Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

INTEGRAL

tertentuIntegral b.

tak tentuIntegral a.

3

x y d.

x

1 y c.

x 2x y b.

2 4x xy a.

iniberikut urunan Tentukan t

:Contoh

2

2

3

4

x2

1 y x y d.

x

2- y

x

1 y c.

14x y 2x y b.

43x y 24 xy a.

: Jawab

1

3

1

2

12

213

x

x

5

F(x) F’(x)

2x

2x

2x

---------- 2x

---

2x

2x

12 x

32 x

42 x

C2 x

Diferensial

Integral

6

C F(X) dx f(x)

: Rumusnya

diketahui (x)F' turunannya

jika F(X) semula fungsi mencari Proses

adalah tak tentuIntegral

: Konklusi / Kesimpulan

7

alanPengintegr Constanta c 3.

Integran Fungsi f(x) 2.

f(x)(x)F' (bersifat)

UmumIntegral Fungsi F(x) 1.

8

f(x) x(x)F' x1n

1 F(x) 3.

f(x) x(x)F' C4

1 F(x) 2.

f(x) x (x)F' 3

1 F(x) 1.

contoh-Contoh

n1n

34

23

C

x

x

9

C 5x

.....-.

C ) 5...

.....(-.

......

...... dx x .4

... ....

.... dx x .3

......

... dx

...

...

3

dx .2

C...... dx 5 1.

5

5

56-

1110

C

C

C

10

C 5x

1-

C )x

1(

5

1-

x5

1- dxx .4

x 11

1 dxx .3

x3

1 dx

3

1

3

dx .2

C5x dx 5 1.

5

5

5-6

1110

C

C

C

11

11F(2)dan x(x)F' jika F(x),Tentukan 5

3

1 x

6

1 F(x)

3

1

6

2 c

c6

410 11

11 c(2)6

1 F(2)

cx6

1 F(x)

dxx F(x)

: Jawab

6

6

6

5

12

logxln xdengan c,xln a dxx

a 6.

1- n dengan c,x1n

a dxax 5.

1- n dengan c,x1n

1 dxx 4.

caxdx a .3

constantaadalah a dx, f(x) a af(x)dx .2

cxdx 1.

e

1nn

1nn

13

dx x

1 d).

dx x c).

dx x

1 b).

dx5x a).

:iniberikut tak tentuintegral-IntegralTentukan

3 2

4 3

3

4

14

c x

c x14

5 dx 5x a).

5

144

c2x

1-

c)1

(2

1-

c2

1-

c x13-

1

dxx dx x

1 b).

2

2

2

13-

3-

3

x

x

15

cxx7

4

c7

4

c

4

7

1

cx

14

3

1

dxx dx x c).

4 3

4

7

4

7

14

3

4

3

4 3

x

x

16 c x3

c3x

c

13

2-

1

dxx dx x

1 d).

3

3

1

13

2

3

2-

3 2

x

17

dx f(x) a dx f(x) a .3

g(x)dx -f(x)dx dx g(x)f(x) .2

g(x)dx f(x)dx dx g(x)f(x) 1.

18

dx5x 3.

dx )xx-(x 2.

dx )x(x 1.

iniberikut tak tentuIntegralTentukan

256

23

19

Cx3

1x

4

1

ccx3

1x

4

1

cx3

1cx

4

1

dx x dx x dx )x(x 1.

34

21

34

2

3

1

4

2323

20

Cx3

1x

6

1x

7

1

cx3

1cx

6

1-cx

7

1

dx xdx x- dxx dx )xx-(x 2.

367

3

3

2

6

1

7

256256

21

cx2

5

cx)2

15(

dxx 5 dx5x 3.

2

2

22

dx 7x 4.

dx5)(x 3.

dp )p(p 2.

dx )xx(x 1.

: inidibawah IntegralTentukan

5

2

43

32

23

cxxx

432

3232

4

1

3

1

2

1

dxx -dx xdx x dx )xx(x 1.

24

c p 5

1 p

4

1

dpp dpp dp )p(p 2.

