web viewsma st. angela bandung. matematika xi mia 2016 marcoes 28. parabola. author: user created...

PARABOLA

MATEMATIKAXI MIA

Disusun :Markus Yuniarto, S.Si

Tahun Pelajaran2016 – 2017

http://www.bing.com/images/search?q=gambar+parabola&go=Submit+Query&qs=bs&form=QBIRMH#view=detail&id=54AE3545A67742C5C53DB5BE6620090017A2F0D5&selectedIndex=10

SMA St. Angela Bandung

TUJUAN

1. Mengetahui bentuk-bentuk parabola yang berpuncak di titik (0,0).

2. Dapat menggambar bentuk-bentuk parabola yang berpuncak di O

(0,0) berdasarkan persamaannya.

3. Dapat menggambar bentuk-bentuk parabola yang berpuncak di P

(a,b) berdasarkan persamaannya.

4. Mengetahui kedudukan garis terhadap parabola.

5. Untuk mengetahui kedudukan garis singgung melalui suatu titik di

luar parabola.

Matematika XI MIA 2016 marcoes 2


A. Pengertian Parabola

Definisi :

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke

suatu titik tertentu sama dengan jaraknya ke garis tertentu.

Titik tertentu itu disebut titik api (fokus) dan garis tertentu itu

di sebut garis arah (direktriks). Misalkan F adalah titik api (fokus)

dan g adalah garis arah (direktriks) dari suatu parabola. Parabola

dengan fokus di F dan direktris g dapat dilukiskan sbb :

1. Buatlah ruas garis FA tegak lurus garis g. Titik tengah FA titik

(titik 0) adalah sebuah titik yang memenuhi definisi parabola.

2. Buatlah lingkaran yang pusatnya F dan jari-jari r (r sembarang).

Kemudian tariklah garis g’ sejajar dengan garis g pada jarak r,

sehingga garis r memotong lingkaran di dua titik yang

berlainan. Kedua titik ini juga memenuhi definisi parabola.

Dengan mengambil nilai r yang berbeda-beda kita

mendapatkan titik-titik lain yang memenuhi definisi parabola.

B. Persamaan Parabola yang Berpuncak di O (0,0)

1. Parabola yang Terbuka ke Atas

Kita misalkan garis g sebagai garis tetap (direktris) dan

F sebagai titik tetap (fokus). Jika F tidak terletak pada g, naka



kita dapat memilih sebuah sistem koordinat yang

menghasilkan sebuah persamaan yang sederhana untuk

parabola, dengan mengambil sumbu y melalui F dan tegak

lurus garis g dan dengan mengambil titik asalnya di titik tengah

antara F dan g.

Y

x2 = 4py

●F(0,p)

X

puncak

direktris y = -p

Dengan menggunakan rumus jarak persamaan menjadi :

√ x2+( y2−p )2 = √ ( y+ p )2



⇔ x2+ ( y−p )2=( y+p )2

⇔ x2+ y2−2 py+ p2= y2+2 py+ p2

⇔ x2=4 py

Persamaan parabola yang berpuncak di O (0,0)dan fokus di F

(0,p)

didefinisikan dengan persamaan : x2=4 py .

Dengan syarat : Titik fokus (0,p)

Titik puncak (0,0)

Direktris y = - p

Persamaan sumbu simetri x = 0

2. Parabola yang Terbuka ke Bawah

Jika parabola terbuka ke bawah, dengan fokusnya di F ( 0.- p)

dan direktrisnya

adalah garis y = p. Maka persamaan parabolanya : x2=−4 py

Y

direktris y = p



puncak

X

●F(0,-p) x2 = - 4py

Dengan syarat : Titik fokus (0,- p)

Titik puncak (0,0)

Direktris y = p

Persamaan sumbu simetri x = 0

3. Parabola yang Terbuka ke Kanan

Jika parabola terbuka ke kanan, maka persamaan parabolanya

adalah :

Y

y 2 = 4px



direktris y = -p

F(p,0)

● X

puncak

Dengan syarat : Titik fokus (p,0)

Titik puncak (0,0)

Direktris x = - p

Persamaan sumbu simetri y = 0

4. Parabola yang Terbuka ke Kiri

Jika parabola terbuka ke kiri, maka persamaan parabolanya

adalah :

Y



direktris y = p

F(-p,0)

● X

puncak

y2 = - 4px

Dengan syarat : Titik fokus (- p,0)

Titik puncak (0,0)

Direktris x = p

Persamaan sumbu simetri y = 0

C. Persamaan Parabola yang Berpuncak di A(a,b)

Bila puncak parabola berada di titik A(a,b), sumbu simetri

sejajar sumbu X dengan persamaan y = b, titik fokus berjarak p

satuan di sebelah kanan titik puncak dengan koordinat F(a+p, b).

