persamaan differensial linier dan

Click here to load reader

Post on 13-Aug-2015

133 views

Category:

Documents

1 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

differential equation

TRANSCRIPT

PERSAMAAN DIFERENSI LINEAR DAN APLIKASINYA S K R I P S I Disusun dalam Rangka Menyelesaikan Studi Strata 1 Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Disusun Oleh : Nama:Rina Andriani Nim:4150401009 Prodi:Matematika S1 Jurusan:Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2005 ABSTRAK RinaAndriani(4150401009),PersamaanDiferensiLineardanAplikasinya.Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Semarang 2005. Dalammasalahrekayasadibidangfisika,biologi,matematika,danterapan-terapan lainnya, persamaan diferensial sering ditemui dalam bentuk model matematisnya, dimana dalam masalah-masalah itu ada variabel tak bebas y dan tergantung pada variabel bebas t yang kontinu. Meskipun demikian, dalam banyak penerapannya variabel bebas bisa diambil sebagai nilai-nilai diskrit.HalinilahyangakanmembawakepadaapayangdinamakandenganPersamaan Diferensi. Permasalahandalampenelitianiniadalahmencarisolusiumumpersamaandiferensi linear orde satu dan dua baik untuk persamaan homogen maupun nonhomogen, serta aplikasinya dalam bidang biologi. Selain itu juga akan dibahas dua metode untuk mencari solusi persamaan diferensilinearnonhomogenyaitumetodekoefisienyangtakdiketahuidanmetode transformasi-Z. Tujuan dari penelitian ini adalah mendapatkan solusi umum persamaan diferensi ordesatudanduabaikuntukpersamaanhomogenmaupunnonhomogensertadapat menggunakan persamaan diferensi dalam bidang biologi. Penelitianinidilakukanmelaluitinjauanpustakaterhadapbuku-bukuatauliteratur. Dari tinjauan pustaka tersebut, kemudian dibahas materi-materinya secara mendalam. Darihasilpembahasandapatdisimpulkanbahwauntukmencarisolusiumum persamaan diferensi linear homogen orde satu adalahyn =c nab((

,dengann=0,1,2,,dancsembarangkonstanta.Danordeduaadalah tergantungpada3kemungkinannilair1danr2yangdiperolehdaripersamaankarakteristikdari persamaandiferensinya. Kemudiansolusiumum persamaandiferensi linearnonhomogendicari denganduametodeyaitu:metodediskritkoefisienyangtakdiketahuidantransformasi-Z.Dan persamaandiferensiiniakandiaplikasikandalambidangbiologi.Persamaandiferensiyang dibahasdisinidapatdikembangkanuntukpersamaandiferensilineardenganordeyanglebih tinggi ataupun untuk persamaan diferensi nonlinear. MOTTO DAN PERUNTUKAN MOTTO MOTTO MOTTO MOTTO Jadikanlah sabar dan sholat sebagai penolongmu (Q.S. Al Baqoroh: 45) Imajinasi lebih berharga daripada sekedar ilmu pasti (Albert Einstein) Disaat kita mau berusaha keberhasilan akan selalu menyertai kita Failed in strunggle doesnt mean a decline PERUNTUKAN PERUNTUKAN PERUNTUKAN PERUNTUKAN Puji syukur kepada Allah swt atas terselesainya skripsi ini.Kuperuntukan karya inikepada: 1.Bapak dan Ibu tercinta yang telah memberikan kasih sayangnya . 2.Kakak dan adikku tercinta. 3.Aa Sugeng tersayang. 4.Guruku serta dosenku yang telah memberikan pengetahuan serta ilmunya. KATA PENGANTAR PujidansyukurpenulispanjatkankehadiratAllahSWT.,ataslimpahanpetunjukdan karunia-Nya,sehinggapenulisdapatmenyelesaikanpenulisanskripsiyangberjudul Persamaan Diferensi Linear dan Aplikasinya. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada: 1.Dr. H.A.T. Soegito, S.H., M.M. Rektor Universitas Negeri Semarang. 2.Drs. Kasmadi Imam S., M.S. Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang. 3.Drs. Supriyono, M.Si. Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang.4.Drs.Khaerun,Msi,pembimbingIyangtelahmemberikanbimbingandanarahankepada penulis dalam menyusun skripsi ini. 5.Drs.MochChotim,M.S,PembimbingIIyangtelahmemberikanbimbingan,danarahan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini. 6.Segenap sivitas akademika di jurusan Matematika FMIPA UNNES. 7.AyahdanIbuyangsenantiasamendoakansertamemberikandoronganbaiksecaramoral maupun spiritual dan segala yang ternilai. 8.Kakakku dan adikku yang telah mendorong dalam proses penyelesaian skripsi ini. 9.SayangkuAaSugengyangtakhenti-hentinyamemberikandorongansertasemangatuntuk segera menyelesaikan skripsi ini. 10. Sahabat-sahabatkuAjeng,Pooi,danSariyangtelahmemberikandoronganuntuksegera menyelesaikan skripsi ini, serta teman-teman kost lumintu dan kost berkah semuanya. 11. Teman-temanku Woro, Lidia, Puput, Nany, Mey, Eli, Dwi, Taufik, Sigit, Ardi, Bowo, Doni dan semua angkatan 2001 yang selalu memberiku semangat dan dorongan hingga selesainya skripsi ini. 12. Orang-orangyangtelahmemberikaninspirasi,baikdisengajamaupuntidak,sertapihak-pihakyangtelahmemberikansegaladukunganbaiklangsungmaupuntidaklangsung, materialmaupunimmaterial,hinggaprosespenyusunanskripsiiniberjalandenganlancar sampai terselesainya skripsi ini. Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat. Semarang, Agustus 2005 Penulis DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL........................................................................................ i HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... ii ABSTRAK......................................................................................................iii MOTTO DAN PERSEMBAHAN................................................................... iv KATA PENGANTAR..................................................................................... v DAFTAR ISI................................................................................................. vii BAB IPENDAHULUAN............................................................................ 1 A.Latar Belakang Masalah................................................................ 1 B.Permasalahan ................................................................................ 2 C.Tujuan Penelitian .......................................................................... 2 D.Manfaat Penelitian ........................................................................ 3 E.Sistematika Penulisan Skripsi........................................................ 3 BAB IILANDASAN TEORI....................................................................... 5 A.Persamaan Diferensi...................................................................... 5B.Beberapa Solusi Teori Dasar........................................................ 6 C.Masalah Nilai Awal .................................................................... 14 D.Fungsi ......................................................................................... 15 E.Derivatif(turunan)15 F.Beberapa Definisi dan Toerema dari Barisan dan Deret.16 G.Deret Khusus...19 H.Transformasi-Z20 BAB IIIMETODOLOGI PENELITIAN .................................................... 24 A.Menentukan Masalah................................................................. 24 B.Merumuskan Masalah................................................................ 24 C.Studi Pustaka .............................................................................. 24 D.Analisis dan Pemecahan Masalah................................................ 25 E.Penarikan Simpulan .................................................................... 25 BAB IVPEMBAHASAN............................................................................. 26 A.Mencari solusi umum persamaan diferensi linear homogen ......... 26 B.Mencari solusi umum persamaan diferensi linear nonhomogen ... 35 C.Aplikasi persamaan diferensi dalam bidang biologi...43 BAB IVPENUTUP...................................................................................... 45 A.Simpulan.................................................................................... 45 B.Saran .......................................................................................... 47 DAFTAR PUSTAKA..................................................................................... 48

BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG MASALAH Akhir-akhirinidenganmeluasnyapenggunaansirkuitdigital,simulasikomputer, danmetodenumerik,membuattopikinimenjadipenting,karenasemuaitumenggunakan persamaan diferensi sebagai konsep dasarnya. Dalammasalahrekayasadibidangfisika,biologi,matematika,danterapan-terapan lainnya,persamaandiferensialseringditemuidalambentukmodelmatematisnya,dimana dalammasalah-masalahituadavariabeltakbebasydantergantungpadavariabelbebast yang kontinu. Meskipun demikian, dalam banyak penerapannya variabel bebas bisa diambil sebagainilai-nilaidiskrit.Halinilahyangakanmembawakepadaapayangdinamakan dengan Persamaan Diferensi. Untukmendapatsolusi-solusipersamaandiferensitersebut,dapatdigunakanversi diskritdaripersamaandiferensialsepertimetodekoefisientakdiketahui(undertermined coefficient),metodevariansiparameter,transformasi-Z(yangmerupakanversidiskrit transformasi-laplace), dan lain-lain. Dengan demikian persamaan diferensi merupakan versi diskrit dari sebagian besar teknik-teknik persamaan diferensial. Dalam penulisan kali ini hanya membahas persamaan diferensi linear orde satu dan dua baik untuk persamaan homogen maupun nonhomogen, serta aplikasinya dalam bidang biologi. Selain itu juga akan dibahas dua metode untuk mencari solusi persamaan diferensi linear nonhomogen yaitu metode koefisien yang diketahui dan metode transformasi-Z. 1 Dari uraian diatas maka penulis mengangkat judul Persamaan Diferensi Linear dan Aplikasinya , sebagai judul skripsi. B.PERMASALAHAN 1.Bagaimanamendapatkansolusiumumpersamaandiferensilinearhomogendengan koefisien konstan. 2. Bagaimanamendapatkansolusiumumuntukpersamaandiferensilinearnonhomogen dengankoefisienkonstandandenganmenggunakanmetodekoefisien takdiketahuidan metode transformasi-Z. 3. Bagaimana aplikasi persamaan diferensi linear dalam bidang biologi. C.TUJUAN PENELITIAN 1. Mendapatkansolusiumumpersamaandiferensilinearhomogendengankoefisien konstan. 2. Mendapatkansolusiumumuntukpersamaandiferensilinearnonhomogendengan koefisienkonstandandenganmenggunakanmetodekoefisientakdiketahuidanmetode transformasi-Z. 3. Dapat menggunakan persamaan diferensi linear dalam bidang biologi. D.MANFAAT PENELITIAN Untukmendapatkanwawasandanpengetahuantentangdiferensilinearkhususnya persa

View more