bab 3 fgs 2 peubah

05 Juli 2007 Matematika Teknik 2PU 1324

1

Fungsi Dua Peubah danTurunan Parsial

PermukaanDefinisi fungsi dua peubah

Turunan Parsial


2

Permukaandalam ruang dimensi tiga

Persamaan dalam tiga peubah umumnya berbentuk permukaan. Bila sebuah permukaan merupakan grafik suatu persamaan derajatdua dalam ruang dimensi tiga maka permukaan ini dinamakanpermukaan kuadrik.

Penampang bidang permukaan kuadrik akan berupa irisan kerucut(konik). Dalam kuliah ini hanya akan dipelajari permukaan kuadriksaja.

Sebuah permukaan kuadrik memiliki bentuk umum :

0JIzHyGxFyzExzDxyCzByAx 222 =+++++++++


3

Permukaandalam ruang dimensi tiga

Irisan kerucutIrisan kerucut memiliki tiga bentuk yaitu :

• Parabola

• Ellips

• Hiperbola

Akan dipelajari kembali secara singkat tiga irisan kerucuttersebut sebelum pembahasan tentang permukaan.


4

Irisan Kerucut• Parabola

Sebuah parabola dengantitik puncak (a,b) memilikibentuk persamaan baku :

Dengan F(a+p,b) menyatakan koordinat titikfokus parabola

( ) ( )axp4by 2 −=−

F(a+p,b)


5

Irisan Kerucut• Ellips

Sebuah ellips denganpusat (a,b) dengan jari –jari tegak adalah d dan jari– jari horisontal adalah c memiliki persamaan baku

( ) ( ) 1d

byc

ax2

2

2

2=

−+

−

Pusat(a,b)


6

Irisan Kerucut• Hiperbola

Sebuah hiperbola denganpusat (a,b) dengangradien garis asymtot d/catau -d/c memilikipersamaan baku

( ) ( ) 1d

byc

ax2

2

2

2=

−−

−


7

Jenis – jenispermukaan dimensi tiga

• Elipsoid

Persamaan baku Elipsoiddengan pusat (0,0,0)adalah

Jejak pada bidang xy, xz danyz berupa elips

1cz

by

ax

2

2

2

2

2

2=++


8


• Hiperboloid LembarSatu

Persamaan baku HiperboloidLembar Satu dengan pusat(0,0,0) adalah

Jejak pada bidang xy adalahelips, sedangkan jejak padabidang xz dan yz adalahhiperbola

1cz

by

ax

2

2

2

2

2

2=−+


9


• Hiperboloid Lembar DuaPersamaan baku HiperboloidLembar Dua dengan pusat (0,0,0)adalah

Jejak pada bidang xy dan xzadalah hiperbol sedangkan jejakpada bidang yz tidak ada, tetapiperpotongan bidang yang sejajarbidang yz dengan permukaan akanmembentuk elips.

1cz

by

ax

2

2

2

2

2

2=−−


10


• Paraboloid ElipsPersamaan baku paraboloid elipsdengan pusat (0,0,0) adalah

Jejak pada bidang xy adalah titiktetapi perpotongan bidang yang sejajar bidang xy denganpermukaan membentuk elips. Jejakpada bidang xz dan bidang yzadalah parabol.

2

2

2

2

by

axz +=


11


• Paraboloid HiperbolPersamaan baku paraboloidhiperbol dengan pusat (0,0,0) adalah

Jejak pada bidang xy berupasepasang garis yang salingberpotongan tetapi jejak bidangyang sejajar dengan xy adalahhiperbol. Jejak pada bidang xz danbidang yz adalah parabol .

2

2

2

2

ax

byz −=


12


• Kerucut EllipsPersamaan baku kerucut elipsdengan pusat (0,0,0) adalah

Jejak pada bidang xy berupasebuah titik tetapi jejak bidang yang sejajar dengan xy adalah elips. Jejak pada bidang xz dan bidang yzadalah sepasang garis yang berpotongan . .

0cz

by

ax

2

2

2

2

2

2=−+


13


Dengan menyederhanakan persamaan permukaan kuadrik

Ke salah satu bentuk persamaan permukaan baku tersebut makadapat ditentukan bentuk persamaan permukaan kuadrik tersebut.

