metode statistika (stk211)metode statistika (stk211) peubah acak dan sebaran peluang (random...
TRANSCRIPT
Metode Statistika (STK211)
Peubah Acak dan Sebaran Peluang
(Random Variable and Probability Distribution)
Dr. Ir. Kusman Sadik, M.Si
Dept. Statistika IPB, 2015
1
Konsep Peubah Acak(Random Variable)
• Peubah acak merupakan suatu fungsi
(function) yang memetakan ruang kejadian
(daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah
fungsi).
• Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah
dalam statistika untuk mengkuantifikasikan
kejadian-kejadian alam.
• Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu
memetakan SETIAP KEJADIAN DALAM
RUANG CONTOH dengan TEPAT ke SATU
BILANGAN pada bilangan riil.
2
• Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang seimbang. Ruang contohnya dapat disenaraikan sebagai berikut:
a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}
Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:
X = munculnya sisi dadu yang bermata genap
= {0, 1}
Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:
Daerah fungsi Wilayah fungsi
S1 .
S2 .
S3 .
S4 .
S5 .
S6.
X(ei)
. 0
. 1
3
Tipe Peubah Acak
• Diskret
Segugus nilai dari suatu peubah acak yang dapat dicacah (countable)
Misalkan X = banyaknya komputer yang terjualdalam seminggu di toko A.
• Kontinu
Nilai-nilai dari peubah acak tersebut tidak dapatdicacah (uncountable)
Nilai dalam peubah acak tersebut berupa selanginterval
Misalkan X = tinggi badan (cm)
Contoh lain : berat (kg, g, dsb), waktu (jam, menit, dsb)
4
Peubah Acak Diskret
5
• Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret
• Fungsi peluang dari peubah acak diskretmenampilkan nilai dan peluang dari peubahacak tersebut
• Jumlah total nilai peluang dari semuakemungkinan nilai peubah acak tersebut samadengan 1
• Peluang dari sembarang kejadian dapatdibentuk dengan menambahkan peluang darikejadian-kejadian yang membentuk sembarangkejadian tersebut
• Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantungdari sebaran peluang kejadiannya.
6
Kembali ke ilustrasi pelemparan sebutir dadu yang setimbang
SEBARAN PELUANG (probability distribution) adalahpemetaan setiap nilai peubah acak dengan nilaipeluangnya. Untuk kasus pelemparan sebutir dadu di atasdapat dijabarkan sebagai berikut:
p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5)
= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6
p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6)
= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6
Sisi yang muncul
Kejadian S1 S2 S3 S4 S5 S6
Peluang
kejadian
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
X 0 1 0 1 0 1
x 0 1
P(X=x) 1/2 1/2
X 0 1
Tabel Sebaran Peluang bagi X:
7
Ilustrasi : Mendenhall (Example 4.25) hlm. 164
Toss two fair coins and let x equal the number of
heads observed. Find the probability
distribution for x.
8
Nilai Harapan Peubah AcakDiskret
• Nilai harapan dari peubah acak adalah
pemusatan dari nilai peubah acak jika
percobaannya dilakukan secara berulang-ulang
sampai tak berhingga kali.
• Secara matematis nilai harapan dapat
dirumuskan sebagai berikut:
n
i
ii xpxX1
diskret p.a X jika ),()(
9
Sifat-sifat nilai harapan:
• Jika c konstanta maka E(c ) = c
• Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c
maka E(cX) = c E(X)
• Jika X dan Y peubah acak
maka E(X+Y) = E(X) + E(Y)
E(X-Y) = E(X) - E(Y)
10
Ragam Peubah Acak
• Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai
berikut:
V(X) = E(X-E(X))2
= E(X2) – [E(X)] 2 tunjukkan !
