alvianhaidar.files.wordpress.com · integral integral . 4 . definisi 4.0.1 fungsi f disebut anti...

Integral

INTEGRAL

4

Definisi 4.0.1

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika

F ’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ D.

Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan ∫ dxxf )( dan f (x) dinamakan integran.

Jadi dxd∫ dxxf )( = f (x).

Contoh 1

sin x, sin x + 5, sin x – 7 adalah fungsi-fungsi integral tak tentu dari cos x pada seluruh garis real, sebab derivatif mereka sama dengan cos x untuk semua x. Sifat 4.0.2:

Misalkan f dan g mempunyai anti turunan dan k suatu konstanta, maka

1. ∫ dxxkf )( =

[ =

∫ dxxfk )(

2. ∫ + dxxgxf )]()( ∫∫ + dxxgdxxf )()(

Teorema 4.0.3

Jika F dan G keduanya integral tak tentu dari f pada interval I, maka F(x) dan G(x) berselisih suatu konstanta pada I

Jadi F(x) – G(x) = C dengan C sembarang konstanta. Akibat 4.0.4

Jika F suatu fungsi integral tak tentu dari f , maka

∫ dxxf )( = F(x) + C.

dengan C konstanta sembarang.

Thobirin, Kalkulus Integral 53

Integral

4.1 Rumus Dasar

1. ∫ = dxxn 1

11 +

+nx

n + C , n ≠ –1 11. dx

x∫ + 211 = arc tan x + C

2. ∫ dxx1 = ln x + C , x ≠ 0 = – arc cot x + C

3. ∫ = e x + C 12. dxe x dxx∫

− 211 = arc sin x + C

4. ∫ = dxa x xaaln

1 + C , a ≠ 1 = – arc cos x + C

a > 0

5. ∫ = – cos x + C 13. dxxsin dxxx∫ −112

= arc sec x + C

6. ∫ = sin x + C = – arc csc x + C dxxcos

7. ∫ = tan x + C 14. dxx2sec ∫ dxxsinh = cosh x + C

8. ∫ = – cot x + C 15. dxx2csc ∫ dxxcosh = sinh x + C

9. ∫ = sec x + C dxxx tansec

10. ∫ = – csc x + C dxxx cotcsc

SOAL Tentukan: 1. ∫ − dxx 2)2(

2. dxx

xx∫

++3

2 12

3. dxx

x∫

+1

4. ∫ − dxxx )(sin

5. ∫ dxx2


Integral

4.2 Integral dengan Substitusi

Masalah: Tentukan ∫ + dxx 2006)52(

Untuk menyelesaikan permasalahan seperti ini dapat digunakan aturan seperti pada teorema berikut. Teorema 4.2.1

Jika u = g(x) yang didefinisikan pada interval I mempunyai invers x = g –1(u) dan fungsi-fungsi g dan g –1 keduanya mempunyai derivatif yang kontinu pada intervalnya masing-masing, dan f kontinu pada interval di mana g –1 didefinisikan, maka

∫ dxxgxgf )(')}({ = ∫ duuf )(

Contoh 2

Tentukan ∫ + dxx 2006)52(

Penyelesaian:

Substitusikan u = 2x + 5 → 2=dxdu

du = 2 dx

maka = ∫ + dxx 2006)52( ∫ + dxx 2)52(21 2006

= ∫ duu 2006

21

= 2007

20071

21 u + C

= 2007)52(4014

1+x + C

Contoh 3

Tentukan ∫ + dxxx 20062 )53(

Penyelesaian:

Substitusikan u = 3x2 + 5 → dxdu = 6x

du = 6x dx


Integral

maka = ∫ + dxxx 20062 )53( ∫ + dxxx 6)53(61 20062

= ∫ duu 2006

61

= 2007

20071

61 u + C

= 20072 )53(12042

1+x + C

Contoh 4

Tentukan ∫ dxx21cos

Penyelesaian:

Substitusikan u = x21 →

21

=dxdu ⇔ du =

21 dx

maka ∫ dxx21

21cos2 = ∫ duucos2

= 2 sin u + C

= 2 sin x21 + C

SOAL Tentukan:

