Modul 3. (Pendukung Pert 4)

Peubah Acak Diskrit dan Sebaran Peluang

1. Konsep Dasar Peubah Acak: suatu fungsi yang mengaitkan

suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang contoh Jika suatu ruang contoh mengandung titik

yang berhingga banyaknya atau sederetan anggota yang banyaknya sebanyak bilangan bulat maka ruang contoh itu dinamakan ruang contoh diskrit.

Bila ruang contoh mengandung titik contoh yang tak berhingga banyaknya dan banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang contoh itu disebut ruang contoh kontinu.

Sebaran Peluang DiskritHasil eksperimen pelemparan sekeping mata uang seimbang sebanyak 3 kali diperoleh ruang contoh.

S = {BBB,BBM,BMB,MBB,BMM,MBM,MMB,MMM}X = {0, 1, 2, 3}X = banyaknya sisi muka = M muncul

1

Sebaran peluangnya menjadi:

X = x 0 1 2 3f(x)=P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8

1/8, untuk x = 0,3f(x) = 3/8, untuk x =1,2

0 , untuk x lainnya

Grafik balok (garis) nya:

2

Himpunan pasangan terurut ( x , f(x)) merupakan suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang atau sebaran peluang peubah acak X bila, untuk setiap kemungkinan hasil X :

Sebaran kumulatif atau fungsi sebaran F(x) suatu peubah acak X dengan sebaran peluang f(x) dinyatakan oleh:

Dari pelemparan mata uang seimbang 3 kali:

0, x < 01/8, 0 x < 1

F(x) = 4/8, 1 x < 27/8, 2 x < 31, x 3

3

Sebaran kumulatif peubah acak diskrit

2. Nilai Harapan dan Ragam Peubah Acak

Nilai harapan peubah acak X dengan fungsi peluang f(x)= E(x)=

4

Pada sebaran peluang:

X 0 1 2 3f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Momen peubah acak X = k

Ragam dan Simpangan Baku Peubah Acak X

V(x) = 2 = ragam peubah acak X = simpangan baku peubah acak X

3. Fungsi Peluang Sebaran Hipergeometrik

5

maks (0,n – (N-D)) x min (n,D)

Contoh soal:Suatu kotak berisi 40 suku cadang dikatakan me-menuhi syarat penerimaan bila berisi tidak lebih dari 3 yang cacat. Cara pengambilan contoh (sampel) acak ialah dengan memilih 5 suku cadang secara acak dari dalamnya dan menolak kotak tersebut bila diantaranya ada yang cacat. Berapakah peluang mendapatkan tepat satu yang cacat dalam contoh acak berukuran 5. Bila kotak tersebut berisi 3 yang cacat.

Petunjuk: N = 40, n = 5, D = 3, dan x = 1

Nilai tengah = dan ragam = 2 dari peubah acak X yang menyebar secara Hipergeometrik:

6

Pada soal di atas:

4. Fungsi Peluang Sebaran Binom

Contoh soal:Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang ¾. Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak:Petunjuk : p = ¾ , n = 4, x = 2

Contoh soal: (dapat menggunakan tabel Binom)Peluang untuk sembuh seorang penderita penyakit darah yang jarang adalah 0,4. Bila di-ketahui 15 orang yang telah mengidap penyakit tersebut, berapakah peluangnya:(a) paling sedikit 10 akan sembuh(b) antara sama dengan 3 sampai sama dengan 8

akan sembuh(c) tepat lima yang sembuh

7

Petunjuk:

Nilai tengah peubah acak X yang menyebar secara Binom ==np dan ragamnya 2=np(1-p)

5. Fungsi Peluang Sebaran Poisson

Contoh soal:Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang meliputi suatu penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel melewati peng-hitung dalam 1 milidetik tertentu?Petunjuk : x = 6, = 4

8

Contoh soal: (dapat menggunakan tabel Poisson)Rata-rata banyaknya tangker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15 tangker sehari. Berapakah peluang pada suatu hari tertentu tangker ter-paksa ditolak karena pelabuhan tak mampu melayaninya?

Petunjuk :

= 10, P(x >15) = 1 – P(x 15)

Nilai tengah peubah acak X yang menyebar secara Poisson = dan ragamnya 2 = .

Tugas/latihan1. Dari 5 mobil yang dikirim dari pabrik 2 tiba

terkena goresan. Bila suatu toko menerima 3 mobil ini secara acak, tuliskan unsur ruang contoh T menggunakan huruf C dan B untuk masing-masing yang kena goresan dan yang baik, kemudian setiap titik contoh diberi nilai x dari peubah acak X yang menyatakan banyaknya mobil yang dibeli toko tadi yang kena goresan.

