Schrödinger menyatakan bahwa perilaku elektron, termasuk tingkattingkat energi elektron yang diskrit dalam atom, mengikuti suatu persamaan diferensial untuk gelombang, yang kemudian dikenal sebagai persamaan Schrödinger.

PERSAMAAN SCHRÖDINGER

Fungsi Hamilton Jika gelombang dapat mewakili elektron maka energi gelombang dan energi partikel elektron yang diwakilinya haruslah sama. Sebagai partikel, satu elektron mempunyai energi total yang terdiri dari energi potensial dan energi kinetik. Seperti kita ketahui, energi potensial merupakan fungsi posisi x (dengan referensi koordinat tertentu) dan kita sebut Ep(x), sedangkan energi kinetik adalah Ek = ½mv2 dengan m adalah massa elektron dan v adalah kecepatannya. Energi total electron sebagai partikel menjadi

E = Ep + Ek

……. (1)

di mana p = mv adalah momentum elektron.

Jika kita pandang persamaan (1) ini sebagai persamaan matematis biasa, kita dapat menuliskannya sebagai

H(p,x) adalah sebuah fungsi yang disebut fungsi Hamilton (dari William Rowan Hamilton 1805 – 1865; matematikawan Irlandia), dengan p dan x adalah variabel-variabel bebas.[4]. Turunan parsial fungsi ini terhadap p dan x masingmasing adalah

….. (2)

….. (3)

Kalau kita memandang (1) kembali sebagai suatu persamaan besaran fisika dengan p dan x adalah momentum dan posisi¸ maka kita peroleh

….. (4.a)

….. (4.b)

dan

Jadi turunan H(p,x) terhadap p memberikan turunan x terhadap t dan turunan H(p,x) terhadap x memberikan turunan p terhadap t; dan kita pahami bahwa p di sini adalah momentum, suatu besaran fisis dan bukan lagi hanya sebuah peubahbebas seperti dalam fungsi Hamilton.

Dalam relasi fisik, dx/dt = v adalah kecepatan, dan dp/dt = F adalah gaya. Dengan demikian maka fungsi Hamilton, yang menetapkan hubungan antara variabel – variabel bebas p dan x untuk memperoleh E, dapat kita gunakan untuk menggantikan hubungan - hubungan fisik mengenai momentum, kecepatan, dan gaya yang biasa kita nyatakan sebagai

Perhatikan: sekali lagi p dan x dalam fungsi Hamilton adalah variabel sedangkan p dan x dalam persamaan fisis adalah momentum dan posisi.

Fungsi Hamilton dalam Mekanika Kuantum

Dalam mekanika kuantum, elektron dinyatakan sebagai gelombang. Jika fungsi Hamilton dapat diterapkan untuk elektron sebagai partikel, maka ia harus dapat diterapkan pula untuk elektron sebagai gelombang. Hal ini akan kita lihat sebagai berikut.

• Variabel p pada fungsi Hamilton, harus diganti dengan operator momentum agar jika dioperasikan terhadap suatu fungsi gelombang dapat menyatakan momentum elektron yang tidak lagi dipandang sebagai partikel melainkan sebagai gelombang.

• E pada fungsi Hamilton, harus diganti dengan operator energi yang jika beroperasi pada fungsi gelombang dari electron akan memberikan energi.

• Variabel x yang akan menentukan posisi elektron sebagai partikel, akan terkait dengan posisi elektron sebagai gelombang sehingga peubah ini tidak berubah pada fungsi gelombang dari elektron. Dalam kaitan ini perlu kita ingat bahwa jika elektron kita pandang sebagai partikel maka momentum dan posisi mempunyai nilainilai yang akurat. Jika elektron kita pandang sebagai gelombang, maka kita dibatasi oleh prinsip ketidakpastian Heisenberg.

Operator Momentum dan Operator Energi. Kita akan mencoba menelusuri operatoroperator yang diperlukan ini dengan memperhatikan bentuk fungsi gelombang komposit, yaitu persamaan :

Jika fungsi ini kita turunkan terhadap t kita peroleh

yang dapat disederhanakan menjadi

…. (5a)

Dalam selang sempit Δk maka ωn/ω0 ≈ 1 ; dan jika ruas kiri dan kanan (5.a) dikalikan dengan dan mengingat bahwa energi ω= , maka kita akan memperoleh

E adalah energi total elektron. Akan tetapi jika kita melihat (5.b) sebagai suatu persamaan matematik biasa maka kita dapat mengatakan bahwa E merupakan sebuah operator yang beroperasi pada fungsi gelombang u dan

…. (5b)

…. (5c)

Jika u kita turunkan terhadap x.

Untuk kn/k0 ≈ 1 , jika ruas kiri dan kanan kita kalikan dengan akan kita peroleh

…. (5d)

Seperti halnya untuk E pada (5.b), p pada (5.d) kita pandang sebagai operator

Dengan demikian kita mendapatkan operator untuk E pada (5.c) dan p pada (5.e).Jika fungsi gelombang kita sebut Ψ dan mengoperasikan H(p,x) pada fungsi gelombang ini, maka

Dengan memasukkan operator p akan kita peroleh

……. (6)

Inilah persamaan Schrödinger untuk satu dimensi. Untuk tiga dimensi, persamaan Schrödinger itu menjadi

