struktur aljabar: ringdosen.ikipsiliwangi.ac.id/wp-content/... · ketunggalan persamaan linier ax b...

Click here to load reader

Post on 30-Oct-2020

6 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • STRUKTUR ALJABAR:

    RING

    BAHAN AJAR

    Oleh:

    Rippi Maya

    Program Studi Magister Pendidikan Matematika

    Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan

    (STKIP) SILIWANGI - Bandung

    2016

  • 1

    Rippi Maya: Draft Ring

    Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari

    himpunan dengan dua operasi.

    Ilustrasi 1.1

    Perhatikan himpunan 5 0,1,2,3,4 .

    (a) Apakah 5 grup terhadap operasi penjumlahan? Jelaskan pendapatmu!

    Gunakan tabel Cayley bila perlu!

    (b) Apakah pada 5 berlaku sifat komutatif pada penjumlahan?

    (c) Apakah pada 5 berlaku sifat asosiatif terhadap perkalian?

    (d) Selidiki pula apakah pada 5 berlaku sifat distributif kiri dan kanan?

    Jelaskan pendapatmu!

    (e) Perhatikan jawabmu pada (a) – (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu

    temukan dalam 5 .

    Ilustrasi 1.2

    Perhatikan himpunan 2 ( ) , , ,

    a bM a b c d

    c d

    .

    (a) Apakah 2M grup terhadap operasi penjumlahan? Jelaskan pendapatmu!

    Gunakan tabel Cayley bila perlu!

    (b) Apakah pada 2M berlaku sifat komutatif pada penjumlahan?

    (c) Apakah pada 2M berlaku sifat asosiatif terhadap perkalian?

  • 2

    Rippi Maya: Draft Ring

    (d) Selidiki pula apakah pada 2M berlaku sifat distributif kiri dan kanan?

    Jelaskan pendapatmu!

    (f) Perhatikan jawabmu pada (a) – (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang terdapat

    dalam 2M .

    Jika himpunan dengan operasi penjumlahan membentuk grup komutatif dan

    terhadap operasi perkalian memenuhi sifat asosiatif dan distributif, maka himpunan

    dengan dua operasi biner tersebut dikenal sebagai ring. Berikut ini adalah definisi

    ring secara rinci.

    Definisi 1.1 Ring

    Ring R adalah suatu himpunan dengan dua operasi biner, yaitu penjumlahan

    (dinyatakan dengan a+b) dan perkalian (dinyatakan dengan ab), sehingga untuk

    semua a,b,c di R, berlaku sifat-sifat berikut:

    1. a b b a .

    2. a b c a b c .

    3. Terdapat elemen 0 di R sehingga 0a a .

    4. Terdapat elemen –a di R sehingga 0.a a

    5. .ab c a bc

    6. a b c ab ac dan .b c a ba ca

    Latihan 1.1

    Perhatikan kembali definisi ring secara keseluruhan. Apakah pada ring berlaku

    sifat komutatif pada perkalian? Adakah elemen kesatuan dan invers perkalian pada

    ring? Jelaskan pendapatmu!

    Latihan 1.2

    Perhatikan sifat asosiatif pada ring. Dengan adanya sifat tersebut, apakah kita dapat

    menuliskan operasinya sebagai ab c a bc abc , tanpa tanda kurung? Jelaskan

    pendapatmu.

  • 3

    Rippi Maya: Draft Ring

    Latihan 1.3

    Perhatikan sifat distributif pada ring. Sifat a b c menyatakan bahwa kita dapat

    menjumlahkan terlebih dahulu baru diikuti dengan perkalian kiri. Akan sama saja

    dengan perkalian kiri dahulu diikuti dengan penjumlahan. Berikan komentar Anda

    mengenai b c a .

    Ilustrasi 1.3

    Suatu ring yang mempunyai sifat komutatif pada perkalian disebut ring komutatif.

    Bila suatu ring mempunyai elemen kesatuan terhadap perkalian, maka dikatakan

    ring tersebut mempunyai elemen kesatuan (unity). Bila suatu elemen tak nol pada

    suatu ring komutatif (dengan elemen kesatuan), mempunyai invers terhadap

    perkalian, maka dikatakan elemen tak nol tersebut sebagai satuan (unit) dari ring

    tersebut. Dengan kata lain, misalkan a elemen ring komutatif R, dengan 0a ,

    maka a dikatakan unit dari ring R bila 1a ada.

    Jika a dan b adalah anggota ring komutatif R dan a tak nol, dikatakan a membagi b

    (a faktor dari b) dan ditulis a b , jika ada elemen c di R sehingga .b ac Bila tidak

    demikian, maka dikatakan a tidak membagi b, ditulis a∤b.

    Latihan 1.4

    Perhatikan himpunan bilangan bulat dengan operasi penjumlahan dan perkalian.

    Apakah suatu ring? Bila ya, apakah suatu ring komutatif? Jelaskan alasanmu

    dan tentukan elemen kesatuan dan satuan dari , bila ada!

    Latihan 1.5

    Apakah himpunan bilangan bulat modulo n, 0,1,2,..., 1n n , dengan operasi

    penjumlahan dan perkalian, merupakan ring komutatif? Apakah ia mempunyai

    elemen kesatuan? Apakah mempunyai satuan? Jelaskan pendapatmu!

  • 4

    Rippi Maya: Draft Ring

    Latihan 1.6

    Apakah himpunan bilangan bulat genap 2 , dengan operasi penjumlahan dan

    perkalian, merupakan ring komutatif? Carilah elemen kesatuannya, bila ada!

    Latihan 1.7

    Himpunan semua matriks 22, 2 ( )M , dengan elemen-elemennya (entries)

    adalah bilangan bulat, merupakan ring nonkomutatif, dengan elemen kesatuannya

    adalah 1 0

    0 1

    . Selidiki kebenaran pernyataan tersebut!

    Latihan 1.8

    Himpunan dari semua fungsi kontinu bernilai real dari suatu variabel real yang

    grafiknya melalui titik (1,0), adalah ring komutatif tanpa elemen kesatuan,

    terhadap operasi penjumlahan dan perkalian titik demi titik [yaitu operasi

    ( )( ) ( ) ( )f g a f a g a dan ( )( ) ( ) ( )fg a f a g a ]. Benarkah pernyataan tersebut?

    Jelaskan pendapatmu!

    Ilustrasi 1.4

    Misalkan 1 2, ,..., nR R R adalah ring. Misalkan

    1 2 1 2... , ,...,n n i iR R R a a a a R , dengan penjumlahan perkomponen didefinisikan sebagai berikut:

    1 2 1 2 1 1 2 2, ,..., , ,..., , ,...,n n n na a a b b b a b a b a b , dan

    perkalian perkomponen didefinisikan sebagai berikut:

    1 2 1 2 1 1 2 2, ,..., , ,..., , ,..., .n n n na a a b b b a b a b a b

    Ring yang demikian ini disebut sebagai jumlah langsung (direct sum) dari

    1 2, ,..., nR R R .