9

2. Tentukan nilai C sedemikian sehingga suatu fungsi berikut dapat berfungsi sebagai suatu sebaran peluang dari peubah acak X.a. f(x) = c (x2 + 4) untuk x = 0, 1, 2, 3

b. f(x) = c untuk x= 0, 1, 2

3. Dari suatu kotak yang berisi 4 uang logam ratusan dan dua lima puluha, seorang mengambil 3 uang secara acak tanpa pengembalian. Cari distribusi peluang jumlah nilai dari tiga mata uang. Nyatakan distribusi peluang banyaknya peluang dengan grafik sebagai histogram peluang.

4. Dari suatu kotak yang berisi 4 bola hitam dan 2

bola hijau. Tiga bola diambil secara berturutan, tiap bola dikembalikan sebelum pengembilan berikutnya. Carilah distribusi peluang banyaknya bola hijau yang terambil.

5. Peubah acak X mempunyai fungsi peluang

(a) P( x ≤ 0 ) (b) P( x < 0 ) (c) P( x ≤ 1 )(d) P( x ≤ 1,5 ) (e) P(1x1 ≤ 1) (f) P(1x1 < 1)

10

6. Acak X mempunyai fungsi peluang

f(x) = c (6-x), x –2, -1, 0, 1, 2;

f(x) = 0 untuk x lainnya. Hitunglah

(a) C

(b) F(x) = P (X ≤ x); x = -2,5; -0,5; 0; 1,5; 1,7; 3

7. Fungsi sebaran (kumulatif) peubah acak Y adalah:

0 ; y < -10,2 ; -1 ≤ y < 00,5 ; 0 ≤ y < 10,8 ; 1 ≤ y < 31 ; y ≥ 3

a. Gambarkan grafik f (y)b. Tentukan fungsi peluang yc. Hitung P ( 0 ≤ y ≤ 2 )

8. Distribusi peluang X, banyaknya cacat per-10m serat sintetis dalam gulungan yang lebarnya seragam diberikan oleh:

X 0 1 2 3 4F(x) 0,41 0,37 0,16 0,05 0,01

Buatlah distribusi peluang kumulatif X

11

F (y) =

9. Suatu bank menawarkan obligasi bagi langganannya dengan tahun tebusan (jatuh tempo) yang berlainan. Bila distribusi peluang kumulatifnya T diketahui, lamanya dalam tahun sampai jatuh tempo, diberikan oleh:

0 ; t < -10,25 ; 1 < t < 30,50 ; 3 ≤ t < 10,75 ; 5 ≤ t < 71 ; t ≥ 7

Carilah :

a. P( T = 5 )b. P( T > 3 )c. P( 1,4 < T <6 )

10. Peubah acak X mempunyai fungsi peluang f(x) = cx, untuk X = 1, 2,…….., n

a. Tunjukan bahwa c

b. Tunjukan bahwa f(x) untuk x = 1, 2, ………n

11. Suatu pengiriman 7 TV mengandung 2 yang cacat, suatu hotel membeli secara acak 3 dari padanya. Bila x menyatakan banyaknya yang cacat yang dibeli oleh hotel, carilah rataan yang ragam x?

12. Fungsi peluang peubah acak x adalah

12

F (t) =

hitunglah E (x) dan

13. Sebuah kotak berisi 3 uang logam ratusan dan 2 uang logam puluhan, tiga uang diambil secara acak tanpa pengembalian. Carilah sebaran peluang jumlah nilai ketiga mata uang yang mungkin terambil. Berapa rataan dan ragamnya.

14. Sebuah uang logam yg tak setangkup, peluang sisi muka munculnya 3 kali peluang munculnya sisi belakang. Carilah nilai harapan banyak sisi belakang muncul jika uang ini dilantunkan tiga kali? Cari pula ragamnya?

15. Tukang cuci mobil dibayar berdasarkan banyaknya mobil yang mereka cuci. Misalkan bahwa penerimaannya sehari dalam ribuan rupiah 7, 8, 11, 13, 15 atau 17 dengan peluang masing-masing 1/12, 1/12,1/4, 1/4, 1/6 dan 1/6. carilah nilai harapan dan ragam penghasilannya?

16. Dengan membeli sejenis saham tertentu seorang dapat memperoleh keuntungan setahun sebesar $ 4.000 dengan peluang 0,3 atau rugi $ 1.000 dengan peluang 0,7. Berapakah harapan peng-hasilannya?

17. Misalkan penjual barang antik ingin membeli sebuah patung yang peluangnya 0,22 0,36 0,28 dan 0,1. Bahwa ia dapat menjualnya lagi masing-

13

masing, dalam ribuan rupiah, dengan keuntung-an Rp.250, keuntungan Rp.150 sama dengan pembelian, dan rugi Rp.150. Berapa harapan keuntungannya?

18. Dalam suatu permainan judi di AS seseorang dibayar $3 bila dia menarik jack dan queen dan $5 bila dia menarik king atau As dari sekotak berisi 25 kartu bidge. Bila dia menarik kartu lain, dia kalah. Berapa banyak dia harus membayar untuk main agar permainan tadi adil?

