BY NURUL SAILA

SISTEM PERSAMAAN LINIER(SPL)

Tatap Muka 26 Maret 2012

BY NURUL SAILA

1. Persamaan Linier2. Sistem Persamaan Linier3. Eliminasi Gauss4. Eliminasi Gauss Jordan

Sub Pokok Bahasan:

Definisi: Persamaan linier adalah suatu persamaan

yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu.

Persamaan linier dalam n variable x1, x2, …, xn adalah sebuah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a1 x1+ a2 x2 + … + an xn = b

dimana a1, a2, …, an, b adalah konstanta-konstanta riil.

“Persamaan Linier”

Pemecahan persamaan linier:a1 x1+ a2 x2 + … + an xn = b

adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2, …, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubstitusikan x1= s1, x2 = s2, …, xn = sn.

Himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan pemecahannya.

“Menyelesaikan Pers. Linier”

contoh:Tentukan selesaian dari persamaan-persamaan berikut:

1. 2x + 3 = -72. 2x + 3y -2 = 103. 2x + 3y + 5z + 10 = 15

Sebuah himpunan berhingga dari persamaan linier dalam variable-variabel x1, x2, …, xn dinamakan sebuah system persamaan linier atau sebuah system linier.

Sistem persamaan linier yang terdiri dari m persamaan dalam n variable adalah:

“Sistem Persamaan Linier”

൞

𝑎11𝑥1 +𝑎12𝑥2 +⋯+𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1𝑎21𝑥1 +𝑎22𝑥2 +⋯+𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2⋮𝑎𝑚1𝑥1 +𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

Sebuah urutan bilangan-bilangan s1, s2, …, sn dinamakan sebuah pemecahan system tersebut jika x1= s1, x2 = s2, …, xn = sn.adalah sebuah pemecahan dari tiap-tiap persamaan di dalam system tersebut.

Contoh:Perhatikan sistem persamaan linier berikut:

2x + 3y – 5z = -8-x –y + 15z = 425x -2y + z = 11Hp: {(x, y, z)/ x = 2, y = 1, z = 3}

Ada beberapa cara menentukan pemecahan system persamaan linier, yaitu:(1) Eliminasi Gauss (2) Eliminasi Gauss Jordan(3) Perkalian Matrik dan(4) Kaidah Cramer

“Metode Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier”

BY NURUL SAILA

Eliminasi Gauss adalah suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, yang meliputi langkah-langkah sbb:

1. Mengubah system persamaan linier ke bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix), yaitu matriks yang entri-entrinya adalah koefisien dari variable dan konstanta dari persamaan dalam system;

2. >>>

“Eliminasi Gauss”

BY NURUL SAILA

2. Dengan menggunakan OBE, mengubah bentuk matriks yang diperbesar menjadi matriks bentuk eselon baris (row-echelon form).

3. Mengubah matrik eselon baris ke bentuk sistem persamaan.

4. Menyelesaikan tiap persamaan dalam sistem.

Operasi Baris Elementer (OBE) adalah suatu operasi yang dikenakan pada suatu baris matriks, yaitu:

1. Kalikan suatu baris dengan sebuah konstanta yang bukan 0.

2. Pertukarkan sebarang dua baris.3. Tambahkan kelipatan dari suatu baris kpd

baris yang lain.

Operasi Baris Elementer(OBE)

OBE 1: Kalikan baris 1 dengan 2 (2B1) OBE 2: Pertukarkan B1 dengan B2 (B1 B2) OBE 3: Tambahkan 3B1 kepada B2 (B2 + 3B1)

Contoh:

𝐴= 1 2 3−2 3 13 −2 1−12−3൩

BY NURUL SAILA

Sifat-sifat matriks bentuk eselon baris adalah sebagai berikut:

1. Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka bilangan tak 0 pertama di dalam baris tersebut adalah 1(dinamakan 1 utama).

2. Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya dari 0, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks.

3. Di dalam sebarang dua baris yang berturutan, yang tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka 1 utama di dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan daripada 1 utama di dalam baris yang lebih tinggi.

“Matrik Eselon Baris”(Row-echelon form)

BY NURUL SAILA

Contoh:1. Manakah yg merupakan matrik bentuk

eselon baris?

2. Dengan OBE, ubahlah matrik berikut menjadi matrik bentuk eselon baris.

a. 1 0 30 2 80 0 0൩ b. 1 3 00 0 00 1 4൩ c. 1 0 30 1 20 0 3൩

a. 2 1 −31 4 03 2 −1൩ b. −1 1 −30 4 03 −2 −1൩ c. 2 −1 3−1 4 00 2 −1൩

Contoh:Tentukan selesaian dari sistem persamaan berikut menggunakan metode eliminasi Gauss.

1. ൜4𝑥+ 10𝑦= 306𝑥+ 25𝑦= 67

2. ൝2𝑥− 3𝑦+ 𝑧= 16−4𝑥+ 2𝑦− 3𝑧= −633𝑥− 𝑦+ 5𝑧= 80

Langkah-langkah yang ditempuh, yaitu:1. Mengubah system persamaan linier ke

bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix), yaitu matriks yang entri-entrinya adalah koefisien dari variable dan konstanta dari persamaan dalam system;

2. Dengan menggunakan OBE, mengubah bentuk matriks yang diperbesar menjadi matriks bentuk eselon baris yang direduksi (reduced row-echelon form)

“Eliminasi Gauss Jordan”

Sifat-sifat matriks bentuk eselon baris yang direduksi adalah sebagai berikut:

1. Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka bilangan tak 0 pertama di dalam baris tersebut adalah 1(dinamakan 1 utama).

2. Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya dari 0, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks.

3. Di dalam sebarang dua baris yang berturutan, yang tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka 1 utama di dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan daripada 1 utama di dalam baris yang lebih tinggi.

4. Setiap kolom yang mengandung sebuah 1 utama mempunyai 0 ditempat lain.

BY NURUL SAILA

Contoh:1. Manakah yg merupakan matrik bentuk

eselon baris yang direduksi?

2. Dengan OBE, ubahlah matrik berikut menjadi matrik bentuk eselon baris yg direduksi.

a. 1 0 30 1 80 0 0൩ b. 1 3 00 0 00 1 4൩ c. 1 0 30 1 20 0 3൩

a. 2 1 −31 4 03 2 −1൩ b. −1 1 −30 4 03 −2 −1൩ c. 2 −1 3−1 4 00 2 −1൩

Contoh:Tentukan selesaian dari sistem persamaan berikut menggunakan metode eliminasi Gauss.

1. ൜4𝑥+ 10𝑦= 306𝑥+ 25𝑦= 67

2. ൝2𝑥− 3𝑦+ 𝑧= 16−4𝑥+ 2𝑦− 3𝑧= −633𝑥− 𝑦+ 5𝑧= 80