Punca Persamaan

Pengenalan

Punca persamaan melibatkan penentuan nilai x yang memenuhi syarat :

f(x) = 0Nilai-nilai x ini dikenali sebagai punca persamaan.

Di akhir bahagian ini, anda sepatutnya

Faham bagaimana kaedah secara grafik boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah mencari punca persamaan Mampu menggunakan kaedah pembahagi dua, kaedah kedudukan palsu, kaedah titik tetap, kaedah Newton-Raphson, kaedah sekan, kaedah Müller dan kaedah Bairstow dalam mencari punca bagi suatu persamaan

PengenalanPertimbangkan persamaan berikut:

(1)Dengan menggunakan rumus punca kuadratik:

(2)Nilai-nilai x dinamakan punca persamaan kerana menyebabkan persamaan (1)menjadi sifar.

02 cbxaxxf

aacbbx

242

Secara grafik, punca adalah titik persilangan bagi fungsi f(x) pada paksi-x di atas satah-xy(Rajah 1).

nkrf k ,,2,10

r1

f x

x

y

r3r2 r4

Rajah 1 : Punca-punca bagi satu fungsi f(x)

Jenis-jenis fungsi

Fungsi linear : f(x) = ax + b, dengan a dan b merupakan pemalarFungsi polinomial atau fungsi aljabar :

Fungsi transeden, iaitu fungsi tidak aljabaryang boleh dikembangkan dalam bentuk siri tidak terhingga.

nnn xaxaaxf 10

Persamaan am fungsi transenden:

...!4

1!2

1cos)(

...!5

1!3

1sin)(

...!3

1!2

11)(

contoh

)(

42

53

32

0

xxxxxf

xxxxxf

xxxexf

xaxf

x

kk k

Kaedah Grafik

Pendekatan yang paling mudah untuk menganggar punca persamaan f(x) = 0, ialah dengan memplotkan fungsi tersebut dan memerhatikan kedudukan dengan graf itu bersilang pada paksi xTitik persamaan ini merupakan nilai xsebagai anggaran punca persamaan

Kaedah Grafik

Bagi menganggar punca persamaan ,plotkan fungsi f(x) dan dapatkan kedudukan di mana graf itu bersilang pada paksi-x.Contoh 1 Gunakan pendekatan grafik bagi menentukan pekali seret c yangdiperlukan oleh payung terjun dengan berat 68.1kg, kelajuan 40m/s selepas 10saat.Pecutan disebabkan graviti ialah 9.8m/s2.

PenyelesaianFungsi yang boleh digunakan adalah:

Dapatkan nilai f(c) dan plotkan seperti dibawah:

vc

gmcf t

mc

e1

40e11.688.9 1.6810 c

ccf

c f c

4 34.1158 17.653

12 6.06716 2.26920 8.401

f c

c

40

010

20

5 10 15 20

14.75

Rajah 2: Kaedah grafik untuk

mendapatkan punca

Kesahihan puncanya boleh disemak:

atau, dengan mengira halaju:

Walau bagaimanapun, kejituan nilai puncanya melalui kaedah grafik adalah terhad.

059.0

40e175.14

1.688.975.14 1.6875.1410f

059.40

e175.14

)1.68(8.9 1.6875.1410v

Kaedah Tertutup

Bab 5

Kaedah Pembahagi DuaKatakan persamaan am adalah f(x) = 0Jika fungsi adalah selanjar dalam selang x1kepada x2 dan dan berlainan tanda, iaitu

ini bermakna terdapat sekurang-kurangnya satu punca di antara x1 dan x2 (lihatRajah 2).

021 xfxf

x5

f x

xx1

x2x3

x4 r

Rajah 3: Kaedah pembahagi dua untuk mendapatkan punca

Dengan kaedah ini, bahagikan selang kepada dua sub-selang, iaitu

Jika , punca wujud.Jika tidak, lihat selang dan selang

Jika punca dalam selangJika punca dalam selang

Bagi kes dalam Rajah 2, punca berada dalam selang pertama. Oleh itu

221

3xx

x

03xf31 ,xx 23 ,xx

031 xfxf 31 ,xx023 xfxf 23 ,xx

2431 xx

x

Seterusnya,

dan,

Proses ini diteruskan sehingga memperolehi kejituan yang memuaskan.Kriteria untuk memberhentikan proses dinamakan kriteria penamat ataupenumpuan.