1. ∫ 6. − dxx 9)2(3 ∫−

dxx 24

1

2. ∫ 7. + dxxx 92 )25( ∫ ++ 2)1(4 xdx

3. ∫ +dx

x 4)3(8 8. ∫ − dxxx 12 2

4. ∫ dxxx ln

1 9. ∫ dxxe x cossin

5. ∫ dxx

x)sin(ln 10. ∫ dxe x4


Integral

4.3 Integral Parsial

Masalah: Tentukan ∫ dxex x

Misalkan: u = f(x) → )(' xfdxdu

= → dxxfdu )('= → dxudu '=

v = g(x) → )(' xgdxdv

= → dxxgdv )('= → dxvdv '=

uv = f(x) g(x) → )(')()()(')( xgxfxgxfdxuvd

+=

dxxgxfdxxgxfuvd )(')()()(')( +=

= )(uvd dxuvdxvu '' +

= )(uvd dvuduv +

Jika kedua ruas diintegralkan, diperoleh

uv = ∫∫ + dvuduv

∫ dvu = uv – ∫ duv ⇔

Contoh 5

Tentukan ∫ dxex x

Penyelesaian: Misalkan u = x → du = dx

→ dxedv x= xx edxev == ∫

sehingga = ∫ dxex x ∫− dxeex xx

= ∫− dxeex xx

= Ceex xx +−

Contoh 6

Tentukan ∫ dxex x2

Penyelesaian:

Misalkan → du = 2x dx 2xu =

→ dxedv x= xx edxev == ∫


Integral

sehingga = ∫ dxex x2 ∫− xdxeex xx 22

= ∫− dxxeex xx 22

= Ceexex xxx +−− )(22

= Ceexex xxx ++− 22

Contoh 7

Tentukan 5. ∫ dxxx cos

Penyelesaian: Misalkan u = x → du = dx

→ dxxdv cos= xdxxv sincos == ∫

sehingga = ∫ dxxx cos ∫− dxxxx sinsin

= Cxxx ++ cossin

Contoh 8

Tentukan ∫ dxxe x cos

Penyelesaian:

Misalkan → xeu = dxedu x=

→ dxxdv cos= xdxxv sincos == ∫

sehingga = ∫ dxxe x cos ∫− dxexxe xx sinsin

= ∫− dxxexe xx sinsin

misal → xeu = dxedu x=

dxxdv sin= → ∫= dxxv sin

xcos−=

= { }∫ −−−− dxexxexe xxx cos)cos(sin

= ∫−+ dxexxexe xxx coscossin

Diperoleh ∫ = dxxe x cos ∫−+ dxexxexe xxx coscossin

2 ∫ = dxxe x cos xexe xx cossin +

∫ = dxxe x cos xexe xx cos21sin

21

+ + C


Integral

SOAL Tentukan: 1. ∫ 6. dxxx sin ∫ dxxe x sin

2. ∫ 7. dxxx 2sin ∫ dxxarcsin

3. ∫ 8. dxxln ∫ dxarctan

4. ∫ 9. − dxex x ∫ dxxx 2ln

5. ∫ 10. − dxex x2 ∫ dxx

xlnln

4.4 Integral yang Menghasilkan Arcus Tangen dan Logaritma

Ingat: dxx∫ + 21

1 = arc tan x + C

Berdasarkan rumus di atas dapat dibuktikan bahwa untuk konstanta a ≠ 0, maka berlaku:

dxxa∫ + 22

1 = a1 arc tan

ax + C (4.4.1)

Perhatikan penyebut dalam integran.

Selanjutnya akan dicari dxcbxx∫ ++ 2

12

Jika f(x) = x2 + 2bx + c dengan D = 4b2 – 4c < 0, maka f(x) definit positif dan selalu dapat dibawa ke bentuk

f(x) = (x + b)2 + p2 dengan p2 = c – b2 > 0

sehingga dxcbxx∫ ++ 2

12 = dx

pbx∫ ++ 22)(1 dan dengan menggunakan (4.4.1)

dapat diperoleh

dxcbxx∫ ++ 2

12 =

pbx

p+arctan1 + C (4.4.2)

dengan p = 2bc −


Integral

Contoh 9

Tentukan ∫ +dx

x 231

Penyelesaian:

