review matematika : alat pemecahan soal...

Prinsip Teknik Pangan

Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 1

Bahan KuliahBahan Kuliah

REVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOALREVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL


Dosen : Prof. Dr. Purwiyatno Hariyadi


Dosen : Prof. Dr. Purwiyatno Hariyadi

Purwiyatno Hariyadi/[email protected]

Departemen Ilmu & Teknologi PanganFakultas Teknologi PertanianIPBBOGOR

Departemen Ilmu & Teknologi PanganFakultas Teknologi PertanianIPBBOGOR

REVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOALREVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOALREVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOALREVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL

Tujuan PembelajaranTujuan Pembelajaran

•• Mengetahui mampu melakukan operasi matematika Mengetahui mampu melakukan operasi matematika tertentu serta aplikasi praktis beberapa operasi tertentu serta aplikasi praktis beberapa operasi matematikamatematika

•• Mahasiswa akan mengetahui dan memahami Mahasiswa akan mengetahui dan memahami prinsipprinsip--prinsip matematika dan aplikasinya pada prinsip matematika dan aplikasinya pada industri dan proses pengolahan panganindustri dan proses pengolahan pangan


•• Mahasiswa akan mampu menyelesaikan persamaan Mahasiswa akan mampu menyelesaikan persamaan matematika, menggambar dan membaca grafik, matematika, menggambar dan membaca grafik, serta mengembangkan persamaan matematika dari serta mengembangkan persamaan matematika dari persoalan nyata (kasus industri pangan)persoalan nyata (kasus industri pangan)



MATEMATIKA DAN INJINIRINGMATEMATIKA DAN INJINIRINGMATEMATIKA DAN INJINIRINGMATEMATIKA DAN INJINIRING

Pemecahan soal injinering memerlukan matematika!Pemecahan soal injinering memerlukan matematika!

1. Formulasi : ekspresikan soal dalam bahasa math1. Formulasi : ekspresikan soal dalam bahasa math..........> harus tahu ttg hukum> harus tahu ttg hukum22 fisik dan injiniringfisik dan injiniring

2. Pemecahan soal : gunakan operasi math yang tepat2. Pemecahan soal : gunakan operasi math yang tepat..........> harus tahu hukum2 math> harus tahu hukum2 math

3. Interpretasi : pengembangan/penjelasan hubungan 3. Interpretasi : pengembangan/penjelasan hubungan antara hasil matematika dan artinya secaraantara hasil matematika dan artinya secara


antara hasil matematika dan artinya secara antara hasil matematika dan artinya secara fisik/nyatafisik/nyata

4. Penyempurnaan : ...........> ulangi tahap 1, 2 dan 3.4. Penyempurnaan : ...........> ulangi tahap 1, 2 dan 3.

•• Persamaan : Pernyataan (matematika) yang Persamaan : Pernyataan (matematika) yang menunjukkan adanya kesamaan (menunjukkan adanya kesamaan (equalityequality) antara ) antara

Persamaan AljabarPersamaan AljabarPersamaan AljabarPersamaan Aljabar

j y (j y ( q yq y))satu atau lebih ekspresi matematikasatu atau lebih ekspresi matematika

•• Melibatkan variabel dan konstantaMelibatkan variabel dan konstanta•• Contoh :Contoh :

konstantakonstanta


yy = a= axx + b; persamaan garis lurus+ b; persamaan garis lurus

variabelvariabel



Variabel ................. ?!Variabel ................. ?!Variabel ................. ?!Variabel ................. ?!•• y = 3x y = 3x -- 77 ............................................................... Pers. 1............................................................... Pers. 1

jika x = 1jika x = 1 ................> y = 3 > y = 3 -- 7 = 7 = -- 44jika x = 3 jika x = 3 ................> y= 9 > y= 9 -- 7 = 27 = 2

jadi, nilai y tergantung pada nilai x jadi, nilai y tergantung pada nilai x ................> y = variabel dependen> y = variabel dependen

•• y = 3x y = 3x -- 77 ............................................................... Pers. 1............................................................... Pers. 1

jika x = 1jika x = 1 ................> y = 3 > y = 3 -- 7 = 7 = -- 44jika x = 3 jika x = 3 ................> y= 9 > y= 9 -- 7 = 27 = 2

jadi, nilai y tergantung pada nilai x jadi, nilai y tergantung pada nilai x ................> y = variabel dependen> y = variabel dependenx = variabel independenx = variabel independen

•• Pers.1 dapat ditulis dalam bentuk lain : x = (1/3)y +(7/3)Pers.1 dapat ditulis dalam bentuk lain : x = (1/3)y +(7/3) ... Pers. 2... Pers. 2

jika y = jika y = -- 44 ................> x = (1/3)(> x = (1/3)(-- 4) +(7/3) = 14) +(7/3) = 1jika y = 2jika y = 2 ................> x = (1/3)(2) + (7/3) = 3> x = (1/3)(2) + (7/3) = 3

Jadi, nilai x tergantung pada nilai y Jadi, nilai x tergantung pada nilai y ................> x = variabel dependen> x = variabel dependeny = variabel independeny = variabel independen

x = variabel independenx = variabel independen

•• Pers.1 dapat ditulis dalam bentuk lain : x = (1/3)y +(7/3)Pers.1 dapat ditulis dalam bentuk lain : x = (1/3)y +(7/3) ... Pers. 2... Pers. 2

jika y = jika y = -- 44 ................> x = (1/3)(> x = (1/3)(-- 4) +(7/3) = 14) +(7/3) = 1jika y = 2jika y = 2 ................> x = (1/3)(2) + (7/3) = 3> x = (1/3)(2) + (7/3) = 3

