan cara

mengambil jarak t ke a cukup kecil. Bila ukuran jarak yang digunakan di sini adalah nilai

mutlak, maka diperoleh rancangan konsep limit yang hasilnya seperti di atas.

Konsep limit fungsi vektor di Rn dirancang serupa dengan limit fungsi real. Di sini kita

menggunakan ukuran jarak dua vektor di Rn sebagai berikut. Jarak antara vektor di Rn,

X=(x1, x2, ..., xn) dan Y=(y1, y2, …, yn)

Ditulis nilai,‖X−Y‖ didefinisikan sebagai

‖X−Y‖=√ ( x1− y1 )2+( x2− y2 )2+…+( xn− yn )2

B. Limit Fungsi Vektor

Agar limit fungsi vektor X=F(t) untuk t mendekati a dapat dibahas, di sekitar a harus

terdapat tak terhingga banyaknya titik dari Df ; untuk ini kita mengambil Df selang terbuka D

yang memuat a, kecuali mungkin di a sendiri. Situasi yang terjadi hádala jarak F(t) ke suatu

vektor tetap L dapat dibuat sebarang dekat dengan cara membuat jarak t ke a cukup dekat.

Jarak dua vektor yang digunakan adalah seperti yang didefinisikan di atas sedangkan untuk

jarak t ke a di R kita pergunakan nilai mutlak. Dari situasi ini diperoleh konsep limit fungsi

vektor berikut.

Definisi 1.2.1

Misalkan fungsi vektor F(t)= f1(t)e1+ f2(t)e2+ ... + fn(t)en terdefinisi pada selang terbuka di

D yang memuat a, kecuali mungkin di a sendiri dan L=(l1, l2, …, ln) vektor di Rn. Limit fungsi

F jika t mendekati a sama dengan L, ditulis limt →a

F (t )=L, jika ∀ε>0∃δ>0∋0<|t−a|<δ⇒‖F (t)−L‖<ε.

Adapun limit sepihak fungsi vektor didefinisikan sebagai berikut:

limt →a

F (t )=L ⟺ ∀ε>0∃δ>0∋0<t-a<δ⇒‖F (t)−L‖<ε

limt →a

F (t )=L⟺ ∀ε>0∃δ>0∋0<a-t<δ⇒‖F (t)−L‖<ε.

Teorema 1.2.1

Misalkan fungsi vektor X=F(t) terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a, kecuali

mungkin di a sendiri. Maka

limt →a

F (t )=L⟺ limt−a

‖F (t)−L‖=0

Bukti:

Dipunyai limt →a

F (t )=L

Bukti ke kanan :

⟹∀ε>0∃δ>0∋0<|t−a|<δ

⇒‖F( t)−L‖<ε

⇒‖F( t)−L−0‖<ε

⇒limt →a

F (t )=L=0

Bukti ke kiri :

⟹∀ε>0∃δ>0∋0<|t−a|<δ

⇒‖F( t)−L−0‖<ε

⇒‖F( t)−L‖<ε

Jadi limt →a

F (t )=L

Jadi terbukti bahwa teorema di atas benar.

Teorema 1.2.2

Misalkan fungsi vektor F(t)= f1(t)e1+ f2(t)e2+ ... + fn(t)en terdefinisi pada selang terbuka di

D yang memuat a, kecuali mungkin di a sendiri dan L=(l1, l2, …, ln) suatu vektor di Rn. Maka

limt →a

F (t )=L⟺ limt → a

f 1(t)=l1 ,i=1 , 2 , 3 ,...,n.

Teorema 1.2.3

Misalkan fungsi vektor F(t)= f1(t)e1+ f2(t)e2+ ... + fn(t)en dan G(t)= g1(t)e1+ g2(t)e2+ …+

gn(t)en, dan fungsi real u=g(t) semua terdefinisi pada selang terbuka D yang memuat a,

kecuali mungkin di a sendiri. Jika limt →a

F (t ), limt →a

G(t) , limt → a

g(t ) ada dan berhingga, maka

1. limt →a

F (t ) tunggal

Bukti :

Andaikan ada dua nilai limit, yaitu l dan m. Ambil sembarang bilangan ε >0. Maka akan

diperoleh bilangan δ 1>0 dan δ 2>0 sehingga untuk

a) t∈DF=A ,t ≠ t 0dan |t−t 0|<δ1 berakibat|F (t)−l|<𝜀/3

b) t∈DF=A ,t ≠ t 0dan |t−t 0|<δ2 berakibat|F (t)−m|<𝜀/3

Ambil δ = min(δ 1 , δ2 ). Maka untuk t∈DF=A ,t ≠ t 0dan |t−t 0|<δ berakibat

|l−m|=|l−F (t)+F (t)−m|≤|F (t )−l|+|F ( t )−m|<ε /3+ε /3<ε.

Dengan kata lain terbukti bahwa l = m.