54

4343

25

c 25x 5x x3

1

25dx dx 10x dxx

25)dx x10(x dx5)(x 3.

23

2

22

26

cx

cx

5

6

5

6

15

1

5

1

5

6

35

5

6

7

c x

15

1

7

dx)(7x dx 7x 4.

27

dx x 1. 7 35

x

dx 1)x(x 2. 2

dx 2)(x 3. 3

dt 1t

1t2t 4.

2

28c

45

7

cx

c

17

38

x

dxx

dxx

dx ) x.(x dx x .1

7 36

7

45

7

45

17

38

7

38

5

7

3

57 35

73

xx

x

29

cx2

1x

3

2 x

4

1

dx x)x2(x dx 1)x(x 2.

234

232

30

c8x6x2xx4

1

dx 8)12x6x(x dx 2)(x 3.

234

233

31

ct t

dt 1) (2t

dt1)(t

1)1)(t(2t dt

1t

1t2t 4.

2

2

32

xc

c

c

logln xdengan ,xln a dxx

a 6.

1- n dengan ,x1n

a dxax 5.

1- n dengan ,x1n

1 dxx .4

caxdx a .3

constantaadalah a dx, f(x) a af(x)dx .2

cxdx 1.

e

1nn

1nn

33

dx )x(1

3.

dx )1

xx( 2.

dx x)(xx 1.

: iniberikut tak tentuIntegralTentukan

3

2

2

x

x

34

c5

2

7

2

c5

2

7

2

c11

dx )(

dx x)(xx dx x)(xx 1.

23

2

5

2

7

12

31

2

5

2

3

2

5

22

1

2

12

31

2

5

xxxx

xx

xx

xx

35

c3

2

5

2

c3

2

5

2

c1

1

dx )(x

dx )x(x dx )1

xx( 2.

2

2

3

2

5

12

11

2

3

2

1

2

3

2

1

2

1

12

11

2

3

xxxx

xx

xx

x

xx

36

c121

dx )x2x(x

dx xx)x21(

dx )x2(1

dx )x(1

3.

13

2

13

2

16

1

16

1

13

1

13

1

3

2

6

1

3

1

3

1

3

13

2

xxx

x

x

x

37

c5

3

7

12

2

33

5

6

7

3

2

xxx

38

ydan x antarahubungan carilah 3 y dan 1, dan x

0 y 0, x Bila .24dx

yddan f(x) y Diberikan 2.

11F(2)dan x(x)F' jika F(x),Tentukan 1.

2

2

5

x

39

3

1 x

6

1 F(x)

3

1

6

2 c

c6

410 11

11 c(2)6

1 F(2)

cx6

1 F(x)

dxx F(x)

6

6

6

5

40 x- 4x y Jadi

1- c

0 c 4 3

c1.c4.1 3 3 y dan 1x

0 c c0 0 0 0ydan 0

cc4x y

dx )c(12x dxdx

dy y

c12x dx 24 dx dx

yd

dx

dy 24

dx

yd

3

1

1

21

3

22

21

3

1

2

1

2

2

2

2

2

x

x

xx

41

tersebutkurva

persamaancarilah ,3dx

dyitu kurva singgung

garisgradien dan (0,4) titik melalui kurvaSebuah

2x

42

4 xy adalah kurvapersamaan Jadi

4 c

c0 4

(0,4) melalui Kurva c, xy

dx3x y

dxdx

dy y 3x

dx

dy

3

3

3

2

2

43

! x(t)posisi fungsiuntuk formulaTentukan

12ta(t) percepatan fungsidengan sumbu x sepanjang

bergerakdan 10 titik x pada 0) awal (kecepatan

diamkeadaan daribergerak mulai partikelSebuah

44 102t x(t)posisi fungsi formula Jadi

10 c c2.0 10

yaitu c nilaidiperoleh 10, Untuk x(0)

c2t dt 6t dt v(t) x(t) dt

dx v(t)

6t v(t) 0 c c 6.0 0

:yaitu ,c nilaidiperoleh 0,Untuk v(0)

c 6t dt 12t a(t)dtv(t)

0)dengan v(012t a(t)dt

xd

3

22

3

2

2

32

2

11

2

1

1

2

2

2

45

Tan x sec xSec x5

-Cosec xCot x4

Sec xTan x3

-Cot x cosec xCosec x6

-Sin xCos x2

Cos xSin x1

F’(x)F(x)No.