Jadi, nilai x tergantung pada nilai y Jadi, nilai x tergantung pada nilai y ................> x = variabel dependen> x = variabel dependeny = variabel independeny = variabel independen


UMUM :UMUM :1.1. variabel di sisi kiri persamaan variabel di sisi kiri persamaan : variabel dependen: variabel dependen

variabel di sisi kanan persamaan variabel di sisi kanan persamaan : variabel independen: variabel independen2.2. Waktu (t) hampir selalu dianggap Waktu (t) hampir selalu dianggap

sebagai variabel independensebagai variabel independen

UMUM :UMUM :1.1. variabel di sisi kiri persamaan variabel di sisi kiri persamaan : variabel dependen: variabel dependen

variabel di sisi kanan persamaan variabel di sisi kanan persamaan : variabel independen: variabel independen2.2. Waktu (t) hampir selalu dianggap Waktu (t) hampir selalu dianggap

sebagai variabel independensebagai variabel independen

•• nilai tidak berubahnilai tidak berubah

•• beberapa konstanta :beberapa konstanta :

Konstanta ?!Konstanta ?!Konstanta ?!Konstanta ?!

g g : percepatan gravitasi (9.8 ms: percepatan gravitasi (9.8 ms--22))NNAA : bilangan Avogadro (6.02205 x 10: bilangan Avogadro (6.02205 x 102323 atom/mol)atom/mol)ΠΠ : pi (3.14159): pi (3.14159)R R : konstanta gas (8.314 Nm.mol: konstanta gas (8.314 Nm.mol--11.K.K--11))kk : Konstanta Boltzmann (1 38066x10: Konstanta Boltzmann (1 38066x10--2323J KJ K--11))


kk : Konstanta Boltzmann (1,38066x10: Konstanta Boltzmann (1,38066x10 J.KJ.K ))ccoo : kecepatan cahaya di vacum (299792,5x10: kecepatan cahaya di vacum (299792,5x1033m.sm.s--11))h h : konstanta Planck (6,6256x10: konstanta Planck (6,6256x10--3434 J.s)J.s)



•• Persamaan Aljabar yang menjelaskan Persamaan Aljabar yang menjelaskan hubungan antara variabel independen dan satu hubungan antara variabel independen dan satu atau lebih konstanta disebut Fungsiatau lebih konstanta disebut Fungsi

FungsiFungsiFungsiFungsi

•• y = f(x) y = f(x) ....................> dibaca : > dibaca : y merupakan fungsi (independen variabel) xy merupakan fungsi (independen variabel) x

•• y=f(x) dimana f(x) = 2ax + 3by=f(x) dimana f(x) = 2ax + 3b ....... Pers. 3....... Pers. 3

•• y = 2ax + 3by = 2ax + 3b Pers 4Pers 4


•• y = 2ax + 3by = 2ax + 3b ....... Pers. 4....... Pers. 4

•• Pers. 3 dan pers. 4 adalah identik.Pers. 3 dan pers. 4 adalah identik.

V(t) = (g/2)t + VV(t) = (g/2)t + Voo

Persamaan ini menyatakan suatu fungsi hubungan antara Persamaan ini menyatakan suatu fungsi hubungan antara kecepatan pada waktu tertemtu (Vkecepatan pada waktu tertemtu (V ) kecapatan awal (V) kecapatan awal (V ))

Contoh.Contoh.Contoh.Contoh.

kecepatan pada waktu tertemtu (Vkecepatan pada waktu tertemtu (Vtt), kecapatan awal (V), kecapatan awal (Voo), ), percepatan gravitasi (g), dan waktu (t).percepatan gravitasi (g), dan waktu (t).

.......... g, Vo.......... g, Vo.......... t, V(t).......... t, V(t).................. t.................. t

V(t)V(t)

Konstanta?Konstanta?Variabel?Variabel?Mana variable independen?Mana variable independen?


............. V(t)............. V(t)

.......... ya, t.......... ya, t

Mana variabel dependen?Mana variabel dependen?Apakah kecepatan (V) merupakan Apakah kecepatan (V) merupakan

fungsi suatu variabel?fungsi suatu variabel?



•• Kedua sisi persamaan = ekivalen!Kedua sisi persamaan = ekivalen!•• Prinsip Manipulasi : Lakukan operasi aritmatika di kedua Prinsip Manipulasi : Lakukan operasi aritmatika di kedua

sisi persamaan!sisi persamaan!

Prinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/FungsiPrinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/FungsiPrinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/FungsiPrinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/Fungsi

•• penambahan atau pengurangan suatu angka atau penambahan atau pengurangan suatu angka atau variable variable ..................> lakukan pada kedua sisi persamaan :> lakukan pada kedua sisi persamaan :

y = ax + b; y = ax + b; y + b = ax + b + b y + b = ax + b + b y = ax + b; y = ax + b; y y -- y = ax + b y = ax + b -- yy

•• Pengkalian Pengkalian ..................> lakukan pada kedua sisi persamaan :> lakukan pada kedua sisi persamaan :


gg p pp pk y = k a x + k bk y = k a x + k b

•• Pembagian Pembagian ..................> lakukan pd kedua sisi pers :> lakukan pd kedua sisi pers :y/a = x + b/ay/a = x + b/a

nnmmaa --nn

mm

aaaa

==nnaa11nnaa -- ==

Exponents : Exponents : Prinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/FungsiPrinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/FungsiExponents : Exponents : Prinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/FungsiPrinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/Fungsi

nnmmaa ++==nnmm aaaa xxmnmnaa(( ))nnmmaa ==

aaaa


nn11

aann aa == nn

mm

aann mmaa ==



•• LogLogbbx =cx =c ..........................................................................................................> maka b> maka bcc = X= X

•• 101022 = 100 = 100 ................................................................................> jadi : log> jadi : log1010 (100) = 2(100) = 2

Jika logJika log (10) = 1(10) = 1 > maka 10> maka 1011 =10=10

Logaritma :Logaritma :Prinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/FungsiLogaritma :Logaritma :Prinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/Fungsi

•• Jika logJika log1010 (10) = 1, (10) = 1, ..............................................> maka 10> maka 1011 =10=10•• Jika logJika log1010 (3.162) = 0.5, (3.162) = 0.5, ..............> maka 10> maka 100.50.5 = 3.162= 3.162

•• Log Log XX ..........................................................................................................> > berarti logberarti log1010 XX

•• Ln Ln XX ....................................................................>> berarti logberarti logee XXee = 2.718= 2.718


log Ylog Ylog Xlog XYYXXloglog --==

......... tentang logarithma lagi :......... tentang logarithma lagi :

log XY = log X + log Ylog XY = log X + log Y

log Xlog Xnn = n log X= n log X

ContohContohContohContohPV = nRTPV = nRT

P = tekanan (Pa)[=](N.mP = tekanan (Pa)[=](N.m--22))V = volume (mV = volume (m33))n = jumlah mol gas (mol)n = jumlah mol gas (mol)R = konstanta gas (8.314 Nm.molR = konstanta gas (8.314 Nm.mol--11.K.K--11))T = suhu mutlak (K)T = suhu mutlak (K)

Variabel?Variabel?P, V. n dan TP, V. n dan T

Isolasi variabel T dari lainnya (gunakan prinsip manipulasi) :Isolasi variabel T dari lainnya (gunakan prinsip manipulasi) :

PV (1/n) = nRT (1/n)PV (1/n) = nRT (1/n)


PV/nPV/n = RT= RTlalu :lalu :

PV/n (1/R) = RT (1/R)PV/n (1/R) = RT (1/R)jadi :jadi :

PV/nR = TPV/nR = T

Jika diketahui nilaiJika diketahui nilai--nilai nilai P, V dan n, maka P, V dan n, maka dapat dihitung nilai Tdapat dihitung nilai T



Hitung suhu gas ideal jika diketahui :Hitung suhu gas ideal jika diketahui :

P = 200 Pa; n = 2 mol, V = 30 mP = 200 Pa; n = 2 mol, V = 30 m33

dari persamaan terdahulu PV/nR = T, maka :dari persamaan terdahulu PV/nR = T, maka :

ContohContohContohContoh

[(200 Pa)(30 m[(200 Pa)(30 m33)]/[(2 mol)(8.314 Nm.mol)]/[(2 mol)(8.314 Nm.mol--11KK--11)] = 360.83 K)] = 360.83 K

jadi T = 360.83 Kjadi T = 360.83 K________________________________________________________________________Contoh Lagi :Contoh Lagi :


y = xy = x22 -- 55x =?x =?

Jawab : Jawab : y + 5 = xy + 5 = x22

x = (y + 5)x = (y + 5)1/21/2

Persamaan Linier : UmumPersamaan Linier : UmumPersamaan Linier : UmumPersamaan Linier : Umum

aa1111xx11 + a+ a1212xx22 + ... + a+ ... + a1n1nxxnn = b= b11aa2121xx11 + a+ a2222xx22 + + a+ + a22 xx = b= b22aa2121xx11 + a+ a2222xx22 + ... + a+ ... + a2n2nxxnn b b22......aan1n1xx11 + a+ an2n2xx22 + ... + a+ ... + annnnxxnn = b= bnn




contoh :contoh :contoh :contoh :3x3x11 + 4x+ 4x22 -- 5x5x33 = = --229x9x11 -- 2x2x22 + 3x+ 3x33 = 1= 1--6x6x11 + 3x+ 3x22 -- xx33 = 3= 3

cari nilai xcari nilai x11, x, x22, x, x33

6x6x11 + 8x+ 8x22 -- 10x10x33 = = --44..... x 2..... x 2

--6x6x11 + 3x+ 3x22 -- xx33 = 3= 3++

11x11x22 -- 11x11x33 = = --1 ........ (1)1 ........ (1)lakukan dengan cara lakukan dengan cara eliminasi variabel,eliminasi variabel,dengan prinsipdengan prinsip22

manipulasi pers manipulasi pers aljabar!aljabar!

