program linear kelompok 3

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik

©group 3_matematika smk_5F

PROGRAM LINEAR

Afifudin

Zizwatin Athiyah

Soviana Nurmalitasari Alita

Linggardiningtyas

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Pertidaksamaan Linear

Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan di bawah ini :

Dalam matematika, bentuk dari (a) sampai (d), dikenal dengan istilah pertidaksamaan. Pertidaksamaan linier adalah suatu kalimat matematika yang memuat salah satu atau lebih variabel dan variabelnya mempunyai pangkat tertinggi satu serta ditandai dengan tanda ketidaksamaan. Karena pertidaksamaan tersebut terdiri atas dua peubah dan pangkat tertinggi setiap peubahnya adalah 1, maka dikenal dengan istiah pertidaksamaan linier dua peubah. Suatu pertidaksamaan linear yang terdiri dari dua atau lebih pertidaksamaan, akan menyusun sistem pertidaksamaan linear.

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah dapat disajikan dalam bidang Cartesius. Untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan , dapat dilakukan dengan menggunakan langkah- langkah sebagai berikut:

Langkah 1Gambar garis pada bidang Cartesius dengan cara menghubungkan kedua titik potong sumbu koordinatnya. Garis membagi bidang Cartesius menjadi dua bagian bidang, yaitu bidang daerah 1 (misalnya daerah di bawah garis) dan daerah 2 (misalkan daerah di atas garis).

Langkah 2Ambil sembarang titik yang terletak di daerah dan luar dan hitung nilai , lalu dibandingkan nilai tersebut dengan c. Apakah nilai, daerah yang memuat titik merupakan daerah himpunan penyelesaiannya. Akan tetapi, jika , daerah yang memuat titik A bukan daerah himpunan penyelesaian.

Himpunan Penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Peubah


Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik



Langkah 3Daerah himpunan penyelesaiannya bisa ditandai dengan dua ketentuan, yaitu daerah yang diarsir merupakan daerah himpunan penyelesaian atau dapat pula yang diarsir bukan daerah himpunan penyelesaian.

Contoh 1 :Tentukan grafik himpunan penyelesaian dari

Jawab :

a. Langkah 1:Gambar garis Pilih x = 0, maka 6 (0) + y = 18

y = 18Pilih y = 0, maka 6x + 0 = 18

6x = 18x = 3

Sehingga diperoleh titik (0,18) dan (3,0)

(0,18)

(3, 0)

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


(0, 18)

(3, 0)

(salah)

b. Langkah 2:Mengecek daerah himpunan penyelesaian (HP):Ambil titik sembarang, misalnya O(0,0) sehingga


c. Langkah 3:Jadi, daerah penyelesaian adalah daerah yang tidak memuat titik O(0, 0) atau daerah diatas garis seperti disamping ini

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Contoh 2 :

Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

dan Jawab:

Di samping cara yang telah dijelaskan pada contoh soal sebelumnya, ada cara lain untuk mendapatkan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y, yaitu dengan tabel berikut ini.

x = 4

x 4 4 4

y -1 0 1

(x , y) (4, -1) (4, 0) (4, 1)

2x + y = 6

x 0 3

y 6 0

(x , y) (0, 6) (3, 0)

3x + 4y = 12

x 0 4

y 3 0

(x , y) (0, 3) (4, 0)


Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Berdasarkan titik potong di atas, diperolehgambar sebagai berikut.