  • 5

    Rippi Maya: Draft Ring

    1.1 Sifat-sifat Ring

    Teorema 1.1 Aturan Perkalian

    Misalkan a,b, dan c anggota ring R. Maka,

    1. 0 0 0a a

    2. ( ) ( ) ( )a b a b ab

    3. ( )( )a b ab

    4. ( )a b c ab ac dan ( )b c a ba ca

    Selanjutnya, jika R mempunyai elemen kesatuan 1, maka

    5. ( 1)a a

    6. ( 1)( 1) 1.

    Latihan 1.9

    Buktikan teorema tersebut.

    Petunjuk:

    1. Gunakan sifat 0 (0 0)a a dan invers terhadap penjumlahan.

    2. Mulailah dengan 0 ( )a a b b dan sifat 1.

    3. Untuk aturan 3-6, mulailah membuktikan dari informasi yang kamu

    ketahui.

    Latihan 1.10

    Berikan sebuah contoh suatu ring nonkomutatif yang berhingga.

    Latihan 1.11

    Misalkan R sebuah ring. Buktikan bahwa 2 2a b a b a b untuk semua a, b

    di R jika dan hanya jika R komutatif.

    Latihan 1.12

    Tunjukkan bahwa jika m dan n bilangan bulat dan a dan b elemen dari ring, maka

    m a n b mn ab . Petunjuk: ...m

    m a a a a .

  • 6

    Rippi Maya: Draft Ring

    Teorema 1.2 Ketunggalan dari Elemen kesatuan dan Invers

    Jika suatu ring mempunyai elemen kesatuan, maka tunggal. Jika setiap unsur di

    suatu ring mempunyai invers, maka tunggal.

    Latihan 1.13

    Buktikan Teorema 1.2 tersebut.

    Latihan 1.14

    Selidiki apakah ring 0,2,4,6,8A terhadap penjumlahan dan perkalian modulo

    10 mempunyai elemen kesatuan. Carilah tersebut, bila ada!

    Latihan 1.15

    Misalkan R ring dengan elemen kesatuan 1 dan a adalah elemen dari R sehingga

    2 1a . Misalkan S ara r R . Buktikan bahwa S ring dengan operasi yang sama dari R. Apakah S memuat 1?

    1.2 Subring

    Ilustrasi 1.5

    Perhatikan ring 6 . Himpunan 0,2,4A adalah subset dari 6 . Periksa apakah

    A merupakan ring dari 6 . Carilah elemen kesatuannya, bila ada. Perhatikan pula

    himpunan 6 , yang merupakan subset dari ring 12 . Apakah yang dapat kamu

    katakan tentang hubungan antara 6 dan 12 ? Jelaskan pendapatmu.

    Definisi 1.2 Subring

    Suatu subset S dari suatu ring R adalah subring dari R jika S sendiri ring dengan

    operasi dari R.

  • 7

    Rippi Maya: Draft Ring

    Latihan 1.16

    Tunjukkan bahwa 2 3 bukan subring dari .

    Latihan 1.17

    Jelaskan mengapa setiap subgrup dari n terhadap penjumlahan juga merupakan

    subring dari n .

    Teorema 1.3 Tes Subring

    Subset tak kosong S dari ring R adalah subring jika S tertutup terhadap

    pengurangan dan perkalian, yaitu jika a b dan ab terdapat di S bilamana a dan b

    ada di S.

    Latihan 1.18

    Buktikan teorema tersebut.

    Petunjuk: gunakan tes subgrup satu tahap.

    Latihan 1.19

    Misalkan 2M sebuah ring dari semua matriks ukuran 2x2 yang beranggotakan

    bilangan bulat. Misalkan ,a a b

    R a ba b b

    . Selidiki apakah R subring

    dari 2M .

    Latihan 1.20

    F adalah ring, tetapi \ 0 ,F juga membentuk grup. Selidiki eksistensi dan ketunggalan persamaan linier ax b c .

    Latihan 1.21

    Persamaan linier di ring R dengan , ,a b c R adalah .ax b c Selidiki kapan

    persamaan linier tersebut mempunyai jawab dan kapan jawab tersebut tunggal.

  • 8

    Rippi Maya: Draft Ring

    2.1. Pembagi Nol, Integral Domain dan Lapangan

    Ilustrasi 2.1. Pembagi Nol

    Perhatikan himpunan 5 dengan operasi penjumlahan dan perkalian.

    1. Selidiki apakah 5 merupakan ring komutatif.

    2. Buatlah tabel Cayley untuk 5 terhadap operasi perkalian.

    3. Perhatikan unsur-unsur dalam tabel tersebut. Apakah 2 membagi 3? Sebutkan

    unsur pembagi 3 yang selain 2.

    4. Apakah 4 membagi 1? Adakah unsur pembagi 1 selain 4? Perhatikan, bila

    1ab , maka dikatakan a membagi 1 atau b membagi 1. Demikian pula a

    pembagi 1 atau b pembagi 1. Apakah syarat agar a atau b dikatakan pembagi

    suatu bilangan? Jelaskan pendapatmu.

    5. Misalkan 5a , 0a . Dapatkah kamu temukan 5b , 0b , sedemikian

    sehingga 0?ab Dengan kata lain, dapatkah kamu menemukan pembagi nol

    a dalam 5 ? Jelaskan pendapatmu.

    6. Periksa apakah dalam 6 terdapat elemen pembagi nol? Jelaskan jawabmu.

    Definisi 2.1. Pembagi Nol

    Pembagi nol adalah suatu elemen tak nol a dari suatu ring komutatif R sedemikian

    sehingga ada suatu elemen tak nol b R dengan 0ab .

    Latihan 2.1.

    Tuliskan elemen-elemen dari 10 dan sebutkan pembagi-pembagi nol dalam 10 .

    Sebutkan pula unit dari 10 . Periksa apakah ada hubungan antara pembagi nol

  • 9

    Rippi Maya: Draft Ring

    dengan unit dari 10 . Apakah yang dapat kamu simpulkan tentang elemen-elemen

    dari 10 tersebut?

    Latihan 2.2.

    Misalkan a dan b adalah elemen-elemen dari suatu ring, yang mempunyai sifat: a

    dan b adalah pembagi nol, 0a b , dan a b bukan pembagi nol. Carilah

    beberapa ring yang memenuhi sifat-sifat demikian dan sebutkan elemen a dan b

    nya.

    Latihan 2.3.

    Misalkan a dan b adalah elemen suatu ring komutatif dan ab adalah pembagi nol.

    Tunjukkan bahwa a atau b adalah pembagi nol.

    Latihan 2.4.

    Jika a dan b bukan pembagi nol, buktikan bahwa ab bukan pembagi nol.