• Sifat-sifat dari ragam
Jika c konstanta maka V(c ) = 0
Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka
V(cX) = c2 V(X)
Jika X dan Y peubah acak maka,
V(XY) = V(X) + V(Y) Cov(X,Y)
Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika
X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0
11
Contoh:
• Jika diketahui distribusi peluang dari peubahacak X seperti tabel di bawah ini:
• Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:
E(X) = [(0)(1/6)+(1)(1/6) +(2)(1/6) +(3)(1/6)
+(4)(1/6) +(5)(1/6)]
= 0 + 1/6 + 232/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6
Nilai peubah Acak X
X 0 1 2 3 4 5
P(X=xI) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Xip(xi) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6
12
Lanjutan:
• Ragam p.a X adalah:
Nilai peubah Acak X
X 0 1 2 3 4 5
P(X=xI) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Xip(xi) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6
V(X) = E(X2) – [E(X)]2
= [(02)(1/6)+(12)(1/6) +(22)(1/6) +(32)(1/6)
+(42)(1/6) +(52)(1/6)] - (15/6)2
= 55/6 - 225/36 = 105/36
13
Berdasarkan E(X) dan V(X) tersebuttentukan:
a. E(2X)
b. E(4 - 3X)
c. V(2X)
d. V(4 – 3X)
14
Ilustrasi : Mendenhall (Example 4.26) hlm. 167
An electronics store sells a particular model of computer
notebook. There are only four notebooks in stock, and the
manager wonders what today’s demand for this particular
model will be. She learns from the marketing department
that the probability distribution for x, the daily demand for the
laptop, is as shown in the table. Find the mean, variance,
and standard deviation of x. Is it likely that five or more
customers will want to buy a laptop today?
15
Ilustrasi : Mendenhall (Example 4.26) hlm. 167
16
E(X) = μ mean (nilai harapan)
V(X) = σ2 variance (ragam)
Beberapa sebaran peluangdiskret yang banyak digunakan:
• Bernoulli
• Binomial
• Poisson
17
Sebaran Peluang Bernoulli
Kejadian yang diamati merupakan
kejadian biner yaitu sukses atau gagal
Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika
kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal
Misal, p=peluang sukses, dan q=peluang
gagal, maka fungsi peluang Bernoulli
dapat dituliskan sebagai:
P(x,p) = pxq(1-x); x=0,1dimana q = 1-p
E(X) = p; Var(X) = pq = p(1-p)
18
Seseorang pemain akan melakukan
lemparan bebas. Misalkan peluang bola
tersebut masuk ring sebesar 80%,
maka peluang bola tidak masuk ring
adalah 20%
Akan melakukan tendangan pinalti.
Jika peluang bola masuk sebesar
95% maka peluang bola tidak masuk
sebear 5%.
19
Sebaran Peluang Binomial
Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang
saling bebas
Peubah acak Binomial merupakan
jumlah dari kejadian sukses,
X=0,1,2,….,n
Fungsi peluang dari kejadian Binomial
dapat dituliskan sebagai:
P(x,n,p)=C(n,x)pxq(n-x); x=0,1,2,…,n
dimana C(n,x) = n!/(x!(n-x)!)
q = 1-p
E(X) =np var(X)=np(1-p)20
Percobaan Binomial
21
22
Jika peubah acak X didefinisikan
sebagai banyaknya lemparan bebas
yang sukses dari 3 lemparan
p= peluang sukses untuk sekali
melakukan lemparan bebas
G S G
S G G
G G S
S S G
S G S
G S S
S S S x=3
x=2
x=1
232 )1(2
3)2(
ppXP
333 )1(3
3)3(
ppXP
G G G x=0 030 )1(0
3)0(
ppXP
131 )1(1
3)1(
ppXP
Rata-rata sukses melakukan lemparan E(X) = np = 3p 23
Ilustrasi : Mendenhall (Example 5.4) hlm. 188
24
Latihan
Peluang turun hujan per hari diketahui
p=0,6. Jika pengamatan dilakukan dalam
satu minggu (7 hari), hitunglah:
a. Berapa peluang tidak turun hujan
dalam satu minggu?
b. Berapa peluang paling sedikit turun
hujan satu hari dalam satu minggu?