2

2

46

cx cosec-dx x ccot x.cose6.

cx secdxx tan x.sec5.

ccot x -dx x cosec4.

ctan x dx xsec.3

cx cos-dx sin x .2

csin x dx x cos1.

2

2

47

-acot(ax+b).cosec(ax+b)Cosec(ax+b)6

atan(ax+b).sec(ax+b)Sec(ax+b)5

-acosec (ax+b)Cot(ax+b)4

asec (ax+b)tan(ax+b)3

-asin(ax+b)Cos(ax+b)2

acos(ax+b)Sin(ax+b)1

F’(x)F(x)No

2

2

48

cb)cosec(ax1

dx b)xb).cosec(acot(ax 6.

cb)axsec(a

1 dx b)b).sec(axtan(ax 5.

cb)(axcot1

dx b)(axcosec 4.

cb)(axtana

1 dx b)(axsec 3.

cb)axcos(a

1-dx b)sin(ax 2.

cb)axsin(a

1 dx b)cos(ax 1.

2

2

a

a

49

βαCosβαCos2

1- βSin αSin 4.

βαCosβαSin2

1β Cos α Cos .3

βαSinβαSin2

1 Sinβ α Cos .2

βαSinβαSin2

1 β Cos αSin .1

50dx3x cos 6.

dxx sin .5

dx 4x) cos4x (sin 4.

dx x)sec (tan x 3.

dx x)cos-(sin x .2

dx)4(tan 1.

:berikut tak tentuintegral-integralTentukan

2

2

2

2

2

x

51

c 3x x tan

dx 3 dx sec

3)dxx(sec dx

menjadi diubah dx(tan 1.

2

2

2

x

x

x

3)1(tan

)4

2

52

c cos2x 2

1 x

ccos2x)2

1(- - x

dx2x sin -dx

dx sin2x)-(1

menjadidiubah dx x)cos-(sin x .2 2

53

c x - x sec 2 tan x 2

dx-dx x tan x.sec2 dx x sec 2

dx )1sec.tan2sec (2

: menjadiakan disederhandx x)sec (tan x 3.

2

2

2

xxx

54

ccos8x16

1-

c 8x) cos 8

1(-

2

1

dx 8x sin2

1

dx 2

1 dx 4x) cos 4x (sin

rangkap sudut 1 rumus ke diubah dx 4x) cos 4x (sin 4.

)8(sin x

55

csin2x4

1 - x

2

1

csin2x)2

1(

2

1-x

2

1

dx cos2x2

1 - dx

2

1

dx)2cos2

1

2

1( dx 2x) cos -(1

2

1

menjadidiubah dx sin .5 2

x

x

56

c 6x sin12

1x

2

1

c 6x) sin 6

1(

2

1 x

2

1

dx 6x) (cos2

1 dx

2

1 dx 6x) cos(1

2

1

menjadi diubah dx 3xcos 6. 2

57 :oleh ditentukan tentu integral maka

f(x) dari turunan antisuatu adalah F(x)dan

bxa interval padakontinu f(x) jika Jadi

alan).Pengintegrintegrasi( dari atas batasdan

bawah batasdisebut masing-masing bdan a 2.

integrandisebut f(x) Fungsi 1.

b. x sampai a x dari

f(x), fungsi tentu Integraldisebut dx f(x) Simbol

b

a

58

F(a) - F(b) F(x) dx f(x)b

a

b

a

TENTU INTEGRAL DASAR RUMUS

59

f(u)F(u)du

d maka dx, f(x)F(u) Bila .6

bcauntuk dx, f(x)dx f(x) dx f(x) 5.

