peubah acak diskrit dan kontinu

[PENGANTAR TEORI PELUANG] KELOMPOK 7

Peubah Acak Diskrit dan Kontinu 1

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Dalam makalah ini akan dibahas macam-macam peubah acak, distribusi peluang

danfungsi densitas, dan fungsi distribusi. Seperti yang kita ketahui bahwa materi

ini merupakan pengantar untuk kita dapat memahami materi selanjutnya

mengenai fungsi peluang untuk peubah acak diskrit dan fungsi densitas untuk

peubah acak kontinu dimana perananya sangat banyak yakni penghitungan

beberapa macam ekspetasi matematis, pembahasan beberapa distribusi khusus

yang dikenal, dan penentuan distribusi dari fungsi peubah acak. Sehingga dalam

hal ini fungsi peluang maupun fungsi densitas mempunyai bentuk yang berbeda-

beda.

B. RUMUSAN MASALAH

1. Apa yang dimaksud dengan peubah acak ?

2. Apa saja macam-macam peubah acak ?

3. Apa yang dimaksud dengan distribusi peluang?

4. Apa yang dimaksud dengan Fungsi distribusi ?

C. TUJUAN PENULISAN

1. Mampu membedakan peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu.

2. Mampu Menentukan distribusi peluang dari sebuah peubah acak diskrit dan

modifikasinya.

3. Mampu menghitung peluang dari sebuah peubah acak diskrit yang berharga

tertentu.

4. Mampu menentukan konstanta dari fungsi densitas untuk peubah acak

kontinu berdasarkan sifatnya.

5. Mampu menghitung peluang dari peubah acak kontinu berharga tertentu.

6. Mampu menggambar grafik berdasarkan fungsi peluang dan densitas.

7. Mampu menentukan fungsi distribusi dari sebuah peubah acak, baik diskrit

maupun kontinu.

8. Mampu Menggambar grafik dari fungsi distribusi untuk satu peubah acak.

9. Mampu menghitung peluang serta menentukan distribusi peluang dari sebuah

peubah acak yang berharga tertentu berdasarkan fungsi distribusinya.



PEMBAHASAN

A. PEUBAH ACAK

Berikut ini akan dijelaskan definisi secara umum dari peubah acak (random

variable).

Berdasarkan definisi diatas, ada dua buah himpunan yang melibatkan peubah

acak, yaitu ruang sampel S yang berisi anggotanya (titik sampel) s dan Rx berupa

nilai-nilai yang mungkin dari X yang berkaitan dengan anggota S-nya.

Pendefinisian peubah acak bisa dijelaskan dalam gambar berikut.

Teladan 1:

Misalnya sandy melakukan pelemparan dua buah mata uang logam Rp.100 yang

seimbang secara sekaligus. Jika X menunjukkan banyak huruf “BANK

INDONESIA” yang terjadi, maka apakah X merupakan peubah acak ?

Penyelesaian:

Ruang sampelnya S = {HH,HG,GH,GG}

Dengan G = Gambar “KARAPAN SAPI” dan H = Huruf “BANK INDONESIA”

Untuk s1 = HH, maka X(s1) = X(HH) = 2

Untuk s2 = HG, maka X(s2) = X(HG) = 1

Untuk s3 = GH, maka X(s3) = X(GH) = 1

Untuk s4 = GG, maka X(s4) = X(GG) = 0

Sehingga, nilai-nilai yang mungkin dari X, Rx = 0,1 atau 2.

Definisi A.1 : PEUBAH ACAK

Misalnya E adalah sebuah eksperimen dengan ruang sampelnya S.

Sebuah fungsi X yang menetapkan setiap anggota s ∈ S dengan sebuah bilangan

real X(s) dinamakan peubah acak.

s

X(s)

X

S = Ruang Sampel Rx = Nilai-nilai yang mungkin dari X sesuai s-nya

X = Peubah Acak



Karena X memenuhi syarat-syarat sebuah fungsi, maka X adalah peubah acak.

Apabila kita bisa memperoleh sebuah peristiwa berkenaan dengan ruang sampel

S dan sebuah peristiwa berkenaan dengan peubah acak X (yaitu himpunan

bagian dari ruang hasil Rx) maka dua peristiwa itu akan ekuivalen.

Dua Peristiwa yang ekuivalen bisa digambarkan sebagai berikut.

Teladan 2:

Ketika kita mengundi dua mata uang logam Rp.100 yang seimbang secara

sekaligus, maka ruang sampelnya: S = { HH, HG, GH, GG }.

Jika X menunjukkan banyak G yang terjadi, maka nilai-nilai yang mungkin dari X

adalah Rx = { 0,1,2 }.

Dua peristiwa A dan B yang ekuivalen ada tiga buah yaitu :

1. Ruang peristiwa dari B : B = {0}

Karena X(HH) = 0 jika dan hanya jika X(s) = 0, maka s = (HH) dan ia

merupakan ruang peristiwa dari peristiwa lainnya, yaitu A. Jadi A = {HH}.

Akibatnya, A dan B merupakan dua buah peristiwa yang ekivalen.


Karena X(HG) = X(GH) = 1 jika dan hanya jika X(s) = 1, maka s = (HG) atau s

= (GH) dan ia merupakan ruang peristiwa dari peristiwa lainnya, yaitu A. Jadi

A = {HG,GH}.

Definisi A.2 : DUA PERISTIWA YANG EKIVALEN

Misalnya E adalah sebuah eksperimen dengan ruang sampelnya S.

X adalah peubah acak yang didefinisikan pada S dengan Rx adalah ruang

hasilnya, dan B adalah peristiwa yang berkenaan dengan Rx artinya B ⊂ Rx.

Jika Peristiwa A didefinisikan sebagai : A = {s ∈ S | X(s) ∈ B}, artinya A berisi

semua hasil dalam S dengan X(s) ∈ B, maka A dan B dikatakan dua peristiwa

yang ekuivalen.

B

S = Ruang Sampel Rx = Nilai-nilai yang mungkin dari X sesuai s-nya

s

X(s)

)

A





Karena X(GG) = 2 jika dan hanya jika X(s) = 2, maka s = (GG) dan ia

merupakan ruang peristiwa dari peristiwa lainnya, yaitu A. Jadi A = {GG}.


Kita sudah mengetahui bahwa peristiwa A yang berkaitan dengan ruang

sampel S ekivalen dengan peristiwa B yang berkaitan dengan nilai-nilai yang

mungkin dari peubah acak X.

Akibatnya, peluang dari kedua peristiwa itu akan sama, yaitu P(A) = P(B). Hal

ini bisa dilihat dari definisi dibawah ini.

Pemahaman penghitungan peluang dari kedua peristiwa yang ekivalen

dijelaskan melalui teladan di bawah ini.

