BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar BelakangDalam makalah ini, akan dibahas beberapa teknik yang digunakan dalam menentukan sebaran dari suatu fungsi peubah acak, yaitu teknik fungsi sebaran dan teknik transformasi peubah acak.

Misalkan kita mempunyai peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Kita bisa menentukan fungsi peluang atau fungsi densitasnya berdasarkan sifatnya. Fungsi densitas atau probability density function juga disebut fungsi massa peluang untuk sebaran diskrit (farik) dan fungsi kepadatan peluang untuk sebaran kontinu (malar). Kemudian kita mempunyai peubah acak baru yang merupakan fungsi dari peubah acak semula. Dalam hal ini, kita akan menentukan sebaran dari peubah acak baru tersebut. Tentu saja penentuan sebaran tersebut bergantung pada banyaknya peubah acak yang dilibatkan, yaitu satu peubah acak atau dua peubah acak. Khusus untuk makalah ini hanya akan dibahas untuk fungsi sebaran dengan satu peubah.

B. Rumusan MasalahAdapun rumusan masalah dalam makalaih ini yaitu:

1. Bagaimana konsep teknik fungsi sebaran

2. Bagaimana konsep teknik transformasi satu peubah

C. Tujuan

Adapun tujuan kami dalam penulisan makalah ini yaitu untuk mengetahui:

1. Konsep teknik fungsi sebaran.

2. Konsep teknik transformasi satu peubah.

BAB IITEKNIK FUNGSI SEBARAN

Teknik fungsi sebaran merupakan teknik yang digunakan untuk mengetahui suatu bentuk sebaran dari sebaran lain yang diketahui di mana juga diketahui hubungan kedua sebaran tersebut. Berikut akan dijelaskan teknik untuk masing-masing fungsi dengan sebaran diskrit (farik) dan kontinu (malar).A. Teknik Fungsi Sebaran untuk Sebaran Peluang Diskrit atau Farik Berikut ini contoh teknik fungsi sebaran untuk sebaran seragam farik

Contoh 1 Misalkan X memiliki fungsi massa peluang

Tentukan fungsi massa peluang dari !Penyelesaian

Persamaan memetakan himpunan ke himpunan yang merupakan nilai yang mungkin dari Y. Kita memiliki invers dari persamaan tersebut, yaitu . Karena tidak bergantung pada x, maka fungsi massa peluang dari Y adalah

Berikut adalah contoh teknik fungsi sebaran untuk sebaran binomial.Contoh 2 Misalkan X memiliki fungsi massa peluang binomial

Kita mencari fungsi massa peluang dari peubah acak . Transformasi memetakan ke . Secara umum, tidak mendefinisikan transformasi satu-satu, tetapi di sini, tidak ada nilai negatif dari x di . Yaitu, kita memiliki fungsi invers bernilai tunggal (bukan ), sehingga

Berikut adalah contoh teknik fungsi sebaran untuk sebaran binom negatif.Contoh 3 Jika peubah acak X mengikuti sebaran peluang dengan fungsi massa peluang

Tentukan fungsi kepadatan peluang dari !

Penyelesaian Fungsi kepadatan peluang dari peubah acak Y adalah di mana

Untuk domainnya,

Jadi, fungsi kepadatan peluang dari peubah acak Y adalah

Berikut adalah contoh teknik fungsi sebaran untuk sebaran Poisson.Contoh 4 Jika peubah acak X mengikuti sebaran Poisson dengan fungsi kepadatan peluang

Tentukan fungsi kepadatan peluang dari !

Penyelesaian

Sedangkan untuk domainnya,

Jadi, fungsi kepadatan peluang dari Y adalah

Contoh 5 Misalakan X suatu peubah acak geometris dengan sebaran peluang

Carilah sebaran peluang peubah acak !

Penyelesaian

Karena nilai X semuanya positif, transformasi antara nilai x dan y tersebut merupakan korespondensi satu-satu, dan . Jadi

B. Teknik Fungsi Sebaran Peluang Kontinu atau Malar

Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitasnya , maka adalah juga peubah acak kontinu. Fungsi densitas dari Y ditentukan sebagai berikut. Tentukan . Tentukan turunan pertama terhadap y untuk memperoleh . Tentukan daerah hasil untuk Y.Contoh 6 jika peubah acak X mempunyai sebaran eksponensial dengan fungsi massa peluang

Tentukan fungsi massa pelauang dari !

Penyelesaian Diberikan , sehingga diperoleh

Kita subtitusikan , sehingga diperoleh

Untuk domainnya,

Jadi, fungsi massa peluang dari Y adalah

Contoh 7 Jika suatu peubah acak x mengikuti sebaran normal , tentukan fungsi massa peluang dari peubah acak !

