2. Peubah Acak(Random Variable)

EL2002-Probabilitas dan StatistikDosen: Andriyan B. Suksmono

Isi

0. Review dari EL2009• Konsep Peubah Acak• Sebaran Peluang Diskrit• Sebaran Peluang Kontinyu• Sebaran Empiris• Sebaran Peluang Gabungan• Nilai Harap• Hukum Nilai Harap• Sifat Variansi• Teorema Chebyshev

Konsep Pubah Acak• Eksperimen statistik dipakai untuk menyatakan proses

dimana pengukuran peluang dilakukan. • Seringkali, yang lebih penting bukanlah detail dari hasil

eksperimen, tetapi gambaran numerik terkait eksperimentsb. Contoh: pelantunan koin 3 kali memberikan hasil

S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

• Gambaran umum mengenai jumlah H yang muncul dapatdilakukan jika nilai-nilai 0, 1, 2, atau 3 bisa dikaitkandengan hasil diatas. Hal ini dilakukan melalui konseppeubah acak (random variable).

Definisi• Def.2.1: Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan riil

yang ditentukan oleh setiap anggota dari ruang cuplikandisebut sebagai peubah acah (random variable).

• Peubah acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya dengan huruf kecil-nya, yakni x untukkasus ini. Untuk kasus pelantunan koin tsb diatas, X akanbernilai 2 untuk peristiwa: E = {HHT, HTH, THH}

0 1-2

S

R

Random variable

Contoh• Contoh 2.1 Dua bola diambil berturutan secara acak, tanpa

penggantian, dari suatu wadah yang berisi empat bola merah (R) dan tiga bola hitam (B). Hasil dapat muncul dannilai y dari peubah acak Y, dimana Y menyatakanbanyaknya bola merah adalah

Peristiwa y

RR 2

RB 1

BR 1

BB 0

…• Contoh 2.2: Petugas penyimpanan helm mengembalikan

helm dari tiga orang pegawai Smith, Jones, dan Brown dalam urutan spt itu. Jika helm diambil acak dandikembalikan sesuai urutan pegawai diatas, dan mmenyatakan jumlah helm yang kembali ke pemiliksebenarnya , kemungkinan berikut bisa terjadi:

Peristiwa mSJB 3SBJ 1JSB 1JBS 0BSJ 0BJS 1

Peubah acak diskrit dan kontinyu• Def.2.2: Ruang cuplikan yang mengandung

sejumlah berhingga titik cuplikan, atau sejumlahtak berhingga titik sebanyak seluruh bilanganbulat, disebut sebagai ruang cuplikan diskrit, danpeubah acak yang didefinisikan dalam ruang inidisebut sebagai peubah acak diskrit.

• Def.2.3: Ruang cuplikan yang mengandungsejumlah takberhingga titik cuplikan, sebanyakseluruh titik dalam segmen garis, disebut sebagairuang cuplikan kontinyu, dan peubah acak yang didefinisikan dalam ruang ini disebut sebagaipeubah acak kontinyu.

Sebaran Peluang Diskrit

Sebaran peluang diskrit• Dalam kasus pelantunan koin tiga kali, peubah X yang

menyatakan banyaknya H muncul akan memberikanpeluang 3/8 untuk x=2.

• Untuk kasus pengembalian helm, peluang tidak satupunpegawai mendapatkan helm yang benar, yakni m=0, adalah2/6=1/3. Kita bisa membuat tabel berikut:

m 0 1 3

P(M=m) 1/3 1/2 1/6

• Nilai m menyatakan semua kasus yang mungkin terjadi, sehingga seluruh peluang akan berjumlah 1.

• Seringkali lebih praktis menyatakan semua kemungkinanpeubah acak X kedalam formula. Jadi kita tuliskan

f(x) = P(X=x) , misalnya f(3) = P(X=3)

Fungsi atau sebaran peluang• Def.2.4: Fungsi f(x) adalah suatu fungsi peluang atau sebaran

peluang dari peubah acak X jika, untuk setiap hasil yang muncul x berlaku:

1. f(x) ≥ 02. Σx f(x) = 13. P(X =x) = f(x)

• Contoh 2.3: Tentukan sebaran peluang dari jumlah sepasangmata dadu jika dilantunkan.

• Jawab: Andaikan X peubah acak yang nilainya x merupakanjumlah pasangan mata dadu. Maka x akan bernilai dari 2 sampai 12. Sepasang dadu akan memiliki kombinasi munculsebanyak 6⋅6 = 36 cara, masing-masing dengan peluang 1/36.

..Mata Dadu

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

X

Sebaran kumulatif• Def.2.5: Sebaran kumulatif F(x) dari peubah acak diskrit X

dengan sebaran peluang f(x) adalahF(x) = P(X ≤ x) = Σt≤x f(t)

• Contoh 2.4 dan 2.5: Suatu koin dilantunkan empat kali. Tentukan: 1) formula sebaran peluang munculnya H yaitu f(x), dan2) sebaran kumulatif F(x) nya.