Teladan 3:

Dalam pengundian dua mata uang logam Rp.100 yang seimbang, maka P(HG) =

P(GH) = P(GG) = P(HH) = ¼, Hitunglah P(X=0), P(X=1), dan P(X=2).

Penyelesaian:

a. Karena X=0 ekivalen dengan peristiwa yang ruang peristiwanya {HH} dan

P(HH) = ¼ , maka P(X=0) = P(HH) = ¼

b. Karena X=1 ekivalen dengan peristiwa yang ruang peristiwanya {GH} atau

{HG} dan P(GH atau HG) = P(HG) + P(GH) = ¼ + ¼ = ½ , maka P(X=1) =

P(HG atau GH) = ½.

c. Karena X=2 ekivalen dengan peristiwa yang ruang peristiwanya {GG} dan

P(GG) = 1/4, maka P(X=2) = P(GG) = ¼

Terdapat dua macam peubah acak, yaitu peubah acak diskrit dan peubah acak

kontinu. Pengertian kedua macam peubah acak tersebut bisa dilihat dalam

definisi dibawah ini :

Definisi A.3 : PELUANG DUA PERISTIWA YANG EKIVALEN

Jika B adalah sebuah peristiwa dalam ruang hasil Rx, maka P(B) didefinisikan

sebagai: P(B) = P(A), dengan A = { s ∈ S | X(s) ∈ B }.



Nilai-nilai yang mungkin dari X bisa ditulis sebagai: x1,x2,x3,…,xn,…

Pemahaman pengertian peubah acak diskrit diperjelas melalui teladan seperti

dibawah ini:

Teladan 4:

Coba lihat teladan 2 diatas, nilai-nilai yang mungkin dari Rx = {0,1,2}.

Karena banyak anggota dari Rx berhingga, maka X termasuk peubah acak

diskrit.

Teladan 5:

Misalnya sandy mengundi sebuah dadu yang seimbang. Jika peubah acak X

menunjukkan banyak pengulangan percobaan sampai mata dadu 5 muncul

pertama kali, maka nilai-nilai yang mungkin dari X adalah:

Rx = { 1,2,3,… }.

Karena banyak anggota dari Rx tak berhingga tapi dapat dihitung, maka X

termasuk peubah acak diskrit.

Pemahaman peubah acak kontinu akan dijelaskan melalui teladan dibawah ini :

Teladan 6 :

Misalnya sebuah universitas mempunyai mahasiswa berjumlah 25.000 orang dan

para mahasiswa itu diberi nomor induk mahasiswa mulai dari 00001 sampai

25.000. Kemudian seorang mahasiswa dipilih secara acak dan ia diukur berat

badannya. Dalam hal ini, ruang sampelnya adalah:

S = {s:s=00001,00002,00003,…,25.000}

Definisi A.4 : PEUBAH ACAK DISKRIT

Misalnya X adalah peubah acak. Jika banyak nilai-nilai yang mungkin dari X (yaitu

ruang hasil dari Rx) berhingga atau tak berhingga tapi dapat dihitung, maka X

adalah peubah acak diskrit.

Definisi A.5 : PEUBAH ACAK KONTINU

Misalnya X adalah peubah acak. Jika banyak nilai-nilai yang mungkin dari X (yaitu

ruang hasil dari Rx) merupakan sebuah interval pada garis bilangan real, maka X

dinamakan peubah acak kontinu.



Misalnya X menunjukkan berat badan dari mahasiswa yang terpilih, maka ia bisa

ditulis sebagai X(s), dengan s ∈ S. Kita mengasumsikan bahwa tidak ada

mahasiswa di universitas tersebut yang mempunyai berat badan kurang dari

20kg atau lebih dari 175kg, sehingga ruang hasil dari X adalah:

Rx = {X: 20≤ X ≤ 175}

Karena Rx merupakan sebuah interval, maka X termasuk ke dalam peubah acak

kontinu.

B. DISTRIBUSI PELUANG

Dalam sebuah peubah acak diskrit, nilai-nilai yang mungkin dari peubah acaknya

merupakan bilangan bulat. Seperti pada teladan 4 nilai-nilai dari X adalah 0,1

atau 2. Akan tetapi, dalam soalnya mungkin saja ada yang bertanda negative.

Kemudian kita dapat menghitung nilai peluang dari masing-masing nilai peubah

acak tersebut., dengan sebelumnya diasumsikan lebih dahulu nilai peluang untuk

masing-masing titik sampel dalam ruang sampel S. Nilai peluang dari peubah

acak yang berharga tertentu diperoleh berdasarkan nilai peluang dari titik-titik

sampelnya. Apabil nilai peluang dari peubah acak tersebut memenuhi

persyaratan tersebut tertentu, maka nilai peluang tersebut dinamakan fungsi

peluang. Berikut ini kita akan menjelaskan definisi fungsi peluang.

Adapun kumpulan pasangan yang diurutkan { x, p(x) } dinamakan distribusi

peluang dari X.

Bentuk umum dari fungsi peluang ada dua kemungkinan, yaitu berupa konstanta

dan berupa fungsi dari nilai peubah acak.

Definisi B.1 : FUNGSI PELUANG

Jika X adalah peubah acak diskrit, maka p(x) = P(X=x) untuk setiap x dalam

range X dinamakan fungsi peluang dari X.

Nilai fungsi peluang dari X, yaitu p(x) harus memenuhi sifat-sifat sebagai berikut.

a. p(x) ≥ 0

b. ∑ 𝑝(𝑥) = 1𝑥



Fungsi peluang berupa konstanta bisa terdiri atas satu nilai atau lebih dari

satu nilai.Fungsi peluang berupa konstanta yang terdiri atas satu nilai artinya

untuk setiap nilai peubah acak yang diberikan, maka nilai fungsi peluangnya

sama. Misalnya fungsi peluang dari peubah acak Y berbentuk:

P(y) = ¼ ; y = -1,0,1,2

Fungsi peluang berupa konstanta yang terdiri atas lebih dari satu nilai artinya

untuk setiap nilai peubah acak yang diberikan masing-masing mempunyai

nilai fungsi peluangnya. Misalnya fungsi peluang dari peubah acak X

berbentuk :

p(x) = 1/3; x = 2, p(x) = 1/3; x = 3, p(x) = ¼; x = 4, p(x) = 1/12; x = 5

Fungsi peluang berupa fungsi dari nilai peubah acak (FPBF) sebenarnya

sama dengan funsi peluang berupa konstanta yang terdiri atas lebih dari

satu nilai (FPBK), hanya bedanya FPBF ditulis secara umum dan berlaku

untuk nilai peubah acak tertentu sedangkan FPBK ditulis satu per satu yang

berlaku untuk masing-masing nilai peubah acaknya. Misalnya fungsi peluang

dari peubah acak X berbentuk :

p(x) = x/15; dimana x = 1,2,3,4,5

Pemahaman distribusi peluang dari sebuah peubah acak diperjelas melalui

teladan dibawah ini :

Teladan 7:

Misalkan percobaan kita berupa pelemparan 3 uang logam setimbang, Jika

kita misalkan Y menyatakan berapa kali sisi gambar muncul, maka Y adalah

suatu peubah acak yang mengambil nilai 0,1,2 atau 3 dengan peluang :

Penyelesaian :

Dalam hal ini, kita harus menghitung nilai peubah acak Y, yaitu y dan nilai

peluangnya.