    Latihan 2.5.

    Tentukan pembagi nol dalam 25 5, , dengan 1.Z i a bi a b Z i

    Ilustrasi 2.2. Integral Domain

    Perhatikan kembali Ilustrasi 2.1 tentang 5 dengan operasi penjumlahan dan

    perkalian. Apakah 5 merupakan ring komutatif? Apakah 5 mempunyai elemen

    kesatuan? Sebutkan elemen kesatuannya. Apakah 5 mempunyai unsur pembagi

    nol? Bila ya, sebutkan unsur pembagi nolnya. Selidiki pula himpunan

    6 7 9 11 15, , , , dan . Jelaskan jawabmu.

    Ring komutatif yang mempunyai elemen kesatuan, tetapi tidak mempunyai elemen

    pembagi nol disebut sebagai integral domain. Dari Ilustrasi 2.2 tersebut dapat

  • 10

    Rippi Maya: Draft Ring

    disimpulkan bahwa 5 7 11, , merupakan integral domain. Perhatikan definisi

    integral domain berikut ini.

    Definisi 2.2. Integral domain

    Integral domain adalah suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan dan tanpa

    elemen pembagi nol.

    Latihan 2.6.

    Selidiki apakah n , ring bilangan bulat modulo n, adalah integral domain. Jika n

    adalah bilangan prima p, apakah p integral domain? Jelaskan jawabmu.

    Latihan 2.7.

    Berikan dua contoh ring (selain ring bilangan bulat modulo n) yang merupakan

    integral domain dan bukan integral domain.

    Latihan 2.8.

    Berikan contoh ring komutatif tanpa pembagi nol yang bukan integral domain.

    Latihan 2.9.

    Tunjukkan bahwa suatu ring komutatif berhingga dengan tanpa pembagi nol dan

    paling sedikit mempunyai dua elemen, mempunyai suatu elemen kesatuan.

    Latihan 2.10.

    Tunjukkan bahwa , ,a b a b adalah bukan integral domain.

    Latihan 2.11.

    a) Periksa apakah ring 2 2 ,a b a b merupakan integral domain. b) Periksa pula apakah ring 2 2 ,n na b a b merupakan integral

    domain.

  • 11

    Rippi Maya: Draft Ring

  • 12

    Rippi Maya: Draft Ring

    Ilustrasi 2.3. Nilpoten

    Misalkan a adalah elemen suatu ring R dengan elemen kesatuan. Elemen a

    dikatakan nilpoten jika 0,na untuk n bilangan bulat positif. Periksa apakah

    0 1

    0 0A

    dan

    0 1 0

    0 0 1

    0 0 0

    B

    merupakan nilpoten. Jelaskan jawabmu.

    Latihan 2.12.

    Tunjukkan bahwa 0 adalah satu-satunya elemen nilpoten dalam integral domain.

    Latihan 2.13.

    Tunjukkan bahwa elemen nilpoten dalam suatu ring komutatif membentuk suatu

    subring.

    Ilustrasi 2.4. Idempoten

    Suatu elemen a dari suatu ring disebut idempoten jika 2 .a a Selidiki apakah

    0 0

    0 0A

    dan

    1 0 0

    0 1 0

    0 0 1

    B

    merupakan idempoten. Jelaskan jawabmu.

    Latihan 2.14.

    Buktikan bahwa satu-satunya idempoten dalam suatu integral domain adalah 0 atau

    1.

    Teorema 2.1. Pembatalan

    Misalkan a, b, dan c adalah elemen-elemen suatu integral domain. Jika 0a dan

    ab ac , maka .b c

    Latihan 2.15.

    Buktikan Teorema 2.1 tersebut.

    Petunjuk: mulailah dari persamaan .ab ac

  • 13

    Rippi Maya: Draft Ring

    Latihan 2.16.

    Tunjukkan bahwa suatu ring komutatif dengan sifat pembatalan (terhadap operasi

    perkalian) tidak mempunyai pembagi nol.

    Ilustrasi 2.5.

    Perhatikan ring 0,3,6,9A yang merupakan subring dari bilangan bulat modulo

    12 . Selidiki apakah ring A tersebut merupakan ring komutatif. Apakah elemen

    kesatuannya? Apakah setiap elemen taknolnya adalah unit (mempunyai invers)?

    Perhatikan juga ring 0,2,4,6,8R terhadap penjumlahan dan perkalian modulo

    10. Selidiki apakah R merupakan ring komutatif. Adakah elemen kesatuannya?

    Selidiki pula apakah setiap elemen taknolnya mempunyai invers.

    Bila ring A dan R tersebut merupakan ring komutatif, yang mempunyai elemen

    kesatuan dan setiap elemennya tak nolnya mempunyai invers, maka A dan R

    dikatakan lapangan. Perhatikan definisi berikut ini.

    Definisi 2.3. Lapangan

    Lapangan adalah suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan, di mana setiap

    elemen taknolnya adalah suatu unit (mempunyai invers).

    Latihan 2.17.

    Selidiki apakah suatu lapangan merupakan integral domain.

    Latihan 2.18. Tes Sublapangan

    Misalkan F adalah lapangan dan K adalah subset dari F yang mempunyai paling

    sedikit dua elemen. Buktikan bahwa K adalah sub lapangan dari F jika untuk

    sebarang a,b ( 0)b di K, a b dan 1ab adalah elemen K.

  • 14

    Rippi Maya: Draft Ring

    Latihan 2.19.

    Misalkan F adalah lapangan berorde 32. Tunjukkan bahwa satu-satunya

    sublapangan dari F adalah F sendiri dan 0,1 .

    Teorema 2.2. Integral domain Berhingga adalah Lapangan

    Suatu integral domain berhingga adalah suatu lapangan.

    Latihan 2.20.

    Buktikan Teorema 2.2 tersebut.

    Petunjuk:

    1. Misalkan D adalah integral domain berhingga dengan elemen kesatuan 1.

    2. Misalkan , 0.a D a Tunjukkan bahwa a adalah unit.

    3. Selidiki untuk 1a dan 1.a

    Latihan 2.21.

    Tuliskan elemen-elemen dari 2 2,i a bi a b , ring bilangan bulat Gauss modulo 2. Buatlah tabel perkalian untuk 2 i . Selidiki apakah ring tersebut

    merupakan integral domain atau lapangan.

    Latihan 2.22.

    Misalkan a dan b adalah elemen-elemen dari suatu lapangan berorde 8 dan bahwa

    2 2 0a ab b . Buktikan bahwa 0a dan 0.b Bila lapangannya berorde 2n ,

    dengan n ganjil, buktikan pula bahwa 0a dan 0.b

    Akibat: p adalah suatu lapangan

    Untuk setiap bilangan prima p, ring dari bilangan bulat modulo p (p), adalah

    suatu lapangan.