Menentukan daerah himpunan penyelesaian:Ambil titik O (0, 0):

(salah)Daerah himpunan dari adalah daerah yang tidak memuat titik O(0,0) atau daerah sebelah kanan 2x + 3y = 6

(0,6)

X=4

(3, 0)

(0, 3)

(4, 0)

Ambil titik O (0, 0)

(salah)


Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik



Himpunan penyelesaian dari adalah yang tidak memuat titik O (0, 0) atau daerah di atas .Daerah penyelesaian adalah daerah di kiri dan pada x = 4Daerah penyelesaian adalah daerah di kanan dan pada sumbu yDaerah penyelesaian adalah daerah di atas dan pada sumbu xDengan mengarsir daerah yang merupakan himpunan penyelesaiannya,diperoleh daerah himpunan penyelesaian seperti pada di bawah ini

6

3

3

4

hp

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik



Titik optimum dari daerah himpunan penyelesaian system pertidaksamaan linear

Titik optimum daerah himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan linear adalah suatu titik yang menyebabkan nilai optimum untuk suatu fungsi terjadi (nilai optimum merupakan nilai maksimum atau nilai minimum). Nilai optimum dapat kita peroleh dengan menyubstitusikantitik-titik yang merupakan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut. titik optimum terletak pada ujung-ujung Daerah himpunan penyelesaian.

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik



Contoh :Tentukan daerah himpunan penyelesaian dan titik- titik pojok dari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan

dan

.

Jawab:Gambar garis dan dengan menentukan titik potong pada sumbu x dan sumbu y.

2x + 3y = 12

X 0 6

Y 4 0

(x, y) (0, 4) (6, 0)

Y + 2x = 8

X 0 4

Y 8 0

(x, y) (0, 8) (4, 0)

Mengecek daerah himpunan penyelesaian:Ambil O(0, 0):

(benar)

Daerah himpunan penyelesaian di bawah garis 2x + 3y = 12

.

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Ambil titik O(0, 0)


(benar)

Daerah himpunan penyelesaian di bawah garis y + 2x = 8

Berdasarkan data-data di atas, himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear diperoleh denan mengarsir daerah yang merupakan himpunan penyelesaian seperti pada gambar dibawah ini. Titik-titik pojoknya adalah A, B, C, dan D. Titik B merupakan titik potong garis y + 2x = 8 Titik B diperoleh dari persamaan berikut ini.

A

B

CD hp

Titik B(3, 2).Jadi titik-titik pojoknya adalah A(0, 4), B(3, 2), C(4, 0), dan D(0, 0).

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Model Matematika

Model matematika adalah suatu cara memandang suatu masalah (persoalan) dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan matematika. Model matematika yan baik dan benar cukup dengan mengandung bagian-bagian yang perlu saja dari masalah yang diselidiki.

Dalam pemrograman linear ada dua hal yang perlu diperhatikan, yaitu fungsi objektif (fungsi tujuan) dan kendala. Kendala merupakan batasan-batasan yang berbentuk pertidaksamaan linear.

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Cara membuat model matematika

Model Matematika

a. Apabila model matematika hanya terdiri atas persamaan-persamaan matematika, model tersebut cukup diselesaikan dengan rumus-rumus matematika biasa

b. Apabila model matematika mengandung pertidaksamaan, untuk menyelesaikannya digunakan langkah-langkah berikut :1. gambarlah grafik dari model matematika tersebut2. tentukan daerah himpunan penyelesaiannya3. tentukan titik potong dari kedua garis yang diketahui

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Model Matematika

Contoh :Untuk membuat satu kue jenis A dibutuhkan 350 gram tepung dan 150 gram mentega, sedangkan untuk membuat satu kue jenis B dbutuhkan 180 gram tepung dan 60 grammentega. Apabila tersedia tepung 4,2 kg dan mentega sebanyak 2,7 kg, serta kita ingin membuat kue yang sebanyak-banyaknya. Buatlah model matematikanya !Jawab :

Misal, x = banyaknya kue jenis A yang dibuat

y = banyaknya kue jenis B yang dibuat

Karena x dan y menyatakan banyaknya kue, berlaku x, y bilangan cacah dan x ≥ 0, dan y ≥ 0350x + 180y ≤ 4200 → 35x + 18y ≤ 420150x + 60y ≤ 2700 → 15x + 6y ≤ 270Jadi model matematikanya :x ≥ 0, y ≥ 0, 35x + 18y ≤ 420, 15x + 6y ≤ 270

