sebaran peluang bersama. peubah acak yang menyebar bersama definisi misalkan x dan y adalah peubah...
TRANSCRIPT
SEBARAN PELUANG BERSAMA
Peubah Acak Yang Menyebar Bersama
Definisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, maka sebaran peluang bersama untuk X dan Y adalah
p(x,y) = P(X=x, Y=y)Yang terdefinisi untuk semua bilangan nyata x dan y. Fungsi dari p(x,y) dinamakan fungsi peluang bersama.
Sifat fungsi peluang bersama p(x,y)
1. p(x,y) ≥ 02.
),(1),(
yxyxp
Contoh 1
Misalkan bahwa 3 bola diambil dari sebuah kantong yang berisi 3 bola merah, 4 putih dan 5 biru. Jika X adalah banyaknya bola merah yang terambil dan Y adalah banyaknya bola putih yang terambil. Carilah fungsi peluang bersama dari X dan Y, p(i,j)=P{X=i,Y=j)
Semua kemungkinan pasangan nilai (x,y) yang mungkin adalah (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), dan (3,0)
f(0,0) menyatakan peluang terambilnya 0 bola merah dan 0 bola putih
Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 12 bola adalah =220
Banyaknya cara mengambil 0 dari 3 bola merah, 0 dari 4 bola putih dan 3 dari 5 bola biru adalah = 10
f(0,0) adalah 10/220
3
12
3
5
0
4
0
3
Sebaran Peluang Bersama bagi Contoh 1
Sebaran peluang bersama bagi X dan Y untuk contoh ini dapat dinyatakan dalam rumus berikut
Untuk X=0,1,2,3; Y=0,1,2,3; 0≤ X+Y ≤3
p(x,y)x
Total Baris0 1 2 3
y
0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220
1 40/220 60/220 12/220 112/220
2 30/220 18/220 48/220
3 4/220 4/220
Total Kolom 84/220
108/220
27/220 1/220 1
3 4 5
3( , )
12
3
x x x yp x y
Definisi
Untuk dua peubah acak X dan Y, fungsi sebaran peluang kumulatif bersama dari X dan Y adalah
F(a,b) = P{Xa,Yb}Untuk dua peubah acak diskret X dan Y, F(a,b) memiliki bentuk
F(a,b) =
a
x
b
yyxp ),(
Definisi
Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang kontinu dengan fungsi sebaran bersama F(a,b). Jika terdapat fungsi nonnegatif f(x,y) sedemikian hingga
untuk semua bilangan nyata a dan b, maka X dan Y dikatakan peubah acak kontinu yang menyebar bersama.
Fungsi f(x,y) dinamakan fungsi kepekatan peluang bersama.
a bdxdyyxfbaF ),(),(
Contoh
Fungsi kepekatan bersama X dan Y adalah 22 0 ,0( , )
0
x ye e x yf x y
selainnya
Hitung a. P(X>1,Y<1)b. P(X<Y)c. P(X<a)
Jawab.
a. P(X>1,Y<1) =
= =
b. P(X<Y) = =
= =
= 1-2/3 = 1/3
12
0 1
2 x ye e dxdy
dyee xy
1
01
22
1
0
21 2 dyee y 21 1 ee
yxyx
yx dxdyee);,(
22
0 0
22y
yx dxdyee
0
2 )1(2 dyee yy dyedye yy
0 0
32 22
c. P(X<a) = = = 1-e-a
a
xy dydxee0 0
22 dxea
x
0
Sifat dari Fungsi Sebaran Bersama F(a,b)
F(-, -) = F(-, y) = F(x, -) = 0 F(, ) = 1 Jika a2 ≥ a1 dan b2 ≥ b1, maka
F(a2,b2)+F(a1,b1)-F(a1,b2)-F(a2,b1) ≥ 0
Sifat dari fungsi kepekatan bersama
1. f(x,y) ≥ 0 untuk semua x, y
2.