dx g(x)dx f(x)g(x) f(x) 4.

real konstantaadalah cdengan ,f(x)dx c dx f(x) c .3

dx f(x)- dx f(x) .2

0 dx f(x) 1.

u

a

b

a

c

a

b

c

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

a

b

a

a

b

a

60

0

1-

2

4

1

2

1-

3

3

1

dx 2)-x(6x d. dx 3)(4x b.

dx)1(2x c. dx2x a.

inidibawah tentu integral setiap nilaiHitunglah

61

81-3 x dx2x a. 223

1

2

3

1

39

5-44

32- 1232

)1(32(1)- )4(32(4)

32x dx 3)(4x b.

22

4

1

2

4

1

x

62

21

21

21

4

214

21

2

1

4

21

2

1-

3

10

10

1- 28

1)1(2)2(

dx)1(2x c.

xx

63

2

1

22-- 0

)1(2)1(2(-1)- )0(2)0()0(2

22x dx 2)-x(6x d.

21

2

2132

213

0

1

2

213

0

1-

2

xx

64

2

2

0

dxSin x b.

dx x Cos a.

Hitunglah

65

1-

1 - 0

sin - πsin

sin x dx x Cos a.

2π

2

2

66

1

10

0 Cos-- Cos

xCos - dxSin x b.

2π

0

0

2π

2

67

36dx 16x)(x b.

4 dx x

1 a.

: iniberikut

persamaan setiap memenuhi yang p nilaiTentukan

p

2

3

p

0

68

4 2 p

2 p

4 p2

402p2

4x2

4 dx 4 dx x

1 a.

2

p

0

p

0

2

1p

0

x

69

4 p

0)16p)(16(p

0 256 p32p

064p8p

36)324(p8p

362.8.2p8p

36 - 8

36dx 16x)x( b.

22

4

24

41

24

41

24

4124

41

p

2

24

41

p

2

3

xx

70

dx f(x) a dx f(x) a .3

g(x)dx -f(x)dx dx g(x)f(x) .2

g(x)dx f(x)dx dx g(x)f(x) 1.

71

xc

c

c

logln xdengan ,xln a dxx

a 6.

1- n dengan ,x1n

a dxax 5.

1- n dengan ,x1n

1 dxx .4

caxdx a .3

constantaadalah a dx, f(x) a af(x)dx .2

cxdx 1.

e

1nn

1nn

72

Tan x sec xSec x5

-Cosec xCot x4

Sec xTan x3

-Cot x cosec xCosec x6

-Sin xCos x2

Cos xSin x1

F’(x)F(x)No.

2

2

73

cx cosec-dx x ccot x.cose6.

cx secdxx tan x.sec5.

ccot x -dx x cosec4.

ctan x dx xsec.3

cx cos-dx sin x .2

csin x dx x cos1.

2

2

74

-acot(ax+b).cosec(ax+b)Cosec(ax+b)6

atan(ax+b).sec(ax+b)Sec(ax+b)5

-acosec (ax+b)Cot(ax+b)4

asec (ax+b)tan(ax+b)3

-asin(ax+b)Cos(ax+b)2

acos(ax+b)Sin(ax+b)1

F’(x)F(x)No

2

2

75

cb)cosec(ax1

dx b)xb).cosec(acot(ax 6.

cb)axsec(a

1 dx b)b).sec(axtan(ax 5.

cb)(axcot1

dx b)(axcosec 4.

cb)(axtana

1 dx b)(axsec 3.

cb)axcos(a

1-dx b)sin(ax 2.

cb)axsin(a

1 dx b)cos(ax 1.

2

2

a

a

76

βαCosβαCos2

1- βSin αSin 4.

βαCosβαSin2

1β Cos α Cos .3

βαSinβαSin2

1 Sinβ α Cos .2

βαSinβαSin2

1 β Cos αSin .1

77

Parsial Integral c.

tertentuIntegral b.

tak tentuIntegral a.