Dengan menggunakan rumus (4.4.1) diperoleh ∫ +dx

x 231 =

31 arc tan

3x + C

Contoh 10

Tentukan ∫ +dx

x 91

2

Penyelesaian:

Dengan menggunakan rumus (4.4.1) diperoleh ∫ +dx

x 231 = =

31 arc tan

3x + C

Contoh 11

Tentukan ∫ ++dx

xx 521

2

Penyelesaian: b = 1 c = 5

p = 2415 2 ==−

Dengan rumus (4.4.2) diperoleh ∫ ++dx

xx 521

2 = 21 arc tan

21+x + C

Atau secara langsung dengan cara berikut:

∫ ++dx

xx 521

2 = ∫ ++dx

x 4)1(1

2 = 21 arc tan

21+x + C

Selanjutnya ingat: ∫ dxx1 = ln x + C

Dengan rumus ini dapat ditunjukkan bahwa

∫ dxxgxg)()(' = ln )(xg + C (4.4.3)


Integral

Contoh 11

Tentukan ∫ +++ dxxx

x42

222

Penyelesaian:

Dengan rumus (4.4.3) diperoleh ∫ +++ dxxx

x42

222 = 42ln 2 ++ xx + C

Contoh 12

Tentukan ∫ +++ dxxx

x136

52

Penyelesaian:

∫ +++ dxxx

x136

52 = ∫ ++

++dx

xxx

1362)62(

221

= ∫ +++

dxxx

x136)62(

221

+ ∫ ++dx

xx 1362

2

= 136ln21 2 ++ xx + ∫ ++

dxx 4)3(

12 2

= 136ln21 2 ++ xx +

21.2 arc tan

23+x + C

= 136ln21 2 ++ xx + arc tan

23+x + C

SOAL

Tentukan:

1. ∫ +++ dx

xxx

13105

2 5. ∫ +++ dxxx

x74

232

2. ∫ −++ dx

xxx

1155

3

2

6. ∫ +++ dxxx

x136

152

3. ∫∫ = dxxxdxx

cossintan 7. ∫ +−

+ dxxx

x136

142

4. ∫ ++dx

xx 745

2 8. ∫ +−− dxxx

x74

232


Integral

4.5 Integral Fungsi Pecah Rasional Pn(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn dengan an ≠ 0 dinamakan polinomial (fungsí

suku banyak) berderajat n. Fungsi konstan Po(x) = ao dapat dipandang sebagai polinomial berderajat nol.

Fungsi pecah rasional adalah fungsi berbentuk )()(

xDxN dengan N(x) dan D(x) polinomial-

polinomial. Uraian mengenai integral fungsi pecah rasional dapat diperinci untuk beberapa kasus sebagai berikut.

4.5.1 Keadaan N(x) = D’(x)

Jika N(x) = D’(x) maka berdasarkan rumus (4.4.3) diperoleh:

∫ dxxDxN)()( = ln )(xD + C

dan ini sudah dibahas pada bagian 4.4 sehingga tidak perlu diulang. 4.5.2 Keadaan derajat N(x) ≥ derajat D(x)

Lakukan pembagian N(x) oleh D(x) sehingga diperoleh bentuk

)()()(

)()(

xDxRxQ

xDxN

+= dengan derajat R(x) < derajat D(x)

Q(x) adalah polinom, sehingga integralnya sangat mudah.

Contoh 13

1. ∫ +dx

xx

12

3

= ∫ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+− dx

xxx

12 = ...

2. ∫ +++−− dx

xxxxx

136604819

2

24

= ∫ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++

++− dxxx

xxx136

8646 22 = ...

