persamaan diferensial parsial - ee.unud.ac.id · pdf filepersamaan diferensial parsial linear...
TRANSCRIPT
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
1
Persamaan Diferensial Parsial),( yxfz =Turunan Parsial
xyxfzx
yxfyxxfxzyxf
xxzyx
xx
terhadap),(daripertamaparsialturunandisebut
),(),(lim),(
adalahterhadapturunannyadan darifungsiadalahtetap,sedangkanubahberubahJika
0
=∆
−∆+=
∂∂
=
−
→∆
yyxfzx
yxfyyxfyzyxf
yyzxy
yy
terhadap),(daripertamaparsialturunandisebut
),(),(lim),(
adalahterhadapturunannyadan darifungsiadalahtetap,sedangkanubahberubahJika
0
=∆
−∆+=
∂∂
=
−
→∆
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
2
xz
xz
yxyxz
∂∂
∂∂
−+=
,Tentukan
2 233
Contoh :
Penyelesaian :
22
2
230
403
xyyz
xyxxz
−+=∂∂
−+=∂∂
22
2
23
43
xyyz
xyxxz
−=∂∂
−=∂∂
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
3
Fungsi dengan lebih dari duavariabel Bebas
xyzf
zxyf
zyxf
zxyzxyzyxf
32
2
3
32),,(
+=∂∂
+=∂∂
+=∂∂
++=
y dan z = konstan
x dan z = konstan
x dan y = konstan
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
4
Turunan Parsial Tingkat Dua
Suatu fungsi z = z(x,y)Turunan Tingkat Pertama dari z :
yz
xz∂∂
∂∂ ,
Turunan Tingkat Dua dari z :
2
2
xz
xz
x ∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
2
2
yz
yz
y ∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
yxz
yz
x ∂∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂ 2
xz∂∂
yz∂∂
xyz
xz
y ∂∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂ 2
xyz
yxz
∂∂∂
=∂∂
∂ 22
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
5
22 543 yxyxz −+=Contoh :Carilah turunan tingkat dua dari z
Penyelesaian :
10,4,104
4,6,46
2
2
2
2
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
=∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−=∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
=∂∂
+=∂∂
yz
yyz
yz
xyx
yz
xz
yxz
xxzyx
xz
422
=∂∂
∂=
∂∂∂
xyz
yxz
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
6
Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan yang mengandung turunan-turunanparsial dari suatu fungsi yang tidak diketahui yang diturunkan terhadap dua atau lebih variabel bebas .Orde persamaan diferensial parsial dapat ditentukandari turunan tertinggi dari persamaan tersebut.
Contoh :
Orde 2
1
2
22
3
33
3
32
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
=∂∂
−=∂∂
∂
vz
uz
xRy
yRx
yxyx
u
Orde 3
Orde 1
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
7
Persamaan Diferensial Parsial Linear
Bentuk umum persamaan diferensial parsiallinear orde dua dengan dua variabel bebas :
uyxGFEDCBA
GFuyuE
xuD
yuC
yxuB
xuA
bukandandaritergantungdan,,,,,
2
22
2
2
=+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
Persamaan diferensial parsial orde dua dengan duavariabel bebas x dan y tidak dapat dituliskan dalambentuk umum seperti diatas disebut persamaantaklinear. Jika G=0 disebut persamaan homogen, sebaliknya jika G≠0 disebut tidak homogen
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
8
Contoh Persamaan Diferensial ParsialLinear Orde Dua yang penting
SatuDimensiGelombangPersamaan2
22
2
2
xuc
tu
∂∂
=∂∂
SatuDimensiLaplacePersamaan02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
yu
xu
SatuDimensiPanasAliranPersamaan2
22
xuc
tu
∂∂
=∂∂
DuaDimensiPoissonPersamaan),(2
2
2
2
yxfyu
xu
=∂∂
+∂∂
TigaDimensiLaplacePersamaan02
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
zu
yu
xu
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
9
Penyelesaian Persamaan DiferensialParsial
Contoh :
)()(2212 yGxFxyyxu ++−=
yxyx
u−=
∂∂∂ 2
2
Penyelesaian Umum :
Penyelesaian Khusus :
,53sin2maka,53)(dansin2)(Jika
42212
4
−++−=
−==
yxxyyxuyyGxxF
Penyelesaian yang tidak dapat dicari dari penyelesaianumum dengan memberikan nilai tertentu pada sembarangfungsi disebut Penyelesaian Singular
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
10
Metode Penyelesaian PersamaanDiferensial Parsial
Prinsip Superposisi/Prinsip Kelinearan
Jika u1 dan u2 adalah penyelesaian persamaandiferensial parsial homogen, kemudian :
u = c1u1 + c2u2
dengan c1 dan c2 adalah konstanta juga merupakanpenyelesaiannya.Penyelesaian Umum persamaan diferensial parsialtidak homogen dapat dicari dengan menambahkanpenyelesaian khusus persamaan tak homogen denganpenyelesaian umum persamaan homogen.
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
11
0 parsial ldiferensiapersamaan dari),(an penyelesaiCarilah
=−uuyxu
xxContoh :
Penyelesaian :
xx
xx
xx
eyBeyAyxuyBA
BABeAeuuuy
uuu
−
−
+=
+=
=−=−
)()(),( annyapenyelesai maka , dari fungsimerupakan dan kali Barang
konstanta.dandengandidapatkan0"menjadiyapersamaannsehinggaterhadap
diturunkan adatidak,0 persamaan Dari
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
12
xxy uu −= parsial ldiferensiapersamaan an penyelesaiCarilah
Contoh :
Penyelesaian :
sembarang.fungsi)(dan)(dan
)()()()(),(
:didapatmakaterhadapikanDiintegras
)(),(ln,1
,jadi, misal
ygxf
dxxcxfygexfyxu
x
excpxcyppp
pppu
y
yy
yx
∫=+=
=+−=−=
−==
−
−
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
13
Contoh :2
2
2
2
4satu dimensi gelombangpersamaan
anpenyelesaimerupakan )2sin(),(Buktikan
xu
tu
txtxu
∂∂
=∂∂
+=
Penyelesaian :
[ ] 2
2
2
2
2
2
2
2
4)2sin(4)2sin(4
)2sin(4)2sin(
)2sin(2)2cos(
xutxtx
tu
txtutx
xu
txtutx
xu
∂∂
=+−=+−=∂∂
+−=∂∂
+−=∂∂
+=∂∂
+=∂∂
Terbukti
Matematika Teknik II ( Ir. I Nyoman Setiawan, MT)
14
xxututuxu
tu
etxu t
2sin)0,(,0),(),0(2
batas syarat persoalan anpenyelesaiadalah ),(Buktikan
2
2
8
===∂∂
=∂∂
= −
πContoh :
Penyelesaian :
[ ] 2
288
82
288
0
8
8
8
2terbukti2sin4822sin8
:ldiferensiapersamaankeSubtitusi
2sin42cos22sin8
2sin2sin)0,(0sin),(
00sin),0(2sin),(
xu
tuxexe
xexuxe
xuxe
tu
xxexuetuetu
xetxu
tt
ttt
t
t
t
∂∂
=∂∂
−=−
−=∂∂
=∂∂
−=∂∂
==
==
==
=
−−
−−−
−
−
−
ππ