• Jawab: 1. Jumlah titik cuplikan ada 24 = 16. Jika x menyatakan banyaknya

muncul H, akan ada kombinasi sebanyak C(4,x). Dengandemikian f(x) = C(4, x)/16, dimana x = 0, 1, 2, 3, 4f(0) = (4!/4!)/16 = 1/16 ; f(1)=(4!/3!)/16 = 4/16; f(2) = (4!/(2!2!))/16 = 6/16; f(3) = f(1); f(4)= f(0);

1. Berdasarkan Def.2.5, diperoleh : F(0) = f(0) = 1/16; F(1) = f(0) + f(1) = 5/16; ... dst

…• Dengan demikian

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥<≤<≤

<≤<≤

<

=

4,143,32,

21,10,

0,0

1615

1611

165

161

xuntukxuntukxuntuk

xuntukxuntuk

xuntuk

xF

1/4

1/2

3/4

1

0 1 2 3 4 x

F(x)

Sebarang kumulatif diskrit

Sebaran peluang dlm bentuk grafis• Dari contoh 2.4: f(x) = C(4, x)/16

X 0 1 2 3 4f(x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

1/16

2/16

3/16

4/16

0 1 2 3 x

f(x)5/16

6/16

4

1/16

2/16

3/16

4/16

0 1 2 3 x

f(x)5/16

6/16

4

Luas=f(x)

Histogram peluangBar-chart

2.3 Sebaran peluang kontinyu

Arti kerapatan peluang (kontinyu)• Tinjau sebaran tinggi badan dari orang berumur 21 thn.

Antara sebarang dua nilai, mis. 163.5 – 164.5, ada takhingga macam tinggi badan.– Peubah acak kontinyu memiliki peluang nol untuk suatu nilai

eksak dari peubah acak ini.

P(a<X≤b) = P(a<X<b) + P(X=b)= P(a<X<b) + 0

– Jadi, tidak ada bedanya mengikutkan titik ujung dalam perhitunganini ataupun tidak.

• Peubah acak kontinyu tidak dapat ditampilkan secaratabular, namun bisa dinyatakan dalam rumus.

• Peubah acak kontinyu dinyatakan dalam suatu fungsi rapatpeluang f(x)

Fungsi rapat peluang kontinyu• Suatu fungsi rapat peluang dibentuk sedemikian

hingga integrasi daerah dibawah kurva ke seluruhX memberikan luas sebesar satu.

a b x

f(x)

( ) ( )∫=<<b

a

dxxfbXaP

• Penentuan nilai peluang dalam rentang peubahacak antara a dan b.

Def. fungsi rapat peluang kontinyu• Def.2.6: Suatu fungsi f(x) adalah fungsi rapat peluang

untuk peubah acak kontinyu X yang didefinisikan keseluruh himpunan bilangan riil R, jika

1. f(x) ≥ 0 untuk semua x∈R2. ∫∞

-∞ f(x) dx = 1.3. P(a<X<b) = ∫b

a f(x) dx

• Contoh: andaikan peubah acak X memiliki fungsi rapatpeluang: f(x) = x2/3; -1<x<2 dan f(x)=0 selain itu. Tentukan: (1) kondisi 2 pada Def.2.6, dan (2) TentukanP(0< X ≤1)

• Jawab:1) ∫∞

-∞ f(x) dx = ∫2-1(x2/3)dx = x3/9|2-1 =(8/9) + (1/9) = 1

2) P(0< X ≤1) = ∫10(x2/3)dx= x3/9|10= 1/9

Sebaran peluang kumulatif kontinyu• Def.2.7: Sebaran peluang kumulatif F(x) dari suatu

peubah acak kontinyu X dengan fungsi kerapatan f(x) diberikan oleh

( ) ( ) ( )∫∞−

=≤=x

dttfxXPxF

• Ada dua hasil langsung dari Def.2.7, yaitu:1) P(a<X<b) = F(b) – F(a)2) f(x) = dF(x)/dx

Contoh• Soal: Untuk fungsi pada contoh 2.6., tentukan F(x)

dan gunakan untuk menghitung P(0< X ≤1)• Jawab:

F(x) = ∫∞-∞ f(t) dt = ∫x

-1 (t2/3)dt = t3/9|x-1 = (x3+1)/9

Oleh karena itu,P(0< X ≤1) = F(1) – F(0) = (2/9) – (1/9) = 1/9

2.4 Sebaran Empiris

Sebaran frekuensi relatif• Dalam percobaan, seringkali fungsi rapat peluang f(x)

untuk peubah acak kontinyu X tidak diketahui.• Pemilihan f(x) harus mempertimbangkan setiap informasi

yang tersedia dari data.• Tinjau sebaran frekuensi relatif dari 40 buah umur batere

mobil dalam Tabel 2.1. Pabrik menjamin umur batereadalah 3 tahun.

2.2 4.1 3.5 4.5 3.2 3.7 3.0 2.63.4 1.6 3.1 3.3 3.8 3.1 4.7 3.72.5 4.3 3.4 3.6 2.9 3.3 3.9 3.13.3 3.1 3.7 4.4 3.2 4.1 1.9 3.44.7 3.8 3.2 2.6 3.9 3.0 4.2 3.5

Tabel 2.1. Umur batere dalam tahun

Lanjutan …• Andaikan diambil 7 kelas, dng demikian besar interval

adalah (max-min)/kelas = (4.7-1.6)/7=0.443. Tabel 2.2 menunjukkan sebaran frekuensi relatif-nya.

Interval Kelas Titik tengahkelas

Frekuensi (f) Frekuensirelatif

1.5 - 1.9 1.7 2 0.0502.0 - 2.4 2.2 1 0.0252.5 – 2.9 2.7 4 0.1003.0 – 3.4 3.2 15 0.3753.5 – 3.9 3.7 10 0.2504.0 – 4.4 4.2 5 0.1254.5 – 4.9 4.7 3 0.075

Tabel 2.2

Histogram dan estimasi fungsi rapat peluang

1.7 2.2 2.7 3.2 3.7 4.2 4.7

0.125

0.250

0.375

• Bentuk kurva: lingkaran? Hiperbola? Elips? Parabolaf(x) = ax2 + bx + c, untuk a, b, c tertentu?