Dik : S = {(A,A,A),(A,A,G),(A,G,A),(G,A,A),(A,G,G),(G,A,G),(G,G,A),(G,G,G)},

Karena Y menyatakan banyak G yang muncul, maka:

1. Untuk titik sampel AAA, bilangan bulat yang sesuai adalah 0, ditulis Y(s)

= Y(AAA) = 0

2. Untuk titik sampel AAG,AGA,GAA, bilangan bulat yang sesuai adalah 1,

ditulis Y(s) = Y(AAG) = Y(AGA) = Y(GAA) = 1



3. Untuk titik sampel AGG,GAG,GGA bilangan bulat yang sesuai adalah 2,

ditulis Y(s) = Y(AGG) = Y(GAG) = Y(GGA) = 2

4. Untuk titik sampel GGG, bilangan bulat yang sesuai adalah 3, ditulis Y(s)

= Y(GGG) = 3

Karena mata uang logam yang digunakan adalah seimbang maka peluang

masing-masing titik sampel sama yaitu : 1/8. Maka peluang untuk setiap nilai

peubah acaknya adalah sebagai berikut :

P{Y=0} = P{(A,A,A)} = 1/8

P{Y=1} = P{(A,A,G),(A,G,A),(G,A,A)} = 3/8

P{Y=2} = P{(G,G,A),(G,A,G),(A,G,G)} = 3/8

P{Y=3} = P{(G,G,G)} = 1/8

Jadi, distribusi peluang dari Y adalah :

Teladan 8:

Misalnya fungsi peluang dari peubah acak X berbentuk :

𝑝(𝑥) = {

1

5(𝑘𝑥 + 1); 𝑥 = 0,1,2,3

0; 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

Tentukan nilai k.

Penyelesaian:

∑𝑝(𝑥) = 1

𝑥

∑(1

5) (𝑘𝑥 + 1) = 1

3

𝑥=0

(1/5){1+(k+1)+(2k+1)+(3k+1)} = 1

6k + 4 = 5

6k = 1

K = 1/6.

Apabila kita menggambar grafik dari fungsi peluang atau distribusi peluang

maka grafiknya dapat berupa diagram batang atau histogram peluang.

x 0 1 2 3

p(x) 1/5 7/30 4/15 3/10

y 0 1 2 3

p(y) 1/8 3/8 3/8 1/8



Teladan 9 :

Lihat kembali teladan 7, Gambarkan grafik distribusi peluang dari Y

Penyelesaian :

Berikut ini distribusi peluang pada teladan 7 ;

Diagram batang dan histogram peluangnya masing-masing dapat dilihat

dalam gambar dibawah ini :

y 0 1 2 3

p(y) 1/8 3/8 3/8 1/8

y

p(y)

1/8

3/8

0 1 2 3

Diagram

Batang

y

p(y)

1/8

3/8

0 1 2 3

Histogram



Dalam peubah acak kontinu, fungsi yang memenuhi sifat-sifat tertentu

dinamakan fungsi densitas peluang atau fungsi densitas.

Sifat (c) diatas menunjukkan penghitungan peluang dari peubah acak kontinu

X yang mempunyai nilai dari a sampai b.

Berdasarkan gambar diatas, 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) sama dengan luas daerah dibawah

kurva f dari x = a sampai x = b.

Dalam peubah acak diskrit, peluang dari peubah acak yang berharga lebih

dari satu nilai yang membentuk sebuah interval bisa dihitung dengan mudah

tergantung bentuk intervalnya. Artinya jika kita akan menghitung 𝑃(0 < 𝑋 < 3)

hasilnya akan berbeda dengan 𝑃(0 ≤ 𝑋 < 3), 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 3) atau 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 3).

Akan tetapi, penghitunga peluang dari peubah acak kontinu yang harganya

membentuk sebuah interval apa saja, hasilnya akan sama. Hal ini bisa dilihat

dalam dalil dibawah ini :

Definisi B.2 : FUNGSI DENSITAS

Misalnya X adalah peubah acak kontinu yang didefinisikan dalam himpunan

bilangan real. Sebuah fungsi disebut fungsi densitas dari X, jika nilai-

nilainya yaitu f(x) memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :

a. f(x) ≥ 0; untuk x ∈ (−∞,∞) 𝑏. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1∞

−∞

c. Untuk setiap a dan b, dimana −∞ < 𝑎 < 𝑏 < ∞, maka

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

f(x)

f

a b x

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏)

= 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐷𝑎𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠



Bukti :

Jika A = {x : x = a}, maka P(A) = P(X∈A) = P(X=a) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0𝑎

𝑎

Jika A = {x : x = b}, maka P(B) = P(X∈B) = P(X=b) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0𝑏

𝑏

Berdasarkan hasil diatas, kita akan membuktikan :

a. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏)

b. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏)

c. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏)

d. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏)

e. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏)

f. 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏)

Pembuktiannya bisa dilihat dibawah ini :

a. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) + 𝑃(𝑋 = 𝑏)

= 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) + 0

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖.

b. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑋 = 𝑎) + 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏)

= 0 + 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏)

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖.

c. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑋 = 𝑎) + 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) + 𝑃(𝑋 =

= 0 + 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) + 0

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖.

d. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑋 = 𝑎) + 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) − 𝑃(𝑋 = 𝑏)

= 0 + 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) − 0

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖.

e. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑋 = 𝑎) + 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏)

= 0 + 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏)

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖.

f. 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) + 𝑃(𝑋 = 𝑏)

= 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) + 0

𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) 𝑇𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖.

Dalil B.1 : PELUANG PEUBAH ACAK KONTINU BERBENTUK INTERVAL

Jika X adalah peubah acak kontinu serta a dan b adalah dua konstanta real,

dengan a < b, maka :

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏)



Grafik dari fungsi densitas berupa sebuah kurva atau sebuah garis atau

bahkan kombinasi keduanya, yang penggambarannya disesuaikan dengan

bentuk fungsi densitasnya.