22 33 ( )( )

9x9x11 + 12x+ 12x22 -- 15x15x33 = = --66

9x9x11 -- 2x2x22 + 3x+ 3x33 = 1= 1 --1414 1818 7 (2)7 (2)


14x14x22 -- 18 x18 x33 = = --7 ........ (2)7 ........ (2)pers (1) dan (2) dapat diselesaikan sbb:pers (1) dan (2) dapat diselesaikan sbb:

11x11x22 -- 11x11x33 = = --1114x14x22 -- 18 x18 x33 = = --77

.......... x 14/11.......... x 14/11 14x14x22 -- 14x14x33 = = --14/1114/1114x14x22 -- 18 x18 x33 = = --77

--4 x4 x33 = 63/11 ......... x= 63/11 ......... x33 = 63/44= 63/44....dengan cara yang sama. x....dengan cara yang sama. x11 dan xdan x22

dapat dipecahkan!.... Lanjutkan!dapat dipecahkan!.... Lanjutkan!

Persamaan kuadratPersamaan kuadratPersamaan kuadratPersamaan kuadrat

Salah satu variablenya dalam bentuk :Salah satu variablenya dalam bentuk :axax22 + bx + c = 0, a + bx + c = 0, a ‡ ‡ 00

............ Pers ini memberikan 2 nilai x (x............ Pers ini memberikan 2 nilai x (x11 dan xdan x22) = ) =

Jika Jika bb22--4ac >0 4ac >0 ..........................>> xx11 ‡ ‡ xx22, bil riil, bil riil

aaacacbbbb

xx22

4422

22,,11----

==++


11 ‡‡ 22,,bb22--4ac = 0 4ac = 0 ..........................>> xx11 = = xx22, bil riil , bil riil bb22--4ac <0 4ac <0 ..........................>> xx11 ‡ ‡ xx22, bil kompleks, bil kompleks



Contoh :Contoh :Contoh :Contoh :

Pecahkan pers. berikut :Pecahkan pers. berikut :

xx22 + 5xy + 5xy -- yy22 -- 15 = 015 = 0x + 2y = 10x + 2y = 10........................> kerjakan.> kerjakan.

1551552255


..................................................kunci :..................................................kunci :77

1551552255±±==yy

Persamaan/Fungsi Linier dan nonPersamaan/Fungsi Linier dan non--linierlinierPersamaan/Fungsi Linier dan nonPersamaan/Fungsi Linier dan non--linierlinierBentuk umum persamaan linier/garis lurus adalah :Bentuk umum persamaan linier/garis lurus adalah :

y = ax + by = ax + b

y = variable dependeny = variable dependenx = variable independenx = variable independena = konstanta (slope/tangen garis lurus)a = konstanta (slope/tangen garis lurus)b = konstanta (nilai y jika x=0)b = konstanta (nilai y jika x=0)

Catatan :Catatan :•• Sering pers linier tdk eksplisit dalam bentuk umum : Sering pers linier tdk eksplisit dalam bentuk umum :

..............> perlu diatur supaya dalam bentuk tsb> perlu diatur supaya dalam bentuk tsb


p p yp p y•• Bentuk linier adalah bentuk pers paling sederhanaBentuk linier adalah bentuk pers paling sederhana

..............> mudah interpretasinya!> mudah interpretasinya!•• Pers yang tidak dalam bentuk tsb Pers yang tidak dalam bentuk tsb ..............> pers non> pers non--linierlinier



Bentuk pers linier : y = ax +b Bentuk pers linier : y = ax +b ..............................> formula titik> formula titik--kemiringan (kemiringan (pointpoint--slope formulaslope formula))

Jika data linier, prinsip ini dapat digunakan sbb :Jika data linier, prinsip ini dapat digunakan sbb :

1 Pilih d titik (P1 d P2) d i l1 Pilih d titik (P1 d P2) d i l

Persamaan/Fungsi Linier dan nonPersamaan/Fungsi Linier dan non--linierlinierPersamaan/Fungsi Linier dan nonPersamaan/Fungsi Linier dan non--linierlinier

1. Pilih dua titik (P1 dan P2) pada garis lurus1. Pilih dua titik (P1 dan P2) pada garis lurus

2. Kemiringan a dapat ditentukan :2. Kemiringan a dapat ditentukan :a = [ya = [y11 -- yy22] / [x] / [x11 -- xx22]]dimanadimanaP1 = (xP1 = (x11,y,y11) dan P2 =(x) dan P2 =(x22,y,y22))

3 Titik potong (3 Titik potong (interceptintercept) pada sumbu) pada sumbu--y; yaitu b adalah :y; yaitu b adalah :


3. Titik potong (3. Titik potong (interceptintercept) pada sumbu) pada sumbu--y; yaitu b adalah :y; yaitu b adalah :y y -- yy11 = a (x= a (x--xx11))atau atau y = ax + (yy = ax + (y11--axax11))jadijadib = (yb = (y11--axax11))

•• Koordinat Umum (Koordinat Umum (cartesiancartesian))–– Sumbu tegak (vertical) dan horizontalSumbu tegak (vertical) dan horizontal–– kedua sumbu bisa merupakan cerminan variabelkedua sumbu bisa merupakan cerminan variabel--

variabelvariabel

Grafik & Sistem KoordinatGrafik & Sistem KoordinatGrafik & Sistem KoordinatGrafik & Sistem Koordinat

variabelvariabel

Contoh persamaan garis lurus : Contoh persamaan garis lurus :

yy = a= axx + b; + b;

konstantakonstanta


variabelvariabelyy

xx

a = a = slopeslope

bb



•• Koordinat Umum (Koordinat Umum (cartesiancartesian))–– kedua sumbu bisa mempunyai skala yang samakedua sumbu bisa mempunyai skala yang sama–– kedua sumbu bisa mempunyai skala yang berbedakedua sumbu bisa mempunyai skala yang berbeda–– contohcontoh22 ::