Contoh 1Berupa permukaan apakah persamaan permukaan

0JIzHyGxFyzExzDxyCzByAx 222 =+++++++++

036z36y4x9 22 =+−+−


14


Jawaban

Dibagi dengan 36 diperoleh persamaan

Atau bisa dituliskan sebagai

Jadi merupakan permukaan paraboloidhiperbol dengan pusat (0,0,1)

036z36y4x9 22 =+−+−

01z3y

2x

2

2

2

2=+−+−

2

2

2

2

2x

3y1z −=−

036z36y4x9 22 =+−+−


15


Contoh 2Berupa permukaan apakah persamaan permukaan

JawabanDengan menuliskan bentuk (x–a)2, (y–b)2 dan (z–c)2 diperolehpersamaan

Dengan membagi persamaan dengan 36

Jadi permukaan tersebut merupakan permukaan kerucut elipsdengan pusat (–1,1,–2).

011z24y8x18z6y4x9 222 =−−−+−+

( ) ( ) ( ) 02z61y41x9 222 =+−−++

( ) ( ) ( ) 06

2z3

1y2

1x 2

2

2

2

2

2 =+

−−

++


16

Soal Latihan

1. Nyatakan persamaan hiperboloid lembar dua dalam persamaanumum permukaan kuadrik

2. Berupa permukaan apakah persamaan permukaan

3. Tentukan jejak dibidang xy dan yz permukaan kuadrik

Kemudia tuliskan persamaan jejak xy dan yz tersebut dalambentuk baku

026z18y6x16z3y3x4 222 =−−−+−−

025z12y16x18z6y4x3 222 =+−++−+


17

Definisi fungsi dua peubah

Adalah suatu fungsi yang memetakan setiap pasangan terurut(x,y) dalam himpunan D pada bidang terhadap bilangan riil.

Fungsi dua peubah ini dinotasikan dengan f(x,y).

Himpunan D disebut daerah asal fungsi.

Himpunan nilai – nilai dari f(x,y) ini disebut daerah nilaifungsi.

Persamaan permukaan dapat dipandang sebagai fungsi duapeubah x dan y dengan menganggap z = f(x,y).


18

Kurva ketinggian danpeta Kontur

Kurva ketinggian adalah proyeksi pada bidang xy darikurva/permukaan yang dibentuk dari perpotongan bidangmendatar z = c dengan permukaan f(x,y).

Kumpulan dari kurva ketinggian disebut peta kontur.

Kurva ketinggian dari beberapa jenis permukaan yang telahdibahas sebelumnya akan berupa irisan kerucut.

Berikutnya akan digambarkan beberapa peta kontur untukbeberapa jenis permukaan.


19


• Kerucut ElipsKurva ketinggian padakerucut elips ini berbentukelips karena untuk z = k persamaan yang konik yang didapat adalah

Ini merupakan persamaanbaku elips.

kby

ax

2

2

2

2=+


20


• Hiperboloid lembar duaKurva ketinggian padahiperboloid lembar dua iniberbentuk hiperbola karenauntuk z = c persamaan yang konik yang didapat adalah

Ini merupakan persamaanbaku hiperbol.

kdy

cx

2

2

2

2=−


21


• Paraboloid hiperbolKurva ketinggian pada Paraboloid hiperbol iniberbentuk hiperbola pada dua sumbu x dan y karena untuk z = k persamaan yang konik yang didapat adalah

untuk k > 0

Atau

untuk k < 0

Ini merupakan hiperbola pada sumbu x dan y

kdy

cx

2

2

2

2=−

kcx

dy

2

2

2

2=−


22


Contoh 1Berupa apakah kurva ketinggian dari

untuk z = 1

JawabanDengan substitusi nilai z = 1 kedalam persamaan

diperoleh persamaan

Atau bisa dituliskan dalam bentuk baku

Ellips dengan jari – jari mendatar = dan jari – jari tegak = .