  • 15

    Rippi Maya: Draft Ring

    Latihan 2.23.

    Buktikan Akibat dari Teorema 2.2 tersebut.

    Petunjuk:

    1. Berdasarkan Teorema 2.2, buktikan bahwa p tidak mempunyai pembagi

    nol.

    2. Misalkan , pa b dan 0.ab Ambil ,ab pk k dan tunjukkan bahwa

    0a atau 0.b

    Latihan 2.24.

    Tunjukkan bahwa 7 7[ 3] { 3 , }a b a b adalah suatu lapangan. Untuk

    sebarang bilangan bulat k dan bilangan prima p, dapatkah kamu menentukan suatu

    kondisi yang perlu dan cukup [ ] { , }p pk a b k a b agar membentuk

    suatu lapangan? Jelaskan jawabmu.

    2.2. Karakteristik Ring

    Ilustrasi 2.6.

    Perhatikan 0,2,4,6,8A yang merupakan subring dari 10 . Untuk setiap x A ,

    5 0x x x x x x . Perhatikan juga ring 3 3[ ] , .i a bi a b Untuk

    setiap 3 [ ],x i 3 0.x x x x Bilangan 3 dan 5 yang membuat

    33 0, [ ],x x i dan 5 0,x x A disebut karakteristik dari suatu ring. Jadi 3

    adalah karakteristik dari 3 [ ],i dan 5 adalah karakteristik dari A. Selidiki

    karakteristik dari . Jelaskan jawabmu.

    Definisi 2.4. Karakteristik Ring

    Karakteristik dari suatu ring R (notasi: kar R) adalah bilangan bulat positif terkecil

    n sedemikian sehingga 0nx , untuk semua x di R. Jika bilangan bulat yang

    demikian tidak ada, maka dikatakan bahwa ring R tersebut mempunyai

    karakteristik 0.

  • 16

    Rippi Maya: Draft Ring

    Latihan 2.25.

    Hitunglah karakteristik dari 2 , , , ,a b

    M a b c dc d

    2 2 ,a b a b dan 4 44 , , 4 .a b a b

    Latihan 2.26.

    Misalkan F adalah lapangan yang berorde 2n . Buktikan bahwa kar F = 2.

    Latihan 2.27.

    Jelaskan mengapa suatu ring berhingga yang mempunyai paling sedikit dua

    elemen, pasti mempunyai karakteristik tak nol.

    Latihan 2.28.

    Misalkan F adalah lapangan berkarakteristik 2, yang mempunyai lebih dari dua

    elemen. Tunjukkan bahwa 3 3 3x y x y untuk beberapa x dan y di F.

    Teorema 2.3. Karakteristik dari Suatu Ring dengan Elemen Kesatuan

    Misalkan R suatu ring dengan elemen kesatuan 1. Jika 1 mempunyai orde tak

    hingga terhadap penjumlahan, maka karakteristik dari R adalah 0. Jika 1

    mempunyai orde n terhadap penjumlahan, maka karakteristik dari R adalah n.

    Latihan 2.29.

    Buktikan Teorema 2.3 tersebut.

    Petunjuk:

    1. Untuk elemen kesatuan yang mempunyai orde n, 1 0.n

    2. Untuk suatu ,x R tunjukkan bahwa 0.n x

  • 17

    Rippi Maya: Draft Ring

    Latihan 2.30.

    Misalkan R adalah ring komutatif dengan elemen kesatuan 1 dan karakteristik

    prima. Jika a R adalah nilpoten, buktikan bahwa ada suatu bilangan bulat positif

    k sedemikian sehingga 1 1.ka

    Teorema 2.4. Karakteristik dari suatu Integral domain

    Karakteristik dari suatu integral domain adalah 0 atau bilangan prima.

    Latihan 2.31.

    Buktikan Teorema 2.4 tersebut.

    Petunjuk:

    1. Gunakan Teorema 2.3.

    2. Tunjukkan bahwa jika orde penjumlahan dari 1 adalah berhingga, maka

    karakteristik dari integral domain tersebut adalah prima.

    3. Misalkan , 1 , ,n st s t n tunjukkan bahwa s n atau .t n

    Latihan 2.32.

    Misalkan R adalah ring komutatif tanpa pembagi nol. Tunjukkan bahwa

    karakteristik dari R adalah 0 atau bilangan prima.

    Latihan 2.33.

    Perhatikan persamaan 2 5 6 0.x x Carilah semua solusi yang mungkin dari

    persamaan tersebut di 7 , 8 , 12 dan 14.

  • 18

    Rippi Maya: Draft Ring

    Dalam materi grup telah dipelajari mengenai grup faktor (kuosien) dan subgrup

    normal. Analog dengan subgrup normal dan grup faktor, dalam pembahasan ring

    kali ini, akan dipelajari ideal dan ring faktor dari suatu ring.

    3.1. Ideal

    Ilustrasi 3.1.

    Perhatikan ring R. 0 dan R adalah subring dari R. Periksa apakah untuk setiap r R dan

    ,a R ra dan ar terdapat di R. Demikian pula untuk 0r dan 0 ,a selidiki

    apakah ra dan ar terdapat di 0 . Jelaskan jawabmu.

    Perhatikan pula himpunan 2 . Untuk setiap r dan setiap 2 ,a selidiki

    apakah ra dan ar terdapat di 2 . Jelaskan pendapatmu.

    Ilustrasi 3.2.

    Perhatikan kedua contoh pada Ilustrasi 3.1 tersebut. {0} dan R adalah disebut ideal

    dari R, bila ra dan ar terdapat di R dan {0}. Demikian pula, 2 adalah ideal dari

    , bila ra dan ar terdapat di 2 . Istilah khusus untuk ideal {0} adalah ideal

    trivial dari R dan ideal R disebut ideal unit dari R. Berikut ini adalah definisi ideal

    dari suatu ring.

  • 19

    Rippi Maya: Draft Ring

    Definisi 3.1. Ideal

    Suatu subring A dari ring R disebut ideal kiri dari R jika untuk setiap r R dan

    setiap a A , ra terdapat di A. Selanjutnya, subring A disebut ideal kanan dari R

    jika untuk setiap r R dan setiap a A , ar ada di A. Jika subring A adalah ideal

    kiri dan kanan dari R, maka A dikatakan ideal (dua sisi) dari R.

    Latihan 3.1.

    Untuk suatu bilangan bulat positif n, selidiki apakah ring 0, , 2 ,...nZ n n

    merupakan ideal dari .

    Ilustrasi 3.3.

    Subring A dari ring R adalah suatu ideal dari R jika rA ra a A A dan

    Ar ar a A A untuk semua .r R Dengan kata lain, A ideal dari R jika A “menyerap” elemen-elemen dari R terhadap perkalian.

    Ilustrasi 3.4.