1),( dxdyyxf
Contoh
Suatu restoran keluarga melayani dua jenis layanan, yaitu layanan makan di tempat dan layanan drive thru. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, misalkan X adalah proporsi waktu yang digunakan restoran untuk melayani pelanggan yang makan di tempat dan Y adalah proporsi waktu yang digunakan restoran untuk melayani pelanggan yang memanfaatkan layanan drive thru. Bila fungsi kepekatan bersama dari (X,Y) adalah
selainnya
yxyxyxf0
10,10)(5
6),(
2
1. Buktikan bahwa f(x,y) adalah fungsi kepekatan peluang yang sah
2. Berapa peluang bahwa kedua layanan digunakan tidak lebih dari seperempat waktu layanan restoran ?
Jawab
a.
=
=
1
0
1
0
25
6),( dxdyyxdxdyyxf
1
0
1
0
21
0
1
0 5
6
5
6dxdyyxdxdy
115
6
10
6
5
6
5
6 1
0
21
0 dyyxdx
Peluang bahwa kedua layanan digunakan tidak lebih dari seperempat waktu layanan restoran adalah
=
=
dxdyyxYXP
4/1
0
4/1
0
25
6
4
10,
4
10
dxdyyxdxdy 4/1
0
4/1
0
24/1
0
4/1
0 5
6
5
6
640
7
320
6
220
64/1
0
34/1
0
y
y
x
x
yx
Sebaran Peluang Marginal dan Sebaran Peluang Bersyarat
Definisi
Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret yang menyebar bersama dengan fungsi peluang p(x,y), maka fungsi peluang marginal dari X dan Y adalah dan
y
x yxpxp ),()( x
y yxpyp ),()(
Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y), maka fungsi kepekatan marginal dari X dan Y adalah
dan
dyyxfxf x ),()(
dxyxfyf y ),()(
Contoh
Misalkan
Carilah fungsi kepekatan marginal X dan Y.
Jawab
Fungsi kepekatan marginal X adalah
= 2x(1) – 2x(0) = 2x, 0 x 1
2 , 0 1,0 1( , )
0,
x x yf x y
selainnya
11
00
( ) ( , ) 2 2Xf x f x y dy xdy xy
Sedangkan fungsi kepekatan marginal Y adalah
112
0 0
( ) ( , ) 2 1Yf y f x y dx xdx x
Fungsi peluang diskret bersyarat X jika diketahui Y
P(x|y)=P(X=x|Y=y)= dengan syarat py(y)>0
)(
),(
)(
),(
yp
yxp
yYP
yYxXP
y
Contoh
Dari Sebaran bersama berikut
a. P(X=0|Y=1)b. P(X=1|Y=1)c. P(X≥2|Y=1)
p(x,y)x
Total Baris0 1 2 3
y
0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220
1 40/220 60/220 12/220 112/220
2 30/220 18/220 48/2203 4/220 4/220
Total Kolom 84/220 108/220
27/220 1/220 1
Jawab
a. P(X=0|Y=1) =
P(Y=1) = pY(1) =
= p(0,1) + p(1,1) + p(2,1) + p(3,1) = Sehingga
P(X=0|Y=1) =
( 0, 1)
( 1)
P X Y
P Y
3
0
( ,1)x
p x
40 60 12 112
220 220 220 220
( 0, 1) 40 / 220 40
( 1) 112 / 220 112
P X Y
P Y
b. P(X=1|Y=1) =
c. P(X≥2|Y=1) =
=
( 1, 1) 60 / 220
( 1) 112 / 220
P X Y
P Y
( 2, 1) ( 2, 1) ( 3, 1)
( 1) ( 1)
P X Y P X Y P X Y
P Y P Y
12 / 220 0 12
112 / 220 112
Definisi
Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y) dan fungsi kepekatan marginal fx(x) dan fy(y), maka fungsi kepektan bersyarat X jika diketahui Y=y adalah
selainnya
yfyf
yxf
yxf yy
,0
0)(,)(
),(
)|(
Dan fungsi kepekatan bersyarat Y jika diketahui X=x adalah
selainnya
xfxf
yxf
xyf xx
,0
0)(,)(
),(
)|(
Contoh
Misalkan Y adalah peubah acak yang menyatakan banyaknya supply pada mesin soft drink di awal suatu hari dan X adalah banyaknya soft drink yang terjual selama hari tersebut (dengan ukuran galon). Bila X dan Y memiliki fungsi kepekatan bersama sebagai berikut