Grafik & Sistem KoordinatGrafik & Sistem KoordinatGrafik & Sistem KoordinatGrafik & Sistem Koordinat

1

10

100

0 5 10 15

BB

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15

AA


B : Semi log (x B : Semi log (x ..> linier, y > linier, y ..> log)> log)A : linier (skala x dan y A : linier (skala x dan y ..> linier)> linier)

1

10

100

1 10 100

CC

C : LogC : Log--log (skala x dan y log (skala x dan y ....> log)> log)

Contoh.Contoh.Contoh.Contoh.Suatu indek pertumbuhan mikroorganisme, dinyatakan Suatu indek pertumbuhan mikroorganisme, dinyatakan sebagai waktu generasi (g). sebagai waktu generasi (g). Pada phase log, m.o. tumbuh mengikuti model berikut :Pada phase log, m.o. tumbuh mengikuti model berikut :

N = NN = N [2][2]t/gt/g (pers 1)(pers 1)N = NN = Noo[2][2]t/gt/g ....................................................... ....................................................... (pers. 1)(pers. 1)

Perhatikan data berikut :Perhatikan data berikut :

Jumlah (N)Jumlah (N) waktu pertumbuhan (menit)waktu pertumbuhan (menit)980980 0017001700 1010


17001700 101040004000 303062006200 4040

Tentukan waktu generasi (g) m.o. tsb!Tentukan waktu generasi (g) m.o. tsb!



Jawab :...1Jawab :...1Jawab :...1Jawab :...1

Petumbuhan Mirkoorganisme

Jika data tsb diplot pada grafik linierJika data tsb diplot pada grafik linier--linier, akan linier, akan diperoleh grafik sbb: diperoleh grafik sbb:

210031004100510061007100

umla

h M

.O.


10011002100

0 10 20 30 40 50Waktu (menit)

J

Diketahui :Diketahui : N = NN = Noo[2][2]t/gt/g ............................................................................ ............................................................................ (pers. 1)(pers. 1)Bentuk log dari pers (1) adalah :Bentuk log dari pers (1) adalah :

log N =log No + (t/g) log 2log N =log No + (t/g) log 2log N = log No + (log2)/g tlog N = log No + (log2)/g t

artinya : plot antara log N dan t (atau plot N dan t pada kertas semilog)artinya : plot antara log N dan t (atau plot N dan t pada kertas semilog)akan menghasilkan garis lurus dgn slope = (log 2)/g = 0.301/gakan menghasilkan garis lurus dgn slope = (log 2)/g = 0.301/g

Jawab :...2Jawab :...2Jawab :...2Jawab :...2

akan menghasilkan garis lurus dgn slope (log 2)/g 0.301/gakan menghasilkan garis lurus dgn slope (log 2)/g 0.301/g

Kemiringan :Kemiringan :log 10000 log 10000 -- log1000log1000

48.7 48.7 -- 00

44--3 3 48.748.7

==

Petumbuhan Mirkoorganisme

1000

10000

mla

h M

.O.


1 1 48.748.7

==

Berdasarkan model :Berdasarkan model :kemiringan = 0.301/g = 1/48.7kemiringan = 0.301/g = 1/48.7g = 14.66 menit!g = 14.66 menit!

1000 10 20 30 40 50

Waktu (menit)

Ju



Waktu (menit)Waktu (menit) Jumlah m.oJumlah m.o00 980980

Contoh Soal ....... Lagi!Contoh Soal ....... Lagi!Contoh Soal ....... Lagi!Contoh Soal ....... Lagi!

22 2261226144 6017601766 184741847488 65428654281010 2673052673051212 125976512597651414 684879268487921616 4295171642951716


1616 42951716429517161818 310734257310734257

Jika pertumbuhan m.o. tsb mengikuti model Jika pertumbuhan m.o. tsb mengikuti model N = NN = Noo[2][2]t/gt/g

tentukan waktu generasinya!tentukan waktu generasinya!

Bandingkan !Bandingkan !

Pertumbuhan Mikroorganisme

1000000000

Pertumbuhan Mikroorganisme

350000000

1001000

10000100000

100000010000000

100000000

Jum

lah

M.O

.

050000000

100000000150000000200000000250000000300000000

Jum

lah

M.O

.


Skala x linier, skala y logSkala x linier, skala y log

0 5 10 15 20

Waktu (menit)

Skala x dan y linier Skala x dan y linier

0 5 10 15 20

Waktu (menit)



Catatan ttg pembuatan grafikCatatan ttg pembuatan grafikCatatan ttg pembuatan grafikCatatan ttg pembuatan grafik

•• Grafik harus secara jelas menyajikan informasiGrafik harus secara jelas menyajikan informasiGrafik harus secara jelas menyajikan informasi Grafik harus secara jelas menyajikan informasi yang dimaksudkanyang dimaksudkan

•• Nilai Nilai XX dan dan YY yang tepat harus diperlihatkan pada yang tepat harus diperlihatkan pada kedua sumbukedua sumbu

