Beberapa Peubah

Acak Diskret (1)Kuliah 8 | Pengantar Hitung Peluang

rahmaanisa@apps.ipb.ac.id

Outline

Peubah acak Bernoulli

Peubah acak binom

Peubah acak geometrik

Latihan dan Diskusi

Review – Peubah Acak Diskret

Diskret

Dapat Dicacah

Beberapa Peubah Acak Diskret

Bernoulli

Binomial

Geometrik

Binom Negatif

Hipergeometrik

Poisson

Peubah Acak

Bernoulli

Definisi

Misal, suatu percobaan yang hasilnya dapat digolongkan atas

“keberhasilan” atau “kegagalan”.

Jika diambil X=1 untuk kejadian “berhasil”, dan X=0 untuk kejadian

“gagal”, fungsi massa peluangnya adalah:

𝑝 𝑋 = 0 = 1 − 𝑝

𝑝 𝑋 − 1 = 𝑝

Nilai Harapan dan Ragam:

𝐸 𝑋 = 𝑥=01 𝑥. 𝑝(𝑥) = 0 1 − 𝑝 + 1 𝑝 = 𝑝

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2 = 𝑝 − 𝑝2 = 𝑝(1 − 𝑝)

Contoh Kasus

Sebuah dadu setimbang dilemparkan sebanyak satu kali.

Misalkan, jika diperoleh angka 4 atau 6, maka dikatakan

“berhasil”, sedangkan sisanya dikatakan “gagal”. Tentukan fungsi

massa peluang bagi peubah acak X, yaitu munculnya angka 4

atau 6.

𝑋 = 1 , jika muncul angka 4 atau 6

0 , selainnya

Jika 𝑋 adalah peubah acak Bernoulli dengan parameter 𝑝 = 1 3,

maka fungsi peluangnya adalah:

𝑋 =

2/3 , jika x=01/3 , jika x=10 , selainnya

Nilai harapan dan ragam:

𝐸 𝑋 = 𝑝 =1

3

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑝 1 − 𝑝 =1

31 −

1

3= 2/9

Peubah Acak

Binomial

Definisi

Jika kita melakukan 𝑛 tindakan bebas yang berpeluang 𝑝 untuk

“berhasil” dan berpeluang (1 − 𝑝) untuk “gagal”, maka X yang

menyatakan banyaknya keberhasilan dalam 𝑛 tindakan adalah peubah

acak binomial.

Fungsi massa peluangnya:

𝑏 𝑥, 𝑛, 𝑝 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 =𝑛𝑥

𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥, untuk 𝑥 = 1,2, … , 𝑛

Nilai Harapan dan Ragam

𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)

Bentuk sebaran binomial

Contoh Kasus

Ujian matematika menggunakan pilihan berganda. Setiap soal ada

empat pilihan dan hanya satu jawaban yang benar untuk setiap soal.

Selanjutnya, antarnomor soal diasumsikan saling bebas. Amir mengikuti

ujian matematika tersebut, dan terdapat 10 soal yang harus dijawab.

a. Berapa peluang dia menjawab benar 5 soal?

b. Berapa peluang dia menjawab soal minimal 3 yang benar?

a. 𝑃 𝑋 = 5 =105

1

4

5 3

4

10−5= 0.1615146

b. 𝑃 𝑋 ≥ 3 = 1 − 𝑥=02 10

𝑥1

4

𝑥 3

4

10−𝑥

𝑃 𝑋 ≥ 3 = 1 −100

1

4

0 3

4

10−0+

101

1

4

1 3

4

10−1+

102

1

4

2 3

4

10−2

𝑃 𝑋 ≥ 3 = 0.763912

Peubah Acak

Geometrik

Definisi

Misalkan kita melakukan tindakan2 yang saling bebas, masing2 dengan

peluang 𝑝, sampai terjadi satu “keberhasilan”. Jika 𝑋 adalah banyaknya

tindakan yang diperlukan, maka 𝑋 adalah peubah acak geometrik.