36z9y4x9 222 =++

36z9y4x9 222 =++

27y4x9 22 =+

( )1

2721

y3x

2

2

2

2=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

3 32327

21

=


23


Contoh 2Berupa apakah kurva ketinggian dari

untuk z = 3

JawabanDengan substitusi nilai z = 3 diperoleh persamaan

Ini merupakan persamaan hiperbola dengan pusat (1,–2) yang memilikikoordinat puncak (3,–2) dan (–1,–2) serta memiliki gradien garis asymtot. dan .

( ) ( ) 02z3

1x2

2y2

2

2

2=+−

−−

+

( ) ( ) 13

1x2

2y2

2

2

2=

−−

+

32

32

−


24

Soal LatihanUntuk soal 1–3, gambarlah kurva ketinggian untuk nilai k yang

diberikan

1. k = 2,4,6,8

2. k = –4,–1,0,1,4

3. k = 0,1,2,4

Untuk soal 4–5, gambarlah peta kontur dari persamaanpermukaan yang diberikan

4.

5.

z2yx 22 −+

yxz 2 +=

2

2

yxyxz

++

=

1z25y16x100 222 =++

0204z100y100x8y25x4 22 =−−+++−


25

Turunan ParsialTurunan parsial f(x,y) terhadap x dititik (x0,y0) didefinisikan sebagai

Turunan parsial f(x,y) terhadap y dititik (x0,y0) didefinisikan sebagai

Secara sederhana turunan parsial terhadap x bisa diartikan sebagai

turunan pada f(x,y) dengan menganggap y sebagai konstan. Sebaliknya

turunan parsial terhadap y bisa diartikan sebagai turunan pada dengan

menganggap x sebagai konstan.

( ) ( ) ( )x

y,xfy,xxflimy,xf 00000x

00x ∆∆

∆

−+=

→

( ) ( ) ( )y

y,xfyy,xflimy,xf 00000y

00y ∆∆

∆

−+=

→


26

Turunan ParsialPada persamaan permukaan maka secarageometris menyatakan gradien suatu garissinggung kurva dititik dimana kurva tersebutmerupakan perpotongan permukaan danbidang

( )y,xfz =

( )00x y,xf

( )y,xfz =

0yy =

( )000 z,y,x


27

Turunan ParsialContoh 1Tentukan dan dari

Jawaban

Turunan parsial terhadap x adalah

dihitung dengan memasukkan nilai x = 2 dan y = 3

kedalam didapatkan

Turunan parsial terhadap y adalah

didapatkan

( ) y2x3yxyxy,xf 2223 +++=

( ) x6xy2yx3y,xf 22x ++=

( ) 1322.63.2.23323,2f 22x =++=

( ) 2xyx2y,xf 23y ++=

( ) 54223223,2f 23y =++=

( )3,2f y( )3,2fx

( )3,2fx

( )y,xfx


28

Turunan ParsialContoh 2Tentukan gradien garis singgungdititik yang terletak didalam bidang y = 0

Jawaban

14z

3y

2x

2

2

2

2

2

2=++

( )3,0,1

Dengan mengubah ke fungsi x,y diperoleh persamaan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−±= 2

2

2

2

3y

2x14z

Karena titiknya terletak sumbu z positif, maka yang diambil adalahpersamaan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 2

2

2

2

3y

2x14z


29

Turunan Parsial

Jawaban (lanjutan)Turunan parsial terhadap x

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−=

2

2

2

2'x

3y

2x1

xz

Gradien garis singgung adalah

( )3

23,0,1zm 'x −==


30

Soal Latihan1. Tentukan dan dari

2. Tentukan dan dari

3. Tentukan gradien garis singgung dari permukaan

dititik (2,3,2) yang terletak didalam bidang x = 2

4. Tentukan gradien garis singgung dari kerucut elips

dititik (4,0,4) yang terletak pada bidang xz

( ) ( )xySinxxyy,xf 2 +=

( ) ( ) ( )xySinxxyCosyy,xf 22 +=

2

2

2

2

3y

2xz +=

02z

3y

4x

2

2

2

2

2

2=−+

( )1,0fx − ( )1,0f y −

( )2,0fx ( )2,0f y

bab 3 fgs 2 peubah

Documents