•• GarisGaris--garis pada grafik harus jelas diidentifikasigaris pada grafik harus jelas diidentifikasi•• SimbolSimbol--simbol (simbol (legendlegend) yang berbeda dapat ) yang berbeda dapat

di k t k j kk d tdi k t k j kk d t d td t


digunakan untuk menunjukkan datadigunakan untuk menunjukkan data--data yang data yang berbedaberbeda

•• Judul grafik : jelas dan akuratJudul grafik : jelas dan akurat

Linierisasi.....?!Linierisasi.....?!Linierisasi.....?!Linierisasi.....?!•• Sering persamaan nonSering persamaan non--linier dapat dibuat linier linier dapat dibuat linier

..............> menjadi pseudo> menjadi pseudo--linierlinier

Contoh : Contoh : •• Apakah persamaan y = xApakah persamaan y = x22 -- 3 merupakan pers linier?3 merupakan pers linier?•• Jika tidak, dapatkan dibuat dalam bentuk linier?Jika tidak, dapatkan dibuat dalam bentuk linier?Jawab :Jawab :•• Pers y = xPers y = x22 -- 3 adalah non3 adalah non--linier (dalam variable x)linier (dalam variable x)


•• Tetapi dapat dibuat linier jika digunakan variabel baru; Tetapi dapat dibuat linier jika digunakan variabel baru; yaitu u=xyaitu u=x22, , maka persamaan tsb menjadi :maka persamaan tsb menjadi :..............> y = u > y = u -- 33



ContohContohContohContohPersamaan berikut sering digunakan untuk menjelaskan Persamaan berikut sering digunakan untuk menjelaskan tingkah laku viskositas fluida Herscheltingkah laku viskositas fluida Herschel--Bulkley :Bulkley :

ττ = = ττo o + K+ Kγγnn .............. Pers. 5.............. Pers. 5

dimanadimanadimanadimanaττ : gaya geser (: gaya geser (shear stressshear stress), (Pa), (Nm), (Pa), (Nm--22))ττoo : gaya geser awal (: gaya geser awal (yield stressyield stress), (Pa)), (Pa)n : indeks tingkah laku aliran, tak bersatuann : indeks tingkah laku aliran, tak bersatuanK : indeks konsistensi (sK : indeks konsistensi (snn))γγ : laju geser (: laju geser (shear rateshear rate), (s), (s--11))


Apakah pers.5 tsb linier thd sumbu Apakah pers.5 tsb linier thd sumbu ττ??Jika tidak, dapatkah dibuat supaya linier??Jika tidak, dapatkah dibuat supaya linier??

................. Tidak................. Tidak............. ya................ ya...

Yaitu dengan cara substitusi variable; variable u = Yaitu dengan cara substitusi variable; variable u = γγnn

maka akan diperoleh persamaan linier : maka akan diperoleh persamaan linier : ττ = = ττoo + Ku+ Ku

Pekerjaan Rumah ...... Kerjakan!Pekerjaan Rumah ...... Kerjakan!Pekerjaan Rumah ...... Kerjakan!Pekerjaan Rumah ...... Kerjakan!

Berikut adalah data hasil pengukuran yang menjelaskan Berikut adalah data hasil pengukuran yang menjelaskan hubungan antara gaya geser dan laju geser fluida suatu hubungan antara gaya geser dan laju geser fluida suatu

((ττ = = ττo o + K+ Kγγ ):):gaya geser (gaya geser ( )[=] Pa)[=] Pa laju geser (laju geser ( )[ ])[ ]ss−−11gaya geser (gaya geser (ττ )[=] Pa)[=] Pa laju geser (laju geser (γ)[=]γ)[=]ss−−11

1515 002525 223333 444444 665656 88


5656 886565 1010

Tentukan model matematika (Tentukan model matematika (ττ = = ττo o + K+ Kγγ ) yang cocok ) yang cocok menggambarkan fulida tsb!menggambarkan fulida tsb!

........jawab : ........jawab : ττ = 14 Pa + = 14 Pa + ((5 Pas)5 Pas)γ γ



Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......1 Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......1 Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......1 Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......1

y = axy = axb b ............... ............... >> log y = log a + b log xlog y = log a + b log x

y = aey = aebxbx ............... ............... >> log y = log a + b log e xlog y = log a + b log e x

Log yLog y

Log xLog x

Kemiringan = bKemiringan = b

log alog a


Log yLog y

xx

Kemiringan = b log eKemiringan = b log e

log alog a

Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......2 Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......2 Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......2 Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......2

y = y = ............... ............... >> 1/y = b + a/x1/y = b + a/xxxa + bxa + bx

y = a + bx + cxy = a + bx + cx22 ............... ............... >> = b + cx= b + cx11 + cx+ cxy y -- yy11x x -- xx11

1/y1/y

1/x1/x

Kemiringan = aKemiringan = a

bbesktrapolasiesktrapolasi


y y -- yy11x x -- xx11

xx

Kemiringan = cKemiringan = c

b + cxb + cx11



Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......3Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......3Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......3Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......3

xxa + bxa + bxy = + cy = + c

(kerjakan............ PR)(kerjakan............ PR)

a + bxa + bxyy

y = aey = aebx+cxbx+cx22

y = 1 y = 1 -- ee--bxbx


y = a + y = a + bbxx

xxbbaayy ++==

Berbagai kondisi pers garis lurus : Berbagai kondisi pers garis lurus : Berbagai kondisi pers garis lurus : Berbagai kondisi pers garis lurus :