78

riTrigonomet dan Aljabarsubstitusi

dengan Integralbentuk soal contoh-Contoh

dx 12xx 3.

dx )9(x 2.

dx )5t(t 1.

Aljabar substitusi soalbentuk Contoh .A

2

1

32

32

3

x

79

riTrigonomet substitusi soalbentuk Contoh B.

dx 2xSin -42x Cos 3.

dxSin x x Cos .2

dx )x(3Sin x 1.

10

2

80

du9u

menjadi dx )32()539(x Maka

dx 3)(2x du

32xdx

du

53x xu Misalkan : Jawab

dx )32()539(x :Carilah

8

82

2

82

xx

xx

81

c) 5 3x (x

c u c9

9u

92

99

82

du2

1 .u Menjadidx 1)(2x

du 2

1 dx

2dx

du 12x u Misalkan

: Jawab

dx1)(2xlah Selesaikan

77

7

83

c)12(16

1

cu16

1

cu).8

1.(

2

1 du u

2

1

8

8

87

x

84

dx 73x :h Tentukanla

85

du.u3

1

3

du.u

3

du.u dx 73x maka

3

du dx

3 dx

du 73x u :Misalkan

21

21

86

c73)73(9

2

cu.3

2.

3

1

cu

3

1

23

23

23

xx

87

dx5)-x(4xCarilah 3

)du5u(u16

1

4

du.5).u(u

4

1 dx 5)x(4x

4

du dx

4

1

du

dx maka

5)(u4

1 x 5-4x u Misalkan

: Jawab

34

33

88

c)54(64

55)-(4x

80

1

cu64

5u

80

1

45

45

x

89

1x

dxx :Carilah

2

c1x

cu1

2.

2

1

duu2

1

2x

du.

u

2x

du dx atau dx 2x du maka

1 xu Misalkan

: Jawab

2

2

1

2

1

2

x

90cθ) 2Cos-4(

8

1

cu 8

1 cu

4

1.

2

1

duu2

1

θsin2

duθ.sinu

dθ θsin )θ 2Cos-(4

θsin2

du dθ

θsin2dθ

du maka

θ 2Cos-4 u Misalkan : Jawab

dθ θsin )θ 2Cos-(4 :Carilah

4

44

33

3

3

91

3

1-

4

2

1

3

1-

33

2

1

3

u4

1

4

1

4

duu dx 5)-(4x

-15-4.1u 1 x Bila

35-4.2 u 2 xBila

4

dudxdan dx 4 du maka 5,-4x u Misalkan

: Jawab

dx5)-(4x :Hitunglah

92

516

80 )181(

16

1

)1(316

1

u16

1

44

3

1

4

93 9

4

9

8.

2

1

1

1

9

1

2

1

)32(

1

2

1

)32(12

1.

2

1

2

3)d(2x3)(2x

3)(2x

dx

:Jawab

3)(2x

dx :Hitunglah

3

1

3

1

12

3

1-

2-

3

1-

2

3

1-

2

x

x

94

dxx x.CosSin mn

1 x Cos x Sin 22

95

menjadidirubah seterusnyadan

xCos x,Cos ,Cos x,Sinx,Sinx,Sin

seperti genapPangkat Cosinusdan Sinus

642642x

2x) Cos1(2

1Cos 2.

dan 2x) Cos1(2

1 x Sin 1.

2

2

x

96

menjadidirubah seterusnyadan

xCos x,Cos ,Cos x,Sinx,Sinx,Sin

seperti ganjilPangkat Cosinusdan Sinus

753753x

xx).CosSin(1 xx.CosCosxCos 2.

Sin x x)Cos1( Sin x .x Sin x Sin 1.