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Bentuk objektif atau fungsi objektif dalam program linear adalah fungsi linear yang berbentuk f(x, y) = ax + by yang hendak dioptimumkan (dimaksimalkan atau diminimumkan). Nilai optimum dari suatu program linear dapat diperoleh dengan menguji setiap titik pojok yang menjadi himpunan penyelesaian pada sistem pertidaksamaan tersebut. Daerah penyelesaian dari suatu program linear terjadi pada titik-titik pojoknya. Berdasarkan titik pojok tersebut dengan mensubstitusikan ke fungsi objektif maka nilai optimal (maksimum atau minimum) akan didapatkan.

Penentuan Fungsi objektif dan daerah penyelesaiannya

Fungsi Objektif

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Contoh :

Sebuah tempat parkir paling banyak hanya dapat ditempati oleh 300 kendaraan yang terdiri dari Sedan dan Bus. Jika luas rata-rata Sedan 5cm2 dan Bus 15cm2 , sedangkan luas tempat parkir tidak lebih dari 3.750m2 . Jika biaya parkir untuk setiap Sedan Rp. 5.000,00 dan Bus Rp. 10.000,00. Tentukan titik-titik sudut yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut serta tentukan pendapatan maksimum dari tempat parkir tersebut.Jawab :Misal sedan = x dan bus = y, maka

pertidaksamaannya :x + y ≤ 3005x + 15y ≤ 3750x ≥ 0, dan y ≥ 0Fungsi objektifnya adalah f(x,y) = 5000x +10000yDiperoleh daerah penyelesaian dari pertidaksamaan di atas seperti pada gambar berikut ini

Fungsi Objektif

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Dari gambar terdapat empat titik sudut yang memenuhi himpunan penyelesaian yaitu titik-titik O(0,0), A(300,0), D(0,250) dan E.untuk mendapatkan titik E eliminasi persamaan pertama dan kedua yaitu :

x + y = 300 |x(5)| 5x + 5y = 15005x + 15y = 3750 |x(1)| 5x + 15y = 3750

-10y = -2250 y = 225

x + y = 300, maka nilai x = 75, sehingga titik E(75, 225)

D

B

750300 x

y

250

300

A C

E(75, 225)

HP

O

Fungsi Objektif

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


untuk mencari nilai optimum substitusikan setiap sudut yang termasuk dalam himpunan penyelesaian tersebut titik-titik O(0,0), A(300,0), D(0,250) dan E(75,225) ke fungsi objektif f(x,y) = 5000x +10000y sehingga di dapat :Untuk titik O(0,0), maka f(0,0) = 5000(0) +10000(0) = 0Untuk titik A(300,0), maka f(300,0) = 5000(300) +10000(0) = 1.500.000Untuk titik D(0,250), maka f(0,250) = 5000(0) +10000(250) = 2.500.000Untuk titik E(75,250), maka f(75,250) = 5000(75) +10000(250) = 2.625.000

berdasarkan keempat nilai tersebutMaka pendapatan maksimum dari tempat parkir tersebut yaitu Rp. 2.625.000,00

Fungsi Objektif

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Garis Selidik

Pengertian Garis Selidik

Garis selidik adalah suatu garis-garis sejajar dengan persamaan ax + by = k yang berfungsi untuk menyelidiki dan menentukan nilai fungsi objektif maksimum atau minimum. Jika garis selidik ini semakin jauh dari titik O (0, 0) harga k semakin besar. Oleh karena itu, nilai maksimum dan minimum suatu fungsi objektif akan disesuaikan dengan terjauh dan terdekatnya garis selidik dari titik O (0, 0)

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Penggunaan Garis Selidik

Garis Selidik

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penggunaan garis selidik antara lain sebagai berikut :