KondisiKondisi persamaan garis lurus :persamaan garis lurus :

1. Sejajar sumbu1. Sejajar sumbu--xx ..................................> > y = konstany = konstan2 Sejajar sumbu2 Sejajar sumbu--yy ..................................>> x = konstanx = konstan2. Sejajar sumbu2. Sejajar sumbu yy > > x konstanx konstan

4. Titik potong sb4. Titik potong sb--y (0,b) y (0,b) kemiringan mkemiringan m

..................................> > y = mx + by = mx + b

5. Titik potong sb5. Titik potong sb--x (a,0)x (a,0)kemiringan mkemiringan m

..................................> > y = m (xy = m (x--a)a)

3. Melalui titik (x3. Melalui titik (x11,y,y11))kemiringan mkemiringan m

..................................> y> y--yy11 = m(x= m(x--xx11))


e gae ga6. Melalui 2 titik6. Melalui 2 titik

(x(x11,y,y11) dan (x) dan (x22,y,y22))))xx(x(x

xxxx

yyyyyyyy

111122

112211 --

--

--==--..................................

>>

7. Melalui 2 titik (sb7. Melalui 2 titik (sb--x dan sbx dan sb--y)y)(a,0) dan (0,b)(a,0) dan (0,b)

11bb

yy

aa

xx==++..................>>



Kalkulus : DIferensialKalkulus : DIferensialKalkulus : DIferensialKalkulus : DIferensialKemiringan : Kemiringan :

Δ Δ xxf(x)f(x)ΔΔx)x)f(xf(x

Δ Δ xxΔΔf(x)f(x) --++

==

Jika, Jika, ΔΔx adalah kecilx adalah kecild k ti l kd k ti l kf(x)f(x)

f(x+f(x+ΔΔx)x)

f(x)f(x)ΔΔ f(x)f(x)

mendekati nol, makamendekati nol, maka

Δ Δ xxΔ Δ f(x)f(x)

= adalah turunan f(x) = adalah turunan f(x) terhadap xterhadap x


xxxx11 xx22

ΔΔxx

Δ Δ xxΔ Δ f(x)f(x)

= adalah turunan f(x) terhadap x= adalah turunan f(x) terhadap x

LimitLimit = = ΔΔx x ......>0>0 Δ Δ xx

Δ Δ f(x)f(x)= =

dxdxdf(x)df(x)

= limit= limitΔ Δ x x ....>0>0 Δ Δ xx

f(x + f(x + ΔΔx) x) -- f(x)f(x)

Kalkulus : DIferensialKalkulus : DIferensialKalkulus : DIferensialKalkulus : DIferensial

Jika f(x)=x2Jika f(x)=x2maka maka df(x)/dx =df(x)/dx = limlim

ΔΔxx......>0 >0 Δ Δ xxf(x + f(x + ΔΔx) x) -- f(x)f(x)

Δ Δ xx(x + (x + ΔΔx)x)22 -- (x)(x)22

== limlimΔΔxx......>0>0

= = Δ Δ xx

[x[x22 + 2x+ 2xΔΔx + (x + (ΔΔx)x)22] ] -- (x)(x)22limlim

ΔΔxx......>0>0


ΔΔxx......>0>0

= = [2x + [2x + ΔΔx]x]limlimΔΔxx......>0>0

= 2x, jika = 2x, jika Δ Δ x = 0x = 0

Jadi, turunan f(x) = xJadi, turunan f(x) = x22 ........................> df(x)/dx = 2x> df(x)/dx = 2xatau df(x) = 2x dxatau df(x) = 2x dx



Rumus DiferensiasiRumus DiferensiasiRumus DiferensiasiRumus Diferensiasi

KonstantaKonstanta d(a) = 0d(a) = 0

11nnnn

nxnxdxdx

))d(xd(x--==UmumUmum

PenjumlahanPenjumlahan d[f(x) + g(x)] = df(x) + dg(x)d[f(x) + g(x)] = df(x) + dg(x)

PengkalianPengkalian d[f(x)g(x)] = f(x) dg(x) = g(x) df(x)d[f(x)g(x)] = f(x) dg(x) = g(x) df(x)

PembagianPembagian d[f(x)/g(x)] = {g(x) df(x) d[f(x)/g(x)] = {g(x) df(x) -- f(x) dg(x)} / [g(x)]f(x) dg(x)} / [g(x)]22

Fungsi pangkatFungsi pangkat d[f(x)]d[f(x)]nn = n[f(x)= n[f(x)nn--11df(x)df(x)


Fungsi exponensialFungsi exponensial d(a) d(a) f(x)f(x) = (a)= (a)f(x) f(x) [df(x)] ln a[df(x)] ln a

Fungsi logaritmaFungsi logaritma d ln [f(x)] = df(x)/f(x)d ln [f(x)] = df(x)/f(x)

d log [f(x)] = df(x)/{f(x)(ln 10)}d log [f(x)] = df(x)/{f(x)(ln 10)}

Maksimum dan Minimum Fungsi..........1Maksimum dan Minimum Fungsi..........1Maksimum dan Minimum Fungsi..........1Maksimum dan Minimum Fungsi..........1