Penyelesaian

Dari bentuk , diperoleh

Jadi, peubah acak Y merupakan sebaran normal dengan rata-rata dan variansi .

BAB III

TEKNIK TRANSFORMASI SATU PEUBAHA. Teknik Trasformasi Satu Peubah untuk Sebaran Peluang Farik

Sekarang kita akan menentukan fungsi peluang tanpa melalui fungsi sebaran melainkan dengan teknik transformasi peubah acak, dengan penentuannya dapat dilihat pada dalil berikut.

Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan fungsi peluangnya . Jika peubah acak dengan setiap nilai dari X berkorespondensi satu-satu dengan nilai dari Y hingga , maka fungsi peluang dari Y ditentukan sebagai berikut.

Untuk penjelasan lebih lanjut pada teknik transformasi ini akan diuraikan melalui contoh-contoh pada sebaran teoritis dari sebaran peluang farik (diskrit).

Contoh 8 Misalkan X memiliki fungsi massa peluang , untuk , nol untuk lainnya. Tentukan fungsi massa peluang dari !Penyelesaian

Fungsi invers dari adalah . dengan demikian, diperoleh fungsi massa peluang Y yaitu untuk atau ; dan 0 untuk yang lainnya.B. Teknik Trasformasi Satu Peubah untuk Sebaran Peluang Malar

Sekarang kita akan menentukan fungsi densitas dari fungsi peubah acak kontinu tanpa melalui fungsi sebaran melainkan dengan teknik transformasi peubah acak. Berikut ini akan dibahas teknik transformasi peubah acak dengan satu peubah. Untuk dua peubah akan dibahas pada makalah berikutnya.

Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitas . Jika fungsi dapat diturunkan dan fungsinya berupa fungsi naik atau fungsi turun untuk semua nilai pada daerah hasil X dengan , maka dapat diselesaikan untuk x dengan . Fungsi densitas dari ditentukan oleh sebagai berikut.

Bukti Misalkan fungsi naik. Jika y bernilai antara a dan b, maka nilai peubah acak X akan bernilai antara dan . Jadi,

Jika peubah integrasi diganti dari x ke y melalui hubungan , maka diperoleh , sehingga

Karena integral memberikan nilai peluang yang dicari untuk setiap dalam batasan nilai y yang mungkin, maka sebaran peluang Y adalah

Karena adalah invers dari kemiringan garis singgung kurva yang naik di mana , maka jelas bahwa . Sehingga

Sekarang misalkan fungsi turun. Jika y bernilai antara a dan b, maka nilai peubah acak X akan bernilai antara dan . Jadi,

Jika peubah integrasi diganti dari x ke y melalui hubungan , maka diperoleh , sehingga

Sehingga dapat disimpulkan bahwa

Karena adalah invers dari kemiringan garis singgung kurva yang turun di mana , maka jelas bahwa . Sehingga

seperti sebelumnya.Contoh 9 Misalkan X peubah acak kontinu dengan sebaran peluang

Hitunglah sebaran peluang peubah acak !

PenyelesaianFungsi invers dari adalah sehingga diperoleh . Dengan menggunakan rumus di atas, maka diperoleh fungsi densitas dari Y yaitu

BAB IV

PENUTUP

A. Kesimpulan

1. Misalkan X suatu peubah acak diskrit dengan distribusi peluang f(x). Misalkan suatu transformasi satu-satu antara nilai X dan Y sehingga persamaan mempunyai jawaban tunggal untuk x dinyatakan dalam y, misalkan . maka sebaran peluang Y adalah

2. Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitas . Jika fungsi dapat diturunkan dan fungsinya berupa fungsi naik atau fungsi turun untuk semua nilai pada daerah hasil X dengan , maka dapat diselesaikan untuk x dengan . Fungsi densitas dari ditentukan oleh sebagai berikut.

B. Saran

Penulis mengharapkan agar makalah ini dapat digunakan untuk menunjang pembelajaran Mata Kuliah Statistika Matematika pada khususnya dan pembelajaran matematika pada umumnya.DAFTAR PUSTAKAA., Suparman I. 1989. Statistik Matematik. Jakarta: Rajawali.Hogg, Robert V. & Allen T. Craig. 1995. Introduction to Mathematical Statistics (Fifth Edition). Hong Kong & Macau: Pearson Education Asia Limited & Higher Education Press.Walpole, Ronald E. & Raymond H. Myers. 1989. Probability and Statistics for Engineers and Scientists (Fourth Edition). _____: Macmillan Publishing