223

223

97

dxCosx Sin :h Tentukanla 32

cSin5

1 -x Sin

3

1

dx d(sin x) Sin-d(sin x) Sin

dx x Cos Sin -dx x Cos Sin

dx x Cos x)Sinx(Sin

dx x Cos)Sin1(xSin

dx Cosx).Cos(Sin dx Cos Sin

53

42

42

42

22

2232

x

xx

xx

x

xxxx

98

c5xCos15

15x Cos

5

1-

dx 5x.Sin5xCos -dx 5x Sin

dx5x Sin ).5xCos-(1

dx 5x.Sin xSin dx 5xSin

:lah Selesaikan

3

2

2

23

99

dx Cos :h Tentukanla 4x

Cos4x)}dx2

1

2

12Cos2x{(1

4

1

Cos4x)}dx1(2

12Cos2x{(1

4

1

2x)dxCos2Cos2x(14

1

dxCos2x)1(2

1

dx)(Cos dx Cos

2

2

224

xx

100

cSin4x32

1Sin2x

4

1x

8

3

d(4x) Cos4x8

1.

4

1d(2x) Cos2x

4

1dx

8

3

dx4x Cos2

1

4

1dx2x 2Cos

4

1dx

2

3

4

1

Cos4x)dx2

12Cos2x

2

3(

4

1

101

102

dx cosec .5

dx 2 cot 4.

dxx tan 3.

dx cosec.cot .2

dx sec.tan 1.

:h Tentukanla

4

4

3

43

23

x

x

xx

xx

103

RITRIGONOMET FUNGSI INVERS

0 adengan c,a

u tanarc

a

1du

ua

1 .3

1a

u1-dan 0adengan c,

a

ucos arc- du

ua

1 .2

1a

u1-dan 0adengan c,

a

usin arc du

u-a

1 .1

22

22

22

104

Substitusi TrigonometriFungsi Integral

Dengan a > 0

ua 22 θsin a u

ua 22 θ tan a u

au 22 θ sec a u

105

c3

x tanarc

3

1 dx

x9

dx dx

9x

dx c.

7

xcos arc - dx

x-49

1 b.

c4

xsin arc dx

x-16

1 .a

: iniberikut tak tentuIntegralTentukan

22

2

2

c

106

θ)sin 1(4θsin 4

dθ 2cosθ

θsin 44θsin 4

dθ 2cosθ

4x

dx

dθ 2cosθdxdudan θsin 2 u kan substitusi

xu makaxu 2, a maka 4a ; 4x

dx

: iniberikut IntegralHitunglah

22

2222

222

22

x

x

107

c4x

x-4-

c θ cot4

1- dθ θcosec

4

1

θsin4

dθ

θ cos θ.2sin4

dθ θ cos 2

2

2

22

x 2

24 x

2

x θsin 2sinθx

x

x-4 θ cot

2

108

fungsi dua

kali hasil alkanMengintegruntuk Digunakan

du v - uv dvu

vdu dvu uv

vdu dvu d(uv)

kan)diintegral ruas Kedua ( vdu dvu d(uv)

Parsial IntegralDasar RumusPenurunan

109

dxln x x 4.

dx 1-4xx 3.

dxsin x x .2

dxsin x x 1.

iniberikut Parsial IntegralHitunglah

2

110

dxsin x x 1.

:sbb Tabulasi caradengan Selesaikan

Turunkan Integralkan

X

1

0

Sin x dx

-Cos x

- Sin x+

-

c sin x x cosx - dx Sin x x Jadi

111

dxsin x x .2 2

Sin x dx

-Cos x

- Sin x

Cos x

X

2x

2

0

IntegralkanTurunkan

2

c xcos 2 sin x 2x x cosx dx x sinx Jadi 22

+

-

+

112

dx 1-4xx 3.

Tabulasi CaraDengan

IntegralkanTurunkan

dx 1-4x

14)14(3

2.

4

1 xx

x

1

0 14)14(5

2.

4

1.

6

1 2 xx

c14x1)(4x60

114x1)x(4x

6

1 dx 1-4xx 2

+

-

113

cx4

1lnxx

2

1

dx x2

1lnxx

2

1

dxx

1.x

2

1lnxx

2

1 dxln x x

x2

1 dx x vdx x dv

dxx

1 du ln x u Misalkan

dxln x x 4.

22

2

22

2

TERIMA KASIH