Pemahaman penghitungan peluang dari peubah acak kontinu yang

berharga tertentu sampai penggambaran grafiknya diperjelas melalui teladan

berikut ini :

Teladan 10:

Diketahui :

𝑓(𝑥) = {𝑘𝑥2; 0 < 𝑥 < 20; 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

Tentukan nilai k agar f(x) merupakan fungsi densitas dari peubah acak X.

a. Hitung P(1<X<2).

b. Gambarkan grafik dari fungsi densitasnya.

Penyelesaian:

a. Berdasarkan sifat kedua dari fungsi densitas, maka:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1

∞

−∞

∫𝑘𝑥2 𝑑𝑥 = 1

2

0

𝑘. (𝑥3

3] 20) = 1

k = 3/8

b. P(1 < X < 2) = ∫3

8𝑥2𝑑𝑥 =

2

1 (𝑥3

8] 21) =

7

8

c.

f(x) = 3/8x2

0 2

3/2

f(x) Grafik Fungsi Densitas



Fungsi densitas dari suatu peubah acak kontinu bisa mempunyai beberapa

nilai bergantung pada nilai peubah acaknya. Jika setiap nilai fungsi densitas itu

merupakan fungsi dari konstanta yang belum diketahui, maka penghitungan

konstanta itu tidak dilakukan terhadap masing-masing interval nilai peubah

acaknya melainkan terhadap semua interval nilai peubah acaknya.

Pemahaman uraian diatas akan diperjelas pada teladan berikut ini :

Teladan 11:

𝑔(𝑥) = {

𝑘𝑥; 0 ≤ 𝑥 < 1 𝑘; 1 ≤ 𝑥 < 2−𝑘𝑥 + 3𝑘; 2 ≤ 𝑥 ≤ 30; 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

a. Hitunglah nilai k.

b. Gambarkan grafik dari g(x).

Penyelesaian:

Dalam hal ini, penghitungan nilai k tidak dilakukan untuk setiap interval nilai x

melainkan terhadap nilai x dari 0 sampai 3. Adapun batas-batas pengintegralan-

nya diisi dengan setiap interval nilai x

a. Berdasarkan sifat kedua dari fungsi densitas

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1

∞

−∞

∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 1

∞

3

3

2

2

1

1

0

0

−∞

∫0 𝑑𝑥 + ∫𝑘𝑥 𝑑𝑥 + ∫𝑘 𝑑𝑥 + ∫−𝑘𝑥 + 3𝑘 𝑑𝑥 + ∫ 0 𝑑𝑥 = 1

∞

3

3

2

2

1

1

0

0

−∞

0 + (𝑘𝑥2

2)]10+ 𝑘𝑥]

21+ (

−𝑘𝑥2

2+ 3𝑘𝑥)]

32+ 0 = 1

1

2𝑘 + 𝑘 −

5

2𝑘 + 3𝑘 = 1, 2𝑘 = 1, 𝑘 =

1

2

Jadi fungsi densitas dari X berbentuk:

𝑔(𝑥) =

{

1

2𝑥; 0 ≤ 𝑥 < 1

1

2; 1 ≤ 𝑥 < 2

−1

2𝑥 +

3

2; 2 ≤ 𝑥 ≤ 3




b. Grafik dari g(x) bisa dilihat pada gambar dibawah ini:

C. FUNGSI DISTRIBUSI

Apabila kita mempunyai distribusi peluang dari sebuah peubah acak diskrit, maka

kita bisa menghitung peluang dari peubah acak tersebut yang berharga tertentu.

Nilai peluang dari peubah acak tersebut bisa mempunyai beberapa kemungkinan

yaitu :

a. 𝑃(𝑋 < 𝑎)

b. 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏)

c. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏)

d. 𝑃(𝑋 > 𝑏)

e. 𝑃(𝑋 ≥ 𝑏)

f. 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎)

g. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏)

h. 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏)

Dengan a dan b adalah dua buah konstanta.

Jika kita memperhatikan bentuk 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎), maka bentuk umumnya ditulis

𝑃(𝑋 ≤ 𝑥). Bentuk 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) dinamakan fungsi distribusi kumulatif atau fungsi

distribusi saja.

x

g(x)

1/2

1

0 1 2 3

𝑔(𝑥) =

{

1

2𝑥; 0 ≤ 𝑥 < 1

1

2; 1 ≤ 𝑥 < 2

−1

2𝑥 +

3

2; 2 ≤ 𝑥 ≤ 3




Pada pembahasan selanjutnya, fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak

diskrit akan dinyatakan sebagai fungsi distribusi saja. Jika peubah acak X

mempunyai nilai-nilai yang banyaknya berhingga yaitu x1, x2, x3,…xn dan masing-

masing mempunyai peluangnya p(x1), p(x2), p(x3),….,p(xn), maka fungsi

distribusinya ditentukan sebagai berikut.

F(x) = 0 ; 𝑥 < 𝑥1

= p(x1) ; 𝑥1 ≤ 𝑥 < 𝑥2

= p(x1) + p(x2) ; 𝑥2 ≤ 𝑥 < 𝑥3

= p(x1) + p(x2) + p(x3) ; 𝑥3 ≤ 𝑥 < 𝑥4

= p(x1) + p(x2) + p(x3) + … + p(xn) = 1 ; 𝑥𝑛 ≤ 𝑥

Jika kita memperhatikan bentuk fungsi distribusi diatas, maka nilainya berupa

konstanta semua untuk setiap interval nilai x yang diberikan.

Seperti halnya fungsi peluang atau distribusi peluang dan fungsi densitas,

fungsi distribusi jug adapt digambarkan grafiknya. Dalam hal ini, grafik fungsi

distribusi dari peubah acak diskrit berupa fungsi tangga.