Garis direktriks sejajar sumbu Y dan berjarak p satuan di sebelah

kiri titik puncak dengan persamaan



x = a - p atau x - a + p = 0

Puncak A(a,b)

P(x,y)

Sumbu simetri

F(a + p, b)

g = garis direktriks

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik pada parabola.

Berdasarkan definisi parabola,haruslah berlaku:

Jarak PF = jarak PQ

√(x−a−p)2

+( y−b )2

= |x−a+ p|2

x2 + a2 + p2 – 2ax - 2px + 2ap + (y-b)2 = x2 + a2 + p2 – 2ax + 2px – 2ap

(y-b)2 = (2px + 2px) – 2ap – 2ap

(y-b)2 = 4px – 4ap

(y-b)2 = 4p (x – a)



Sehingga persamaan parabola yang berpuncak di A(a,b) dan fokus

di F(a + p,b) adalah:

(y-b)2 =4p(x-a)

Untuk parabola yang berpuncak di A(a,b),sumbu simetri

sejajar sumbu X dengan persamaan y=b,titik fokus berjarak p

satuan di sebelah kiri titik puncak dengan koordinat F(a-p,b).garis

direktriks sejajar sumbu Y dan berjarak p satuan di sebelah kanan

titik puncak dengan persamaan x = a+p atau x-a-p=0. Maka

persamaan parabolanya:

(y-b)2 = -4p(x-a)

Puncak A(a, b) Y

P(x,y)

sumbu simetri

x

g= garis direktriks



Parabola yang berpuncak di A(a,b),sumbu simetri sejajar

sumbu Y dengan persamaan x = a,titik fokus berjarak p satuan di

atas,titik puncak dengan koordinat F(a,b+p). Garis direktriks

sejajar sumbu X dan berjarak p satuan dibawah titik puncak

dengan persamaan y = b - p atau y – b + p = 0

Maka,diperoleh persamaan parabolanya:

(x-a)2 = 4p(y-b)

sumbu simetri

y

F(a, b + p) P(x,y)

A(a,b) g = garis direktriks

x

Parabola yang berpuncak di A(a,b),sumbu simetri sejajar sumbu Y

dengan persamaan x = a,titik fokus berjarak p satuan dibawah

titik puncak dengan koordinat F(a,b+p). Garis direktriks sejajar

sumbu X dan berjarak p satuan diatas titik puncak dengan

persamaan

y = b+p atau y – b-p = 0.

Maka, diperoleh persamaan parabolanya: (x-a) = -4p(y-b)



y

0 x

A(a,b) g = garis direktris

F(a,b-p)

P(x,y)

Ex. 1

Diketahui parabola dengan persamaan y2 + 4y - 4x + 8 = 0

a. Nyatakan persamaan parabola itu dalam bentuk (y-b)2 =

4p(x-a)

b. Tentukan : (i) koordinat titik puncak

(ii) persamaan sumbu simetri

(iii) koordinat titik fokus

(iv) persamaan direktriks

c. Gambarlah sketsa parabola itu!



Jawab :

a. y2 + 4py – 4x + 8 = 0

y2 + 4y = 4x – 8

ruas kiri dikuadratkan :

y2 + 4py + 4 = 4x -8 + 4

(y + 2)2 = 4x -4

(y + 2)2 = 4(x -1)

Jadi, persamaan parabolanya adalah (y + 2)2 = 4(x – 1)

dengan a = 1,b = -2, dan 4p = 4 sehingga p = 1

b. (i) Koordinat titik puncaknya (a,b) adalah A(1,-2)

(ii) Persamaan sumbu simetrinya : y + 2 = 0 atau y = -2

(iii) Koordinat titik fokusnya F(a+p,b) : (1+1,-2) = F(2,-2)

(iv) Persamaan direktriksnya adalah x = a – p = 1-1 = 0

Jadi, direktriksnya berimpit dengan sumbu Y



c. Sketsa parabolanya :

y

2

1

0 1 2 3 4 5 6 x

-1

y = -2 -2 -

-3 A(1,-2)F(2,-2) sumbu simetri

-4

direktriks x = 0

Ex. 2

Tentukan persamaan parabola dengan titik puncak (1,-3) dan

titik fokusnya (0,-3) dan tentukan persaman direktriksnya serta

gambarkan sketsa grafiknya!