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Garis Selidik

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Contoh :Titik-titik A, B, C, D, dan E yang terletak dalam gambar berikut ini merupakan titik-titik pojok yang terletak pada daerah himpunan penyelesaian dari suatu pemrograman linear. Dengan menggunakan garis selidik, tentukan nilai optimum (maksimum dan minimum) dari fungsi 2x + y

Jawab :Kita lukis garis 2x + y = k, untuk k = 2 diperoleh garis 2x + y = 2.a.Garis yang sejajar garis 2x + y = 2 dan terletak paling jauh dari titik pangkal adalah garis yang melalui titik B(5, 3). Jadi, titik B(5, 3) adalah titik pada daerah himpunan penyelesaian yang menyebabkan fungsi 2x + y maksimum. Nilai maksimumnya adalah 2(5) + 3 = 13.

b.Garis yang sejajar dengan garis 2x + y = 2 dan terletak paling dekat dengan titik pangkal adalah garis yang melalui titik E(0, 3). Jadi, titik E(0, 3) adalah titik yang menyebabkan nilai 2x + y minimum. Nilai minimumnya adalah 2(0) + 3 = 3.

Garis Selidik

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 4y 8

1

Menentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y dengan membuat tabel sbb :

Jawab :

x 0 4

y 2 0

Jadi titik potong dengan sumbu x (4,0) dan dengan sumbu y (0,2)

y

4

2

x

Dari gambar disamping terlihat bahwa daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan 2x + 4y 8

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

2 Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear : x + y 5 ; x + 2y 6; x 0 dan y 0

Jawab :

x + y 5

x 0 5

y 5 0

x + 2y 6

x 0 6

y 3 0

y

6

3

5x

5

HP

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

3 Tulislah sistem pertidaksamaan dari daerah penyelesaian berikut :

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

-Garis yang memotong sumbu x pada titik (2,0) serta sejajar sumbu y persamaannya adalah x 2-Garis yang memotong sumbu y pada titik (0, 2) dan sejajar sumbu x persamaannya adalah y 2-Garis yang memotong sumbu y pada titik (0, 4) dan sejajar sumbu x persamaannya adalah y 4-Garis yang melalui titik (7,0) dan (0,7) persamaannya adalah x + y 7

Jadi sistem pertidaksamaan untuk gambar di atas adalah :x + y 7x 22 y 4

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

4Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas 48 buah tempat duduk yang terbagi dalam dua kelas yaitu kelas A dan kelas B. Setiap penumpang kelas A diberi hak yaitu membawa barang 60 kg, sedang penumpang kelas B diberi hak membawa barang hanya 20 kg, tempat bagasi paling banyak dapat memuat 1440 kg. Bila banyaknya penumpang kelas A sebanyak x orang sedang kelas B sebanyak y orang. Tentukan model matematikanya.

Jawab :

Kelas A Kelas B

Bagasi 60 kg 20 kg

Penumpang x orang y orang

Bagasi : 60x + 20y 1440 3x + y 72

Penumpang : x + y 48

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Sehingga diperoleh model matematikanya adalah :

3x + y 72x + y 48x 0Y 0

Banyak penumpang tidak pernah negatif :x 0Y 0

Soal & Pembahasan

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

5 Sebuah Butik mempunyai persediaan kain 20 m jenis katun dan 60 m jenis wool. Butik akan memproduksi jas dan celana eksklusif untuk wanita. Untuk memproduksi jas ini dibutuhkan 1m katun dan 1,5 m wool, sedangkan untuk membuat celana dibutuhkan 0.25 m katun dan 2m wool Buatlah model matematika dari masalah di atas.