• Banyak fungsi kerapatan peluang yang dapat dinyatakandalam kurva berbentuk lonceng (Gaussian).

f(x)

Skewness dari data• Sebaran bersifat simetrik (setangkup) atau tak

simetrik (skewed).

Skew ke kanan Skew ke kirisetangkup

Sebaran kumulatif• Berdasarkan Tabel 2.2, kita dapat membuat sebaran

frekuensi kumulatif dari umur batere, spt pada Tabel 2.3 dan estimasi F(x).

Batas kelas

Frekuensikumulatif relatif

< 1.45 0.000< 1.95 0.050< 2.45 0.075< 2.95 0.175< 3.45 0.550< 3.95 0.800< 4.45 0.925< 4.95 1.000 * * *

*

*

**

0.250

0.500

0.750

1.000

1.45 2.45 3.45 4.45

*

Frekuensi kumulatifrelatif

Umur batere

F(x)

Kuartil pertama~3.05

decile ke tujuh ~3.70

2.5 Sebaran Peluang Gabungan

Peluang gabungan diskrit• Jika dimensi ruang cuplikan lebih dari satu,

misalnya hasil pengukuran dua besaran P dan Vyng dinyatakan sbg (p, v), kita sebut sebaranpeluangnya sebagai sebaran peluang gabungan.

• Def.2.8: Fungsi f(x,y) adalah fungsi peluanggabungan dari dua peubah diskrit X dan Y jika

1. f(x,y) ≥ 0 untuk seluruh (x,y)2. ∑x ∑y f(x,y) = 13. P[(X,Y)∈A] = ∑∑A f(x,y)untuk sebarang daerah A dalam bidang xy.

Contoh 2.8• Soal: Suatu kotak berisi tiga refil (tinta isian) berwarna biru, dua

refil merah, dan 3 refil hijau. Akan diambil dua refil secara acakdari kotak tsb. Jika X menyatakan jumlah refil biru, dan Yjumlah refil merah, tentukan: (1) fungsi peluang gabunganf(x,y), dan (2) P[(X,Y)∈A], dimana A adalah daerah {(x,y)|x + y≤1}.

• Jawab: pasangan (x,y) yang dapat muncul adalah (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0,2), dan (2,0). Tinjau f(0,1) yang menyatakanpeluang terpilihnya refil merah dan hijau (karena refil biro nol). Jumlah total kombinasi terpilihnya dua refil dari delapan buahrefil yang ada di dalam kotak adalah C(8,2) = 8!/(6!)(2!)=8⋅7/2=28. Cacah kombinasi terpilihnya satu dari duarefil berwarna merah dan satu dari tiga refil hijau adalahC(2,1)⋅C(3,1) = 2⋅(3!/2!) = 6. Dengan demikian, f(0,1) = 6/28 =3/14. Dengan cara yang sama, nilai f(x,y) untuk seluruhrentang nilai diskrit x dan y yang mungkin dapat ditentukan. Hasilnya ditampilkan pada Tabel 2.4 berikut ini.

…

y x 0 1 2

0 3/28 9/28 3/28

1 3/14 3/14 -

2 1/28 - -

2). P[(X,Y)∈A] = P(X + Y ≤ 1)= f(0,0) + f(0,1) + f(1,0)= 3/28 + 3/14 + 9/28= 9/14

Tabel 2.4 Sebaran peluang gabungan

Peluang gabungan kontinyu• Def.2.9: Suatu fungsi f(x,y) adalah fungsi kerapatan

gabungan dari peubah acak kontinyu X dan Y jika1. f(x,y) ≥0 untuk semua (x, y)2. ∫∫-∞

∞ f(x,y) dxdy = 13. P[(X,Y)∈A] = ∫∫Af(x,y) dx dy

• Contoh 2.9: Tinjau fungsi rapat peluang berikutf(x,y) = x(1+3y2)/4; 0<x<2, 0<y<1

= 0, lainnya1. Periksa kondisi 2 pada Def.2.92. Tentukan P[(X,Y)∈A] dimana A adalah daerah {(x,y)|

0<x<1, ¼ <y< ½}

( ) ( )

121

21

2223

21

83

8

431,

1

0

31

0

2

1

0

2

0

222

1

0

2

0

2

=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+=

∫

∫

∫ ∫∫ ∫=

=

∞

∞−

∞

∞−

yydyy

dyyxx

dxdyyxdxdyyxf

x

x

( )[ ] ( )

( )

51223

5121

321

641

161

8883

81

83

8

431

,10,

21

41

321

41

221

41

1

0

222

21

41

1

0

2

21

41

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+=

<<<<=∈

∫∫

∫ ∫=

=

yydyydyyxx

dxdyyx

YXPAYXP

x

x

(1)

(2)

Sebaran peluang marjinal• Jika f(x,y) adalah sebaran gabungan dari

peubah acak X dan Y, maka sebaran peluanguntuk masing-masing peubah acak X dan Y(sebaran marjinal) adalah:

Diskrit: g(x) = ∑y f(x,y)h(y) = ∑x f(x,y)

Kontinyu: g(x) = ∫-∞∞ f(x,y) dy

h(y) = ∫-∞∞ f(x,y) dx

…• Fungsi g(x) dan h(y) disebut sebagai sebaran marjinal

dari X dan Y. Bahwa masing-masing benar berupafungsi sebaran dapa diperiksa berdasarkan Def.2.4. dan Def.2.6. Sbg contoh, untuk kasus kontinyu:

∫-∞∞ g(x) dx = ∫-∞

∞∫-∞∞ f(x,y) dy dx = 1

dan

P(a<X<b) = P(a<X<b, -∞<Y<∞)= ∫a

b∫-∞∞ f(x,y) dy dx

= ∫ab g(x) dx

Sebaran bersyarat diskrit• Kembali ke definisi peluang bersyarat:

P(B|A) = P(A∩B)/P(A), P(A)>0Jika A dan B adalah peristiwa yang dimana X=x dan Y=y,

P(Y=y|X=x) = P(X=x,Y=y)/P(X=x)= f(x,y)/g(x) ; g(x) >0

untuk peubah acak diskrit X dan Y.• Dapat ditunjukkan bahwa fungsi f(x,y)/g(x) memenuhi syarat

sebagai sebaran peluang dan akan dituliskan sebagai f(y|x), yakni:

f(y|x) = f(x,y)/g(x), g(x)>0dan disebut sebagai sebaran bersyarat dari peubah acakdiskrit Y, diberikan X=x.

• Dengan cara sama, sebaran bersyarat f(x|y) dari peubah acak X jikadiberikan Y=y dapat dituliskan sebagai

f(x|y) = f(x,y)/h(y), h(y)>0

Sebaran bersyarat kontinyu• Perdefinisi, sebaran rapat peluang bersyarat dari

peubah acak kontinyu X, jika diberikan Y=y adalahf(x|y) = f(x,y)/h(y), h(y)>0

sedangkan sebaran rapat peluang bersyarat untukpeubah acak kontinyu Y, diberikan X=x, adalah

f(y|x) = f(x,y)/g(x), g(x)>0• Peluang dari peubah acak kontinyui X yang

terletak antara a dan b, jika diketahui Y=y, dapatdihitung sbb:

P(a<X<b|Y=y) = ∫ab f(x|y) dx

Contoh 2.10• Soal: Mengacu ke contoh 2.8 tentang pengambilan refil

tinta, tentukan f(x|1) dan P(X=0|Y=1).• Jawab: f(x|1) = f(x,1)/h(1), tentukan tlbh dulu h(1)

h(1) = ∑x=01 f(x,1) = (3/14)+(3/14)+0 = 3/7

Karena itu f(x|1) = (7/3) f(x,1), untuk x=0, 1, 2. Karena ituf(0|1) = (7/3) f(0,1) = (7/3)(3/14) = ½f(1|1) = (7/3) f(1,1) = (7/3)(3/14) = ½f(2|1) = (7/3) f(2,1) = (7/3) (0) = 0

dan sebaran bersyarat untuk X, diberikan Y=1 adalah

x 0 1 2f(x|1) ½ ½ 0

• Akhirnya, P(X=0|Y=1) = f(0|1) = 1/2

Contoh 2.11• Soal: Fungsi kerapatan gabungan dari peubah acak X dan Y

dinyatakan sebagaif(x,y) = 8xy; 0<x<1, 0<y<x

= 0; selain ituTentukan g(x), h(y), f(y|x), dan P(Y<1/8|X=1/2)

• Jawab: Berdasarkan definisi, kita peroleh hasil-hasil berikut ini:g(x)= ∫-∞∞ f(x,y) dy = ∫0

x 8xy dy = 4xy2|xy=0 = 4x3 ; 0<x<1h(y)= ∫-∞∞ f(x,y) dx = ∫0

y 8xy dx = 4x2y|yx=0 = 4y3 ; 0<y<x

Selanjutnyaf(y|x) = f(x,y)/g(x) = 8xy/4x3 = 2y/x2 ; 0<y<x

dan P(Y<1/8|X=1/2) = ∫01/8 (2y/x2)|x=1/2 dy

= ∫01/8 8y dy = 4y2|01/8 = 1/16

Kebebasan Statistik• Contoh 2.12: Tinjau kasus fungsi kerapatan bersama pada

Contoh 2.9. Tentukan g(x), h(y), f(x|y), danP(1/4<X<1/2|Y=1/3)

• Jawab: Berdasarkan definisi kita perolehg(x)= ∫-∞∞ f(x,y) dy = ∫0

x x(1+3y2)/4 dy = x/2; 0<x<2h(y)= ∫-∞∞ f(x,y) dx = ∫0

y x(1+3y2)/4 dx = (1+3y2)/2 ; 0<y<1Akibatnya

f(x|y) = f(x,y)/h(y) = {x(1+3y2)/4}/{(1+3y2)/2} = x/2 ; 0<x<2

dan P(1/4<X<1/2|Y=1/3) = ∫1/41/2 (x/2)|y=1/3 dx = 3/64

• Contoh ini memperlihatkan peluang bersyarat f(x|y) tidakbergantung pada y. Untuk kasus demikian, dapat ditunjukkanbahwa

i) f(x|y) = g(x), danii) f(x,y)= g(x)⋅h(y).