Jawab :

Puncak (a,b) = (1,-3)

Fokus F(a - p,b) adalah F(1–1,-3) = F(0,3)

Sehingga parabolanya terbuka ke kiri. Bentuk persamaan

parabolanya :



(y-b)2 = -4p(x-a) ≈ (y - (-3))2 = -4(1)(x -1)

≈ (y + 3)2 = -4(x -1)

≈ y2 + 6y + 9 = -4x + 4≈ y2 + 6y + 4x + 5= 0

Persamaan direktriksnya adalah :

x = a + p

≈ x = 1 + 1=2

(y+3)2 = -4(x-1)

0 1 2 3 x

-1

-2

Sumbu simetri -3 A(1,-3)

3. Suatu parabola mempunyai persamaan x2 + 6x – 8y -31 = 0

Tentukan : a) koordinat titik puncak

b) koordinat titik fokus

c) persamaan direktriks

d) gambar sketsa grafiknya

jawab :

x2 + 6x - 8y – 31 = 0

≈ x2 + 6y = 8y + 31



≈ x2 + 6y + 9 = 8y + 31 +9

≈ (x + 3)2 = 8y + 40

≈ (x + 3)2 = 8(y + 5)

Persamaan parabola terbuka ke atas dengan a = -3,b = -5 dan

4p = 8 atau p = 2

a) titik puncaknya (a,b) adalah A(-3,-5)

b) titik fokusnya adalah F(a,b+p) = F(-3,-5 + 2) = F(-3,-3)

c) persaman direktriksnya adalah y = b – p

≈ y = -5 – 2

≈ y = -7

d) sketsa grafik :

y Sumbu simetri x = -3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

-1

-2

F(-3,-3) -3

-4

A(-3,-5) -5

-6

direktriks y = -7 -7



D. Kedudukan Garis Terhadap Parabola

Secara Geometri, kedudukan garis g terhadap parabola dapat

diperlihatkan pada gambar berikut:

(i) (ii) (iii)

Gambar (i), garis g memotong parabola di dua titik yang

berlainan, yaitu di titik A(x1 ,yalignl ¿1 ¿¿)¿ dan dititik B(x2 , y2) .



Gambar (ii), garis g memotong parabola di satu titik

(dikatakan garis g menyinggung parabola), yaitu di titik S( xs , y s) .

Gambar (iii), garis g tidak memotong maupun menyinggung

parabola. Kedudukan garis g dan parabola dapat di analisis secara

Aljabar dengan menggunakan konsep diskriminan sebagai berikut

:

Misalkan persamaan garis g adalah y=mx+n , sedangkan

persamaan parabolanya adalah y2=4 px .

Substitusikan y=mx+n ke persamaan parabola y2=4 px ,

didapat :

(mx+n)2=4 pxm2 x2+2mnx+n2=4 pxm2 x2+(2 mn−4 p )x+n2=0Jadi persamaan kuadrat gabungan antara garis dan parabola

adalah m2 x2+(2 mn−4 p) x+n2

Nilai diskriminan persamaan kuadrat gabungan

D=(2 mn−4 p )2−4 (m2)(n2)D=4 m2 n2−16 mnp+16 p2−4 m2 n2

D=16 p2−16 mnpKedudukan garis g dan parabola ditentukan oleh nilai diskriminan

D sebagai berikut.



D>0 garis g memotong parabola di dua titik yang

berlainan.

D=0 garis g menyinggung parabola.

D<0 garis g tidak menyinggung dan tidak memotong

parabola.

Ex 3 :

a. Tunjukkan bahwa garis y=2 x−4 memotong parabola

y2=4 x di dua titik yang berlainan.

b. Tentukan koordinat kedua titik potong itu.

