INTEGRAL

6.1 Integral Tak Tentu

F(x) disebut suatu anti turunan dari f(x) pada interval I bila

Contoh 1:

dan adalah anti turunan dari

karena F’(x) = f(x).

Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, tapi perbedaannya

berupa suatu bilangan konstan.

Anti turunan disebut juga Integral Tak tentu.

Notasi :

IxxfxF = )()('

3

3

1)( xxF =

2)( xxf =

31( ) 2

3F x x= +

f x dx F x C( ) ( )= +

+= Cxdxx sincos.3

Sifat-sifat integral tak tentu

A. Sifat yang diperoleh langsung dari turunan

111.

1

r rx dx x Cr

+= ++

+−= Cxdxx cossin.2

, r -1

+= Cxdxx tansec.4 2

+−= Cxdxx cotcsc.5 2

B. Sifat Kelinieran

C. Integral dengan substitusi

Misal u = g(x) , 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 , dan F suatu anti turunan dari f,

maka

a f x bg x dx a f x dx b g x dx( ) ( ) ( ) ( )+ = +

+=+== cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()('))((

Contoh 2: Hitung

Misal u = 2x + 1 → →

sehingga

( ) =+ duudxx sin2

112sin

( )sin 2 1x dx+

dxdu 2= dudx21=

( ) CxCu ++−=+−= 12cos2

1cos

2

1

+ dxxx 5103 )1(

+ dxxx 5103 )1(

3x

13 += xu

Setelah dilakukan substitusi u = g(x), Integran (fungsiyang diintegralkan) hanya fungsi dari u

Contoh 3: Hitung

13 += xu 23xdx

du= 23x

dudx =Jawab : Misal

Maka

== duxux

duxu 310

2

510

3

1

3

Integranfungsi dru dan x

3x

Ctt : Tidak bisa di keluarkan dari integral, karena bukan suatu konstanta

Maka, substitusi dengan menggunakan hubungan 13 −= uxsehingga 3 10 5 10 11 10 12 111 1

36 33

3 12 3 111 136 33

1 1( 1) ( 1)

3 3

( 1) ( 1)

x x dx u u du u u du u u C

x x C

+ = − = − = − +

= + − + +

Soal Latihan

A. Untuk soal 1-5 carilah anti turunan F(x) + C bila

5103)( 2 ++= xxxf

)6720()( 572 +−= xxxxf

f xx x

( ) = +1 6

3 7

f xx x

x( ) =

− +2 3 13 2

2

f x x( ) =−3

4

1.

2.

3.

4.

5.

( )x x dx2 3

4 2−

( ) ( )x x x dx2 2

3 2 2 3− + −

3 3 72

x x dx+

( )5 1 5 3 22 3

x x x dx+ + −

3

2 52

y

y

dy

+

( )( )cos sin4

2 2 2x x dx−

Selesaikan integral tak tentu berikut

6.

7.

8.

9.

10.

11.

6.2 Notasi Sigma ( )Notasi sigma ( jumlah ) :

Sifat dan rumus sigma

1 2

1 1

... dan ...

n n

i n

n sukui i

a a a a k k k k nk

= =

= + + + = + + + =

( ) = = =

+=+n

i

n

i

n

i

iiii blaklbak1 1 1

.1

=

+=

n

i

nni

1 2

)1(.2

=

++=

n

i

nnni

1

2

6

)12)(1(.3

=

+=

n

i

nni

1

2

3

2

)1(.4

Sifat nomor 2 sampai nomor 4 dapat dibuktikan dengan induksi matematika

6.3 Integral Tentu

Integral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yang

menggambarkan luas daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi pada

selang tutup [a, b].

bxxxa n == ...10

},...,,,{ 210 nxbxxxaP ===a b

Langkah :

1. Partisi selang [a,b] menjadi n selang dengan titik pembagian

disebut partisi dari [a,b].

2. Definisikan panjang partisi P, sebagai

11

|,||||| −

−== kkkknk

xxxxMaksP

],[ 1 kkk xxc −3. Pilih k = 1, 2, ..., n

1x 1−kx kx

kx

kc

=

n

k

kk xcf1

)(

0|||| →P

=

→

n

Pk

kk xcf1

0||||)(lim

( ) lim ( ) lim ( )|| || 0 1 1

b n nf x dx f c x f c xk k k knP k ka

= = →→ = =

a b2x 1−kx kx

kx

4. Bentuk jumlah Riemann

Jika , maka diperoleh limit jumlah Riemann

Jika limit ini ada, maka dikatakan f terintegralkan Riemann pada selang [a,b], dan ditulis sebagai

)( kcf

kc

Contoh 4: Hitung2

0

2x dx−Jawab : Langkah

(i) Partisi selang [0,2] menjadi n bagian yang sama panjang,n

x 2=

0 2

x xxx

1x 2x 1−ixix 1−nx

sehingga

00 =x

nxx 2

1 0 =+=

n.xx 22

2 20 =+=

ni

i xix 20 =+=

………………………………………………

(ii) Pilihii xc =

(iii) Bentuk jumlah reiman

( ) ( ) = =

−=n

i

n

i

nni

ii xcf1 1

22 2 ( )=

−=n

i

nn

i

1

442

==

−=n

i

n

i ni

n 112

144

nn

n

)n(n

n

22

4

2

14

2+−=−

+=

(iv) Jika →n

( )2

2

0

2 lim 2 2n

nx dx

→− = − + = −

Catatan:

Jika fungsi y = f(x) positif pada selang [a,b], maka integral tentu

diatas menyatakan luas daerah yang terletak dibawah grafik y = f(x)

dan di atas sumbu x antara garis x = a dan x = b

p f x q g x dx p f x dx q g x dx

a

b

a

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( )+ = +

f x dx f x dx f x dx

a

c

a

b

b

c

( ) ( ) ( ) = +

Sifat integral tentu

1. Sifat linear :

2. Jika a < b < c, maka

( ) 0

a

a

f x dx

−

=

f x dx f x dx

a

a

a

( ) ( )= −

2

0

f x dx

a

a

( ) = 0 ( )f x dx f x dx

a

b

b

a

= − ( )3. dan

4. Bila f(x) ganjil , maka

5. Bila f(x) genap, maka

Contoh 5

Hitung −

++

3

3

24 7 dxxxx

Jawab

7)()()( 24 +−+−−=− xxxxf )(724 xfxxx −=++−= f(x) ganjil

07

3

3

24 =++−

dxxxx

6.4 Teorema Dasar Kalkulus (TDK)

6.4.1 TDK IMisal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x).

Maka

Contoh 6: Selesaikan integral tentu

Jawab : Misal u = 2x → du = 2 dx.

1 1 1sin 2 sin cos cos2

2 2 2xdx u du u C x C= = − + = − +

f x dx F b F a

a

b

( ) ( ) ( )= −

( )sin 2

2

x dx

( ) ( ) 1cos2cos2

12cos

2

12sin

2/2

−=−−

=−=

xdxx

Contoh 7: Hitung −

5

1

|2| dxx

Jawab :

( ) ( )

( )

5 2 5

1 1 2

2 5

2 2

1 2

2 2 2 2

2, 2( ) | 2 |

( 2) , 2

| 2 | 2 2

1 12 2

2 2

1 1 1 1.2 2.2 .1 2.1 .5 2.5 .2 2.2

2 2 2 2

1 252 4 2 1

2 2

x xf x x

x x

x dx x dx x dx

x x x x

− = − =

− −

− = − − + −

= − + + −

= − + − − + + − − −

= − + − − + + −

( )0 2 4

3 52 2 5

2 2

− −

= − + + =

6.4.2 TDK II (Pendiferensialan Integral Tentu)

Jika fungsi f kontinu pada [a,b] dan x sebuah (variabel) titik dalam

[a,b], maka

Secara umum

( )

( ) ( ) '( )

u x

x

a

D f t dt f u x u x

=

( )

( )

( ) ( ) '( ) ( ) '( )

v x

x

u x

D f t dt f v x v x f u x u x

= −

)()( xfdttfD

x

a

x =

( )3

2( ) 1f u x x= +

+=

2

4

31)(

x

dttxG +=

x

dttxG1

31)(

Contoh 8: Hitung G’(x) dari

a. b.

Jawab:

a.31)( ttf +=

31)(' xxG +=

b.2)( xxu =

)()(1)(' 232 xDxxxG +=

612 xx +=

3

2

3( ) 1

x

x

G x t dt= +c.

c. 31)( ttf +=

2)( xxu =

3( )v x x=

31)( ttf +=

( )3

2( ) 1f u x x= +

( )3

3( ) 1f v x x= +

3 3 3 2 3 2

2 9 6

'( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )

3 1 2 1

G x x Dx x x Dx x

x x x x

= + − +

= + − +

B. Untuk soal 1 s/d 4 hitung f x dx( )

0

5

f xx x

x x( )

,

,=

+

−

2 0 2

6 2 5

f x

x x

x

x x

( )

,

,

,

=

−

0 1

1 1 3

4 3 5

1.

2.

3. f(x) = |x -1|

3

1

3

4

2)( xxxf −=4.

Untuk soal 5 s/d 10 hitung integral tentu berikut

3 12 3

1

0

x x dx+

−

8 7 22

3

3

t t dt+

−

x

x x

dx

2

31

3 1

3

+

+

sin cos

/2

0

2

3 3x x dx

2sin

0

x dx

82 6 8

0

x x dx− +

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Untuk soal 11 s/d 15 tentukan dari)(' xG

G xt

dt

x

( ) =+

1

12

1

G xt

dt

x

x

( ) =+

1

12

2

G x t dt

x

( ) sin= +

+

2

2

12

=x

dssxG

)2tan()(

dtt

xG

x

+

=

3

031

1)(

11.

12.

13.

14.

15.

16. Tentukan dimana f cekung ke atas, jika dtt

txf

x

+

+=

0

21

1)(

Jika f kontinu pada tentukan f(4). −=

2

0

)1(cos)(dan],0[

x

xxdttf 17.

2

2

2

4

[4, ]1 3

dan f(x)

xt

dtt

=+ +

)2('fJika f kontinu pada , tentukan

.

18.

.

Hitung +→

x

xdt

t

t

x0

4

2

30 16

1lim19.