25
Peubah Acak Kontinu
26
• Misalkan X adalah suatu peubah acak
kontinu
• Fungsi peluang dari peubah acak kontinu
merupakan fungsi kepekatan peluang
(probability density function)
• Integral fungsi kepekatan peluang dari
semua kemungkinan nilai sama dengan 1
• Peluang dari suatu selang nilai dapat
dibentuk dengan mengintegralkan fungsi
kepekatan peluang dalam selang nilai
tersebut
27
Beberapa sebaran peluangkontinu yang banyak digunakan
• Normal
• Weibull
• Gamma
• Beta
28
Sebaran Peubah Acak Kontinu
29
Sebaran Normal
Bentuk sebaran simetrik
Mean, median dan modus berada dalam satu titik
Fungsi kepekatan peluang dapat dituliskan sebagai
berikut:
Peluang merupakan luasan dibawah kurva kepekatan
normal:
Peubah acak X dengan mean (E(X) = ) dan ragam
( V(X) = 2) menyebar normal sering dituliskan sebagai
berikut : X ~ N (, 2)
2
2
1
2
2
1),,(
x
exf
b
a
aFbFdxxfbxap )()()()(
30
Sebaran Normal
31
Bentuk sebaran normal denganberbagai nilai ragam
Data
Pe
rce
nt
3624120-12-24-36
60
50
40
30
20
10
0
Variable
ragam 1
ragam 3
ragam - 5
ragam -10
Semakin besar ragam dari sebaran normal
maka semakin landai bentuk sebarannya
32
Nilai Harapan Peubah AcakKontinu
• Nilai harapan dari peubah acak tersebut dalam
jangka panjang
• Secara matematis nilai harapan dapat
dirumuskan sebagai berikut:
kontinu p.a X jika ,)()( dxxfxX ii
33
• Setiap peubah acak normal memilikikarakteristik yang berbeda-beda perhitunganpeluang akan sulit
• Lakukan transformasi dari X N( , 2) menjadi peubah acak normal baku Z N(0 , 1) dengan menggunakan fungsi transformasi
• Distribusi peluang dari peubah acak normal baku Z N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuktabel peluang normal baku
XZ
34
Sebaran Normal Baku (Standard Normal)
Cara penggunaan tabel normal baku
Nilai z, disajikan pada
kolom pertama (nilai z
sampai desimal
pertama) dan baris
pertama (nilai z
desimal kedua)
Nilai peluang didalam
tabel normal baku
adalah peluang
peubah acak Z kurang
dari nilai k (P(Z<k)).
Nilai Z 0.00 0.01 0.02 0.03
-2.6 0.005 0.005 0.004 0.004
-2.5 0.006 0.006 0.006 0.006
-2.4 0.008 0.008 0.008 0.008
P(Z < -2.42)=0.008
35
Ilustrasi : Mendenhall, hlm. 226-230
36
Latihan (1)
Curah hujan dikota Bogor diketahui
menyebar normal dengan rata-rata tingkat
curah hujan 25 mm dan ragam 25 mm2.
Hitunglah,
a. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15
mm?
b. Curah hujan di kota Bogor antara 17 mm
sampai 31 mm?
c. Curah hujan di kota Bogor di atas 37
mm?
d. Jika dikatakan Bogor mempunyai peluang
10% curah hujan tertinggi, berapa batas
curah hujan tersebut!37
38
Diketahui X menyebar Normal dengan
E(X) = μ = 25 mm dan V(X) = σ2 = 25 mm
(a) P( x < 15) = ....
Jadi P(x < 15) = P(z < -2) = 0.0228
39
Diketahui X menyebar Normal dengan
E(X) = μ = 25 mm dan V(X) = σ2 = 25 mm
(b) P(17 < x < 31) = ....
Jadi P(17 < x < 31) = P(-1.60 < z < 1.20)
= P(z < 1.20) - P(z < -1.60)
= 0.8849 - 0.0548
= 0.830
40
Diketahui X menyebar Normal dengan
E(X) = μ = 25 mm dan V(X) = σ2 = 25 mm
(d) P(x > a) = 10% = 0.10
P(z > z1) = 0.10 1 – P(z < z1) = 0.10
P(z < z1) = 0.90
z1 = 1.28
Latihan (2)
Diketahui bahwa gaji menyebar normal
dengan nilai tengah 2,5 juta dan standar
deviasi 0,5 juta. Jikaseorang dipilih secara
acak:
a. Tentukan peluang gaji lebih dari 3,2
juta?
b. Tentukan peluang gaji antara 2,3 juta
sampai 3,2 juta?
c. Jika 23% orang mempunyai gaji
tertinggi, tentukan batas bawah dari
range tersebut!
41
PR/Tugas (2) – Persiapan UTS
Dikumpulkan di Dept Statistika, pada hari Selasa minggu depan
sebelum jam 10.00
1. Mendenhall (Exercise 4.42), hal. 155 tetap
2. Mendenhall (Exercise 4.62), hal. 157 smokers : 20% + m%
3. Mendenhall (Exercise 4.86), hal. 170 percentage : 52% + m%
4. Mendenhall (Exercise 5.96), hal. 217 successful : 80% + m%
5. Mendenhall (Exercise 6.10), hal. 234 tetap
6. Mendenhall (Exercise 6.18), hal. 234 st.dev : 0.15 + 0.m
42
Catatan : m = (digit ke-8) + (digit ke-9) dari NIM
Misal NIM : G84130075 m = 7 + 5 = 12
Materi ini bisa di-download di:
kusmans.staff.ipb.ac.id
43
Terima Kasih