Penentuan fungsi distribusi dan gambarnya dari peubah acak diskrit

diperjelas melalui teladan dibawah ini :

Teladan 12:

Apabila kita mengundi dua mata uang logam Rp.100 yang seimbang secara

sekaligus, maka distribusi peluangnya berbentuk:

Dimana X menunjukkan banyak huruf “BANK

INDONESIA”

a. Tentukan fungsi distribusi dari X.

b. Gambarkan grafik fungsi distribusinya.

x 0 1 2

p(x) 1/4 1/2 1/4

Definisi C.1 : FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF

Misalnya X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Kita

mendefinisikan F sebagai fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak X,

dengan:

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)

Definisi C.2 : FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF DISKRIT

Misalnya X adalah peubah acak diskrit,maka fungsi distribusi kumulatif dari X

berbentuk:

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =∑ 𝑝(𝑡)𝑡≤𝑥

Dengan p(t) adalah fungsi peluang dari X di t



Penyelesaian:

a. Untuk x < 0,

F(x) = 0

Untuk 0 ≤ 𝑥 < 1,

𝐹(0) = ∑ 𝑝(𝑡) = 𝑝(0)𝑡≤0

𝐹(0) =1

4

Untuk 1 ≤ 𝑥 < 2

𝐹(1) = ∑ 𝑝(𝑡) = 𝑝(0) + 𝑝(1) =1

4+1

2𝑡≤1

𝐹(1) =3

4

Untuk 2 ≤ 𝑥

𝐹(2) = ∑ 𝑝(𝑡) = 𝑝(0) + 𝑝(1) + 𝑝(2) =1

4+1

2+1

4𝑡≤2

𝐹(2) = 1

Jadi, fungsi distribusi dari X berbentuk:

𝐹(𝑥) =

{

0; 𝑥 < 01

4; 0 ≤ 𝑥 < 1

3

4; 1 ≤ 𝑥 < 2

1; 2 ≤ 𝑥

b. Grafik dari fungsi distribusinya bisa dilihat pada gambar dibawah ini :

x

F(x)

1/2

1

0 1 2 3

1/4

3/4

Grafik Fungsi

Distribusi Diskrit



Hal yang perlu diperhatikan dalam fungsi distribusi untuk peubah acak

diskrit adalah penulisan notasinya. Notasi untuk fungsi distribusi bisa ditulis

dengan huruf besar F, G, H atau lainnya yang diikuti dengan nilai peubah

acaknya.

Apabila fungsi peluang dari peubah acak X dinotasikan dengan p(x), maka

notasi untuk fungsi distribusinya bisa ditulis dengan F(x), G(x), H(x).

Pada pembahasan selanjutnya, fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak

kontinu akan dinyatakan sebagai fungsi distribusi saja.

Nilai fungsi distribusi untuk peubah acak kontinu biasanya berupa konstanta

dan fungsi.

Grafik fungsi distribusinya berupa kombinasi dari beberapa kemungkinan

berikut ini : garis lurus, garis yang sejajar dengan sumbu datar, garis yang

berimpit dengan sumbu datar dan sebuah kurva.

Jadi grafik fungsi distribusi untuk peubah acak kontinu mempunyai

beberapa kemungkinan diantaranya sebagai berikut :

1. Grafiknya berupa garis yang berimpit dengan sumbu datar dan kurva.

2. Grafiknya berupa garis yang berimpit dengan sumbu datar, garis lurus dan

garis yang sejajar dengan sumbu datar.

3. Grafiknya berupa garis yang berimpit dengan sumbu datar, kurva, dan garis

yang sejajar dengan sumbu datar.

Penentuan fungsi distribusi dan grafiknya untuk peubah acak kontinu

diperjelas melalui teladan berikut ini :

Teladan 13:

Misalnya fungsi densitas dari peubah acak X berbentuk:

𝑓(𝑥) = {

3

8𝑥2; 0 < 𝑥 < 2


a. Tentukan fungsi distribusi F(x).

b. Gambarkan grafik dari F(x).

Penyelesaian :

Definisi C.3 : FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF KONTINU

Misalnya X adalah peubah acak kontinu,maka fungsi distribusi kumulatif dari X

berbentuk:

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑥

−∞

Dengan f(t) adalah nilai fungsi densitas dari X di t




a. Untuk x < 0,

F(x) = 0

Untuk 0 ≤ 𝑥 < 2,

𝐹(𝑥) = ∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + ∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑥

0

0

−∞

= ∫0 𝑑𝑡 + ∫3

8𝑡2𝑑𝑡

𝑥

0

0

−∞

= 0 +𝑡3

8]𝑥0

𝐹(𝑥) =𝑥3

8

Untuk 2 ≤ 𝑥

𝐹(𝑥) = ∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + ∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + ∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑥

2

2

0

0

−∞

= ∫0 𝑑𝑡 + ∫3

8𝑡2𝑑𝑡

2

0

0

−∞

+∫0 𝑑𝑡

𝑥

2

= 0 +𝑡3

8]20+ 0

𝐹(𝑥) = 1

Jadi, fungsi distribusinya berbentuk:

𝐹(𝑥) = {

0; 𝑥 < 0

𝑥3

8; 0 ≤ 𝑥 < 2

1; 𝑥 ≥ 2

b. Grafiknya bisa dilihat pada gambar dibawah ini:

x

F(x)

1/2

1

0 1 2 3

Grafik Fungsi

Distribusi Kontinu

𝐹(𝑥) =𝑋3

8



Jika kita memperhatikan gambar diatas, maka grafiknya berupa garis yang

berimpit dengan sumbu datar, kurva, dan garis yang sejajar dengan sumbu

datar.

Hal yang perlu diperhatikan pada fungsi distribusi untuk peubah acak kontinu

adalah penulisan notasinya. Karena dari definisi fungsi distribusi notasi yang

digunakannya adalah F, notasi untuk fungsi distribusinya tidak selalu dengan F.

Notasi untuk fungsi distribusinya bisa ditulis dengan huruf besar F,G, H atau

lainnya yang diikuti dengan nilai peubah acaknya dan sebaiknya disesuaikan

dengan notasi fungsi densitasnya. Apabila fungsi densitas dari peubah acak Y

dinotasikan dengan g(y) maka notasi untuk fungsi distribusinya sebaiknya

digunakan G(y).

Kita sudah menjelaskan bahwa penghitungan peluang dari peubah acak yang

mempunyai nilai dalam bentuk interval dapat dilakukan berdasarkan fungsi

peluang atau fungsi densitas. Selain itu, nilai peluang tersebut, baik peubah

acak diskrit maupun kontinu, dapat diperoleh berdasarkan fungsi distribusi. Hal

ini bisa dilakukan dengan menggunakan rumus :

𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

Dimana, a dan b adalah dua bilangan real a < b.

