MODULMATEMATIKA

PROGRAM LINEAR

KUSNADI, S.Pdwww.mate-math.blogspot.com

PROGRAM LINEAR

Standar Kompetensi :

Menyelesaikan program linear

Kompetensi Dasar :

Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel

Merancang model matematika dari masalah program linear

Menyelesaikan model matematika dari masalah program

linear dan penafsirannya

BAB I. PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Dalam modul ini Anda akan mempelajari penyelesaian

pertidaksamaan linear dua variabel, menentukan nilai optimum dari

fungsi tujuan dengan metode uji titik pojok, merancang model

matematika dari program linear, dan menyelesaikan model

matematika dari program linear.

B. Prasyarat

Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah

menguasai sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan

adalah sebagai berikut:

1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi

yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari

materi berikutnya.

2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua

soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda

menemui kesulitan,

kembalilah mempelajari materi yang terkait.

3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui

kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah

mempelajari materi yang terkait.

4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan,

catatlah,

kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka

atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi

modul ini. Dengan

membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan

pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:

1. Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua

variabel.

2. Menentukan fungsi objektif dan kendala dari program linear.

3. Menggambar daerah visibel dari program linear.

4. Merumuskan model matematika dari program linear.

5. Menentukan nilai optimum dari fungsi objektif dan

menafsirkannya.

BAB II. PEMBELAJARAN

A. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel

Bentuk umum :

ax + by < c

ax + by > c

ax + by c

ax + by c

x, y adalah variabel

a, b, dan c R

Contoh : Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x

+ 4y 8

Jawab :

Menentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y dengan membuat tabel

sbb :

x 0 4

y 2 0

Jadi titik potong dengan sumbu x (4,0) dan dengan sumbu y

(0,2)

DP

4

2

x

y

Dari gambar diatas terlihat bahwa daerah penyelesaian (DP)

untuk pertidaksamaan 2x + 4y 8

B. Menentukan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan

liniear dengan dua variabel.

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah gabungan dua

atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel.

Contoh :

Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear

x + y 5

x + 2y 6

x 0

y 0

Jawab :

x + y 5

x 0 5

y 5 0

x + 2y 6

x 0 6

y 3 0

DP

x

y

65

5

3

Tugas I

1. Gambarlah pada bidang cartesius, himpunan penyelesaian dari

sistem pertidaksamaan linear berikut :

a. 3x + y 6, 5x + 4y 20, x 0, y 0

b. 2x + y 10, 3x + 2y 18, x 0, y 0

c. x – y 3, x + 2y 4, y 2

2. Tulislah sistem pertidaksamaan dari daerah penyelesaian berikut

:

a.

DP

b.

DP

x

y

64

6

5

x

y

7

y = 2

y = 4

x = 2

7

B. Menentukan fungsi tujuan dan kendala dari program linear

Program linear adalah suat metode atau suatu cara untuk

memecahkan masalah menjadi optimal (maksimum atau

minimum) yang memuat batasan-batasan yang dapat diubah

atau diterjemahkan ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan

linear. Penyelesaian pertidaksamaan linear terdapat dalam

daerah himpunan penyelesaian. Dari beberapa penyelesaian

terdapat satu penyelesaian terbaik yang selanjutnya disebut

penyelesaian optimum dari suatu fungsi. Fungsi ini disebut

dengan fungsi tujuan atau objektif.

Model matematika adalah rumusan matematika yang berupa

persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi yang diperoleh dari

hasil penafsiran atau terjemahan suatu masalah ke dalam

bahasa matematika.

Contoh :

Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas 48 buah tempat

duduk yang terbagi dalam dua kelas yaitu kelas A dan kelas B.

Setiap penumpang kelas A diberi hak yaitu membawa barang 60

kg, sedang penumpang kelas B diberi hak membawa barang

hanya 20 kg, tempat bagasi paling banyak dapat memuat 1440

kg. Bila banyaknya penumpang kelas A sebanyak x orang sedang

kelas B sebanyak y orang. Tentukan model matematikanya.

Jawab :

Kelas A Kelas B

Bagasi 60 kg 20 kg

Penumpang x orang y orang

Bagasi : 60x + 20y 1440 3x + y 72

Penumpang : x + y 48

Banyak penumpang tidak pernah negatif : x 0, y 0

Sehingga diperoleh model matematikanya adalah :

3x + y 72x + y 48x 0y 0

Tugas II

1. Suatu perusahaan merencanakan membangun rumah untuk 600

orang. Banyaknya rumah yang akan dibangun tidak lebih dari

120 buah. Rumah jenis I biaya sewanya Rp. 100.000,- tiap bulan

dan ditempati 4 orang, rumah jenis II biaya sewanya Rp.

125.000,- tiap bulan dan ditempati oleh 6 orang. Buatlah model

matematikanya.

2. Sebuah pabrik membuat sepeda motor dan sepeda gunung

setiap bulan dapat membuat sebanyak-banyaknya 100 sepeda

gunung, sedangkan sepeda motor dapat dibuat sedikitnya 20

buah dan sebanyak-banyaknya 70 buah tiap bulan. Kapasitas

produksi pabrik sebanyak-banyaknya 150 buah kendaraan dalam

sebulan. Jika harga setiap sepeda motor 5 juta rupiah dan harga

sepeda gunung 1 juta rupiah.

a. Buatlah model matematikanya

b. Tentukan daerah penyelesaian yang sesuai

3. Seorang petani memerlukan zat kimia unsur A, B, dan C

sebanyak 60 kg, 120 kg, dan 50 kg untuk memupuk kebun

sayurnya. Dalam setiap kaleng pupuk cair mengandung zat A = 1

kg, zat B = 3 kg, dan zat C = 1 kg. Pupuk kering tiap kantong

mengandung zat A = 2kg, zat B = 2 kg, dan zat C = 1 kg. Harga

1 kantong pupuk cair Rp. 30.000,- sedangkan pupuk kering Rp.