    Perhatikan ring R dan subset 2A . 2 disebut subset murni (proper

    subset) dari . Dari jawaban Latihan 3.1, diketahui bahwa 2 adalah ideal dari

    . Karena 2 adalah subset murni, maka ideal 2 disebut ideal murni dari .

    Secara umum, suatu ideal A dari ring R disebut ideal murni dari R jika A adalah

    subset murni (proper subset) dari R.

    Teorema 3.1. Tes Ideal

    Suatu subset tak kosong A dari suatu ring R adalah sebuah ideal dari R jika

    1. a b A untuk setiap ,a b A .

    2. ra dan ar di A untuk setiap a A dan r R .

  • 20

    Rippi Maya: Draft Ring

    Latihan 3.2.

    Buktikan Teorema 3.1 tersebut di atas.

    Petunjuk: gunakan Tes Subgrup satu tahap.

    Latihan 3.3.

    Misalkan ring 1 2

    3 4

    i

    a aR a

    a a

    dan I adalah subset dari R, dengan

    1 2

    3 4

    2 .jb b

    I bb b

    Selidiki apakah I ideal dari R.

    Latihan 3.4.

    Misalkan R adalah ring komutatif dengan elemen kesatuan dan misalkan a R .

    Apakah himpunan a ra r R adalah sebuah ideal dari R?

    Ilustrasi 3.5.

    (1) Bila a ra r R ideal dari R, maka ideal yang demikian disebut ideal prinsipil yang dibangkitkan oleh a.

    (2) Suatu integral domain D disebut domain (daerah) ideal prinsipil (principal

    ideal domain = PID) jika setiap ideal dari D mempunyai bentuk

    a ad d D untuk suatu a di D.

    Latihan 3.5.

    Perhatikan ring bilangan bulat. Tentukan bilangan bulat positif a sedemikian

    sehingga:

    a). 2 3a ; b). 3 6a ; c). 4 6a ; d).

    a m n .

    Latihan 3.6.

    Perhatikan ring bilangan bulat. Carilah bilangan bulat positif a sedemikian

    sehingga 3 4a , 2 3a dan a m n .

  • 21

    Rippi Maya: Draft Ring

    Latihan 3.7.

    Misalkan 11 1 0...n nn n ix a x a x a x a a menyatakan ring dari semua polinom dengan koefisien bilangan bulat. Misalkan

    (0) 0x f x x f subset dari .x Selidiki apakah x ideal dari

    .x

    Latihan 3.8.

    Perhatikan ring bilangan bulat Gaussian ,i a bi a b dan 2 i adalah subset dari i . Selidiki apakah 2 i ideal dari i .

    Latihan 3.9.

    Tunjukkan bahwa adalah suatu domain ideal prinsipil.

    3.2. Ring Faktor

    Misalkan R ring dan A ideal dari R. Dalam pembahasan Grup, telah dipelajari

    bahwa R adalah grup terhadap penjumlahan dan A adalah subgrup normal dari R.

    Dari informasi ini dapat dibentuk suatu grup faktor /R A r A r R . Analog dengan grup faktor, akan dipelajari bagaimana membentuk suatu ring dari grup

    koset tersebut.

    Ilustrasi 3.6.

    Ambil ,n dan 6A . Tulis .n A n a a A Sebutkan semua anggota

    dari 1 , 2 , 3 ,...A A A Apakah ada dua himpunan di antara himpunan-himpunan

    tersebut yang mempunyai anggota bersama?

  • 22

    Rippi Maya: Draft Ring

    Ilustrasi 3.7.

    Jika , ,n m tuliskan n A m A n m A . Buatlah tabel Cayley

    terhadap operasi penjumlahan tersebut.

    Ilustrasi 3.8.

    Jika , ,n m tuliskan n A m A nm A . Buatlah tabel Cayley terhadap

    operasi perkalian untuk koset tersebut.

    Latihan 3.10.

    Perhatikan subring 4 dari ring . Tuliskan / 4 4 .n n Sebutkan semua anggota dari ring faktor / 4 . Hitunglah penjumlahan dan perkalian dari

    2 4 dan 3 4 , terhadap operasi modulo 4.

    Latihan 3.11.

    Perhatikan subring 6 dari ring 2 . Sebutkan semua anggota dari ring faktor

    2 / 6 6 2 .n n Hitunglah penjumlahan dan perkalian dari 4 6 dan 4 6 terhadap operasi modulo 6.

    Teorema 3.2. Keujudan (Eksistensi) dari Ring Faktor

    Misalkan R suatu ring dan misalkan A subring dari R. Himpunan koset-koset

    /R A r A r R adalah ring (faktor) terhadap operasi penjumlahan

    s A t A s t A dan operasi perkalian s A t A st A , jika dan

    hanya jika A adalah ideal dari R.

    Latihan 3.12.

    Buktikan Teorema tersebut.

    Petunjuk:

    1. ( ) Gunakan pengandaian A subring dari R, yang bukan ideal dari R.

  • 23

    Rippi Maya: Draft Ring

    2. Ambil elemen 0a A A dan r A .

    3. ( ) Tunjukkan bahwa perkalian terdefinisi dengan baik (well defined) bila

    A ideal.

    4. Misalkan A ideal dan 's A s A , 't A t A .

    Latihan 3.13.

    Perhatikan ring R dan I pada Latihan 3.3. Tuliskan ring faktor

    1 23 4

    / 0,1 .ir r

    R I I rr r

    Ukuran (banyaknya elemen) dari R/I adalah 16.

    Tuliskan semua anggota dari R/I tersebut. Selidiki apakah 2 4

    6 8I

    ,

    1 3

    5 7I

    ,

    dan 5 4

    2 9I

    merupakan anggota dari R/I.

    Latihan 3.14.

    Tuliskan ring faktor / 2 2i i x i x i . Bila banyaknya anggota dari ring faktor / 2i i ada lima, sebutkan semua anggota dari / 2i i .

    3.3. Ideal Prima dan Ideal Maksimal

    Ilustrasi 3.9.

    Perhatikan ideal 2A dari suatu ring komutatif . Apakah 2 merupakan

    ideal murni dari ? Selidiki apakah untuk setiap ,a b dan 2ab ,

    menyebabkan 2a atau 2b . Bagaimanakah bila A adalah ideal

    3 , 4 , 5 atau 6 ? Selidiki apakah untuk setiap ,a b dan ab A ,

    menyebabkan a A atau .b A

    Definisi 3.2. Ideal Prima

    Ideal prima A dari suatu ring komutatif R adalah ideal murni dari R sedemikian

    sehingga ,a b R dan ab A mengimplikasikan a A atau b A .

  • 24

    Rippi Maya: Draft Ring

    Latihan 3.15.

    Perhatikan Ilustrasi 3.3. Misalkan n adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 1.

    Pada ring bilangan bulat, ideal n adalah prima jika dan hanya jika n prima.