…• Bukti: substitusikan f(x,y) = f(x|y)h(y) ke sebaran marjinal

dari X, yaknig(x)= ∫-∞

∞ f(x,y) dy= ∫-∞∞ f(x|y)h(y) dy

Karena f(x|y) tdk bergatung y, maka peluang bersyarat inibisa dikeluarkan dari integral. Akibatnya

g(x)= f(x|y) ∫-∞∞ h(y) dy = f(x|y)⋅1 = f(x|y)

Oleh karena itug(x) = f(x|y) danf(x,y) = g(x)⋅h(y)

• Hasil ini dirangkum dalam definisi berikut

Def. Kebebasan Statistik• Def.2.10: Andaikan X dan Y dua peubah acak, baik diskret

maupun kontinyu, dengan sebaran peluang gabungan f(x,y) dan sebaran marjinal g(x) dan h(y). Peubah acak X dan Ydisebut bebas secara statistik, jika dan hanya jika,

f(x,y) = g(x)⋅h(y)untuk semua nilai (x,y)

• Peubah acak kontinyu pada contoh 2.12 adalah bebas secarastatistik

• Peubah acak kontinyu pada contoh 2.11 tidak bebas statistik• Berdasarkan contoh 2.8:

f(0,1) = 3/14g(0) = ∑2

y=0 f(0,y) = 3/28 + 3/14 + 1/28 = 5/14h(1) = ∑2

x=0 f(x,1) = 3/14 +3/14 + 0 = 3/7Jelas bahwa f(0,1) ≠g(0)⋅h(1), dengan demikian X dan Y dalamcontoh 2.8 tidak bersifat bebas secara statistik

Generalisasi ke n-buah peubah acak• Hasil-hasil yang diperoleh dari 2-buah peubah acak dapat di-

generalisasi ke n-buah peubah acak. Tinjau fungsi peluangbersama f(x1, x2, …, xn) dari peubah acak X1, X2, …, Xn.

• Sebaran marjinal untuk X1 diberikan olehdiskrit: g(x1) = ∑x2 …∑xn f(x1, x2, …, xn)kontinyu: g(x1) = ∫-∞∞… -∞

∞ f(x1, x2, …, xn)dx2…dxn• Sebaran marjinal gabungan φ(x1, x2)

diskrit: φ(x1, x2) = ∑x3 …∑xn f(x1, x2, …, xn)kontinyu: φ(x1, x2) = ∫-∞∞… -∞

∞ f(x1, x2, …, xn)dx3…dxn• Sebaran gabungan bersyarat X1, X2, X3 diberikan X4= x4, X5=

x5, …, Xn= xn adalah

f(x1, x2, x3| x4, x5, …, xn) = f(x1, x2, …, xn) /g(x4, x5, …, xn)

Generalisasi kebebasan statistik• Def.2.11: Andaikan X1, X2, …, Xn adalah n-buah peubah acak, diskrit

atau kontinyu, dengan sebaran peluang bersama f(x1, x2, …, xn) dansebaran marjinal f1(x1), f2(x2), …, fn(xn). Peubah acak X1, X2, …, Xndisebut saling bebas secara statistik jika dan hanya jika

f(x1, x2, …, xn) = f1(x1)⋅f2(x2) ⋅ … ⋅ fn(xn)

• Contoh 2.13: Andaikan X1, X2, dan X3 adalah tiga peubah acak yang saling bebas secara statistik dan andaikan masing-masing memilikifungsi rapat peluang: f(x) = e-x , x>0

= 0 , selain ituTentukan P(X1<2, 1<X2<3, X3>2)

• Jawab: Fungsi rapat peluang bersama dari X1, X2, dan X3 adalahf(x1, x2, x3) = f(x1) f(x2) f(x3) = e-x1 e-x2 e-x3

= exp(-x1 - x2 - x3), x1>0, x2>0, x3>0maka P(X1<2, 1<X2<3, X3>2) = ∫2∞ ∫13 ∫02 exp(-x1 - x2 - x3) dx1dx2dx3

=(1 - e-2) (e-1 - e-3) e-2 = 0.0376

Latihan• Peluang marjinal: 23 dan 24• Peluang bersyarat: 27 dan 28• Kebebasan statistik: 29, 30• Joint PDF: 32

2.6 Nilai Harap dari Peubah Acak

Konsep dan Definisi

• Def.2.12: Andaikan X suatu peubah acak dengan sebaranpeluang f(x). Nilai harap dari X adalah

E(X) = ∑x x⋅f(x) ; untuk X diskrit= ∫-∞

∞ x⋅f(x)dx ; untuk X kontinyu

• Jika dua buah koin dilantunkan 16 kali dan X menyatakan jumlahmunculnya sisi H per-lantunan, maka X dpt bernilai 0, 1, atau 2. Jika eksperimen ini menghasilkan 4 lantunan tanpa H, 7 lantunandengan 1H, dan 5 lantunan dengan 2H, maka rata-rata jumlah H perlantunan dari dua koin adalah:

(0⋅4 + 1⋅7 + 2⋅5)/16 = 1.06• Nilai rata-rata dari peubah acak yang demikian disebut sebagai

nilai harap (expected value).

