PERTEMUAN KELIMA

MATEMATIKA III

http://nurtamam.blogspot.com

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA - FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS TRUNOJOYO MADURA

Oleh

Mohammad Edy Nurtamam, S.Pd., M.Si

Integral Reiman untuk fungsi satu peubah, telah diperkenalkan pada

matakuliah Matematika I. Ingat kembali kita membentuk partisi P dari

selang [a, b] menjadi selang bagian yang panjangnya Dxk, k = 1, 2, 3, . . .

n dan mengambil titik contoh dari selang bagian ke-k, dan kemudian

menuliskan

Kita akan meneruskan cara yang sama untuk mendefinisikan integral

untuk fungsi dua peubah.

Kita tetapkan R sebagai suatu persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar

sumbu-sumbu koordinat yaitu

R = {(x, y)| a x b, c x d}

3.1 Integral Ganda-Dua atas Persegipanjang

kx

01

( ) lim ( ) .nb

k ka P

k

f x dx f x x

Definisi 3.1 (Integral Ganda Dua)

Andaikan f adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi

panjang tertutup R. Jika

ada, kita katakan f terintegralkan pada R. Lebih lanjut

yang disebut Integral Ganda Dua f pada R, diberikan oleh

Catatan:

Nilai f(x,y) 0, maka

menyatakan VOLUME BENDA PEJAL di

bawah permukaan z = f(x, y) dan di atas

persegi panjang R.

(lihat Gambar 3.1)

01

lim ( , )n

k k kP

k

f x y A

( , ) ,R

f x y dA

01

( , ) lim ( , )n

k k kP

kR

f x y dA f x y A

( , ) ,R

f x y dAz =f(x,y)

R

1. Integral ganda-dua adalah bersifat linier

(i)

(ii)

2. Integral ganda-dua adalah aditif pada persegipanjang yang

saling melengkapi hanya pada suatu ruas garis

3. Sifat pembandingan berlaku. Apabila f(x, y) g(x, y) untuk

semua (x, y) di R, maka

3.2 Sifat-Sifat Integral Ganda-Dua

( , ) ( , )R R

kf x y dA k f x y dA

[ ( , ) ( , )] ( , ) ( , )R R R

f x y g x y dA f x y dA g x y dA

1 2

( , ) ( , ) ( , )R R R

f x y dA f x y dA f x y dA

( , ) ( , )R R

f x y dA g x y dA

Jika f(x, y) = 1 pada R, maka integral ganda-dua merupakan luas

R, sehingga

Contoh 3.1

Jika f merupakan fungsi tangga yaitu

Hitung dengan R = {(x, y) | 0 x 3, 0 y 3}

1 ( )R R

kdA k dA kA R

1, 0 3,0 1

( , ) 2, 0 3,1 2

3, 0 3, 2 3

x y

f x y x y

x y

( , )R

f x y dA

Penyelesaian

Perkenalkan daerah persegi panjang R1, R2, R3, sebagai berikut:

R1 = {(x, y) : 0 x 3, 0 y 1}

R2 = {(x, y) : 0 x 3, 1 y 2}

R3 = {(x, y) : 0 x 3, 2 y 3}

Selanjutnya kita gunakan sifat integral rangkap-dua, sehingga

diperoleh

= 1A(R1) + 2A(R2) + 3A(R3)

= 1.3 + 2.3 + 3.3

= 18

1 2 3

( , ) ( , ) ( , ) ( , )R R R R

f x y dA f x y dA f x y dA f x y dA

Misalkan f(x, y) 0 untuk semua (x, y) di R, maka kita mengartikan Integral Ganda-Dua merupakan Volume V benda Pejal di bawah permukaan dari gambar 3.3

Irisan oleh bidang y = konstanta Kepingan Volume yang berpadanan A(y) y

3.3 Integral Lipat

( , )R

V f x y dA

z

y

x

c da

b

R

z =f(x,y)

z

y

x

ca

bR

y

d

Luas A(y)

y

Gambar 3.3

Volume V dari kepingan secara hampiran diberikan oleh

V A(y) y

Ingat kembali Iris, Hampiri dan Integralkan, kita dapat

menuliskan

Sebaliknya, untuk y tetap kita dapat menghitung A(y) dengan

menggunakan integral tunggal biasa yaitu;

Sehingga dapat disimpulkan:

yang selanjutnya disebut INTEGRAL LIPAT (Iterasi)

( )

d

c

V A y dy

( ) ( , )

b

a

A y f x y dx

( , )

d b

c a

V f x y dx dy

Jadi kita akan dapatkan formula untuk menentukan volume benda

pejal yaitu

Kita akan langsung menuju contoh untuk memulai memahami

integral lipat.

Contoh 3.2

Hitunglah

( , ) ( , )

d b

R c a

f x y dA f x y dx dy

( , )

b d

a c

f x y dy dx

3.4 Menghitung Integral Lipat

2 2

0 1

(4 2 )x y dx dy

Penyelesaian

Pada proses pengintegralan yang berada dalam tanda kurung, y

dianggap konstanta, maka didapat

Selanjutnya

Jadi

2

2 2

1

1

(4 2 ) [2 2 ]x y dx x xy

(8 4 ) (2 2 ) 6 2y y y

2 2 2

0 1 0

(4 2 ) (6 2 )x y dx dy y dy

2 2

0[6 ]y y

(12 4) (0) 16

2 2

0 1

(4 2 ) 16.x y dx dy

Contoh 3.3

Hitunglah

Penyelesaian

Selanjutnya kita integralkan terhadap x

3 4

2

0 0

( 4 )x y dy dx

4

2 2 2 4

0

0

( 4 ) [ 2 ]x y dy x y y2(4 32)x

3 4 3

2 2

0 0 0

( 4 ) (4 32)x y dy dx x dx

3

3

0

432

3x x

34(3) 32(3) 60

3

Latihan 3.1

Untuk soal berikut, hitunglah masing-masing integral lipat

1. 7.

2.

3.

4.

5.

6.

3 1

0 0

4xydydx

2 2

1 0

(4 2 )xy y dydx

3 1

2

1 0

( 3 )xy y dxdy

2 1

3 2

1 0

(4 3 )x y dxdy

2 3

3 2 2

0 0

(2 6 )x y x y dxdy

1

0 0

( sin )x y dxdy

ln3 ln 2

0 0

x ye dydx

Pada sub pokok bahasan ini, kita dapat menghitung beraneka

ragam bentuk benda pejal.

Contoh 3.4

Carilah volume V dari benda pejal yang di bagian atas dibatasi

oleh z = 2 – x2 + y dan di bagian bawah oleh persegipanjang

R ={(x,y): 0 x 1, 0 y 2}

Penyelesaian

3.5 Menghitung Volume Benda Pejal

2 1

2 2

0 0

(2 ) (2 )R

V x y dA x y dxdy

21

313 0

0

2x x xy dy

2

0

5( )3

y dy

225 101

3 2 30

162 (0) Sat. Vol.

3y y

Latihan 3.2

Untuk soal berikut, hitunglah volume benda pejal berikut

1. Benda pejal dibawah bidang z = x + y + 1

atas R = {(x, y) : 0 x 1, 1 y 3}

2. Benda pejal dibawah bidang z = 3x + 4y

atas R = {(x, y) : 1 x 2, 1 y 4}

3. Benda pejal antara z = x2 + y2 + 2 dan z = 1 dan terletak

atas R = {(x, y) : – 1 x 1, 0 y 1}