a. Tentukan fungsi kepekatan bersyarat X jika diketahui Y=y
b. Hitunglah peluang soft drink yang terjual adalah kurang dari ½ gallon jika mesin tersebut berisi 1 galon di awal hari
1/ 2, 0 ,0 2( , )
0,
x y yf x y
selainnya
Jawab
a.00
1 1( ) ( , ) 1/ 2
2 2
yy
Yf y f x y dx dx x y
1, 2
( ) 20,
Y
y x yf y
selainnya
( , ) 1/ 2( | ) 1/
( ) (1/ 2)Y
f x yf x y y
f y y
1/ , 0 2( | )
0,
y x yf x y
selainnya
b. P(X1/2|Y=1) = 1/ 2 1/ 2
1/ 2
00 0
1( | ) 1/ 2
1f x y dx dx x
Peubah Acak yang Bebas (Independent)
Definisi
Misalkan X mempunyai fungsi sebaran Fx(x), Y mempunyai fungsi sebaran Fy(y), dan X dan Ymemiliki fungsi sebaran bersama F(x,y), maka X dan Y dikatakan bebas jika dan hanya jika
F(x,y) = Fx(x) . Fy(y)untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)Jika X dan Y diskret dengan fungsi peluang bersama p(x,y) dan fungsi peluang marginal px(x) dan py(y), maka hubungan di atas benar jika dan hanya jika
p(x,y) = px(x)py(y)untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)Jika X dan Y kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y) dan kepekatan marginal fx(x) dan fy(y), maka hubungan di atas benar jika dan hanya jika
f(x,y) = fx(x)fy(y)untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)
Contoh
p(x,y)x
Total Baris0 1 2 3
y
0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/2201 40/220 60/220 12/220 112/2202 30/220 18/220 48/2203 4/220 4/220
Total Kolom 84/220
108/220
27/220 1/220 1
Bila X dan Y memiliki Sebaran Peluang Bersama seperti berikut:
Apakah X dan Y bebas?
Jawab.Untuk X=0 dan Y=0, kita dapatkan p(0,0) adalah 10/220, sedangkan pX(0) = 84/220 dan pY(0) = 56/220 sehingga
p(0,0) pX(0).pY(0) X dan Y tidak bebas
Contoh
Apakah X dan Y bebas jika X dan Y memiliki sebaran bersama berikut?
Jawab.
Kita dapatkan sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa X dan Y tidak bebas
1/ 2, 0 ,0 2( , )
0,
x y yf x y
selainnya
1, 0 2
( ) 20,
Y
y yf y
selainnya
22
00
1 1( ) ( , ) 1
2 2Xf x f x y dy dy y
( , ) ( ) ( )X Yf x y f x f y
Theorema
Misalkan X dan Y memiliki kepekatan bersama f(x,y), yang positif jika dan hanya jika axb, cyd, untuk konstanta a, b,c, dan d dan f(x,y) = 0 selainnya, maka X dan Y adalah peubah acak yang bebas jika dan hanya jika
f(x,y) = g(x) h(y)dimana g(x) adalah fungsi nonnegatif dari x dan h(y) adalah fungsi nonnegatif dari y
Contoh
a. Misalkan X dan Y memiliki fungsi kepekatan bersama
Apakah X dan Y bebasJawabf(x,y) positif jika dan hanya jika dan f(x,y) = g(x) h(y) di mana g(x) = 2x dan h(y)=1Sehingga X dan Y adalah peubah acak yang bebas
2 , 0 1,0 1( , )
0,
x x yf x y
selainnya
Misalkan X dan Y memiliki kepekatan bersama
Apakah X dan Y bebasJawabfungsi kepekatan bersama positif jika dan hanya jika , tidak ada konstanta a, b, c, dan d sedemikian hingga fungsi kepekatan positif pada selang a x b, c y d
5 , 0 1( , )
0,
x y xf x y
selainnya
Sehingga Theorema tidak dapat diaplikasikan. Bila kita cek ternyata X dan Y adalah peubah acak yang tidak bebas karena fungsi kepekatan bersamanya tidak sama dengan perkalian fungsi marginal X dan fungsi kepekatan marginal Y.