Jawab :

a. substitusi y=2 x−4 ke y2=4 x , didapat:

(2 x−4 )2=4 x4 x2−16 x+16=4 x4 x2−20 x+16=0x2−5 x+4=0

Nilai diskriminan:

D=(−5)2−4 (1)( 4 )=9

Oleh karena D=9>0, maka garis y=2 x−4 memotong

parabola y2=4 x di dua titik yang berlainan.



b. Dari persamaan x2−5x+4=0 , didapat:

( x−1)( x−4 )=0

x=1 atau x=4

Untuk x=1 , y=2(1)−4=−2⇒(1,−2)

Untuk x=4 , y=2( 4 )−4=4⇒(4,4 )

Jadi, koordinat titik potong garis y=2 x−4 dengan parabola

y2=4 x adalah A(1,2) dan B(4,4).

Ex 4 :

a. Tentukan nilai p, supaya garis x−2 y+ p=0 menyinggung

parabola y2−2 x+8=0 ?

b. Tentukan koordinat titik singgungnya.

Jawab :

a. x−2 y+ p=0⇒ y=1

2( x+ p)

substitusi y=1

2( x+ p )

ke persamaan parabola

y2−2 x+8=0 , didapat:



(12 ( x+ p ))2−2 x+8=0

14

( x2+2 px+ p2 )−2 x+8=0

x2+2 px+ p2−8 x+32=0x2+(2 p−8 )x+( p2+32)=0Nilai diskriminan D:

D=(2 p−8 )2−4 (1 )( p2+32 )D=4 p2−32 p+64−4 p2−128D=−32−64Oleh karena garis menyinggung parabola, maka nilai

diskriminan D=0.

−32 p−64=032 p=64p=−2

Jadi, supaya garis x−2 y+ p=0 menyinggung parabola

y2−2 x+8=0 apabila nilai p=-2.

Substitusi p=-2 ke persamaan x2+(2 p−8) x+( p2+32 )=0 ,

didapat:

x2−(−4−8 )x+( 4+32 )=0x2−12 x+36=0( x−6 )2=0x=6



Substitusi p=-2 dan x=6 ke y=1

2( x=p ) ,

didapat :

y=12(6−2 )=2

Jadi, koordinat titik singgungnya adalah (6,2).

Ex 5 :

Tentukan batas-batas nilai a, supaya garis 2x-y+a=0 tidak

memotong dan tidak menyinggung parabola y2−2x+4=0 .

Jawab :

2 x− y+a=0⇒ y=2x+a

Substitusi y=2x+a ke persamaan parabola y2−2 x+4=0 ;

didapat:

( x+a )2−2 x+4=04 x2+4ax+a2−2 x+4=04 x2+(4 a−2 )x+( a2+4 )=0

Nilai diskriminan D:

D=(4 a−2 )2−4 (4 )(a2+4 )D=16 a2−16 a+4−16 a2−64D=−16 a−60



Supaya garis tidak memotong dan tidak menyinggung parabola,

maka nilai D<0.

−16a−60<016a>−60

a>−334

Jadi, garis 2x – y+a=0 tidak memotong dan tidak menyinggung

parabola y2−2 x+4=0 bila

a>−3 34

.

E. Garis Singgung melalui Suatu titik di luar parabola


X

Garis singgung

Garis polar

A

B

-1

-2

-3

-4

-5

T

Y

-4 -3 -2 -1 6543210

5

4

3

2

1


Salah satu cara ujtuk menentukan persamaan garis

singgung parabola melalui titik T (X1, Y1) di luar parabola adalah

dengan memanfaatkan garis polar.

Langkah yang ditempuh untuk mencari persamaan garis singgung

tersebut, yaitu:

1. Persamaan garis polar dari T terhadap parabola

2. Titik potong antara garis polar dan parabola sehingga titik

singgung A dan B

3. Persamaan-persamaan garis singgung melalui titik A dan

melalui B yang terletak pada parabola.