Contoh 2.14• Soal: Hitung nilai harap dari jumlah Kimiawan dalam

seleksi suatu Komite yang terdiri dari tiga orang, berdasarkan 4 kandidat Kimiawan dan 3 kandidatBiologiwan

• Jawab: Jika X menyatakan banyaknya Kimiawan dalamKomite, maka sebaran peluang dari X akan diberikan oleh

f(x) = C(4, x)⋅C(3, 3-x)/C(7,3); x=0, 1, 2, 3------------------------------------------------------------------{kombinasi x dari 4 Kimiawan} * {kombinasi (3-x) dari 3 angg. komite}

yakni f(0)=1/35, f(1)=12/35, f(2)=18/25, dan f(3)=4/35. Oleh karena itu:

E(X) = 0⋅(1/35)+1⋅(12/35)+2⋅(18/35)+3⋅(4/35)= 12/7 = 1.7

Contoh …• Soal: Andaikan X peubah acak yang menyatakan

waktu hidup lampu tabung dalam jam. Fungsikerapatan peluangnya dinyatakan sebagai:

f(x) = 20.000/x3, x>100= 0 , selain itu

Tentukan nilai harapan hidup dari tabung jenis ini.• Jawab: Berdasarkan Def.2.12, maka

E(X) = ∫∞100 x⋅(20.000/x3)dx= ∫∞100 (20.000/x2)dx = = 20.000 (-x-1)|∞100 = 0+200 = 200

Nilai harap g(X)• Tinjau fungsi g(X) dari peubah acak X. Sbg

contoh untuk X diskrit dengan sebaran peluangf(x), dimana x=-1, 0, 1, 2 dan g(X)=X2, maka

P[g(X)=0] = P(X=0) = f(0)P[g(X)=1] = P(X=-1)+P(X=1) = f(-1)+f(1)P[g(X)=4] = P(X=2) = f(2)

Perdefinisi 2.12,E[g(X)] = ∑g(x) g(x)P[g(X)=g(x)]

= 0⋅P[g(X)=0] + 1⋅P[g(X)=1]+4⋅P[g(X)=4]= 0⋅f(0) + 1⋅[f(1)+f(-1)] +4⋅f(2)= ∑x g(x)⋅f(x)

• Hasil ini diformulasikan sebagai Teorema 2.1

• Teorema 2.1: Andaikan X suatu peubah acak dengan sebaranpeluang f(x). Nilai harap dari fungsi g(X) adalah

E[g(X)]= ∑x g(x)⋅f(x) ; jika X diskrit= ∫-∞∞ g(x)⋅f(x)dx ; jika X kontinyu

Nilai harap dari g(X) …

• Contoh 2.17: Andaikan X adalah peubah acak dengan sebaranpeluang berikut

x | 0 1 2 3----------------------------------------------f(x)| 1/3 ½ 0 1/6

Tentukan nilai harap dari Y = (X-1)2

• Jawab: Berdasarkan Teorema 2.1, nilai harap dari Y adalahE[(X-1)2] = ∑0

3 (x-1)2 f(x) = (-1)2⋅f(0) + (0)2⋅f(1) + (1)2⋅f(2) + (2)2⋅f(3)= (1)2⋅(1/3) + (0)⋅(1/2) + (1)⋅(0) + (4)⋅(1/6) = 1

• Def.2.13: Andaikan X dan Y peubah acak dengan sebaranpeluang bersama f(x,y). Nilai harap dari fungsi g(X,Y ) adalah

E[g(X,Y)] = ∑x,y g(x,y)⋅f(x,y) ; jika X dan Y diskrit= ∫-∞

∞ ∫-∞∞ g(x,y)⋅f(x,y)dxdy ; jika X dan Y kontinyu

Nilai harap dari g(X,Y)

• Jawab: Perdefinisi 2.13, kita dapat menyatakanE(XY) = ∑2

x=0 ∑ 2y=0 xy⋅f(x,y)

= 0⋅0⋅f(0,0) + 0⋅1⋅f(0,1) + 0⋅2⋅f(0,2) + 1⋅0⋅f(1,0) + 1⋅1⋅f(1,1) + 2⋅0⋅f(2,0) = 0 + 0 + 0 + 0 + f(1,1) + 0

= f(1,1)

y x 0 1 2

0 3/28 9/28 3/28

1 3/14 3/14 -

2 1/28 - -

• Contoh 2.19: Andaikan X dan Y dua peubah acak dengan sebaranpeluang spt pada Tabel 2.4 (lihatsebelah). Tentukan nilai harapg(X,Y)=XY !

2.7 Hukum Nilai Harap

Teorema• Teorema 2.2: Jika a dan b konstanta, maka

E(aX + b) = aE(X) + b

• Corollary 1: Dengan membuat a=0, makaE(b) = b

• Corollary 2: Dengan membuat b=0, makaE(aX) = aE(X)

Teorema

• Teorema 2.3: Nilai harap dari jumlah atau perbedaan daridua atau lebih fungsi dari peubah acak X adalah jumlahatau perbedaan dari nilai harap fungsinya. Yakni

E[g(X) ± h(X)] = E[g(X)] ± E[h(X)]

• Contoh 2.21: Dalam contoh 2.17, kita dapat menuliskanE[(X-1)2] = E(X2 – 2X +1) = E(X2) -2E(X) + E(1)

Dari Corollary 1, E(1) = 1, SehinggaE(X) = 0⋅(1/3) + 1⋅(1/2) + 2⋅(0) + 3⋅(1/6) = 1E(X2) = 0⋅(1/3) + 1⋅(1/2) + 4⋅(0) + 9⋅(1/6) = (1/2) + 1.5 = 2

Dengan demikianE[(X-1)2] = 2- 2⋅1 + 1 = 1

x | 0 1 2 3-----------------------------------------------------------f(x)| 1/3 ½ 0 1/6

Teorema• Teorema 2.4: Nilai harap dari jumlah atau perbedaan dari

dua atau lebih fungsi dari peubah acak X dan Y adalahjumlah atau perbedaan dari nilai harap fungsinya. Yakni

E[g(X,Y) ± h(X,Y)] = E[g(X,Y)] ± E[h(X,Y)]

• Corollary: Dengan membuat g(X,Y) = X dan h(X,Y) = Y diperoleh

E[X ± Y] = E[X] ± E[Y]

• Teorema 2.5: Andaikan X dan Y dua peubah acak yang saling bebas. Maka

E[X⋅Y] = E[X] ⋅ E[Y]

Contoh 2.23• Andaikan X dan Y dua peubah acak yang saling bebas dengan

sebaran peluangf(x,y) = x(1+3y2)/4 ; 0<x<2, 0<y<1

= 0 ; selain ituPeriksa berlakunya Teorema 2.5 untuk kasus ini.