Adapun penghitungan peluang dari peubah acak yang berharga satu nilai

dapat dilakukan dengan menggunakan rumus :

𝑃(𝑋 = 𝑏) = 𝐹𝑥(𝑏) − 𝐹𝑥(𝑏−)

Pemahaman penggunaan kedua rumus diatas untuk peubah acak diskrit dan

kontinu masing-masing diperjelas melalui teladan dibawah ini:

Teladan 14:

Misalnya fungsi distribusi dari peubah acak X berbentuk :

𝐹(𝑥) =

{

0; 𝑥 < −1125

216;−1 ≤ 𝑥 < 1

200

216; 1 ≤ 𝑥 < 2

215

216; 2 ≤ 𝑥 < 3

1; 3 ≤ 𝑥

a. Hitung 𝑃(0 ≤ 𝑋 < 3)

b. Hitung 𝑃(𝑋 ≤ 0)

c. Hitung 𝑃(𝑋 > 1)

d. Hitung 𝑃(−1 ≤ 𝑋 < 0)

e. Hitung 𝑃(𝑋 = 1)



Penyelesaian :

a. 𝑃(0 ≤ 𝑋 < 3) = 𝐹𝑥(3) − 𝐹𝑥(0)

= 1 −125

216

𝑃(0 ≤ 𝑋 < 3) =91

216

b. 𝑃(𝑋 ≤ 0) = 𝐹(0) =125

216

c. 𝑃(𝑋 > 1) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1)

= 1 − 𝐹𝑥(1)

= 1 −200

216

𝑃(𝑋 > 1) =16

216

d. 𝑃(−1 ≤ 𝑋 < 0) = 𝐹𝑥(0) − 𝐹𝑥(−1)

=125

216−125

216

𝑃(−1 ≤ 𝑋 < 0) = 0

e. 𝑃(𝑋 = 1) = 𝐹𝑥(1) − 𝐹𝑥(1−)

=200

216−125

216

𝑃(𝑋 = 1) =75

216

Teladan 15:

Misalkan fungsi distribusi dari peubah acak X berbentuk :

𝐹(𝑥) =

{

0; 𝑥 < 0𝑥

2; 0 ≤ 𝑥 < 1

𝑥 − 0,5 ; 1 ≤ 𝑥 < 1,5 1, 𝑥 ≥ 1,5

a. Hitung 𝑃(0,5 < 𝑋 ≤ 1,1)

b. Hitung 𝑃(𝑋 > 0,7)

c. Hitung 𝑃(1,1 < 𝑋 ≤ 2)

d. Hitung 𝑃(𝑋 ≤ 1,4)

e. Hitung 𝑃(𝑋 = 1)

Penyelesaian:

a. 𝑃(0,5 < 𝑋 ≤ 1,1) = 𝐹(1,1) − 𝐹(0,5)

= (1,1 − 0,5) −0,5

2

= 0,6 − 0,25

𝑃(0,5 < 𝑋 ≤ 1,1) = 0,35

b. 𝑃(𝑋 > 0,7) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 0,7)

= 1 − 𝐹(0,7)



= 1 −0,7

2

= 1 − 0,35

𝑃(𝑋 > 0,7) = 0,65

c. 𝑃(1,1 < 𝑋 ≤ 2) = 𝐹(2) − 𝐹(1,1)

= 1 − (1,1 − 0,5)

= 1 − 0,6

𝑃(1,1 < 𝑋 ≤ 2) = 0,4

d. 𝑃(𝑋 ≤ 1,4) = 𝐹(1,4)

= 1,4 − 0,5

𝑃(𝑋 ≤ 1,4) = 0,9

e. 𝑃(𝑋 = 1) = 𝐹𝑥(1) − 𝐹𝑥(1−)

= (1 − 0,5) − 0,5

𝑃(𝑋 = 1) = 0

Kita sudah menjelaskan penghitungan peluang dari peubah acak yang

berharga tertentu berdasarkan fungsi peluangnya atau fungsi densitasnya dan

fungsi distribusinya.

Berikut ini akan diberikan contoh penghitungan peluang tersebut dengan

kedua cara di atas untuk peubah acak diskrit maupun kontinu, kemudian kita

akan membandingkan kedua hasilnya.

Teladan 16:

Misalnya distribusi peluang dari peubah acak Y berbentuk :

y 0 1 2

p(y) ¼ ½ ¼

Fungsi distribusi dari peubah acak Y berbentuk:

𝐺(𝑦) =

{

0; 𝑦 < 01

4; 0 ≤ 𝑦 < 1

3

4 ; 1 ≤ 𝑦 < 2

1; 𝑦 ≥ 2

Hitunglah peluang berikut ini dengan menggunakan perumusan fungsi peluang

dan fungsi distribusi.

a. 𝑃(0 < 𝑌 ≤ 2)

b. 𝑃(𝑌 ≤ 1)

c. 𝑃(𝑌 > 0,5)

Penyelesaian:

1. Fungsi Peluang

a. 𝑃(0 < 𝑌 ≤ 2) = 𝑃(𝑌 = 1,2)

= 𝑃(𝑌 = 1) + 𝑃(𝑌 = 2)



=1

2+1

4

𝑃(0 < 𝑌 ≤ 2) =3

4

b. 𝑃(𝑌 ≤ 1) = 𝑃(𝑌 = 0,1)

= 𝑃(𝑌 = 0) + 𝑃(𝑌 = 1)

=1

4+1

2

𝑃(𝑌 ≤ 1) =3

4

c. 𝑃(𝑌 > 0,5) = 𝑃(𝑌 ≥ 1)

= 𝑃(𝑌 = 1,2)

=1

4+1

2

𝑃(𝑌 > 0,5) =3

4

2. Fungsi Distribusi

a. 𝑃(0 < 𝑌 ≤ 2) = 𝐺𝑦(2) − 𝐺𝑦(0)

= 1 −1

4

𝑃(0 < 𝑌 ≤ 2) =3

4

b. 𝑃(𝑌 ≤ 1) = 𝐺𝑦(1)

𝑃(𝑌 ≤ 1) =3

4

c. 𝑃(𝑌 > 0,5) = 1 − 𝑃(𝑌 ≤ 0,5)

= 1 − 𝐺𝑦(0,5)

= 1 −1

4

𝑃(𝑌 > 0,5) =3

4

Teladan 17:

Jika fungsi densitas dari peubah acak X berbentuk :

𝑓(𝑥) = {3. 𝑒−3𝑥, 𝑥 > 0

0, 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

dan fungsi distribusinya setelah ditentukan diperoleh:

𝐹(𝑥) = {0, 𝑥 ≤ 0

1 − 𝑒−3𝑥, 𝑥 > 0

Maka hitung peluang berikut ini dengan menggunakan perumusan fungsi

densitas dan fungsi distribusi.

a. 𝑃(0,5 < 𝑋 ≤ 1)

b. 𝑃(𝑋 ≤ 0,5)

c. 𝑃(𝑋 > 1,2)



Penyelesaian:

1. Fungsi Densitas

a. 𝑃(0,5 < 𝑋 ≤ 1) = ∫ 3. 𝑒−3𝑥𝑑𝑥 = −𝑒−3𝑥]10,5

1

0,5

𝑃(0,5 < 𝑋 ≤ 1) = 𝑒−1,5 − 𝑒−3

𝑏. 𝑃(𝑋 ≤ 0,5) = ∫ 3. 𝑒−3𝑥𝑑𝑥 = −𝑒−3𝑥]0,50

0,5

0

𝑃(𝑋 ≤ 0,5) = 1 − 𝑒−1,5

𝑐. 𝑃(𝑋 > 1,2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1,2) = 1 − ∫ 3. 𝑒−3𝑥𝑑𝑥 = 1 + 𝑒−3𝑥]1,20= 1 + 𝑒−3,6 − 1