2. limt →a

( F ( t )+G ( t ) )=limt → a

F (t )+limt → a

G (t )

Bukti :

Ambil sembarang bilangan ε>0. Menurut yang diketahui, ada bilangan δ 1>0 dan δ 2>0

sehingga

‖F (t)−(x ' , y ')‖=‖(x1(t) , y (t))−(x ' , y ')‖<ε /3

Untuk setiap tϵDF = A, t ≠ t0 dan|t−t 0|<δ0. Dengan mengambil δ = min {δ1 , δ2 } diperoleh :

‖F (t)+g( t)−(x '+x ,y ' +y)‖=‖x1(t ), y1(t)¿−(x ' , y ')+(x2(t) , y2(t))−( x , y )‖≤¿<ε/

3+ε/3=ε

Untuk setiap t𝜖DF+G =DF ∩ DG , t ≠ t0, dan |t−t 0|<δ

3. limt →a

( F ( t )−G (t ) )=limt → a

F (t )−limt → a

G ( t )

4.limt →a

cF (t)=limt → a

F (t) , c konstanta real

5.limt →a

( F ( t ) .G ( t ) )=( limt → aF (t )) .( limt → a

G ( t ))6.lim

t →a[gF (t )]=( limt → a

g( t)). (limt →aF (t ))

Contoh :

Hitunglah setiap limit fungsi vector berikut.

a) limt →a

( e t−1t

i+ln (1+t )

tj+

(1+t 2 )t

k )b) lim

t →0 ( sin tt

i+t

e t j)Jawab :

a) Kita hitung dahulu limit setiap komponen fungsi vektornya.

limt →a

( e t−1t

i+ln (1+t )

tj+

(1+t 2 )t

k )limt →a

e t−1t

=limt → a

e t

1=1

limt →0

ln (1+t )t

=limt →0

11+ t1

=1

limt →0

(1+t 2 )t

=limt →0

2t=0

jadi, limt →a

( e t−1t

i+ln (1+t )

tj+

(1+t 2 )t

k )= i + j.

b) Kita hitung dahulu setiap komponen fungsi vektornya.

limt →0 ( sin t

ti+

t

e t j)limt →0

sin tt

=1

limt →0

t

e t=0

Jadi, limt →0 ( sin t

ti+

t

e t j)=iC. KEKONTUNUAN FUNGSI VEKTOR

Seperti pada fungsi real, konsep kekontinuan fungsi vektor di satu titik dapat di

definisikan limit fungsi dititik itu, yang harus sama dengan nilai fungsinya, atau langsung

dengan ε=δ, berikut adalah definisinya

Definisi 1.2.2

Misalkan fungsi vektor F(t)=f 1 (t ) e1+…+ f n (t )en terdefinisi pada selang terbuka D yang

memuat a, F dikatakan kintinu di a ∈ D jika limt →a

F ( t )=F (a ) .

Definisi 1.2.3

Misalkan fungsi vektor F(t)=f 1 (t ) e1+…+ f n(t )enterdefinisi pada himpunan D yang

memuat a, fungsi F dikatakan kontinu di a ∈ D jika ∀ε>0∃δ>0∋|t−a|<δ⟹‖F ( t )−F (a)‖<ε.

Definisi 1.2.4

Fungsi vektor F(t)=f 1 ( t ) e1+…+ f n(t )en yang terdefiinisi pada himpunan D⊆R

dikatakan kontinu pada D jika fungsi F kontinu di setiap titik pada D.

Teorema 1.2.4

Fungsi vektor F(t)=f 1 ( t ) e1+…+ f n(t )en kontinu pada Df ⇔ fungsi real f i kontinu pada

Df =Df 1∩ …∩ D f n

, t=1 ,2 , …,n .

Bukti :

Bukti ke kanan :

⟹ F(t)=f 1 (t ) e1+…+ f n(t )en kontinu pada DF⇒ F kontinu pada setiap titik di D⇒ F kontinu pada Df 1… D f n

,i=1,2 ,…,n .

⇒ f1(t) kontinu pada Df 1⇒ fn(t)kontinu pada Df n⇒ fi(t) kontinu pada Df=Df 1∩ …∩ D f n

.

Bukti ke kiri

⟸ fi(t)kontinu pada Df=Df 1∩ …∩ D f n⇒ f1(t) kontinu pada DF⇒ fn(t) kontinu pada DF⇒ F(t) kontinu pada setiap titik di DF

Jadi teorema di atas terbukti kebenarannya.

Teorema 1.2.5

Misalkan fungsi vektor F(t)=f 1 (t ) e1+…+ f n(t )en dan G(t)=g1 (t ) e1+…+gn(t)en dan

fungsi real u = g(t) semuanya terdefinisi pada selang terbuka D = DF ∩ DG ∩ Dg, maka fungsi

F+G, F-G, cF c konstanta real, F.G dan gF semuanya kontinu pada D.