    Buktikan pernyataan tersebut.

    Latihan 3.16.

    Perhatikan Latihan 3.7. Tunjukkan bahwa x merupakan ideal prima dari x .

    Latihan 3.17.

    Misalkan R ring komutatif dengan elemen kesatuan, yang mempunyai sifat 2a a ,

    untuk semua a di R. Misalkan I adalah ideal prima dari R. Tunjukkan bahwa

    / 2.R I

    Ilustrasi 3.10.

    Perhatikan ring komutatif 36R . Ideal dari 36 antara lain adalah

    0 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 , 18 dan 36 . Misalkan ideal murni 2A . Selidiki

    apakah terdapat ideal B dari 36 , sehingga A B R . Apakah B A atau

    ?B R Jelaskan pendapatmu.

    Lakukan hal yang sama untuk ideal murni 3 .A Selidiki pula untuk ideal-ideal

    murni yang lain dari 36 . Bagaimana pendapatmu?

    Ideal murni yang memiliki sifat seperti 2 dan 3 tersebut, dikatakan sebagai

    ideal maksimal. Berikut ini diberikan definisinya.

    Definisi 3.3. Ideal Maksimal

    Ideal murni A dari ring komutatif R adalah ideal maksimal dari R jika untuk setiap

    B ideal dari R dan A B R , maka B A atau B R .

  • 25

    Rippi Maya: Draft Ring

    Latihan 3.18.

    Tentukan semua ideal maksimal dalam 8 10 12, , , dan .n

    Latihan 3.19.

    Dalam , misalkan ,0I a a . Periksa apakah I ideal prima. Apakah I ideal maksimal? Jelaskan pendapatmu.

    Latihan 3.20.

    Misalkan ( ) (0) 0x f x Z x f . Apakah x ideal maksimal di x ? Jelaskan pendapatmu.

    Latihan 3.21.

    Selidiki apakah 2 1x x ideal maksimal dari 2 x .

    Teorema 3.3. R/A adalah integral domain jika dan hanya jika A ideal prima

    Misalkan R adalah ring komutatif dengan elemen kesatuan dan misalkan A adalah

    ideal dari R. Maka R/A adalah integral domain jika dan hanya jika A adalah ideal

    prima.

    Latihan 3.22.

    Buktikan teorema tersebut.

    Petunjuk:

    Gunakan pemisalan R/A integral domain dan .ab A Tunjukkan bahwa

    a A atau .b A

    Gunakan pemisalan A prima dan 0 .a A b A ab A A A

    tentukan koset nol di R/A.

    Latihan 3.23.

    Periksa apakah ring faktor / 4 merupakan integral domain.

  • 26

    Rippi Maya: Draft Ring

    Latihan 3.24.

    Selidiki apakah ring faktor 2 / 8 merupakan integral domain.

    Teorema 3.4. R/A adalah lapangan jika dan hanya jika A ideal maksimal

    Misalkan R adalah ring komutatif dengan elemen kesatuan dan misalkan A adalah

    ideal dari R. Maka R/A adalah lapangan jika dan hanya jika A ideal maksimal.

    Latihan 3.25.

    Buktikan teorema tersebut.

    Petunjuk:

    (1) Misalkan b B , tetapi b A , tentukan elemen tak nol dan identitas

    perkalian dari R/A.

    (2) Ambil / ,b A R A dan tentukan invers perkaliaannya.

    (3) Misalkan ,b A c A bc A tunjukkan bahwa 1 .bc A B

    (1) Gunakan pemisalan A maksimal dan b B , tetapi b A .

    (2) Tunjukkan bahwa b A mempunyai invers perkalian.

    (3) Gunakan pemisalan ,B br a r R a A . Bila 1 B dan

    1 ', ' ,bc a a A tunjukkan bahwa 1 .A b A c A

    Latihan 3.26.

    Berikan contoh ring komutatif R dengan elemen kesatuan. Tentukan ideal

    maksimal dari R tersebut. Periksa apakah R/A lapangan.

    Latihan 3.27.

    Misalkan 2 x adalah ring dari semua polinom dengan koefisien di 2 .

    Tunjukkan bahwa 22 / 1x x x adalah lapangan.

    Latihan 3.28.

    Tunjukkan bahwa 23 / 1x x x bukan lapangan.

  • 27

    Rippi Maya: Draft Ring

    Dalam pembahasan grup, telah dibicarakan mengenai grup homomorfisme. Untuk

    menguji kesamaan atau perbedaan dua buah grup G1 dan G2, digunakan pemetaan

    1 2:G G , yang mengawetkan satu operasi grup. Bagaimana dengan ring

    homomorfisme? Analog dengan grup homomorfisme, untuk menguji kesamaan

    atau perbedaan dua buah ring R dan S, digunakan pemetaan : R S , yang

    mengawetkan dua operasi ring.

    Ilustrasi 4.1.

    Perhatikan pemetaan : , dengan aturan 2x x . Apakah pemetaan

    tersebut mengawetkan operasi penjumlahan dan perkalian? Apakah pemetaan

    tersebut pemetaan yang satu-satu dan pada? Jelaskan jawabmu.

    Ilustrasi 4.2.

    Perhatikan pemetaan 5 10: , dengan aturan 5x x . Selidiki apakah

    pemetaan tersebut mengawetkan operasi penjumlahan dan operasi perkalian.

    Jelaskan jawabmu.

    Definisi 4.1. Ring Homomorfisme, Ring Isomorfisme

    Ring homomorfisme dari suatu ring R ke suatu ring S adalah pemetaan dari R

    ke S yang mengawetkan (preserved) dua operasi ring; yaitu untuk semua a, b di R,

    a b a b dan ab a b .

    Ring homomorfisme yang satu-satu dan pada disebut ring isomorfisme. Jika

    merupakan ring isomorfisme, maka R dan S dikatakan dua ring yang “sama”

    (isomorf).

  • 28

    Rippi Maya: Draft Ring

    Latihan 4.1.

    Perhatikan pemetaan 5 30: , dengan aturan 6x x . Apakah pemetaan

    tersebut merupakan suatu ring homomorfisme? Apakah suatu ring isomorfisme?

    Jelaskan pendapatmu.

    Latihan 4.2.

    Selidiki apakah pemetaan 10 10: , dengan aturan 2x x , merupakan ring

    homomorfisme. Apakah suatu ring isomorfisme? Jelaskan jawabmu.

    Latihan 4.3.

    Perhatikan pemetaan 2: M , dengan aturan a b

    ac d

    . Apakah

    pemetaan tersebut merupakan ring homomorfisme?

    Latihan 4.4.

    Dapatkah kamu menentukan beberapa ring homomorfisme dari 6 ke 6 ?

    Jelaskan jawabmu.

    Latihan 4.5.

