KautsarNIM. TF. 090593

Perhitungan Diferensial Parsil

Diferensial Fungsi Variabel Tunggal

Bentuk implisit : f (x, y) = 0 merupakan hubungan fungsional antara variabel x dan y.

Bentuk eksplisit : x = x (y) dengan y variabel bebas dan x

variabel tak bebas, atau y = y (x) dengan x variabel bebas dan y variabel tak bebas.

Diferensial dy atau dx adalah:dx = (df/dy) dy atau dy= (df/dx) dx,

dengan dx perubahan infinit pada x dan dy perubahan infinit pada y.

Diferensial Fungsi Dua Variabel

Fungsi f (x, y, z) = 0 merupakan bentuk implisit yang menyatakan bahwa antara variabel x , y, dan z ada hubungan tertentu, maka hanya dua di antara ketiga variabel itu bersifat bebas, sedangkan yang ketiga merupakan variabel tak bebas.

Bentuk eksplisit: x = x (y, z); y dan z merupakan variabel bebas.

y = y (x, z); x dan z merupakan variabel bebas.

z = z (x, y); x dan y merupakan variabel bebas.

Pada fungsi z = z (x, y); nilai z dapat berubah karena:

x berubah tetapi y tidak.y berubah tetapi x tidak.x dan y keduanya berubah.

Maka: dz = (perubahan z karena x berubah) + (perubahan z karena y berubah)

Secara matematik dinyatakan:

(∂z/ ∂ x)y : perubahan z karena x berubah sedangkan y tidak = M (xy)(∂ z/ ∂ y)x : perubahan z karena y berubah sedangkan x tidak = N (xy)

dyy

zdx

x

zdz

xy

Diferensial Fungsi Eksak dan Tidak Eksak

Diferensial Fungsi Eksak : diferensial suatu fungsi yang nyata ada (yang memenuhi syarat euler).

Syarat Euler: Apabila z = (x, y) adalah suatu fungsi yang ada dan merupakan fungsi yang baik, maka urutan mendeferensiasi:

atau

xy

z

yx

z

..

22

yxx

N

y

M

Diferensial Tak Eksak (đA) : suatu fungsi yang tidak nyata atau memang tidak ada.

Misalnya besaran A bukan fungsi dari variabel x dan y berarti A = A (x, y) tidak ada.

Jika dibayangkan terjadi berubahan pada besaran A yaitu dA dapat ditulis:

dA = P (x, y) dx + Q (x,y) dyMaka ditemukan (dP/dy)x (dQ/dx)y ,

sebab fungsi P dan Q tidak merupakan diferensial parsial dari A.

Contoh :Diferensial Eksak

z = x2 + xy2, adalah fungsi yang ada dan baik.M(xy) = 2x + y2 dan N(xy) = 2xy

,Diperoleh:

maka dz = (2x + y2) dx + (2xy) dy adalah diferensial eksak.

yy

M

x

2

yx

N

y

2

yxx

N

y

M

Contoh:Diferensial Tak Eksak

Usaha mekanis gaya F sepanjang dx yang dilakukan sutu gas yang mengembang dalam bejana berpenampang A melalui suatu piston.W = F . x maka dW = F . dx sedangkan tekanan P = F/Amaka dW = PA . dx = P . dVW sebagai fungsi P, V atau W = W (P, V) ternyata tidak ada.

Dengan demikian, dW = P . dV adalah diferensial tak eksak.

Integrasi Diferensial Dua Variabel

Diferensial Eksak dz :Integrasi tak tentu suatu diferensial eksak

menghasilkan fungsi aslinya ditambah konstanta.

Integrasi terbatas suatu diferensial eksak menghasilkan bilangan atau nilai tertentu.

Intergral dz antara dua batas, tidak bergantung pada jalan integrasi, tetapi hanya bergantung pada titik awal dan titik akhir jalan itu.

Diferensial Tak Eksak (đA) :Pengintegrasian tak terbatas suatu difernsial

tak eksak tidak mungkin menghasilkan suatu fungsi, karena A sebagai fungsi x dan y memang tidak ada.

Hasil integrasi antara dua batas suatu diferensial tak eksak tidak dapat diartikan sebagai selisih antara dua nilai fungsi, karena memang fungsinya tidak ada.

Hasil integral bergantung pada jalan integrasi, bagaimana titik akhir dicapai dari titik awal. Untuk setiap jalan yang berbeda, berbeda pula hasilnya.

Dua Hubungan Penting Antara Diferensial Parsil

Jika z = z (x, y), maka dz = (∂ z/ ∂ x)y dx + (∂ z/ ∂ y)x dy.

Tetapi fungsi tersebut dapat juga dilihat sebagai x = x (y, z), maka dx = (∂ x/ ∂ y)z dy + (∂ x/ ∂ z)y dz.

Apabila dx ini disubstitusikan kedalam dz diatas, diperoleh:

dz = (∂ z/ ∂ x)y [(∂ x/ ∂ y)z dy+ (∂ x/ ∂ z)y dz] + (∂ z/ ∂ y)x dy atau,

dz = [(∂ z/ ∂ x)y (∂ x/ ∂ y)z + (∂ z/ ∂ y)x] dy + (∂ x/ ∂ z)y (∂ z/ ∂ x)y dz

Yang berlaku untuk setiap dy dan dz. Maka ia terpenuhi jika:1.(∂ x/ ∂ z)y (∂ z/ ∂ x)y = 1 atau (∂ z/ ∂ x)y = 1 / (∂ x/ ∂ z)y

2.(∂ z/ ∂ x)y (∂ x/ ∂ x)z + (∂ z/ ∂ y)x = 0 atau (∂ z/ ∂ x)y (∂ x/ ∂ x)z = -1/ (∂ y/ ∂ z)x

Sehingga (∂ x/ ∂ y)z (∂ z/ ∂ x)y (∂ y/ ∂ z)x = -1 dinamakan aturan berantai