Bukti:

Misalkan fungsi vektor F(t)=f 1 (t ) e1+…+ f n (t )en dan G(t)=g1 ( t ) e1+…+gn(t)en dan fungsi

real u = g(t) semuanya kontinu pada himpunan D = DF ∩ DG ∩ Dg, terdefinisi

limt →a

F (t )=F(a)

limt →a

G ( t )=G (a )

limt →a

g (t )=g (a )

Maka

limt →a

(F+G ) ( t )=limt → a

[F (t )+G (t ) ]

¿ limt →a

F ( t )+ limt → a

G ( t )

¿ F (a )+G ( a )

¿ ( F+G )(a)

Ini menunjukan bahwa fungsi F + G kontinu pada D.

limt →a

(F−G ) ( t )=limt → a

[ F (t )−G (t ) ]

¿ limt →a

F ( t )−limt → a

G( t)

¿ F (a )−G (a )

¿ ( F−G )(a)

Ini menunjukan bahwa fungsi F – G kontinu pada D.

limt →a

c ( F ) ( t )=c limt →a

F (t )

¿c F (a )

Ini menunjukan bahwa fungsi c F kontinu pada D.

limt →a

(F . G ) (t )= limt →a

[ F (t ) . G(t) ]

¿ limt →a

F (t ). limt → a

G ( t )

¿ F (a ) . G(a)

¿ ( F . G )(a)

Ini menunjukan bahwa fungsi F .G kontinu di D

limt →a

(gF )(t )=limt → a

¿¿

¿ limt →a

g (t ) . limt → a

F ( t )

¿ g (a ) . F (a)

¿ ( gF )(a)

Ini menunjukan bahwa fungsi gF kontinu pada D

Teorema 1.2.6

1. Jika fungsi real u =g(t) semuanya terdefinisi pada selang terbuka D yang memuat a

dengan

limt →a

g (t)=b

dan fungsi vektor F, F(t)=f 1 (t ) e1+…+ f n (t )en kontinu di b, maka

limt →a

F (g ( t ))=F [ limt → ag(t )]=F (b)

2. Jika fungsi real u = g(t) terdefinisi pada himpunan D dengan Rg=g(D) ⊆ E ⊆ R dan

fungsi vektor F(t)=f 1 (t ) e1+…+ f n (t )en kontinu pada E, maka fungsi vektor (F G)∘ kontinu

pada D.

Bukti :

1. Diberikan ε>0, akan ditunjukan terdapat suatu δ>0 sehingga

0<|t−a|<δ⇒‖F (G ( t ) )−F(b)‖<ε . diketahui F kontinu di b, maka ∃δ 1>0∋0<|u−b|<δ 1⇒‖F (u )−F (b)‖<ε . Dari limt−a

g (t)=b diperoleh bahwa untuk δ 1>0 terdapat η>0

sehingga 0<|t−a|<η⇒‖g ( t )−b‖<δ1 . Ambil δ=η, maka 0<

|t−a|<δ=η⇒‖g (t )−b‖<δ1⇒|u−b|<δ1⇒‖F (u )−F (b)‖<ε⇒‖F ( g ( t ) )−F(b)‖<ε .

Jadi terbuktilah yang diinginkan

2. Sama seperti bukti rumus pertama dan diserahkan pada pembaca.

Contoh :

Diketahui fungsi vektor F adalah

ln (1+ t2)

ti+ e2 t−1

tj− sin ht

tk ,t ≠ 0

F(t)=

2j-k. t=0

Tentukan semua nilai t sehingga fungsi F kontinu.

Penyelesain :

Komponen fungsi vektor F adalah

ln (1+ t2)t

t≠0 e2 t−1

t, t≠0

−sin h tt

t≠0

X(t)= ; y(t)= ; z(t)=

0, t=0 2, t=0 -1, t=0

Karena setiap komponen fungsi F terdefinisi pada R, maka F terdefinisi pada R.

Sekarang selidiki kekontinuan setiap komponen fungsi F pada R.

Fungsi x=x(t);

Untuk t≠0, x=x(t) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi kontinu.

Untuk t=0, karena

limt →a

x( t)=limt →o

ln (1+t 2)t

=limt →0

2 t

1+t 2

1=0=x(0)

Maka fungsi x=x(t) juga kontinu di t=0. Dari kedua hasil diatas diperoleh bahwa x=x(t)

kontinu pada R.

Fungsi y=y(t)

Untuk t≠0, y=y(t) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi kontinu.

Untuk t=0, karena

limt →a

y (t)=limt → 0

e2 t−1

t=lim

t → 0

2et

1=2= y (0)

Maka fungsi y=y(t) juga kontinu di t=0. Dari kedua hasil diatas diperoleh bahwa y=y(t)

kontinu pada R.

Fungsi z=z(t)

Untuk t≠0, z=z(t) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi kontinu.

Untuk t=0, karena

limt →a

z( t)=limt →0

−sin htt

=limt →0

−cos h t1

=−1=z(0)

Maka fungsi z=z(t) juga kontinu di t=0. Dari kedua hasil diatas diperoleh bahwa z=z(t)

kontinu pada R

Karena x=x(t), y=y(t), z=z(t) semuanya kontinu pada R, maka fungsi F juga kontinu pada R.