1,2

0

𝑃(𝑋 > 1,2) = 𝑒−3,6

2. Fungsi Distribusi

a. 𝑃(0,5 < 𝑋 ≤ 1) = 𝐹𝑥 − 𝐹0,5(0,5) = (1 − 𝑒−3) − (1 − 𝑒−1,5)

𝑃(0,5 < 𝑋 ≤ 1) = 𝑒−1,5 − 𝑒−3

𝑏. 𝑃(𝑋 ≤ 0,5) = 𝐹𝑥(0,5)

𝑃(𝑋 ≤ 0,5) = 1 − 𝑒−1,5

𝑐. 𝑃(𝑋 > 1,2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1,2) = 1 − 𝐹𝑥(1,2) = 1 − (1 − 𝑒−3,6)

𝑃(𝑋 > 1,2) = 𝑒−3,6

Jika fungsi peluang atau fungsi densitas dari sebuah peubah acak diketahui,

maka kita dapat menentukan fungsi distribusinya. Sebaliknya, kita bisa

menentukan fungsi peluang atau fungsi densitas dari sebuah peubah acak, jika

fungsi distribusinya diketahui.

Berikut ini akan dijelaskan penentuan fungsi peluang atau fungsi densitas

untuk peubah acak diskrit dan kontinu, jika fungsi distribusinya diketahui.

A. Peubah Acak Diskrit

Misalnya bilangan real t terletak dalam interval (b-h, b] yaitu b-h < t ≤ b,

dengan h adalah bilangan positif.

Apabila nilai h menuju nol, maka interval tersebut akan menuju ke satu nilai,

yaitu t = b, dan ditulis :

limℎ→∞

𝑃(𝑏 − ℎ < 𝑋 ≤ 𝑏) = limℎ→∞

[𝐹𝑥(𝑏) − 𝐹𝑥(𝑏 − ℎ)] = 𝐹𝑥(𝑏) − 𝐹𝑥(𝑏 −)

Jadi, jika b adalah nilai diskontinu dari Fx maka b adalah nilai dari peubah

acak X dengan peluangnya positif. Peluang bahwa X = b merupakan ukuran

loncatan pada Fx(b).

Untuk lebih jelasnya, lihat gambar berikut ini:



Jadi, langkah-langkah untuk menentukan fungsi peluang berdasarkan fungsi

distribusi adalah sebagai berikut:

1. Tentukan nilai-nilai peubah acak X yang menyebabkan fungsi distribusi

Fx(x) diskontinu.

2. Tentukan peluang untuk setiap nilai x yang diskontinu, dengan rumus:

𝑃(𝑋 = 𝑥0) = 𝐹𝑥(𝑥0) − 𝐹𝑥(𝑥0−)

𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎, 𝑥0 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑏𝑢𝑎ℎ 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑛𝑦𝑒𝑏𝑎𝑏𝑘𝑎𝑛 𝐹𝑥 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢.

Untuk lebih memahami penentuan fungsi peluang sebuah peubah acak diskrit

berdasarkan fungsi distribusinya akan diperjelas dalam teladan berikut ini:

Teladan 18:

Misalnya fungsi distribusi dari peubah acak X berbentuk:

𝐹𝑥(𝑥) =

{

0; 𝑥 < 01

2; 0 ≤ 𝑥 < 2

5

6 ; 2 ≤ 𝑥 < 3

1; 𝑥 ≥ 3

Tentukan fungsi peluangnya.

Penyelesaian:

Jika kita memperhatikan 𝐹𝑥(𝑥), maka ada tiga nilai x yang menyebabkan 𝐹𝑥(𝑥)

diskontinu, yaitu x=0,2 dan 3.

Ketiga nilai itu merupakan nilai peubah acak X dengan peluangnya sebagai

berikut.

𝑝(0) = 𝐹𝑥(0) − 𝐹𝑥(0 −) =1

2− 0 =

1

2

t

Fx(t)

1

0 a b c

Fungsi Distribusi

dan Fungsi

Peluang

P(x=a)

P(x=b)

P(x=c)



𝑝(2) = 𝐹𝑥(2) − 𝐹𝑥(2 −) =5

6−1

2=

1

3

𝑝(3) = 𝐹𝑥(3) − 𝐹𝑥(3 −) = 1 −5

6=

1

6

Jadi, fungsi peluang dari X adalah:

𝑝(𝑥) =

{

1

2; 𝑥 = 0

1

3; 𝑥 = 2

1

6 ; 𝑥 = 3


B. Peubah Acak Kontinu

Pemahaman akan penentuan fungsi densitas dari sebuah peubah acak

kontinu berdasarkan fungsi distribusinya akan dijelaskan pada teladan berikut

ini:

Teladan 19:

Misalnya fungsi distribusi dari peubah acak X berbentuk:

𝐹(𝑥) = {0; 𝑥 ≤ 0

𝑥2; 0 < 𝑥 ≤ 11; 𝑥 > 1

Tentukan fungsi densitasnya.

Penyelesaian:

Untuk 𝑥 ≤ 0 : f(x)=F’(x)=0

Untuk 0 < 𝑥 ≤ 1 : f(x)=F’(x)=2x

Untuk x > 1 : f(x)=F’(x)=0

Jadi fungsi densitasnya berbentuk:

𝑓(𝑥) = {2𝑥 ; 0 < 𝑥 ≤ 10; 𝑥𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

Setelah kita menjelaskan teknik penentuan fungsi distribusi berdasarkan

fungsi peluangnya atau fungsi densitasnya atau sebaliknya, kita perlu

mengetahui beberapa sifat dari fungsi distribusi.

1. 0 < 𝐹(𝑥) ≤ 1, 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 0 < 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) ≤ 1

Dalil C.1 : PENENTUAN FUNGSI DENSITAS

Jika f(x) dan F(x) masing-masing merupakan fungsi densitas dan fungsi

distribusi dari peubah acak X di x, maka ;

𝑓(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥𝐹(𝑥)

Apabila hasil turunanya ada.




2. 𝐹(𝑥)𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛 𝑑𝑖 𝑥. 𝐴𝑟𝑡𝑖𝑛𝑦𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥′ < 𝑥′′, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐹′(𝑥) <

𝐹′′(𝑥), ℎ𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑙𝑖ℎ𝑎𝑡 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑢𝑟𝑎𝑖𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 𝑖𝑛𝑖.

𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑥′ < 𝑥′′, 𝑚𝑎𝑘𝑎

{𝑥: 𝑥 ≤ 𝑥′′} = {𝑥: 𝑥 ≤ 𝑥′} ∪ {𝑥: 𝑥′ < 𝑥 ≤ 𝑥′′}

𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥′′) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥′) + 𝑃(𝑥′ < 𝑋 ≤ 𝑥′′)

𝐹(𝑥′′) = 𝐹(𝑥′) + 𝑃(𝑥′ < 𝑋 < 𝑥′′)

𝐹(𝑥′′) − 𝐹(𝑥′) = 𝑃(𝑥′ < 𝑋 ≤ 𝑥′′), 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑃(𝑥′ < 𝑋 ≤ 𝑥′′) ≥ 0,𝑚𝑎𝑘𝑎 ∶

𝐹(𝑥′′) − 𝐹(𝑥′) ≥ 0

𝐹(𝑥′′) ≥ 𝐹(𝑥′) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐹(𝑥′) ≤ 𝐹(𝑥′′)

3. 𝐹(∞) = lim𝑥→∞

𝐹(𝑥) = 1 𝑑𝑎𝑛 𝐹(−∞) = lim𝑥→−∞

𝐹(𝑥) = 0

Hal ini bisa dibuktikan dengan uraian berikut ini:

𝑆 = {−∞ < 𝑥 ≤ 0} ∪ {0 < 𝑥 < ∞} 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛,

{−∞ < 𝑥 ≤ 0} = {−1 < 𝑥 ≤ 0} ∪ {−2 < 𝑥 ≤ −1} ∪ {−3 < 𝑥 ≤ −2} ∪ …

{0 < 𝑥 < ∞} = {0 < 𝑥 ≤ 1} ∪ {1 < 𝑥 ≤ 2} ∪ {2 < 𝑥 ≤ 3} ∪ …

𝐽𝑎𝑑𝑖, 𝑆 = ([⋃{−𝑥 < 𝑋 ≤ −𝑥 + 1}] ∪ [⋃{𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑥 + 1}])

∞

𝑥=1

∞

𝑥=1

𝑃(𝑆) = 𝑃[⋃{−𝑥 < 𝑋 ≤ −𝑥 + 1}] + 𝑃[⋃{𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑥 + 1}]

∞

𝑥=1

∞

𝑥=1

=∑𝑃{𝑥 < 𝑋 ≤ −𝑥 + 1} +∑𝑃{𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑥 + 1}

∞

𝑥=1

∞

𝑥=1

1 = lim𝑎→∞

∑𝑃{𝑥 < 𝑋 ≤ −𝑥 + 1}

𝑎

𝑥=1

+ lim𝑏→∞

∑𝑃{𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑥 + 1}

𝑏

𝑥=1

1 = lim𝑎→∞

∑[𝐹(−𝑥 + 1) − 𝐹(−𝑥)] +

𝑎

𝑥=1

+ lim𝑏→∞

∑[𝐹(𝑥 + 1) − 𝐹(𝑥)]

𝑏

𝑥=1

1 = lim𝑎→∞

[𝐹(0) − 𝐹(−𝑎)] + lim𝑏→∞

[𝐹(𝑏 + 1) − 𝐹(0)]

1 = [𝐹(0) − 𝐹(−∞)] + [𝐹(∞) − 𝐹(0)]

1 = 𝐹(∞) − 𝐹(−∞)… (1)

Karena −∞ < ∞,𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐹(−∞) ≤ 𝐹(∞) 𝑑𝑎𝑛 𝐹(−∞) ≥ 0, 𝐹(∞) ≤ 1;

𝑗𝑎𝑑𝑖, 0 ≤ 𝐹(−∞) ≤ 𝐹(∞) ≤ 1… (2)

𝐷𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 (1)𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ ∶ 𝐹(∞) = 1 + 𝐹(−∞)

𝐷𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 (2)𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ ∶ 0 ≤ 𝐹(−∞) ≤ 1 + 𝐹(−∞)

≤ 1, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ: 𝐹(−∞) ≤ 0

𝐾𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎, 𝐹(−∞) ≤ 0,𝑚𝑎𝑘𝑎𝐹(−∞) = 0 ∶ 𝐴𝑘𝑖𝑏𝑎𝑡𝑛𝑦𝑎, 𝐹(∞) = 1

4. F(x) kontinu kanan pada setiap nilai x.



PENUTUP

A. KESIMPULAN

1. Misalnya E adalah sebuah eksperimen dengan ruang sampelnya S.

Sebuah fungsi X yang menetapkan setiap anggota s ∈ S dengan sebuah

bilangan real X(s) dinamakan peubah acak.

2. Misalnya X adalah peubah acak. Jika banyak nilai-nilai yang mungkin dari X

(yaitu ruang hasil dari Rx) berhingga atau tak berhingga tapi dapat dihitung,

maka X adalah peubah acak diskrit.

3. Misalnya X adalah peubah acak. Jika banyak nilai-nilai yang mungkin dari X

(yaitu ruang hasil dari Rx) merupakan sebuah interval pada garis bilangan

real, maka X dinamakan peubah acak kontinu.

4. Jika X adalah peubah acak diskrit, maka p(x) = P(X=x) untuk setiap x dalam

range X dinamakan fungsi peluang dari X.Nilai fungsi peluang dari X, yaitu

p(x) harus memenuhi sifat-sifat sebagai berikut.

p(x) ≥ 0

∑ 𝑝(𝑥) = 1𝑥

5. Misalnya X adalah peubah acak kontinu yang didefinisikan dalam himpunan

bilangan real. Sebuah fungsi disebut fungsi densitas dari X, jika nilai-nilainya

yaitu f(x) memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :

a. f(x) ≥ 0; untuk x ∈ (−∞,∞) 𝑏. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1∞

−∞

c. Untuk setiap a dan b, dimana −∞ < 𝑎 < 𝑏 < ∞, maka

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

B. SARAN

Demikianlah makalah yang dapat kami buat, sebagai manusia biasa kita

menyadari dalam pembuatan makalah ini masih terdapat banyak kesalahan dan

kekurangan. Untuk itu kritik dan saran yang bersifat konstruktif sangat kami

harapkan demi kesempurnaan makalah ini dan berikutnya. Semoga makalah ini

bermanfaat bagi kita semua. Amin.



DAFTAR PUSTAKA

Herrhyanto Nar &Tuti Gantini. 2009. ”Pengantar Statistika Matematika”. Yrama

Widya. Bandung.

Ross Sheldon terj. Bambang Sumantri. 1996. “Suatu Pengantar Ke Teori Peluang”.

University Of California.Barkeley

Antou, Neltje Konda. 2009. “Pengantar Teori Peluang”. Universitas Negeri Manado.

Tondano

peubah acak diskrit dan kontinu

Education