SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

Matematika Teknik I

BEBERAPA APLIKASI PERSAMAAN LINEAR ALJABAR

Matriks digunakan dalam : karakterisasi koneksi dalam jaringan listrik, jaringan jalan penghubung kota-kota, proses produksi dan lain-lain.

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

.......................................

...

...

2211

22222121

11212111

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

Eliminasi GaussTujuan:

•Memahami dan mahir melakukan Eliminasi Gauss.

•Memahami jenis solusi sistem persamaan linier dan dapat

mendapatkannya.

Sistem persamaan linier dari m persamaan dan n takdiketahui:

atau atau A x = b

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

2

1

21

22221

11211

3453

246

21

21

xx

xx

26925

082

1237

zyx

zyx

zy

523

22

834

yx

zx

zy

Matriks lengkap untuk keperluan eliminasi Gauss:

Contoh: Selesaikan SPL berikut ini

1. 3. 2.

Matriks: Determinan, Aturan Cramer

dan Invers MatriksTujuan:

• Mahir menghitung determinan matriks orde n.

• Memahami aturan Cramer untuk mencari solusi SPL.

• Mengenal perhitungan invers matriks dengan determinan.

21122211

2221

1211det aaaa

aa

aaAD

2222121

1212111

bxaxa

bxaxa

211211

221

111

2212221

222

121

1 , abbaD

ba

ba

xbaabD

ab

ab

x

Determinan dan Aturan Cramer

Hanya dapat dihitung dari matriks bujursangkar (ukuran nxn ).

Determinan orde 2: dari matriks 2x2.

Aturan Cramer: mencari solusi dari SPL :

11 12 13

21 22 23

31 32 33

22 23 12 31 12 131 1 2 1 3 1

11 21 31

32 33 32 33 22 23

1 1 2 1 3 1

11 11 21 21 31 31

det

( 1) ( 1) ( 1)

( 1) ( 1) ( 1)

a a a

D A a a a

a a a

a a a a a aa a a

a a a a a a

a C a C a C

ijCija

Determinan orde 3:

dimana adalah cofactor dari .

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

1 12 13 11 1 13 11 11 1

2 22 23 21 2 23 21 22 2

3 32 33 31 3 33 31 32 3

1 2 3,

b a a a b a a a b

b a a a b a a a b

b a a a b a a a bx x x

Det Det Det

Aturan Cramer: mencari solusi dari SPL :

11 21 1

12 22 21

1 2

1 1( )

det det

n

n

n n nn

C C C

C C CA adj A

A A

C C C

jkC jka

Invers matriks menggunakan determinan:

Misal A matriks n x n.

dimana adalah cofactor dari di det A.

Perhatikan: matriks adjoin terdiri dari cofactor dengan susunan

transposenya

( 1) j k

jk jkC M

Beberapa kegunaan OBE:Mencari solusi SPL

* * *

* * *

* * *

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

a b c a b c

d e f d e f

g h i g h i

Mencari invers matriks

* * *

* *

*

0

0 0

a b c a b c

d e f e f

g h i i

Operasi baris elementer (OBE) dapat mengubah nilai determinan

suatu matriks. Misal A adalah matriks n x n dan A* adalah

matriks hasil.

1. Pertukaran baris:

i jB B* *,i j j iB B B B

*

i jB cB

atau

maka det(A*) = -det(A).

2. Perkalian dengan skalar: , maka det(A*) = c.det(A).

*

i i jB B cB 3. Penjumlahan dengan kelipatan baris lain:

maka det(A*) = det(A) (sama).

Mencari determinan matriks

Contoh: Cari determinan dan matriks inversnya.

3 1 5

2 0 1

4 2 9

a. Menggunakan OBE

b. Menggunakan Aturan Cramer