Kepada pembaca dipersilakan untuk melanjutkan penyelesaian kedua contoh dalam contoh 13 di atas. Dengan demikian yang perlu dipelajari lebih lanjut adalah keadaan dimana

derajat N(x) < derajat D(x) dan N(x) ≠ D’(x)


Integral

4.5.3 Keadaan Derajat N(x) < Derajat D(x)

Pada pembahasan ini N(x) ≠ D’(x). Tanpa mengurangi umumnya pembicaraan, diambil koefisien suku pangkat tertinggi dari x dalam D(x) adalah satu. Untuk

menghitung ∫ dxxDxN)()( , terlebih dahulu integran dipisah menjadi pecahan-

pecahan parsialnya. Contoh 14

6466

23

2

−+++

xxxx dapat dipecah menjadi pecahan-pecahan parsial berikut

315

210

11

6466

23

2

++

+−

−=

−+++

xxxxxxx

Jadi

∫ −+++ dx

xxxx

6466

23

2

= ∫∫∫ ++

+−

−dx

xdx

xdx

x 315

210

11

= ∫∫∫ ++

+−

−dx

xdx

xdx

x 3115

2110

11

= Cxxx ++++−− 3ln152ln101ln

Karena sebelum melakukan pengintegralan terlebih dahulu diadakan pemisahan

)()(

xDxN menjadi pecahan-pecahan parsialnya, maka sebelumnya perlu dipelajari

cara memisah )()(

xDxN menjadi pecahan-pecahan parsialnya tersebut.

Memisah Pecahan Menjadi Pecahan Parsial

Dalam pembicaraan ini tetap diasumsikan: 1) derajat N(x) < derajat D(x) 2) koefisien suku pangkat tertinggi dari x dalam D(x) adalah satu 3) N(x) dan D(x) tidak lagi mempunyai faktor persekutuan


Integral

Menurut keadaan faktor-faktor D(x), dalam memisahkan )()(

xDxN menjadi pecahan-

pecahan parsialnya dapat dibedakan menjadi 4 keadaan, yaitu: a. Semua faktor D(x) linear dan berlainan b. Semua faktor D(x) linear tetapi ada yang sama (berulang) c. D(x) mempunyai faktor kuadrat dan semua faktor kuadratnya berlainan d. D(x) mempunyai faktor kuadrat yang sama.

a. Semua faktor D(x) linear dan berlainan Misalkan faktor-faktor D(x) adalah x – a, x – b, x – c, dan x – d, maka D(x) = (x – a) (x – b) (x – c) (x – d).

Dibentuk )()(

xDxN =

dxD

cxC

bxB

axA

−+

−+

−+

− (1)

sebagai suatu identitas dalam x, sehingga untuk setiap nilai x yang diberikan maka nilai ruas kiri dan nilai ruas kanan dalam (1) sama. Konstanta A, B, C, dan D adalah konstanta-konstanta yang masih akan dicari nilainya.

Contoh 15

Pisahkan 64

6623

2

−+++

xxxx atas pecahan-pecahan parsialnya.

Penyelesaian:

64 23 −++ xxx = 0 ⇔ (x – 1) (x + 2) (x + 3) = 0

Dibentuk

32164

6623

2

++

++

−=

−+++

xC

xB

xA

xxxx (2)

⇔ )3)(2)(1(

)2)(1()3)(1()3)(2(64

6623

2

++−+−++−+++

=−++

+xxx

xxCxxBxxAxxx

x

⇔ )2)(1()3)(1()3)(2(66 2 +−++−+++=+ xxCxxBxxAx

untuk x = 1 → )4)(3(12 A= ⇔ A = 1

untuk x = – 2 → 30 = B(–3)(1) ⇔ B = –10 untuk x = – 3 → 60 = C(–4)(–1) ⇔ C = 15

Jika nilai A, B, dan C ini disubstitusikan ke dalam (2) maka diperoleh

315

210

11

6466

23

2

++

+−

−=

−+++

xxxxxxx


Integral

sehingga

∫ −+++ dx

xxxx

6466

23

2

= ∫∫∫ ++

+−

−dx

xdx

xdx

x 315

210

11

= Cxxx ++++−− 3ln152ln101ln

Pada bagian ini dijumpai bentuk ∫ −dx

ax1

b. Semua faktor D(x) linear tetapi ada yang sama (berulang)

Misalkan faktor-faktor D(x) adalah x – a, x – b, x – c, x – c, x – d, x – d, dan x – d, maka D(x) = (x – a) (x – b) (x – c)2 (x – d)3. Selanjutnya dibentuk

)()(

xDxN = 322 )()()( dx

Gdx

Fdx

Ecx

Dcx

Cbx

Bax

A−

+−

+−

+−

+−

+−

+−

(3)

Perhatikan suku-suku pecahan di ruas kanan terutama yang sesuai dengan akar sama c dan d.