Misal :banyak jas yang dibuat x buah banyak celana yang dibuat y buah

Jawab :

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

Sehingga diperoleh model matematikanya adalah :

x + 0,25y 201,5x + 2y 60x 0y 0

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

6 Dengan menggunakan garis selidik, tentukan x dan y yang memaksimumkan f = 4x + 3y, dengan kendala 3x + 4y 12 7x + 2y 14 x 0 y 0

Jawab :

Untuk k = 0 didapat garis senilai 4x + 3y = 0, Untuk k = 12 didapat garis senilai 4x + 3y = 12, Ternyata garis selidik makin menjauhi (0,0) jika nilai f makin besar.

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

7 Seorang pedagang mempunyai dagangan rokok merk A dan merk B. Rokok A dibeli dengan harga Rp. 6000,- per bungkus dan dijual dengan laba Rp. 400,- per bungkus, sedangkan rokok B dibeli dengan harga Rp. 3000,- per bungkus dan dijual dengan laba Rp. 300,- per bungkus. Pedagang itu hanya mempunyai modal Rp. 240.000,- dan kiosnya hanya dapat menampung paling banyak 500 bungkus rokok.a. Berapakah banyak rokok A dan B yang harus

dibeli agar mendapat untung yang sebanyak-banyaknya (maksimum)

b. Tentukan besar keuntungan maksimumnya

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

Rokok Jumlah Harga Laba

A x 6000 400

B y 3000 300

Persedia

an

500 240.000

Jawab :

Model matematikanya

Fungsi tujuan : Untung = 400x + 300ySistem pertidaksamaan linearnya :x + y 5006000x + 3000y 240.000 2x + y 800x 0y 0

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Daerah himpunan penyelesaianx + y = 500 2x + y = 800

x 0 500

y 500 0

X 0 400

Y 800 0

x

x + y = 500

800

500400

500

2x + y = 800

HP

Eliminasi persamaan (1) dan (2)

x + y = 500 2x + y = 800

- x = - 300 x = 300

y = 200

Soal & Pembahasan

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Dengan metode uji titik pojok, ditentukan keuntungan maksimum dengan tabel sbb :

Titik pojok Untung = 400x + 300y

(0, 0) 0 + 0 = 0

(400, 0) 160.000 + 0 = 160.000

(300, 200) 120.000 + 60.000 = 180.000

(0, 500) 0 + 150.000 = 150.000

Berdasarkan tabel diatas, diperoleh keuntungan maksimum yang dapat dicapai adalah 180.000, dengan rokok A yang dibeli sebanyak 300 bungkus, dan rokok B sebanyak 200 bungkus.

Soal & Pembahasan

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

8 Suatu pabrik farmasi menghasilkan dua macam kapsul obat flu yang diberi nama fluin dan fluon. Masing-masing kapsul memuat tiga unsur utama dengan kadar kandungannya tertera tabel berikut.

Menurut dokter, seorang yang sakit flu biasa akan sembuh bila dalam 3 hari paling sedikit menelan 12 grain aspirin, 74 grain bikarbonat dan 24 grain kodein. Bila harga fluin Rp 200,00 dan fluon Rp 300,00 per kapsul, berapa kapsul yang fluin dan fluon harus dibeli supaya cukup untuk menyembuhkan dengan ongkos sekecil mungkin?

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

Agar mempermudah perumusan model matematika disusun tabel persiapan sebagai berikut.

Jawab :

Misal banyaknya fluin yang dibeli x buah banyaknya fluon yang dibeli y buah Model matematika dari masalah di atas adalah :Mencari x dan y yang meminimumkan f = 200x + 300 y dengan kendala: 2x + y 12 ; 5x + 8y 74 ; x + 6y 24 ; x 0 ; y 0

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

Untuk k = 0 didapat garis senilai 200x + 300y = 0,Untuk k = 100 didapat garis senilai 200x + 300y =100, Ternyata garis selidik makin menjauhi (0,0) jika nilai f makin besar.