25.000,-

a. Buatlah model matematikanya

b. Tentukan daerah penyelesaiannya

4. Seorang tukang parkir mengelola lahan parkir seluas 588 m2,

diperuntukkan untuk menampung kendaraan jenis bus dan

sedan. Luas rata-rata untuk parkir bus adalah 24 m2, sedangkan

untuk sedan memerlukan 6 m2. Lahan parkir tersebut tidak

mampu menampung sedan dan bus melebihi 38 kendaraan.

Tentukan model matematika dari permasalahan diatas.

4. Menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan (fungsi ogjektif)

dengan metode uji titik pojok.

Fungsi tujuan atau objektif dapat dinotasikan f(x,y) = ax + by.

Nilai optimum dari bentuk f(x,y) = ax + by dilakukan dengan

cara menghitung nilai f(x,y) = ax + by untuk setiap titik pojok

(titik sudut) dari daerah penyelesaian (DP), kemudian

dibandingkan yang selanjutnya ditetapkan nilai terbesar sebagai

nilai maksimum dan nilai terkecil sebagai nilai minimum.

Contoh :

Seorang pedagang mempunyai dagangan rokok merk A dan

merk B. Rokok A dibeli dengan harga Rp. 6000,- per bungkus dan

dijual dengan laba Rp. 400,- per bungkus, sedangkan rokok B

dibeli dengan harga Rp. 3000,- per bungkus dan dijual dengan

laba Rp. 300,- per bungkus. Pedagang itu hanya mempunyai

modal Rp. 240.000,- dan kiosnya hanya dapat menampung

paling banyak 500 bungkus rokok.

a. Berapakah banyak rokok A dan B yang harus dibeli agar

mendapat untung yang sebanyak-banyaknya (maksimum)

b. Tentukan besar keuntungan maksimumnya

Jawab :

Model matematikanya

Rokok Jumlah Harga Laba

A x 6000 400

B y 3000 300

Persediaan 500 240.000

Fungsi tujuan : Untung = 400x + 300y

Sistem pertidaksamaan linearnya :

x + y 500

6000x + 3000y 240.000 2x + y 800

x 0

y 0

Daerah himpunan penyelesaian

x + y = 500

x 0 500

y 500 0

2x + y = 800

x 0 400

y 800 0

DP

Eliminasi persamaan (1) dan (2)

x

y

500400

800

500

x + y = 500 2x + y = 800

x + y = 500

2x + y = 800

- x = - 300

x = 300

y = 200

Dengan metode uji titik pojok, ditentukan keuntungan maksimum

dengan tabel sbb :

Titik pojok Untung = 400x + 300y

(0, 0) 0 + 0 = 0

(400, 0) 160.000 + 0 = 160.000

(300, 200) 120.000 + 60.000 =

180.000

(0, 500) 0 + 150.000 = 150.000

Berdasarkan tabel diatas, diperoleh keuntungan maksimum yang

dapat dicapai adalah 180.000, dengan rokok A yang dibeli

sebanyak 300 bungkus, dan rokok B sebanyak 200 bungkus.

Tugas III

1. Tentukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi sasaran

dalam model matematika berikut :

a. F(x, y) = 2x + y

x + y 6 ; x + 2y 8 ; x 0 ; y 0

b. F(x, y) = 2x + 3y

5x + 3y 30 ; 5x + y 50 ; x + 3y 30 ; x 0 ; y 0

2. Seorang pedagang roti mempunyai modal 400.000,-. Roti jenis

A dibeli dengan harga 1000,- dan roti jenis B dibeli dengan

harga 500,-. Sedangkan tempat roti hanya mampu

menampung tidak lebih dari 500 buah. Keuntungan tiap roti

jenis A 200,- dan keuntungan tiap roti jenis B 150,-.

a. Hitunglah keuntungan sebanyak-banyaknya.

b. Berapa sebaiknya roti jenis A dan jenis B yang harus

dibeli agar pedagang mendapat keuntungan yang

sebanyak-banyaknya.

3. Seorang pedagang pakaian mempunyai modal 2.475.000,-

untuk membeli kemeja dengan harga 30.000,- per buah dan

celana 75.000,- per buah. Jumlah kemeja yang ia beli tidak

kurang dari tiga kali jumlah celana. Ia mengambil keuntungan

4.500,- untuk setiap potong celana dan 1.500,- untuk setiap

potong kemeja.

a. Berapa kemeja dan celana yang harus dibeli supaya

pedagang itu mendapat keuntungan yang maksimum

b. Hitunglah keuntungan tersebut

4. Seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobak

menjual apel dan pisang. Harga pembelian pisang 4.000,- per

kg dan apel 10.000, - per kg. Penjaja buah tersebut

mempunyai modal 2.500.000,-. Sedangkan muatan gerobak

tidak melebihi 400 kg. Jika keuntungan tiap kg apel 2 kali

keuntungan tiap kg pisang. Berapa kg apel dan pisang yang

harus dibeli agar keuntungan yang diperoleh maksimum.

BAB III PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes

untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda

dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam

modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul

berikutnya.

DAFTAR PUSTAKA

Pemerintah Kota Semarang, 2006. Matematika Program Ilmu

Pengetahuan Sosial, Semarang :

H. Sunardi, Slamet Waluyo, Sutrisno, H. Subagya, 2005.

Matematika IPS, Penerbit Bumi Aksara, Jakarta.

Wilson Simangunsong, 2005. Matematika Dasar, Penerbit

Erlangga, Jakarta.