Fungsi massa peluangnya:

𝑔 𝑥, 𝑝 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 1 − 𝑝 𝑥−1𝑝 , untuk 𝑥 = 1,2, …

Nilai Harapan dan Ragam

𝐸 𝑋 =1

𝑝

𝑉𝑎𝑟 𝑋 =1−𝑝

𝑝2

Pola sebaran p.a geometrik

Bentuk sebaran

geometrik: menjulur ke

kanan

Contoh Kasus

Dalam suatu proses produksi diketahui bahwa rata-rata di antara 100

butir hasil produksi 1 yang cacat. Berapakah peluang bahwa setelah 5

butir yang diperiksa baru menemukan cacat pertama ?

Jawab:

Gunakan distribusi geometrik dengan x = 5 dan p = 0,01, maka diperoleh

𝑔 5; 0.01 = 0.01 0.99 4 = 0.0096

Tentukan pula nilai harapan dan simpangan baku bagi p.a X !

Lack of memory property

𝑃 𝑋 = 𝑥 + 𝑛|𝑋 > 𝑛 = 𝑃 𝑋 = 𝑥

A geometric random variable has been defined as the number of trials until

the first success. However, because the trials are independent, the count of

the number of trials until the next success can be started at any trial without

changing the probability distribution of the random variable.

Contoh Kasus

Products are inspected until the first defective is found. The

first 10 trials have been found to be free of defectives. What is

the probability that the first defective will occur in the 15th trial?

𝑃 𝑋 = 15|𝑋 > 10 = ? ?

Contoh Kasus

Latihan & Diskusi

1. Tiga orang ibu akan melahirkan bayi tunggal. Peluang setiap ibu untuk

melahirkan bayi perempuan atau bayi laki-laki adalah sama. Peluang

semua bayi yang dilahirkan laki-laki sama dengan:

a. 0.125

b. 0.25

c. 0.5

d. 0.875

2. Peluang sebuah komponen dapat lolos uji tertentu adalah 2/3 dan

mengikuti distribusi binomial. Peluang bahwa 3 dari 6 komponen yang

diuji berikutnya lolos uji adalah:

a. 10/729

b. 160/729

c. 30/729

d. 40/729

3. Lima orang sarjana melamar kerja pada suatu perusahaan XXX.

Menurut informasi diketahui peluang seorang diterima kerja pada

perusahaan tersebut sebesar 0.4. Manakah pernyataan berikut yang

benar?

a. Bersarnya harapan jumlah pelamar yang diterima kerja pada

perusahaan XXX dari 10 pelamar adalah 4 orang.

b. Jumlah pelamar yang diterima kerja di perusahaan XXXX adalah

peubah acak binomial

c. Peluang tidak satu pun pelamar diterima kerja di perusahaan XXXX

adalah sebesar 0.65.

Tugas Kelompok

Montgomery & Runger (2003), Exercise 3.55

Horgan (2008), Exercise 10.1, nomor 1 dan 3.

Horgan (2008), Exercise 11.1 nomor 8

Tugas Mandiri

Baron (2014):

Exercise 3.1, 3.2, dan 3.3

Video 1

Video 2

REFERENSI

Aidi, M.N., Djuraidah, A. 2012. Pengantar Peluang. Bogor: IPB Press.

Baron, M. 2014. Probability and Statistics for Computer Scientist, Second

Edition. Boca Raton: CRC Press, Taylor & Francis Group.

Ghahramani, S. 2000. Fundamentals of Probability Second Edition. New

Jersey: Prentice Hall.w

Horgan, J. 2008. Probability with R: An Introduction with Computer Science

Application. New Jersey: John Wiley & Sons.

Montgomery, D.C., Runger, G.C. 2003. Applied Statistics and Probability for

Engineers. New York: John Wiley & Sons.