( ) ( ) ( ) ( )65

3312

1231

431 1

0

21

0

2

0

231

0

2

0

22

=+

=+

=+

= ∫∫∫ ∫=

=

dyyydyyyxdxdyyyxXYEx

x

( ) ( ) ( ) ( )34

3312

1231

431 1

0

21

0

2

0

231

0

2

0

22

=+

=+

=+

= ∫∫∫ ∫=

=

dyydyyxdxdyyxXEx

x

( ) ( ) ( ) ( )85

231

831

431 1

0

21

0

2

0

221

0

2

0

2

=+

=+

=+

= ∫∫∫ ∫=

=

dyyydyyyxdxdyyxyYEx

x

Terlihat bahwa, E(X)⋅E(Y)=(4/3)⋅(5/8) = (5/6) = E(XY)

2.8 Ekspektasi Khusus

Momen ke-k dan variansi

Momen ke-k• Jika g(X) = Xk, Teorema 2.1 akan menghasilkan nilai yang

disebut sebagai momen ke-k dari titik asal dari peubah acak X, yang dinyatakan sebagai μ’k. Karena itu

( ) ( )

( )∫

∑∞

∞−

=

==

kontinyuXdxxfx

diskritXxfxXE

k

x

kkk

;

;'μ

• Jika k=0, kita dapatkan E(1) = 1 karenaμ’0= E(1) = ∑x f(x) = 1 ; X diskrit

= ∫∞-∞ f(x) dx =1 ; X kontinyu• Jika k=1, kita dapatkan μ’1=E(X), yaitu nilai harap peubah acak

X. Momen pertama juga disebut mean dari peubah acak μ, jadiμ ≡ μ’1=E(X)

Momen ke-k thd mean, variansi• Jika g(X) = (X-μ)k, Teorema 2.1 menghasilkan momen ke-

k terhadap mean dari peubah acak X, yang dilambangkansebagai μk. Dengan demikian:

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )∫

∑∞

∞−

−=

−=−=

kontinyuXdxxfx

diskritXxfxXE

k

x

kkk

;

;

μ

μμμ

• Momen kedua terhadap mean, μ2, memberikan ukurankeragaman (variability) hasil pengamatan terhadap mean. μ2disebut juga sebagai variansi dari peubah acak X, dinyatakan sebagai σ2.

σ2 = μ2 = E[(X-μ)2]• Akar kuadrat positif dari variansi disebut sebagai simpangan

baku (standard deviation).

Variansi• Teorema 2.6: Variansi dari peubah acak X diberikan oleh

σ2 = E(X2) - μ2

• Bukti:σ2 = E[(X-μ)2] = E(X2 - 2μX+μ2)

= E(X2) - 2μE(X) + E(μ2) = E(X2) - 2μ⋅μ + μ2

= E(X2) - μ2

Contoh 2.24• Soal: Hitung variansi dari X, dimana X adalah

banyaknya Kimiawan dalam komite yang terdiridari 3 orang dan dipilih dari 4 Kimiawan dan 3 Biologiwan

• Jawab: Dalam contoh 2.14 sudah didapatkan μ = 12/7. Selanjutnya

E(X2) = 02⋅(1/35) + 12⋅(12/35) + 22⋅(18/35) + 32⋅(4/35) = 24/7

Oleh karena ituσ2 = 24/7 – (12/7)2 = 24/49

Contoh 2.25• Soal: Tentukan mean dan variansi dari peubah acak X, dimana

X memiliki fungsi kerapatanf(x) = 2(x-1), 1<x<2

= 0, selain itu• Jawab:

( ) ( ) 35

2

1

12 =−== ∫ dxxxXEμ

( ) ( ) 617

2

1

22 12 =−= ∫ dxxxXE

Oleh karena itu: σ2 = (17/6) – (5/3)2 = 1/18

Kovariansi• Jika g(X,Y) = (X-μX)(Y-μY), dimana μX=E(X) dan

μY= E(Y), Def. 2.13 akan menghasilkan nilai harapyang disebut kovariansi dari X dan Y, yngdilambangkan sebagai σXY atau cov(X,Y).

( )( )[ ]( )( ) ( )

( )( ) ( ) kontinyuYdanXdydxyxfyx

diskritYdanXyxfyxYXE

YX

x yYX

YXXY

;,

;,

∫ ∫

∑∑∞

∞−

∞

∞−

−−=

−−=

−−=

μμ

μμ

μμσ

Sifat-sifat Kovariansi• Kovariansi positif:

– tingginya nilai X berasosiasi dengan tingginya nilai Y, dan

– rendahnya nilai X berasosiasi dengan rendahnya nilai Y

• Kovariansi negatif:– tingginya nilai X berasosiasi dengan rendahnya nilai Y,

atau sebaliknya

• Jika X dan Y saling bebas secara statistik, makakovariansi akan bernilai nol. Hal sebaliknya tidakberlaku, kovariansi nol tidak berarti X dan Y saling bebas statistik.

