Kaedah Terbuka

Bab 6

Di akhir bab ini, anda sepatutnya:

Mampu membezakan antara kaedah kurungan dan kaedah terbukaFaham konsep penumpuan dan pencapahanMampu menggunakan Iterasi Titik Tetap,Kaedah Newton Raphson, Kaedah Sekan danKaedah Sekan Terubah untuk mencari punca persamaan.Faham kelebihan dan kelemahan kaedah Newton Raphson

Mengapa perlu pada kaedah terbuka?

kaedahbisection

(b) dan (c) kaedahterbuka

Iterasi Titik Tetap

Manipulasi fungsi f(x) = 0 menjadix = g(x)

Boleh dilakukan sama ada kaedah manipulasi algebra atau menambahkan nilai x pada kedua-dua belah persamaan asal.Contoh 1 : x2 –2x + 3 = 0

232xx

Iterasi Titik TetapContoh 2 : sin x = 0

x = sin x + xPersamaan (6.1) boleh digunakan untuk meramal nilai baru xi menggantikan nilai asal x menjadi

xi+1 = g(xi) (6.2)Dengan anggaran ralat

%1001

1

i

iia x

xx

Contoh

Menggunakan kaedah lelaran titik tetap, dapatkan punca bagi :

xexf x)(

Penyelesaian contoh

Fungsi ini boleh dimanipulasikan menjadi persamaan 6.2 seperti :

Penyelesaian secara berangka akan menjadi seperti:

ixi ex 1

Sebenarnya,

Pencapahan dan Penumpuan

Kaedah Newton-Raphson

Rajah 6.5

Formula Newton-Raphson

Daripada rajah, didapati kebezaan peringkat pertama pada x adalah bersamaan dengan kecerunan :

Yang mana boleh disusun semula menjadi:1

0)()('ii

ii xx

xfxf

)(')(

1i

iii xf

xfxxdikenali sebagi

formula Newton Raphson

(6.5)

(6.6)

Contoh 6.3

Menggunakan kaedah Newton-Raphson, dapatkan punca bagi :

Dengan nilai awalan x0 =0

xexf x)(

Penyelesaian contoh 4

Persamaan kebezaan fungsi adalah :

Menggunakan persamaan 6.6,

1)(' xexf

11 xii

x

ii exexx

i

Keputusani xi e-xi e-xi - xi (-e-xi-1) xi+1 Error %0 0 1 1 -2 0.5 100.00%1 0.5 0.606531 0.106531 -1.60653 0.566311 11.71%2 0.566311 0.567616 0.001305 -1.56762 0.567143 0.15%3 0.567143 0.567143 1.96E-07 -1.56714 0.567143 0.00%4 0.567143 0.567143 4.44E-15 -1.56714 0.567143 0.00%

Dengan ralat, %1001

1

i

iia x

xx

Kelemahan (1)

Kelemahan (2)

Kaedah Sekan

Daripada rajah 6.7,

Anggaran ini boleh dimasukkan ke persamaan 6.6 menjadi:

ii

iii xx

xfxfxf1

1 )()()('

)()())((

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx(6.7)

Persamaan ini dikenalisebagai kaedah sekan

Contoh 5

Menggunakan kaedah Sekan, dapatkan punca bagi :

Dengan nilai awalan x-1 = 0 dan x0 = 1.0

xexf x)(

Keputusan

i xi xi-1 f(xi) f(xi-1) f(xi-1)-f(xi)f(xi)(xi-1 -xi) xi+10 1 0 -0.63212 1 1.632121 0.6321206 0.6126998371 0.6127 1 -0.07081 -0.63212 -0.56131 -0.0274263 0.5638383892 0.5638 0.6127 0.005182 -0.07081 -0.076 0.0002532 0.5671703583 0.5672 0.563838 -4.2E-05 0.005182 0.005225 1.413E-07 0.5671433074 0.5671 0.56717 -2.5E-08 -4.2E-05 -4.2E-05 -6.866E-13 0.567143295 0.5671 0.567143 1.24E-13 -2.5E-08 -2.5E-08 2.012E-21 0.56714329

Kaedah Sekan TerubahKaedah alternatif yang menggunakan satu nilai sahaja di mana perubahan f(x),

di mana merupakan perubahan kecil f(x)Persamaan ini boleh dimasukkan ke dalam persamaan 6.6 menjadi:

i

iiii x

xfxxfxf )()()('

)()()(

1iii

iiii xfxxf

xfxxx(6.8)

Contoh

Menggunakan kaedah Sekan Terubah,dapatkan punca bagi :

Dengan nilai = 0.01 dan x0 = 1.0

xexf x)(

Penyelesaiani xi delta f(xi) dxif(xi) (xi+dxi) f(xi+dxi) f(xi+dxi)-f(xi) xi+10 1 0.01 -0.63212 -0.00632 1.01 -0.645781 -0.01366046 0.5372626661 0.537263 0.01 0.047083 0.000253 0.542635 0.038579 -0.00850368 0.5670096852 0.56701 0.01 0.000209 1.19E-06 0.57268 -0.008668 -0.00887718 0.5671434243 0.567143 0.01 -2.1E-07 -1.2E-09 0.572815 -0.008879 -0.00887885 0.567143294 0.567143 0.01 2.15E-10 1.22E-12 0.572815 -0.008879 -0.00887884 0.567143295 0.567143 0.01 -2.2E-13 -1.2E-15 0.572815 -0.008879 -0.00887884 0.56714329