Contoh 16

Pisahkan 3)1)(2( +− xxx atas pecahan-pecahan parsialnya.

Penyelesaian:

Dibentuk

323 )1()1(12)1)(2( ++

++

++

−=

+− xD

xC

xB

xA

xxx (4)

)2()1)(2()1)(2()1( 23 −++−++−++= xDxxCxxBxAx

untuk x = –1 ⎯→ –1 = –3D untuk x = 2 ⎯→ 2 = 27A untuk x = 0 ⎯→ 0 = A – 2B – 2C – 2D untuk x = 1 ⎯→ 1 = 8A – 4B – 2C – D Dari keempat persamaan tersebut diperoleh:

272

=A , 272

−=B , 276

−=C , 31

=D

Jadi 323 )1(31

)1(276

1272

2272

)1)(2( ++

+

−+

+

−+

−=

+− xxxxxxx


Integral

Selanjutnya dapat dicari integral ∫ +−dx

xxx

3)1)(2(

∫ +−dx

xxx

3)1)(2( = ∫∫∫∫ +

++−

++

−+

−dx

xdx

xdx

xdx

x 331

2276

272

272

)1()1(12

= ...


ax1 dan ∫ −

dxax n)(

1 n = 2, 3, ...

c. D(x) mempunyai faktor kuadrat dan semua faktor kuadratnya berlainan

Ingat teorema dalam aljabar berikut. Teorema: Akar-akar tidak real persamaan derajat tinggi dengan koefisien real

sepasang-sepasang bersekawan, artinya jika a + bi suatu akar maka a – bi juga akar persamaan itu

Berdasarkan teorema tersebut maka apabila a + bi akar persamaan D(x) = 0 maka demikian juga a – bi, sehingga salah satu faktor D(x) adalah {x – (a + bi)}{ x – (a – bi)} = (x – a)2 + b2 yang definit positif. Misal D(x) = (x – p) (x – q) 2 {(x – a)2 + b2}{(x – c)2 + d2} maka perlu dibentuk

)()(

xDxN = 22222 )()()( dcx

GFxbax

EDxqx

Cqx

Bpx

A+−

++

+−+

+−

+−

+−

(5)

Contoh 17

Pisahkan 1

33 −x

x atas pecahan-pecahan parsialnya.

Penyelesaian:

133 −x

x = )1)(1(

32 ++− xxxx

Dibentuk 111

323 ++

++

−=

− xxCBx

xA

xx

)1)(()1(3 2 −++++= xCBxxxAx

untuk x = 1 ⎯→ 3 = 3A untuk x = 0 ⎯→ 0 = A – C untuk x = –1 ⎯→ –3 = A + 2B – 2C Setelah dicari nilai-nilai A, B, dan C diperoleh 1=A , 1−=B , dan , sehingga 1=C


Integral

11

11

13

23 +++−

+−

=− xx

xxx

x

Jadi ∫∫∫ +++−

+−

=−

dxxx

xdxx

dxx

x1

11

11

323

= ... = ...


ax1 , ∫ −

dxax n)(

1 n = 2, 3, ... , dan

∫ +−+ dx

baxBAX

22)(

d. D(x) mempunyai faktor kuadrat yang sama

Berdasarkan teorema dalam bagian c di atas maka apabila a + bi merupakan akar berlipat k dari persamaan D(x) = 0 maka demikian juga a – bi, dan faktor-faktor dari D(x) yang sesuai dengan akar-akar ini adalah {(x – a)2 + b2}k. Misal D(x) = (x – p) (x – q) 2 {(x – a)2 + b2}{(x – c)2 + d2}3 maka perlu dibentuk

)()(

xDxN = 22222222 }){()()()( dcx

JHxdcx

GFxbax

EDxqx

Cqx

Bpx

A+−+

++−

++

+−+

+−

+−

+−

322 }){( dcxLKx+−+

+

Contoh 18

Pisahkan 22

23

)1)(2(1523

+−−+−

xxxxx atas pecahan-pecahan parsialnya.