    Misalkan R dan S adalah ring.

    a) Selidiki apakah pemetaan : R S R , dengan aturan ,a b a ,

    merupakan ring homomorfisme.

    b) Tunjukkan bahwa pemetaan : R R S , dengan aturan ,0a a ,

    merupakan ring homomorfisme yang satu-satu.

    c) Selidiki apakah R S isomorfik ke S R .

  • 29

    Rippi Maya: Draft Ring

    Teorema 4.1. Sifat-sifat Ring Homomorfisme

    Misalkan adalah ring homomorfisme dari suatu ring R ke suatu ring S. Misalkan

    A adalah subring dari R dan misalkan B adalah ideal dari S.

    1. Untuk sebarang r R dan sebarang bilangan bulat bulat positif n,

    nr n r dan .nnr r 2. A a a A adalah subring dari S.

    3. Jika A adalah suatu ideal dan pada S, maka A adalah ideal juga.

    4. 1 B r R r B adalah ideal dari R. 5. Jika R komutatif, maka R komutatif.

    6. Jika R mempunyai elemen identitas 1, 0S , dan pada, maka 1

    adalah elemen identitas dari S.

    7. adalah isomorfisme jika dan hanya jika pada dan

    0 0 .Ker r R r 8. Jika adalah isomorfisme dari R pada S, maka 1 adalah isomorfisme dari

    S pada R.

    Latihan 4.6.

    Buktikan Teorema 4.1 untuk nomor 1 dan 2 di atas.

    Petunjuk:

    1. Perhatikan bahwa

    ...n

    nr r r r r

    . Gunakan sifat ring

    homomorfisme untuk membuktikan bahwa nr n r .

    2. Tunjukkan bahwa A adalah ring. Mulailah dari sifat komutatif ring A untuk

    membuktikan sifat komutatif dari A terhadap operasi perkalian.

  • 30

    Rippi Maya: Draft Ring

    Latihan 4.7.

    Perhatikan pemetaan 12 12: , dengan 3 .x x

    a) Carilah semua x di 12 sehingga 0.x

    b) Misalkan 12 0 .A x x Selidiki apakah A ideal dari 12 . c) Kita mengetahui bahwa 1 3. Carilah semua x di 12 , sehingga 3.x

    d) Misalkan 12 3 .B x x Apakah B ideal dari 12 ? e) Apakah ada hubungan antara B dan A? Bagaimana cara memperoleh

    himpunan B dari himpunan A? Jelaskan pendapatmu.

    Teorema 4.2. Kernel adalah Ideal

    Misalkan adalah suatu homomorfisme dari ring R ke ring S. Maka

    0Ker r R r adalah suatu ideal dari R.

    Latihan 4.8.

    Ambillah A suatu ideal di 12 . Definisikan suatu pemetaan 12 12: ,

    sehingga Ker A .

    Latihan 4.9.

    Perhatikan pemetaan 12 12: , dengan aturan 3 .x x

    a) Carilah kernel .

    b) Tentukan 12 . Apakah 12 ring?

    c) Tentukan himpunan 12,i ix x a a . d) Tuliskan 0 0,4,8 , 1 1,5,9 , 2 2,6,10 , dan 3 3,7,11 .

    Definisikan operasi , ,a b x y x a y b dan , .a b xy x a y b Misalkan 0,1,2,3A . Ujilah apakah A ring.

  • 31

    Rippi Maya: Draft Ring

    e) Himpunan A disebut juga 12 / Ker . Apakah hubungan antara 12 / Ker

    dan 12 ? Dapatkah dicari hubungan antara 12 / Ker dan 12

    sehingga mereka isomorf?

    Latihan 4.10.

    Lakukan hal yang sama seperti pada Latihan 4.9, tetapi untuk 4 .x x

    Teorema 4.3. Teorema Isomorfisme Pertama untuk Ring

    Misalkan adalah suatu ring homomorfisme dari ring R ke ring S. Maka

    pemetaan dari R/Ker ke R , yang dinyatakan dengan r Ker r ,

    adalah suatu isomorfisme. Simbolnya, / .R Ker R

    Latihan 4.11.

    Misalkan ,a b

    R a bb a

    , dan misalkan adalah suatu pemetaan, dengan

    : R , yang memetakan a b

    a bb a

    .

    a) Tunjukkan bahwa adalah homomorfisme terhadap ring.

    b) Carilah kernel dari .

    c) Tunjukkan bahwa R/Ker isomorfik ke .

    d) Apakah Ker ideal prima?

    e) Apakah Ker ideal maksimal?

    Latihan 4.12.

    Buatlah sebuah contoh ring R dan tentukan ideal A dari ring R tersebut. Misalkan

    adalah ring homomorfisme dari R ke R/A. Apakah A kernel dari ? Jelaskan

    jawabmu.

  • 32

    Rippi Maya: Draft Ring

    Teorema 4.4. Ideal adalah Kernel

    Setiap ideal dari suatu ring R adalah kernel dari suatu ring homomorfisme dari R.

    Khususnya, suatu ideal A adalah kernel dari pemetaan r r A dari R ke R/A.

    Homomorfisme dari R ke R/A disebut homomorfisme natural dari R ke R/A.

  • 33

    Rippi Maya: Draft Ring

    Ilustrasi 5.1

    Perhatikan polinomal 3f x x dan 5g x x di 3 x . Untuk setiap a di 3 ,

    selidiki nilai-nilai dari f a dan g a . Bagaimana pendapatmu tentang f a

    dan g a ? Apakah f x dan g x merupakan dua fungsi yang sama dari 3 ke

    3 ?

    Perhatikan kembali f x dan g x di atas, yang merupakan dua elemen yang

    berbeda dari 3 x . Kapan dua elemen dari 3 x dikatakan sama? Jelaskan

    pendapatmu.

    Definisi 5.1. Ring Polinomial atas R

    Misalkan R adalah ring komutatif. Himpunan dari simbol-simbol formal

    11 1 0... , adalah bilangan bulat non negatifn nn n iR x a x a x a x a a R n disebut ring polinomial atas R dengan x tak tentu (indeterminate).

    Dua elemen

    11 1 0...

    n n

    n na x a x a x a

    dan 1

    1 1 0...m m

    m mb x b x b x b

    dari R x dipandang sama jika dan hanya jika i ia b untuk semua bilangan bulat

    non negatif. (Definisikan 0ia jika i n dan 0ib jika i m ).

  • 34

    Rippi Maya: Draft Ring

    Latihan 5.1.

    Misalkan fungsi 4f x x x dan 2g x x x di 3 x . Apakah f x dan

    g x menyatakan dua fungsi yang sama dari 3 ke 3 ? Jelaskan pendapatmu.