Diketahui fungsi sbb :Diketahui fungsi sbb :6x6x

22xx

332x2x

yy2233

--++==

dy/dx = 2xdy/dx = 2x22 + x + x --66

Minimum/maksimum terdapat pada kondisi dy/dx = 0Minimum/maksimum terdapat pada kondisi dy/dx = 0jadi,jadi,

2x2x22 + x + x -- 6 = 06 = 0

6)6)4(2)(4(2)(1111±±


446)6)4(2)(4(2)(1111

xx1,21,2

----±±--== ............> x> x11 = = -- 2 ; x2 ; x22 = 1.5= 1.5

Mana maksimum?Mana maksimum?Mana minimum? Mana minimum? ....................................> perlu dicari turunan kedua> perlu dicari turunan kedua



6x6x22

xx33

2x2xyy

2233

--++==

dy/dxdy/dx = 2x= 2x22 + x + x --66dd22 /d/d 22 4 14 1

Maksimum dan Minimum Fungsi ..........2Maksimum dan Minimum Fungsi ..........2Maksimum dan Minimum Fungsi ..........2Maksimum dan Minimum Fungsi ..........2

dd22y/dxy/dx22 = 4x + 1= 4x + 1

untuk xuntuk x11 = = -- 2, maka d2, maka d22y/dxy/dx22 = 4(= 4(-- 2) + 1 = 2) + 1 = --77........................> titik dimana x> titik dimana x11==--2 merupakan titik maksimum;2 merupakan titik maksimum;

yaitu pada :yaitu pada :6(6(--2) = 8.667 2) = 8.667

22((--2)2)

332(2(--2)2)

yy2233

--++==


2233untuk xuntuk x22 = 1.5, maka d= 1.5, maka d22y/dxy/dx22 = 4(1.5) + 1 = 7= 4(1.5) + 1 = 7........................> titik dimana x> titik dimana x22= 1.5 merupakan titik minimum;= 1.5 merupakan titik minimum;

yaitu pada :yaitu pada :6(1.5) = 6(1.5) = --5.625 5.625

22(1.5)(1.5)

332(1.5)2(1.5)

yy2233

--++==

INTEGRAL : anti derivativeINTEGRAL : anti derivativeINTEGRAL : anti derivativeINTEGRAL : anti derivative

dy/dx = 5dy/dx = 5dy/dx = 4xdy/dx = 4xdy/dx = 2x dy/dx = 2x -- 11

....................> > y = 5x + Cy = 5x + C

....................> > y = 2xy = 2x22 + C+ C

....................> > y = xy = x22 -- x + Cx + C∫∫ d men nj kkan integral f ngsi ( ) terhadapd men nj kkan integral f ngsi ( ) terhadap∫∫ udx : menunjukkan integral fungsi u(x) terhadap xudx : menunjukkan integral fungsi u(x) terhadap x

∫∫ ∫∫ ∫∫++==++ dvdvdududv)dv)(du(du

∫∫ ∫∫== f(x)dxf(x)dxcccf(x)dxcf(x)dx

∫∫ ++++

== ++ CCxx11nn

11dxdxxx 11nnnn


∫∫ ++== CClnulnuuu

dudu

∫∫ ++== CCeeaa11duduee auauauau



Contoh :Contoh :Pecahkan persamaan berikut : dy/dx = 3xPecahkan persamaan berikut : dy/dx = 3x22 -- 4x + 54x + 5

jawab :jawab :kalikan kedua sisi dgn dxkalikan kedua sisi dgn dxdy = (3xdy = (3x22 -- 4x + 5)dx4x + 5)dxdy (3xdy (3x 4x + 5)dx4x + 5)dxIntegralkan kedua sisi persamaan tsb :Integralkan kedua sisi persamaan tsb :

dxdx55xdxxdx44dxdxxx33yy

5)dx5)dx4x4x(3x(3xdydy22

22

++−−==

++−−==

∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫


CC5x5x2x2xxxyy

CC5x5xxx2244

xx3333

yy

dxdx55xdxxdx44dxdxxx33yy

2233

11111122

++++++==

++++++==

++==

++++

∫∫ ∫∫ ∫∫

Integral tertutupIntegral tertutup

3333

22

22== ∫∫ dxdxxxyy

112233

3333

221122

33

22

22

++==== ++∫∫ xxdxdxxxyy


19198827272233 333333

22

33 ==−−==−−==== xx



INTEGRAL TERTUTUP : INTEGRAL TERTUTUP : mengukur luas daerah di bawah kurva, diantara xmengukur luas daerah di bawah kurva, diantara x11 dan xdan x22

INTEGRAL TERTUTUP : INTEGRAL TERTUTUP : mengukur luas daerah di bawah kurva, diantara xmengukur luas daerah di bawah kurva, diantara x11 dan xdan x22

f(x)f(x)

f(x)f(x)


xxdxdx

xx11 xx22

Beberapa Rumus Geometri Beberapa Rumus Geometri pentingpentingBeberapa Rumus Geometri Beberapa Rumus Geometri pentingpenting

LingkaranLingkaran

22 22A = (A = (ππDD22)/4 = )/4 = ππrr22

C = C = ππD = 2D = 2ππrr

BolaBolaA = A = ππDD22

V = (4/3)V = (4/3)ππrr33 = (= (ππDD33)/6)/6


SilinderSilinderA = 2A = 2ππrh = rh = ππDhDhV = V = ππrr22hh

review matematika : alat pemecahan soal...

Documents