Penyelesaian:

Dengan cara seperti yang telah diberikan sebelumnya didapatkan

22

23

)1)(2(1523

+−−+−

xxxxx = 222 )1(1

12

1+

−+−

−− x

xxx

x


Integral

Jadi ∫ +−−+− dx

xxxxx

22

23

)1)(2(1523 = ∫∫∫ +

−+−

−−

dxx

xdxxxdx

x 222 )1(11

21

Pada bagian ini dapat muncul bentuk ∫ +−+ dx

baxBAX

n}){( 22 , n = 2, 3, ... , dan

Dalam mencari ∫ dxxDxN)()( kita dihadapkan kepada empat jenis integral yang

berbentuk:

(1) ∫ −dx

ax1

(2) ∫ −dx

ax n)(1 n = 2, 3, ...

(3) ∫ +−+ dx

baxBAX

22)(

(4) ∫ +−+ dx

baxBAX

n}){( 22 , n = 2, 3, ...

Tiga bentuk yang pertama telah dapat diselesaikan menggunakan teori-teori yang sudah diberikan. Adapun integral bentuk keempat dapat diselesaikan dengan substitusi y = x – a sebagai berikut.

∫ +−+ dx

baxBAX

n}){( 22 = ∫ +++ dy

byBaAAyn}{ 22

= ∫∫ ++

+++ dy

byBaA

bybydA

nn }{}{)(

2 2222

22

Integral untuk suku pertama pada ruas terakhir bukan masalah karena berbentuk

∫ nudu , n = 2, 3, ... Sedangkan integral pada suku keduanya dapat diubah menjadi

∫ ++ dybyBaA

n}{ 22 = ∫

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

+nn

by

dyb

BaA22

1

= { }∫+

+− nn t

dtb

BaA212 1

dengan byt =

Untuk menghitung integral { }∫+

ntdt

21dapat digunakan rumus reduksi berikut


Integral

{ }∫+

ntdt

21 =

{ }∫ −−+−

−+

+− 1212 12232

)1)(22( nn tdt

nn

tnt

Dalam tulisan ini tidak diberikan bukti rumus reduksi tersebut.

Contoh 19

Selesaikan ∫ +++ dxxx

x22 )134(

3 .

Penyelesaian:

∫ +++ dxxx

x22 )134(

3 = ∫ ++++

dxxx

x22

21

)134(1)42(

= ∫∫ +++

+++ dx

xxdx

xxx

222221

)134(1

)134(42

= ∫∫ +++

++++ dx

xxxxxd

2222

2

21

}9)2{(1

)134()134(

= ∫∫ +++

++++ dx

xxxxxd

2222

2

21

}9)2{(1

)134()134(

= [ ]{ }∫

+++

++− dx

xxx 22221

13/)2(9

1134

1

= [ ]{ }∫

+++

++− dx

xxx 22811

221

13/)2(

1134

1

Untuk [ ]{ }∫

++dx

x2281

1

13/)2(

1 substitusikan dxdtxt31,

32

=+

= sehingga

[ ]{ }∫++

dxx

22811

13/)2(

1 = { }∫

+dt

t 22271

11

= { } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−+

+− ∫ dttt

t1

122.232.2

)1)(22.2(271

2

= { } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++ ∫ dt

ttt

11

21

)1(2271

2

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+t

tt arctan

21

)1(2271


Integral

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

++

+ 32arctan

21

)1(2.32

271

32

xxx

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

+++

32arctan

21

)2(262

271 x

xx

= 3

2arctan541

1022

271 +

+++ x

xx

Jadi ∫ +++ dxxx

x22 )134(

3 = [ ]{ }∫

+++

++− dx

xxx 22811

221

13/)2(

1134

1

= 134

122

1

++−

xx +

32arctan

541

1022

271 +

+++ x

xx + C.