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

9Sebuah pabrik memproduksi barang kualitas A dan B. Produksi maksimum setiap harinya 14 unit. Menurut permintaan konsumen paling sedikit harus dibuat 2 unit barang kualitas A dan 1 unit barang kualitas B. Sedangkan kemampuan mesin produksi hanya bisa membuat 9 unit barang kualitas A dan 6 unit barang kualitas B. Mesin berproduksi setiap harinya tidak lebih dari 81 unit. Keuntungan dari satu barang kualitas A adalah Rp 400,00 dan satu barang kualitas B adalah Rp 250,00. a.Buatlah table untuk memudahkan memecahkan masalah di atas. b.Berdasarkan tebel yang dibuat, susun model matematikanya. c.Gambarlah himpunan penyelesaian dari kendala-kendala dari model matematika yang anda buat. d.Carilah banyaknya barang kualitas A dan banyaknya barang kualitas B yang dibuat agar mendapat keuntungan maksimum dengan cara menggunakan titik sudut dari daerah himpunan penyelesaian. e.Carilah banyaknya barang kualitas A dan banyaknya barang kualitas B yang dibuat agar mendapat keuntungan maksimum dengan cara menggunakan garis selidik.

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

a. Misalbanyaknya barang berkualitas A adalah x buah banyaknya barang berkualitas B adalah y buah

Jawab :

b. Model matematika dari masalah di atas adalah Mencari x dan y yang meminimumkan f = 400x + 250 y dengan kendala: (1) 2x + y 14 (2) 9x + 6y 75 (3) x 0 (4) y 0

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

c. Garis 2x + y =14 pada kendala (1) memotong sumbu x di (7, 0) dan memotong sumbu y di (0, 14). Garis 9x + 6y = 81 memotong sumbu x di (9, 0) dan melalui titik (3,8). Garis 2x + y =14 dan 9x + 6y = 75 berpotongan di (3, 8). Himpunan penyelesaiannya adalah daerah tertutup OABC dengan O(0,0), A(7, 0), B(3, 8), dan C(0,75/6). Gambar daerah himpunan penyelesaian adalah gambar (1) di bawah.

d. Nilai f di O(0,0) dalah f = 0 Nilai f di A(7,0) dalah f = 2.800 Nilai f di B(3, 8) adalah f = 3.200 Nilai f di C(0, 75/6) adalah f = 3.125 Jadi nilai maksimum f adalah 3.200 untuk x =3 dan y = 8

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


e. Untuk k = 0 didapat persamaan garis selidik 400x + 250 y = 0 Untuk k = 2.000 didapat persamaan garis selidik 400x + 250 y = 6.000 atau 8x + 5y = 120. Nilai f makin kekanan makin besar. Gerakan garis selidik sedemikian hingga menyinggung daerah himpunan yang paling jauh dari (0,0) didapat titik B (3,8). Jadi nilai maksimum f adalah 3.200 untuk x =3 dan y = 8

Dengan demikian banyaknya barang kualitas A yang dibuat adalah 3 buah dan banyaknya barang kualitas B yang dibuat adalah 8 agar mendapat keuntungan maksimumRp 3.200,00.

Soal & Pembahasan

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


10

Soal & Pembahasan

Seorang ingin mengirimkan barang dagangnya yang terdiri atas 1200 kursi lipat dan 400 meja lipat, untuk keperluan tersebut ia akan menyewa truk dan colt. Truk dapat memuat 30 kursi lipat dan 20 meja lipat, sedangkan colt memuat 40 kursi lipat dan 10 meja lipat. Ongkos sewa truk Rp. 100.000,- sedangkan sewa colt Rp. 80.000,- Tentukan : a. Model matematikanya b. Fungsi objektif c. himpunan penyelesaian (Hp) d. Banyaknya truk dan colt yang harus disewa agar ongkos seminimal mungkin

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

Misal : Truk = x Colt = y a. Model matematikannya 1) 30x + 40y ≥1200 3x + 4y ≥ 120 2) 20x + 10y ≥ 400 2x + y ≥ 40 3) x ≥ 0 4) y ≥ 0 b. Fungsi objektif Z = 100000 x + 80000 y c. Daerah HP (grafik)3x + 4y = 120