243

5xx

x

254

6xx

x

Algoritma Kaedah Pembahagi Dua1.Pilih selang x1 dan x2. Semak sama ada

2.Tentukan nilai ralat .3.Dapatkan punca melalui hubungan4.Jika , ganti

Jika tidak, ambil .5.Uji nilai . Jika kriteria penumpuan tidak dipenuhi, ulang langkah 3.6. Jika kriteria penumpuan dipenuhi, x3 adalahpuncanya.

021 xfxf

2121

3 xxx031 xfxf 32 xx

31 xx

Dengan anggaran ralat:

%100newr

oldr

newr

a xxx

Contoh 2Ulang contoh 1 dengan menggunakan kaedah pembahagi dua sehingga kriteria penamatnya mencapai 0.5%.Penyelesaian:Dari Rajah 2, didapati punca berada dalam selang 12,16 . Oleh itu

26876.21606694.612

ff

Lelaran x1 x2 x3 f x3 a % t %

1 12 16 14 1.56870 - 5.279

2 14 16 15 0.42484 6.667 1.487

3 14 15 14.5 0.55232 3.448 1.896

4 14.5 15 14.75 0.05895 1.695 0.204

5 14.75 15 14.875 0.18413 0.840 0.641

6 14.275 14.875 14.8125 0.06288 0.422 0.219

Selepas lelaran ke-6 pengiraan boleh dihentikan kerana punca menumpu. Penyelesaian sebenar bagi kes iniadalah .78021.14r

Kaedah Kedudukan Palsu

Kaedah kedudukan palsu (dikenali juga sebagai kaedah interpolasi linear)digunakan untuk memperbaiki ciri penumpuan pada kaedah pembahagi dua.Melalui kaedah ini (lihat Rajah 4), titik Pdihubungkan R untuk S, iaitu penghampiran kepada punca x3.

x

P

QR

S

f x

rx1 x2

x3 T

Rajah 3.4 Kaedah kedudukan palsu untuk mendapatkan punca

Pertimbangkan dua segitiga sebentuk PRQdan PST.

Oleh itu,

Selepas mendapatkan x3, didapati x3 akanmengambil alih x1, dan nilai x2 ditetapkan.

12

12

2

32

xfxfxx

xfxx

PQRQ

PTST

)()( 12

21223 xfxf

xfxxxx

Dengan rumus yang sama, penghampiran untuk x3 yang baru dikira sehingga kriteria penamat dipenuhi.Secara amnya, rumus bagi kaedah ini adalah

dengan

)()( tetap

tetaptetaptetap1

k

kk xfxf

xfxxxx

,5,4,3k

(4)

Contoh 3

Ulang contoh 2 dengan menggunakan kaedah kedudukan palsu.Penyelesaian :Dari contoh 2:

Untuk k=2,3,4… :26876.216

06694.612ff

k

kk xf

xx06694.6

1206694.6121

Lelaran xtetap xk xk+1 f xk+1 a % t %

1 12 16 14.9113 0.25428 0.879 0.887

2 12 14.9113 14.7942 0.02726 0.792 0.0946

3 12 14.7942 14.7817 0.00291 0.0845 0.0101

4 12 14.7817 14.7804 0.000310 0.00902 0.00103

5 12 14.7804 14.7802 0.000033 0.000961 5103.7

Didapati ia menumpu dengan hanya 3 lelaran.

Contoh 4Dapatkan punca bagidi antara 2 dan 3.Penyelesaian : Pada hujung selang 2,3 ,nilai f x adalah:

Untuk k = 2,3,4…:

2.1log 10 xxxf

23136.0359794.02

ff

60206.0log259794.02

10 kk

k

xxx

59794.0259794.021

k

kk xf

xx

Lelaran xtetap xk xk+1 f xk+1 a % t %

1 2 3 2.72101 0.01709 0.721 0.7162 2 2.72101 2.74223 0.001381 0.774 0.05783 2 2.74223 2.74052 0.00011 0.0624 0.00464

4 2 2.74052 2.74066 6109.8 0.00501 0.000376

5 2 2.74066 2.74065 7101.7 0.000402 5106.2