LATIHAN

1. ∫ −+dx

xxx

432 4. ∫ +−dx

xxx

)1()1( 222

2. ∫ +−+ dx

xxx

)4()1(3

2 5. ∫ −−+− dx

xxxxx

2

234 2322

3. ∫ +dx

xx

22 )1( 6. ∫ −

++ dxx

xx32

23

)2(14

4.6 Integral Fungsi Trigonometri

4.6.1 Rumus-rumus Sederhana

∫ dxxcos = sin x + C ∫ dxxtan = – ln ⏐cos x⏐+ C

∫ dxxsin = – cos x + C ∫ dxxcot = ln ⏐sin x⏐+ C

∫ dxx2sec = tan x + C ∫ dxxx tansec = sec x + C

∫ dxx2csc = – cot x + C ∫ dxxx cotcsc = – csc x + C

∫ dxxsec = ln ⏐sec x + tan x⏐ + C ∫ dxxcsc = – ln ⏐csc x + cot x⏐ + C

4.6.2 Bentuk ∫ dxxxR cos)(sin dan ∫ dxxxR sin)(cos

Jika R fungsi rasional maka ∫ dxxxR cos)(sin = ∫ )(sin)(sin xdxR

= ∫ dyyR )(


Integral

∫ dxxxR sin)(cos = – ∫ )(cos)(cos xdxR

= – ∫ dttR )(

Dengan mengingat rumus cos2 x + sin2 x = 1, maka:

∫ dxxxxR cos)cos,(sin 2 = ∫ − dyyyR )1,( 2

∫ dxxxxR sin)sin,(cos 2 = – ∫ − dtttR )1,( 2

Contoh 20

1. ∫ +− dxxxx cos)7sincos2( 2

2. ∫ dxx3sin

4.6.3 Integral dengan memperhatikan rumus-rumus

sin x sin y = )}cos(){cos(21 yxyx +−−

sin x cos y = )}sin(){sin(21 yxyx −++

cos x cos y = )}cos(){cos(21 yxyx −++

sin2 x = }2cos1{21 x−

cos2 x = }2cos1{21 x+

Contoh 21 Carilah

1. ∫ dxxx 2sin3sin

2. ∫ dxxx 2cos3sin

3. ∫ dxxx 2cos3cos

4. ∫ dxx2sin

5. ∫ dxx4sin

4.6.4 Substitusi xy 2

1tan=

Jika R(sin x, cos x) fungsi rasional dalam sin x dan cos x, maka

dapat dibawa menjadi integral fungsi rasional dalam y dengan

menggunakan substitusi

∫ dxxxR )cos,(sin

xy 21tan= .


Integral

xy 21tan= → x = 2 arc tan y → dy

ydx 21

2+

=

Selanjutnya perhatikan

21 y+

x21

y

1 Memperhatikan gambar di atas dapat dipahami bahwa

x21sin =

21 yy+

dan x21cos =

211

y+

sin x = ).2sin( 2

1 x

= xx 21

21 cossin2 = 2

21 yy+

21

1y+

= 212

yy

+

Jadi sin x = 212

yy

+.

Dengan menggunakan rumus cos x = ).2cos( 21 x diperoleh

cos x = 2

2

11

yy

+−

tan x = 212

yy

−

cot x = yy

21 2−

Contoh 22

Carilah: 1. ∫ + xdxsin1

2. ∫ + xxdx

cossin

3. ∫ + xdxcos1

4. ∫ dxxcsc


Integral

4.6.5 Integral R(tan x) Jika integran fungsi rasional dalam tan x saja, maka dapat dijadikan integral fungsi rasional dalam y dengan substitusi y = tan x, sehingga x = arc tan y dan

21 ydydx+

= .

Jadi ∫ ∫ += dy

yyRdxxR 21)()(tan

Contoh 23

Carilah: 1. 2. ∫ dxxtan ∫ + xdxtan1

4.6.6 Rumus Reduksi untuk Integral Fungsi Trigonometri Jika n bilangan bulat positif, maka:

∫ ∫ −−=+ dyydxx nn )1(sin 212 dengan y = cos x

∫ ∫ −=+ dttdxx nn )1(cos 212 dengan t = sin x

Untuk n bilangan genap positif dapat digunakan rumus:

∫ ∫ −− −

+= dxxn

nn

xxdxx nn

n 21

cos1cossincos

∫ ∫ −− −

+−

= dxxn

nn

xxdxx nn

n 21

sin1sincossin

∫ ∫ −−

+−

= dxxn

xdxx nn

n 21

tan1

tantan

∫ ∫ −−

−−

−= dxx

nxdxx n

nn 2

1

cot1

cotcot

∫ ∫ −−

−−

+−

= dxxnn

nxxdxx n

nn 2

1

sec12

1secsinsec

∫ ∫ −−

−−

+−

−= dxx

nn

nxxdxx n

nn 2

1

csc12

1csccoscsc

Bukti rumus-rumus di atas tidak diberikan dalam tulisan ini.