Kovariansi ..• Teorema 2.7 Kovariansi dari dua buah peubah

acak X dan Y dengan mean masing-masing μX danμY adalah

σXY = E(XY) - μX⋅μY

• Bukti:σXY = E[(X - μX)(Y - μY)]

= E(XY- μXY- μYX+ μXμY)= E(XY)- μXE(Y)- μYE(X) +E(μXμY)= E(XY) - μXμY - μYμX+ μXμY= E(XY) - μXμY

Contoh 2.26• Tinjau sebaran peluang bersama pada contoh 2.8. dan

perhitungan 2.19 yang menghasilkan E(XY) = 3/14.

y x 0 1 2

0 3/28 9/28 3/28

1 3/14 3/14 -

2 1/28 - -

g(x) 10/28 15/28 3/28

μX = E(X) = ∑2x=0 ∑ 2

y=0 xf(x,y)= ∑2

x=0 xg(x)= 0(10/28)+1(15/28)+2(3/28)=21/28=3/4

Sedangkan μY = E(Y) = ∑2x=0 ∑ 2

y=0 yf(x,y)= ∑2y=0yh(y)

= 0(15/28)+1(12/28)+2(1/28) = 14/28 = ½Akibatnya

σXY = E(XY) - μX μY = 3/14 – (3/4)(1/2) = -9/56

h(y)

15/28

12/28

1/28

2.9 Sifat-Sifat Variansi

Sifat-sifat variansi … • Teorema 2.8: Andaikan X suatu peubah acak dengan

sebaran peluang f(X). Variansi dari fungsi g(X) adalahσ2

g(X) = E[{g(X) - μg(X)}2]

• Teorema 2.9: Jika X suatu peubah acak dan b konstanta, maka

σ2X+b = σ2

X = σ2

• Teorema 2.9: Jika X suatu peubah acak dan a konstanta, maka

σ2aX = a2σ2

X = a2σ2

Sifat-sifat variansi …• Teorema 2.11: Jika X dan Y peubah acak dengan sebaran

peluang gabungan f(x,y), makaσ2

aX+bY = a2σ2X + b2σ2

Y + 2abσXY

• Corollary 1: Jika X dan Y peubah acak yang saling bebas, maka

σ2aX+bY = a2σ2

X + b2σ2Y

• Corollary 2: Jika X dan Y peubah acak yang saling bebas, maka

σ2aX-bY = a2σ2

X + b2σ2Y

Contoh 2.8• Soal: Jika X dan Y peubah acak dengan variansi σ2

X = 2, σ2

Y = 4 dan kovariansi σXY= -2, tentukan variansidari peubah acak Z = 3X - 4Y + 8

• Jawab: σ2

Z = σ23X - 4Y + 8

= σ23X-4Y ; T.2.9

= 9σ2X + 16σ2

Y - 24σXY ; T.2.11= 9⋅2 + 16⋅4 - 24⋅(-2)= 130

2.10 Teorema Chebyshev

Teorema Chebyshev dan Bukti• Teorema Chebyshev: Peluang sebarang peubah acak X jatuh

dalam rentang k kali simpangan baku dari mean sekurang-kurangnya adalah (1 - 1/k2). Yakni

P(μ-kσ<X< μ+kσ) ≥ 1 – 1/k2

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )∫∫

∫∫∫

∫

∞

+

−

∞−

∞

+

+

−

−

∞−

∞

∞−

−+−≥

−+−+−=

−=−=

σμ

σμ

σμ

σμ

σμ

σμ

μμ

μμμ

μμσ

k

k

k

k

k

k

dxxfxdxxfx

dxxfxdxxfxdxxfx

dxxfxXE

22

222

222

• Karena integral kedua bernilai tak negatif. Selanjutnya, karena |x - μ| ≥ kσ berarti x ≥ μ+kσ atau x≤ μ-kσ, diperoleh

(x - μ)2 ≥ k 2σ2

…

( ) ( )∫∫∞

+

−

∞−

+≥σμ

σμ

σσσk

k

dxxfkdxxfk 22222

( ) ( )∫∫∞

+

−

∞−

≤+σμ

σμ

k

k

kdxxfdxxf 2

1

Akibatnya

Dan bahwa

( ) ( ) 2

11k

dxxfkXkPk

k

−≥=+<<− ∫+

−

σμ

σμ

σμσμ

Oleh karena itu

Terbukti

Konsekuensi Teorema Chebyshev• Untuk k=2, teorema ini menyatakan bahwa peubah acak X

memiliki peluang sedikitnya 1-(1/2)2 = ¾ untuk masukdalam rentang dua kali simpangan baku dari mean.

μ

σ

2σ

f(x) ( )∫+

−

σμ

σμ

k

k

dxxf

μ-2σ μ+2σ

Contoh 2.30• Soal: Suatu peubah acak X memiliki mean μ=8,

variansi σ2=9 dan (fungsi) sebaran peluangyang tak diketahui. Tentukan: (1) P(-4<X<20) dan (2) P(|X-8|≥6).

• Jawab: simpangan baku σ= √9 = 3, μ=81. P(-4<X<20) = P[8-(4)(3)<X<8+(4)(3)]

= P[μ - (4)(σ)<X< μ + (4)(σ)]≥ 15/16 ; (1-1/k2)=1-1/16

2. P(|X-8|>6) = 1-P(|X-8|≤6)= 1 – P(-6<X-8<6)= 1 - P[μ -(2)(σ)<X<μ +(2)(σ)]≤ ¼ (<?) ; { ≥ 1-1/22 =3/4}

Sekian