    Definisi 5.2. Penjumlahan dan Perkalian di R x

    Misalkan R adalah ring komutatif dan misalkan

    11 1 0( ) ...

    n n

    n nf x a x a x a x a

    dan 1

    1 1 0( ) ...m m

    m mg x b x b x b x b

    adalah elemen R x . Maka

    11 1 1 1 0 0...s ss s s sf x g x a b x a b x a b x a b

    dengan s adalah maksimum dari m dan n, 0ia untuk i n , dan 0ib untuk

    i m .

    Juga berlaku

    11 1 0...m n m nm n m nf x g x c x c x c x c

    dengan 0 1 1 1 1 0...k k k k kc a b a b a b a b , untuk 0,..., .k m n

    Latihan 5.2.

    Perhatikan fungsi 21p x x x dan 2 32q x x x , yang merupakan

    elemen dari ring komutatif R x . Hitunglah p x q x dan p x q x , dengan

    cara yang sudah kamu ketahui. Lakukan penghitungan kembali dengan cara seperti

    pada Definisi 5.2 tersebut. Bandingkan hasilnya. Bagaimana pendapatmu?

    Latihan 5.3.

    Misalkan 3 24 2 3f x x x x dan 4 3 23 3 3 4g x x x x x , dengan

    5, .f x g x Z x Hitunglah f x g x dan f x g x .

  • 35

    Rippi Maya: Draft Ring

    Ilustrasi 5.2

    Dari pembahasan sebelumnya tentang integral domain, diketahui bahwa adalah

    integral domain. Apakah 11 1 0...n nn n ix f x a x a x a x a a merupakan integral domain juga? Jelaskan pendapatmu.

    Teorema 5.1. D adalah Integral Domain yang mengakibatkan D x Integral Domain

    Jika D adalah integral domain, maka D x adalah integral domain.

    Latihan 5.4.

    Buktikan Teorema 5.1 tersebut.

    Latihan 5.5.

    Diketahui bahwa 3 adalah integral domain. Selidiki apakah 3 x juga integral

    domain. Bagaimana pula dengan 4 x dan 5 x ? Jelaskan pendapatmu.

    Ilustrasi 5.3

    Perhatikan polinomial 11 1 0...n nn nf x a x a x a x a , 0.na Bila derajat

    (degree) suatu polinom dinyatakan oleh besarnya derajat (pangkat) terbesar dari

    variabel f x nya, apakah yang dapat kamu katakan tentang derajat dari f x

    tersebut? Bila derajat f x adalah n, maka ditulis deg .f x n

    Koefisien dari variabel nx , yaitu na , disebut sebagai leading coefficient. Bila

    0f x , maka f x dikatakan tidak mempunyai derajat. Secara umum, bila

    0f x a , maka f x merupakan konstanta, yang derajatnya nol. Bila leading

    coefficient dari f x adalah elemen identitas perkalian dari R, maka f x

    disebut monic polinomial.

  • 36

    Rippi Maya: Draft Ring

    Latihan 5.6.

    Carilah semua polinom berderajat tiga di 3 x .

    Latihan 5.7.

    Tunjukkan bahwa polinomial 2 1x di 4 x mempunyai invers perkalian di

    4 x .

    Ilustrasi 5.4

    Algoritma pembagian adalah salah satu sifat bilangan bulat yang sering digunakan.

    Jika ,a b , 0b , maka terdapat bilangan bulat tunggal q dan r sehingga

    ,a bq r 0 r b . Bagaimana algoritma pembagian dalam polinomial?

    Berikut ini teoremanya.

    Teorema 5.2. Algoritma Pembagian untuk F x

    Misalkan F lapangan dan misalkan f x dan dengan 0.g x F x g x

    Maka ada polinomial tunggal dan diq x r x F x , sedemikian sehingga

    f x g x q x r x dan juga 0r x atau deg deg .r x g x q x

    disebut sebagai hasil bagi (quosient) dan r x disebut sisa pembagian

    (remainder) dari f x oleh g x .

    Latihan 5.8.

    Buktikan Teorema 5.2 tersebut.

  • 37

    Rippi Maya: Draft Ring

    Latihan 5.9.

    Misalkan 3 2 4f x x x dan 3 2g x x di 5 .x Tentukan kuosien dan

    sisa pembagian f x oleh g x .

    Latihan 5.10.

    Misalkan 4 35 3 1f x x x dan 23 2 1g x x x di 7 .x Carilah kuosien

    dan sisa pembagian f x oleh g x .

    Ilustrasi 5.5

    Misalkan D adalah daerah integral. Jika f x dan g x di D x , maka g x

    membagi f x di D x , dan ditulis g x f x , jika terdapat h x D x ,

    sehingga .f x g x h x g x dapat juga disebut sebagai faktor dari f x .

    a adalah nol (akar) dari polinom f x jika 0.f a Jika F lapangan, a F ,

    ,f x F x maka a disebut nol dari kelipatan k 1k jika kx a adalah

    faktor dari f x , tetapi 1kx a bukan faktor dari f x .

    Latihan 5.11.

    Tunjukkan bahwa 2 3 2p x x x mempunyai empat nol (akar) di 6.

    Akibat 1. Teorema Sisa (Reminder)

    Misalkan F adalah lapangan, a F , dan ( ) [ ]f x F x , maka f a adalah sisa

    dalam pembagian dari f x oleh x a .

  • 38

    Rippi Maya: Draft Ring

    Latihan 5.12.

    Misalkan 3 22 3 4f x x x x di lapangan 5. Tentukan 5a sehingga

    f a adalah sisa dalam pembagian dari f x oleh x a .

    Akibat 2. Teorema Faktor

    Misalkan F adalah lapangan, a F , dan ( ) [ ]f x F x , maka a adalah nol dari

    f x jika dan hanya jika x a adalah faktor dari f x .

    Latihan 5.13.

    Misalkan 3 24 2 1f x x x x di 5. Tentukan nol dari f x .

  • 39

    Rippi Maya: Draft Ring

  • 40

    Rippi Maya: Draft Ring

    DAFTAR PUSTAKA

    Clark, W. Edwin (1998). Elementary Abstract Algebra [Online]. Tersedia:

    http://shell.cas.usf.edu/~eclark/Elem_abs_alg.pdf [21 November 2008]

    Dummit, David S. & Foote, Richard M. (2002). Abstract Algebra (Second

    Edition). Singapura: John Wiley & Sons (Asia) Pte. Ltd.

    Gallian, Joseph A. (1998). Contemporary Abstract Algebra (Fourth Edition).

    Boston: Houghton Mifflin Company.

    Gallian, Joseph A. (2005). Advice for Students for Learning Abstract Algebra

    [Online]. Tersedia: http://www.d.umn.edu/~jgallian/advice.html [8 Januari

    2009]

    Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra (Second Edition). New York: John Wiley

    & Sons.

    Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra. New York: Springer-Verlag New York,

    Inc.

    http://shell.cas.usf.edu/~eclark/Elem_abs_alg.pdfhttp://www.d.umn.edu/~jgallian/advice.html