Ex 6 :

a. Titik P (1, 2½) terletak di luar parabola y2 = 4x. Tentukan

persamaan-persamaan garis singgung yang dapat ditarik

selalui titik P (1, 2½) ke parabola y2 = 4x.

b. Misalkan titik-titik singgung adalah A dan B, tentukan

koordinat titik A dan titik B.

c. Tentukan persamaan garis AB



Jawab:

a. Misalkan garis singgung memalui titik P (1, 2½) mempunyai

gradien m, persamaannya adalah:

y - 2½ = m (x – 1)

y = mx – m + 2½

substitusi y = mx – m + 2½ ke persamaan parabola y2 = 4x,

didapat:

(mx – m + 2½)2 = 4x

m2x2 + m2 + 25/4 – 2m2x + 5mx – 5m = 4x

m2x2 + (- 2 m2 + 5m – 4)x + (m2 – 5m + 25/4) = 0

Nilai diskriminan D

D = (- 2 m2 + 5m – 4)2 – 4 (m2) (m2 – 5m + 25/4)

D = 4 m4 + 25 m2 + 16 – 20m3 + 16m2 – 40m – 4m4 + 20 m3 – 25m2

D = 16 m2 – 40m + 16

Syarat bagi garis singgung D = 0, didapat:

16m2 – 40m + 16 = 0

2m2 – 5m + 2 = 0

(2m –1) (m – 2) = 0

m = ½ atau m = 2



Substitusikan nilai-nilai m kepersamaan y = mx – m + 2½

- Untuk m = ½ - Untuk m = 2, diperoleh

y = ½x – ½ + 2½ y = 2x – 2 + 2½

y = ½x + 2 y = 2x + ½

2y = x + 4 2y = 4x + 1

x – 2y + 4 = 0 4x – 2y + 1 = 0

Jadi persamaan-persamaan garis singgung yang ditarik melaui titik (1, 2½) ke parabola y2 = 4x adalah x – 2y + 4 = 0 dan 4x – 2y + 1 = 0.

Kedua garis singgung ini diperlihatkan pada gambar berikut:


y2 = 4x

(4, 4)

(¼, 1)

4x – 2y + 1 = 0

X

x – 2y + 4 = 0

Garis polar

A

B

-1

-2

-3

-4

(1, 2½)

Y

-4 -3 -2 -1 6543210

5

4

3

2

1


b. Titik A adalah titik singgung garis x – 2y + 4 = 0 atau y = ½x + 2

dengan parabola y2 = 4x.

(½x + 2)2 = 4x

¼x2 + 2x + 4 = 4x - Untuk x = 4 didapat:

(½x – 2)2 = 0 y = ½ (4) + 2 = 4

x = 4 koordinat titik A (4,4)

Titik B adalah titik singgung garis 4x – 2y + 1 = 0 atau y = 2x + ½ dengan parabola y2 = 4x.

(½x + 2)2 = 4x

4x2 + 2x + ¼ = 4x - Untuk x = 4 didapat:

4x2 – 2x + ¼ = 0 y = 2 (¼) + ½ = 1

(2x – ½)2 = 0 koordinat titik B (¼,1)

x = ¼ Jadi, koordinat titik A (4,4) dan titik B (¼,1)

c. Dengan menggunakan persamaan

Y − Y A

Y A − Y b=

X − X A

X A − Xb bagi

sebuah garis, maka persamaan garis yang melalui titik A (4,4)

dan titik B (¼,1), adalah:

Y − 44 − 1

= X − 44 − 1/ 4

Y − 43

= X − 415/4

5y – 20 = 4x – 16

4x – 5y + 4 = 0



LATIHAN SOAL

1. Diketahui persamaan parabola x2=16 y

Tentukan titik folus, persamaan direktrisnya dan panjang latus

retum!

2. Diketahui persamaan parabola y2=−8 x

Tentukan titik folus, persamaan direktrisnya dan panjang latus

retum!

3. Diketahui parabola dengan persamaan x2 – 2x – 2y – 5 = 0

Tentukan : a.) koordinat titik puncaknya

b.) koordinat titik fokusnya

c.) persamaan sumbu simetrinya

d.) persamaan direktriksnya

e.) gambarkan sketsa grafiknya

4. Tentukan persamaan parabola dengan titik puncak di (2,4),dan

titik fokus(5,4)!

5. Tentukan kedudukan garis berikut terhadap parabola y2=5 x

a. y= 1

4x+5

c. x−2 y=4

b. y=x−2 d. x+4 y−20=0


web viewsma st. angela bandung. matematika xi mia 2016 marcoes 28. parabola. author: user created...

Documents