Integral

LATIHAN

4.7 Integral Fungsi Irrasional

Dalam tulisan ini dibahas beberapa jenis integral fungsi irrasional. Pada dasarnya integral ini diselesaikan dengan mengubah integral irrasional menjadi integral rasional, baik rasional aljabar maupun trigonometri.

4.7.1 Rumus yang perlu dihafal

1) dxxa∫

− 22

1 = Cax+arcsin

2) dxaxx

a∫

− 22 = arc sec C

ax+

3) dxax∫

+ 22

1 = Caxx +++ 22ln

4) dxax∫

− 22

1 = Caxx +−+ 22ln

5) dxxa∫ − 22 = Caxaxax++− arcsin

22

222

6) dxax∫ + 22 = Caxxaaxx+++++ 22

222 ln

22

7) dxax∫ − 22 = Caxxaaxx+−++− 22

222 ln

22

Dua rumus pertama mudah dibawa ke bentuk rumus integral dasar dengan

substitusi axy = . Sedangkan rumus-rumus yang lain dapat dibuktikan dengan

menggunakan metode yang akan diterangkan pada bagian 4.7.4.


Integral

4.7.2 Bentuk Irrasional Satu Suku

ntuk irrasional dari satu macam suku, misalnya x, Jika integran hanya memuat be

maka integral dapat dijadikan integral rasional dengan substitusi n xy = dimana n

kelipatan persekutuan terkecil dari pangkat-pangkat akar.

Contoh 24

∫ +dx

xx3

6 xy =1

diambil substitusi , sehingga dan

.7.3 Satu-satunya Bentuk Irrasional

6yx = dyydx 56=

cbxax ++2

Dalam hal ini

4

cbxax ++2 se tubagai satu-sa nya bentuk irrasional di dalam tegran dapat dintegran, maka in ijadikan rasional dengan substitusi

cbxax ++2 = yax + , jika a > 0

atau

cbx cxy +ax 2 ++ = , jika c ≥ 0

Dengan substitusi yang pertama diperoleh bay

cyx−−−

=2

)( 2

dan dx dapat dinyatakan

ke dalam bentuk rasional dalam y kali dy.

Contoh 25

∫+−−

dxxxx 26)3(

1 yxxx +=+− 262

2 diambil substitusi , sehingga

)3(2)2( 2

+−−

=yyx dan dy

yyydx 2

2

)3(26

21

+++

−= . Selanjutnya dapat diselesaikan seperti

integral raasional

.7.4 Substitusi Trigonometri mus trigonometri

+ tan2 x = sec2 x bentuk-bentuk irra rasional fungsi

4Dengan memperhatikan ru

cos2 x + sin2 x = 1 dan 1sional berikut dapat dijadikan bentuk

trigonometri.


Integral


entuk Substitusi Diferensial B22 xa − x = a sin θ dx = a cosθ dθ 22 ax − x = a sec θ dx = a secθ tanθ dθ 22 xa + x = a tan θ dx = a sec2θ dθ

Contoh 26

= Caxaxax++− arcsin

22

222 dxxa∫ − 221. Buktikan

dxx∫

− 291 2. Gunakan substitusi x = a sin θ untuk menentukan

dxxxx∫ +−− 26)3(

12

3. Carilah

ATIHAN 4.7 L

1. d∫1 x

xx − 22 1

2. dxx

x∫

− 21

dxxxx∫ +−− 14)2(

12

3.

dxxxx∫ +−− 84)2(

12

4.

alvianhaidar.files.wordpress.com · integral integral . 4 . definisi 4.0.1 fungsi f disebut anti...

Documents