19. Suatu kantong berisi 5 gulungan kertas yang tidak dapat dibedakan. Tiga dari padanya ber-tanda $2 dan kedua sisanya bertanda $4. seorang pemain mengambil 2 gulungan secara acak tanpa pengembalian dan dia dibayar sama dengan jumlah nilai pada kedua gulungan. Bila pemain membayar $5,60 sebelumnya, apakah ini permainan yang adil?

20. Misalkan X peubah acak dengan sebaran peluang berikut:

X -3 6 9F(x) 1/6 1/2 1/3

Carilah g(x), bila g(x) = (2x + 1)2

21. Tentukanlah sebaran seragam (uniform) bagi contoh acak panitia yang terdiri dari 4 orang yang dipilih secara acak dari 6 orang.

14

22. Suatu ujian terdiri atas 15 pertanyaan pilihan ber-ganda, masing-masing dengan 4 kemungkinan jawaban dan hanya satu yang benar. Berapa peluang seseorang yang menjawab secara menebak-nebak saja memperoleh 5 sampai 10 jawaban benar?

23. Peluang seorang pasien selamat dari auatu operasi jantung yang sulit adalah 0,9. Berapakah peluang tepat 5 dari 7 orang yang mengalami operasi berikutnya selamat.

24. Suatu survei terhadap penduduk kota me-nunjukan bahasa 20% lebih menyukai telepon berwarna putih dari warna lainnya. Berapa peluang dari 20 telepon yang dipasang berikut-nya lebih dari separuhnya berwarna putih?

25. Misalkan bahwa mesin pesawat terbang bekerja tidak tergantung satu dengan yang lainnya dan peluang mesin itu rusak adalah 2 = 1/5. Seandai-nya pesawat terbang selamat bila sekurang-kurangnya separuh dari jumlah mesinnya bekerja dengan baik. Tentukan mana yang berpeluang selamat lebih tinggi pesawat bermesin 4 atau bermesin 2?

26. Untuk mengelabui petugas pabean, seorang pelancong menaruh 6 tablet narkotik dalam sebuah botol yang berisi 9 pil vitamin yang sama bentuk dan warnanya. Bila petugas pabean

15

memeriksa tablet secara acak untuk dianalisis, berapa peluang pelancong tersebut akan ditahan karena membawa narkotik ?

27. Seseorang menanam 6 bibit dipekarangan, yang diambil secara acak dari sebuah kotak berisi 5 bibit gladiol dan 4 bibit daffodil. Berapa peluang dia menanam 2 bibit daffodil dan 4 bibit gladiol.

28. Suatu panitia beranggota 3 orang dipilih secara acak dari 4 dokter dan 2 perawat. Tuliskan rumus distribusi peluang yang peubah acak x yang menyatakan banyaknya dokter dalam panitia tersebut. Hitunglah peluang (2 ≤ x ≤ 3)

29. Perusahaan telepon melaporkan bahwa diantara 5000 pemasang telepon baru 4000 meng-gunakan telepon tombol. Bila 10 diantara pemasang baru tersebut diambil secara acak, berapa peluang tepat ada 3 orang menggunakan telepon putar?

30. Misalkan peluang seorang mempercayai suatu cerita mengenai hidup setelah mati adalah 0,8. Berapakan peluang bahwaa. Orang keenam mendengar cerita itu

adalah yang keempat mempercayainyab. Orang ketiga yang mendengar cerita itu

orang yang mempercayainya

16

31. Peluang bahwa seorang lulus ujian praktek mengendarai modbil adalah 0,7. Carilah peluang seorang lulus :a. Pada ujian ketigab. Sebelum ujian keempat

32. Seorang tukang ketik rata-rata melakukan dua kesalahan per halaman. Berapakah peluang dia melakukan :a. 4 atau lebih kesalahan pada halaman

berikut yang dia ketik.b. Tidak ada kesalahan

33. Dalam suatu penelitian inventori (persediaan barang) diketahui bahwa permintaan rata-rata dari gudang terhadap suatu bahan tertentu 5 kali sehari. Berapakah peluang suatu hari tertentu bahan tersebut :a. Diminta lebih dari 5 kalib. Tidak diminta sama sekali

34. Peluang seorang meninggal karena infeksi pernafasan adalah 0,002. Carilah peluang bahwa kurang dari 5 diantara 2000 orang yang terinfeksi akan meninggal. Carilah rataan dan variansnya

35. Misalkan rata-rata, dari tiap 1000 orang me-lakukan salah perhitungan dalam perhitungan pajaknya. Bila 10.000 isian pajak diambil secara

17

acak dan diperiksa, hitunglah peluangnya bahwa 6,8 atau 8 isian tersebut akan salah hitung. Carilah rataan dan varians peubah acak X yang menyatakan banyaknya orang yang melakukan kesalahan dari 10.000 isian pajak.

18