3.3. Persamaan Schrödinger Bebas-waktu

Aplikasi persamaan Schrödinger dalam banyak hal akan berkaitan dengan energi potensial, yaitu besaran yang merupakan fungsi posisi dan tidak merupakan fungsi waktu. Perhatian kita tidak tertuju pada keberadaan elektron dari waktu ke waktu, melainkan tertuju pada kemungkinan dia berada dalam selang waktu yang cukup panjang. Jadi jika faktor waktu dapat dipisahkan dari fungsi gelombang, maka hal itu akan menyederhanakan persoalan. Kita tinjau kasus satu dimensi dan menuliskan persamaan gelombang sebagai . Jika persamaan gelombang ini kita masukkan ke persamaan (6) dan kedua ruas kita bagi dengan . Jika kita memperoleh

……. (7)

……. (8)

Ruas kiri dari (8) merupakan fungsi x saja sedangkan ruas kanan merupakan fungsi t saja. Karena kedua ruas merupakan fungsi dengan peubah yang berbeda maka kedua ruas harus sama dengan suatu nilai konstan khusus, yang biasa disebut eigenvalue. Kita lihat lebih dahulu ruas kanan, yang akan memberikan persamaan Schrödinger satu dimensi yang tergantung waktu:

……. (8.a)

Mengingat bentuk gelombang yang mewakili elektron adalah

sedangkan S(x,t) adalah

maka kita dapat mengambil bentuk T(t) sebagai untuk kita masukkan ke (8.a), dan kita akan memperoleh

Jadi konstanta a pada (3.8.a) adalah energi total elektron, E. Jika demikian halnya maka ruas kiri (3.8) juga harus sama dengan E, sehingga dapat kita tuliskan sebagai

……. (9)

……. (8.b)

Inilah persamaan Schrödinger satu dimensi yang bebas-waktu. Untuk tiga dimensi persamaan itu menjadi

……. (9.a)

Perlu kita sadari bahwa adanya persamaan Schrödinger bebaswaktu bukanlah berarti bahwa elektron atau partikel yang ingin kita pelajari dengan mengaplikasikan persamaan ini adalah partikel yang bebaswaktu. Partikel tersebut memiliki kecepatan gerak, dan kecepatan adalah turunan terhadap waktu dari posisi. Oleh karena itu dalam memberi arti pada penurunan matematis dari persamaan Schrödinger bebaswaktu, dalam halhal tertentu kita perlu mempertimbangkan masalah waktu, sesuai dengan logika. Dengan persamaan Schrödinger bebaswaktu (9) atau (9.a) fungsi gelombang yang dilibatkan dalam persamaan ini juga fungsi gelombang bebaswaktu, Ψ(x). Dari bentuk gelombang komposit untuk electron

kita dapat mengambil bentuk Ψ(x) sebagai , dengan A(x) adalah selubung paket gelombang, untuk mencari solusi persamaan Schrödinger.

Persamaan Schrödinger adalah persamaan gelombang dan yang kita maksudkan adalah gelombang sebagai representasi elektron atau partikel. Mencari solusi persamaan Schrödinger adalah untuk memperoleh fungsi gelombang yang selanjutnya digunakan untuk melihat bagaimana perilaku atau keadaan elektron. Hubungan antara momentum p dan energi E dengan besaranbesaran gelombang (k, ω, f, λ) adalah

3.4. Fungsi Gelombang Persamaan Schrödinger adalah persamaan diferensial parsial dengan Ψ adalah fungsi gelombang, dengan pengertian bahwa

……. (10)

adalah probabilitas keberadaan elektron pada waktu t tertentu dalam volume dx dy dz di sekitar titik (x, y, z); adalah konjugat dari Ψ . Jadi persamaan Schrödinger tidak menentukan posisi elektron melainkan memberikan probabilitas bahwa ia akan ditemukan di sekitar posisi tertentu. Kita juga tidak dapat mengatakan secara pasti bagaimana elektron bergerak sebagai fungsi waktu karena posisi dan momentum elektron dibatasi oleh prinsip ketidakpastian Heisenberg.

Dalam kasus satu dimensi dengan bentuk gelombang

maka ……. (11)

Apa yang berada dalam tanda kurung pada pers (11) adalah selubung paket gelombang yang merupakan fungsi x sedangkan A0 memiliki nilai konstan. Jadi selubung paket gelombang itulah yang menentukan probabilitas keberadaan elektron.

Persyaratan Fungsi Gelombang.

Fungsi gelombang Ψ(x) hasil solusi persamaan Schrödinger harus memenuhi beberapa persyaratan agar ia mempunyai arti fisis.

Syaratsyarat tersebut adalah sebagai berikut. • Elektron sebagai suatu yang nyata harus ada di suatu tempat. Oleh karena itu fungsi gelombang (untuk satu dimensi) harus memenuhi . • Fungsi gelombang Ψ(x) , harus kontinyu sebab jika terjadi ketidak kontinyuan hal itu dapat ditafsirkan sebagai rusaknya elektron, suatu hal yang tidak dapat diterima.

• Turunan fungsi gelombang terhadap posisi, Dψ/dx , juga harus kontinyu. Kita telah melihat bahwa turunan fungsi gelombang terhadap posisi terkait dengan momentum elektron sebagai gelombang. Oleh karena itu persyaratan ini dapat diartikan sebagai persayaratan kekontinyuan momentum. • Fungsi gelombang harus bernilai tunggal dan terbatas sebab jika tidak akan berarti ada lebih dari satu kemungkinan keberadaan elektron. • Fungsi gelombang tidak boleh sama dengan nol di semua posisi sebab kemungkinan keberadaan elektron haruslah nyata, betapapun kecilnya.