cnh2g4/ komputasi numerik · pendekatan selisih-pusat f 1 f-1 y = f(x) x-1 x 1 2h h f f h f x h f x...
TRANSCRIPT
TURUNAN NUMERIK
CNH2G4/ KOMPUTASI NUMERIK
TIM DOSEN
KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT
10
PenghitunganTurunan Numerik
Permasalahan : mencari hampiran nilai turunan fungsi f di suatu titik.
2 11/13/2017
PendekatanTurunan Numerik
h
ff
h
xfhxfxf 0100
0
)()()('
f1
f0
y = f(x)
x0x1
h
Pendekatan selisih maju
3 11/13/2017
Pendekatan selisih mundur
h
ff
h
hxfxfxf 1000
0
)()()('
f0
f-1
y = f(x)
x-1x0
h
PendekatanTurunan Numerik
4 11/13/2017
Pendekatan selisih-pusat
f1
f-1
y = f(x)
x-1x1
2h
h
ff
h
hxfhxfxf
22
)()()(' 1100
0
PendekatanTurunan Numerik
5 11/13/2017
Rumus Turunandengan Deret Taylor
Diberikan titik-titik (xi,fi), i=0,1,2,…,n yang dalamhal ini xi = x0+ih dan fi = f(xi).
Kita ingin menghitung f’(x), yang dalam hal ini x = x0+ih
6 11/13/2017
Pendekatan TurunanPertama Selisih - Maju
)('
''2
'
...''2
'
...''2
'
...)(''!2
)()('
!1
)()()(
1
1
2
1
2
1
2
111
hOh
fff
fh
h
fff
fh
ffhfi
fh
hfff
xfxx
xfxx
xfxf
iii
iii
i
iii
iiii
iii
iii
ii
Uraikan f(xi+1) disekitar xi:
Untuk nilai-nilai f di x0 dan x1 persamaannya :
)(' 010 hO
h
fff
yang dalam hal ini, O(h) = -h/2 f’’(t), xi<t<xi+1
dalam hal ini, O(h) = h/2 f’’(t), xi<t<xi+1
7 11/13/2017
Uraikan f(xi-1) disekitar xi :
)('
''2
'
...''2
'
...''2
'
...)(''!2
)()('
!1
)()()(
1
1
2
1
2
1
2
111
hOh
fff
fh
h
fff
fh
ffhfi
fh
hfff
xfxx
xfxx
xfxf
iii
iii
i
iii
iiii
iii
iii
ii
Untuk nilai-nilai f di x0 dan x1 persamaan rumusnya :
yang dalam hal ini, O(h) = h/2 f’’(t), xi+1<t<xi
dalam hal ini, O(h) = h/2 f’’(t), xi+1<t<xi)(' 10
0 hOh
fff
Pendekatan TurunanPertama Selisih - Mundur
8 11/13/2017
)(2
'
...'''62
'
...'''3
'2
...'''3
'2
211
2
11
3
11
3
11
hOh
fff
fh
h
fff
fh
ffhfi
fh
hfff
iii
iii
i
iii
iiii
Kurangkan dua persamaan :
Untuk nilai-nilai f di x0 dan x1 persamaan rumusnya :
yang dalam hal ini, O(h) = -h2/6 f’’’(t), xi-1<t<xi+1
dalam hal ini, O(h2) = -h/6 f’’’(t), xi-1<t<xi+1)(2
' 2110 hO
h
fff
Pendekatan TurunanPertama Selisih - Pusat
9 11/13/2017
Tambahkan persamaan (P.8.4) dengan persamaan (P.8.6) di atas :
)4(2
2
11
)4(42
11
)4(42
11
12
2''
12''2
...12
''2
iiii
i
iiiii
iiiii
fhh
ffff
fhfhfff
fhfhfff
)(2
'' 2
2
11 hOh
ffff iiii
dalam hal ini, O(h2) = -h2/12 f(4)(t), xi-
1<t<xi+1
Untuk nilai-nilai f di x-1 , x0 dan x1 persamaan rumusnya :
)(2
'' 2
2
1010 hO
h
ffff
dalam hal ini, O(h2) = -h2/12 f(4)(t), xi-
1<t<xi+1
Pendekatan TurunanKedua Selisih - Pusat
10 11/13/2017
)(2
''2
12 hOh
ffff iiii
Dengan cara yang sama seperti di atas, diperoleh :
dalam hal ini, O(h) = h f’’(t), xi-2<t<xi
Untuk nilai-nilai f di x-2, x0 dan x1 persamaan rumusnya :
dalam hal ini, O(h) = hf’’(t), xi-2<t<xi)(2
''2
0120 hO
h
ffff i
Pendekatan TurunanKedua Selisih - Mundur
11 11/13/2017
)(2
''2
12 hOh
ffff iiii
Dengan cara yang sama seperti di atas, diperoleh :
dalam hal ini, O(h) = -h f’’(t), xi<t<xi+2
Untuk nilai-nilai f di x-2, x0 dan x1 persamaan rumusnya :
dalam hal ini, O(h) = -hf’’(t), xi<t<xi+2)(
2''
2
0120 hO
h
ffff
Pendekatan TurunanKedua Selisih - Maju
12 11/13/2017
RingkasanTurunan Numerik
Turunan Pertama
' 1 00
' 0 10
' 21 10
' 20 1 20
' 42 1 1 20
_ ( )
_ ( )
_ ( )2
3 4_ ( )
2
8 8_ ( )
12
f fselisih maju f O h
h
f fselisih mundur f O h
h
f fselisih pusat f O h
h
f f fselisih maju f O h
h
f f f fselisih pusat f O h
h
13 11/13/2017
Turunan Kedua
)(12
163016_
)(254
_
)(2
_
)(2
_
)(2
_
4
2
21012''
0
2
2
0123''
0
2
012''
0
2
012''
0
2
2
101''
0
hOh
ffffffpusatselisih
hOh
fffffmajuselisih
hOh
ffffmajuselisih
hOh
ffffmundurselisih
hOh
ffffpusatselisih
RingkasanTurunan Numerik
14 11/13/2017
Turunan Ketiga
)(2
22_
)(33
_
2
3
2112'''
0
3
0123'''
0
hOh
fffffpusatselisih
hOh
fffffmajuselisih
Turunan Keempat
)(464
_
)(464
_
2
4
21012)4(
0
4
01234)4(
0
hOh
ffffffpusatselisih
hOh
ffffffmajuselisih
RingkasanTurunan Numerik
15 11/13/2017
Contoh Soal
Diberikan data dalambentuk tabel sebagaiberikut :
a. Hitung f’(1.7) denganpendekatan selisih pusatO(h2) dan O(h4)
b. Hitung f’(1.4) denganpendekatan selisih-pusatorde O(h2)?
c. Rumus apa yang digunakanuntuk menghitung f’(1.3) dan f’(2.5)?
x f(x)
1.3 3.669
1.5 4.482
1.7 5.474
1.9 6.686
2.1 8.166
2.3 9.974
2.5 12.182
16 11/13/2017
Latihan
Diberikan data dalambentuk tabel sebagaiberikut :
a. Hitung f’(1.2) dan f’’(1.2) untuk h=0.1 danh=0.001dengan pendekatan selisih pusatO(h2).
b. Hitung f’(1.000) danf’(1.400)? Gunakan h = 0.1
c. Tabel disamping kananadalah tabel f(x) = cos(x). Bandingkan jawaban yang anda peroleh dengan nilaieksaknya.
17 11/13/2017
THANK YOU