transformasi linear dari r ke r - share...

Transformasi Linear dari Rn ke Rm

Trihastuti Agustinah

Bidang Studi Teknik Sistem PengaturanJurusan Teknik Elektro - FTIInstitut Teknologi Sepuluh Nopember

TE091467 Teknik Numerik Sistem Linear

OBJEKTIF1

TEORI2

CONTOH3

SIMPULAN4

LATIHAN5

OUTLINE

Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa mampu:

1. Melakukan transformasi linear dari Rn ke Rm

2. Menghitung image dari transformasi linear

OBJEKTIF Teori Contoh Simpulan Latihan

Fungsi dalam bentuk w=f(x) dengan vektor x di Rn

disebut variabel independen dan vektor w di Rm

disebut variabel dependen. Kasus khusus fungsi

tersebut disebut transformasi linear. Transformasi

linear merupakan konsep dasar dalam

mempelajari aljabar linear dan memiliki banyak

aplikasi dalam keteknikan.

Pendahuluan

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Transformasi f : Rn → Rm (f memetakan Rn ke Rm)

Fungsi dari Rn ke Rm

A B

domain kodomain

fRn Rm

Kasus khusus: f : Rn → Rn disebut operator

Fungsi f : aturan yang menghubungkan tiap elemen dalamhimpunan A ke satu elemen dalam himpunan B


Fungsi dari Rn ke R

Contoh fungsi Deskripsi

f(x) = x2 f : R → R

f(x,y,z) = x2 + y2 f : R2 → R

f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 f : R3 → R

f(x1, x2,…, xn) = x12 + x2

2+ … + xn2 f : Rn → R


Transformasi dari Rn ke Rm

Transformasi T: Rn →Rm didefinisikan dengan persamaan dalam bentuk

),,,( 2111 nxxxfw =

),,,( 2122 nxxxfw =

),,,( 21 nmm xxxfw =

Notasi:

Image dari titik-titik (x1, x2, ∙∙∙, xn)


),,,(),,,( 2121 mn wwwxxxT =

211 2xxw +=

212 3 xxw =

22

213 xxw +=

T: R2 → R3

Transformasi Linear

Transformasi linear T: Rn →Rm didefinisikan dengan pers. linear dalam bentuk

nnxaxaxaw 12121111 +++=

nnxaxaxaw 22221212 +++=

nmnmmm xaxaxaw +++= 2211

=

nmnmm

n

n

m x

xx

aaa

aaaaaa

w

ww

2

1

21

22221

11211

2

1

Notasi matriks:

w = Ax

Matriks standar untuk T

T(x) = Ax


T: Rn →Rn mentransformasi titik (vektor) ke dalam titik(vektor) baru

x

T(x)

T memetakan titik pada titik T memetakan vektor pada vektor

x

T(x)

Representasi Geometris dari Transformasi Linear


Pemetaan satu-satu


T

u v

T

u v

pemetaan satu-satu bukan satu-satu

Transformasi linear T: Rn →Rm disebut pemetaan satu-satu jika T memetakan vektor (titik) yang berbeda-beda di Rn

pada vektor (titik) yang berbeda-beda di Rm

Teorema pemetaan satu-satu


Transformasi linear T: Rn →Rn merupakan perkalian dengan matriks A (nxn) A dapat dibalik Range transformasi adalah Rn

T merupakan pemetaan satu-satu

T : Rn →Rn merupakan pemetaan satu-satu dengan matriks A (nxn) dapat dibalik, maka TA-1 : Rn →Rn merupakan operator linear dan disebut invers TA

IAAAA TTTT == −− 11

IAAAA TTTT == −− 11

Sudut pandang geometris pemetaan satu-satu


xxw == −− ))(()( 11 AAA TTT

w adalah image dari x menurut transformasi linear T

x

TA(x)w

TA-1(w)

y

x

Sifat linearitas dari transformasi


Transformasi T: Rn →Rm adalah linear jika dan hanya jika relasi berikut terpenuhi untuk semua vektor u dan v di Rn

dan skalar k

(a) T(u+v) = T(u) + T(v)

(b) T(ku) = kT(u)

Jika T: Rn →Rm adalah transformasi linear dan e1, e2, ∙∙∙, enmerupakan vektor basis standar untuk Rn, maka matriks standar untuk T adalah

[T] = [T(e1) | T(e2) | ∙∙∙ | T(en)]

Transformasi linear T: R4 → R3 didefinisikan dengan pers.

Contoh 1

CONTOH Simpulan LatihanObjektif Teori

43211 532 xxxxw −+−=

43212 24 xxxxw +−+=

3213 45 xxxw +−=

Dapatkan:

a) notasi matriks transformasi

b) matriks standar transformasi linear

c) image dari titik (1, -2, 0, 3)

a) notasi matriks

Contoh 1

b) matriks standar transformasi linear

−=

−

−−

−−=

757

302

1

041512145132

3

2

1

www

−−

−−=

4

3

2

1

3

2

1

041512145132

xxxx

www

c) image dari titik (1, -2, 0, 3):

−−

−−=

041512145132

A

CONTOH Simpulan LatihanObjektif Teori

Fungsi merupakan aturan f yang menghubungkan tiap elemen dalam himpunan A (domain dari f) dengan satu dan hanya satu elemen dalam himpunan B(kodomain dari f )

Objektif Teori Contoh SIMPULAN Latihan

Transformasi Linear

Bila domain fungsi f adalah Rn dan kodomain adalah Rm

(m dan n mungkin sama), maka f disebut pemetaan atau transformasi dari Rn ke Rm

Operator adalah transformasi yang memetakan elemendi Rn ke Rn

Tentukan apakah operator linear T: R3 → R3 didefinisikanoleh persamaan berikut adalah pemetaan satu-satu, dan dapatkan matriks standar dari invers operator tersebut

Simpulan LATIHAN

Soal Latihan

Objektif Teori Contoh

3211 22 xxxw +−=

3212 2 xxxw ++=

213 xxw +=

SimpulanObjektif Teori Contoh Latihan

transformasi linear dari r ke r - share...

Documents