2x + y = 40

Jawab :

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


d. Banyak truk dan colt yang harus disewa agar ongkas seminimal mungkin • Titik potong 3x + 4y = 120 x 1 3x + 4y = 120 2x + y = 40 x 4 8x +4 y = 160 – – 5x = – 40 x = 8 x = 8 substitusikan (2) 2x + y = 40 2.8 + y = 40 16 + y = 40 y = 40 – 16 y = 24 Titik potongnya adalah (8,24) Titik Ekstrem Z = 100000 x + 80000 y A (40, 0) → Z = 100000.40 + 0 = 4.000.000 B (8, 24) → Z = 100000.8 + 80000.24 = 2.720.000 C ( 0, 40) → Z = 0 + 80000.40 = 3.200.000 Jadi minimal ongkos angkutan Rp.2.720.000 dengan jumlah truk = 8 dan colt = 24

Soal & Pembahasan

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Seorang pedagang kemeja ,setiap pembelian kemeja merk A harganya Rp 100.000,00 dan mendapatkan untung Rp10.000,00,sedangkan untuk pembelian kemeja merk B harganya Rp 80.000,00 mendapatkan untung Rp 7.500,00.model yang tersedia seluruhnya adalah Rp 40.000.000,00. Sedangkan kapasitas tempat penjualan adalah 450 kodi,Tentukan :a. Berapa rupiah keuntungan maksimum?b. Berapa kodi kemeja merk A dan kemeja

merk B yang harus disediakan agar keuntungan maksimum?

11

Soal & Pembahasan

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

Kemeja merk A (x)

Kemeja merk B (y)

Persediaan

X Y 450

Harga Rp.100.000,00 Rp.80.000,00 Rp.40.000.000,00

Untung Rp.10.000,00 Rp.7.500,00

Jawab :

Dari tabel diatas diterjemahkan dalam pertidaksamaan sebagai berikut :x + y ≤ 450100.000x + 80.000y ≤ 40.000.000,00 5x + 4y ≤ 2.000

x ≥ 0 dan y≥ 0,karena x dan y bilangan bulat tidak mungkin negatifFungsi obyektifnya adalah f(x, y) = 10.000x + 7.500y

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

Dari pertidaksamaan x + y ≤ 450 ; 5x + 4y ≤ 2.000 ; x ≥ 0 dan y≥ 0 diperoleh daerah pertidaksamaan seperti gambar berikut :

400

HP

0

500

450

450

y

x

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

x + y = 450 5x + 5y = 22505x + 4y = 2.000 5x + 4y = 2.000 -

y = 250

untuk y = 250,maka x+ 250 = 450 x = 200

Jadi titik pojoknya adalah (0,0) ; (400,0) ; (0,450) ; (200,250)Titik – titik pojok tersebut disubtitusikan ke fungsi obyektif F(x, y) = 10.000x + 7.500y adalah sebagai berikut:f (0,0)= 10.000 x 0 + 7.500 x 0 = 0f (400,0)= 10.000 x 400 + 7.500 x 0 = 4.000.000f (0,450)= 10.000 x 0 + 7.500 x 450 = 3.375.000f (200,250)= 10.000 200 + 7.500 x 250 = 3.875.000Kesimpulannya :Keuntungan maksimum = 4.000.000Kemeja merek A (x) = 200 kodi dan kemeja merk B (y) = 250 kodi

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


12

Soal & Pembahasan

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


13

Soal & Pembahasan

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


14

Soal & Pembahasan

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


Soal & Pembahasan

Pertidaksama

an linear

Model Matematika

Soal & Pembahasan

Fungsi Objekti

f

Garis Selidik


15

Soal & Pembahasan

program linear kelompok 3

Documents