persamaan differensial orde i · • jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka...

PERSAMAANDIFFERENSIAL ORDE I

Nurdinintya Athari

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

2

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Definisi

• Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu ataulebih turunan fungsi yang tidak diketahui.

• Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebutPersamaan Diferensial Biasa (PDB).

Contoh:

• Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan PersamaanDiferensial Parsial.

Contoh :

2 2' cos , " 9 , y'y"' 3y' 0xy x y y e

2 2

2 2 0u u

x y


3

PERSAMAAN DIFERENSIAL [2]

• Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila persamaan diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunan yang bersifat linear.

• Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikut

an(x) y(n) + an-1(x) y(n-1) + … + a0(x) y = f(x)

dengan an(x) 0 dan an(x), an-1(x), … , a0(x) adalah koefisien PD.

• Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen.

• Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB


4

CONTOH

dt

dN(1)

(2) y ’ + 2 cos 2x = 0

(3) y” + ex y’ + sin (xy) = ex sin x , orde 2, tidak linier, tidak homogen

x3 y”+ cos 2x (y’)3= x2 y2 , orde 2, tidak linier, homogen

= kN , N = N(t)

(4)

, orde 1 dengan N peubah tak bebas dan t peubah bebas, linier, homogen

, orde 1 dengan y peubah tak bebas dan x peubah bebas, linier, tidak homogen


5

SOLUSI

• Misal ada suatu persamaan diferensial dimana y sebagai peubah tak bebas yang bergantung pada peubah bebas x atau suatu fungsi y = f (x) disebut solusi PDB jika fungsi y = f (x) disubtitusikan ke PDB diperolehpersamaan identitas.

• Solusi umum dan solusi khusus

Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang maka solusi disebut solusiumum, sebaliknya disebut solusi khusus.


6

CONTOH

(1) y = cos x + c solusi umum

Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0

Karena

(cos x + c)’ + sin x = -sin x + sin x = 0

(2) y = cos x + 6 solusi khusus

Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0

Karena

(cos x + 6)’ + sin x = -sin x + sin x = 0


7

PDB ORDE 1

• PDB terpisah

• PDB dengan koefisien fungsi homogen

• PDB Linier


8

PDB TERPISAHPDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :

g(y) dy = f(x) dx disebut PDB terpisah.

Penyelesaian : integralkan kedua ruas

Contoh : tentukan solusi umum PD

(x ln x) y' = y

3' yy x e , y(2) = 0

1.

2.


9

CONTOH1. Jawab:

(x ln x) y' = y

ydx

dyxx ln

xx

dx

y

dy

ln

xx

dx

y

dy

ln

1ln ln lny x c

2ln ln lny c x

xcy ln

Jadi solusi umum PD tersebut

adalah

xcy ln

2ln ln ln lny x c

dengan 2c c


10

CONTOH2. Jawab:

y' = x3 e-y

yexdx

dy 3

dxxe

dyy

3

dxxdye y 3

cxe y 4

4

1

cxy 4

4

1ln

c4)2(

4

1ln0

Jadi solusi khusus PD tersebut

adalah

3

4

1ln 2xy

Diketahui y(2) = 0, sehingga

341 cc


11

LATIHAN

2

2

1 y

x

dx

dy

)1(2

243 2

y

xx

dx

dy

)1('

3

2

xy

xy

221' xyyxy

1)0(,21

cos2

yy

xy

dx

dy

0)0(),1)(1(2' 2 yyxy

)21)(21(' 32 xxyy

1)0(,0)1( yyedx

dye xx

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini


12

FUNGSI HOMOGEN• Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika

A(kx,ky) = knA(x,y),

k konstan sembarang

• Contoh :

Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak !

1. A(x,y) = x + y

A(kx,ky) = kx + ky

= k (x + y) = k A(x,y)

Maka A(x,y) = x + y adalah fungsi homogen dengan derajat 1

2. A(x,y) = x2 + xy

A(kx,ky) = k2x2 + kx ky

= k2 (x2+xy) = k2 A(x,y)

Maka A(x,y) = x2 + xy adalah fungsi homogen dengan derajat 2


13

PD DENGAN KOEFISIEN FUNGSIHOMOGEN

• PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk),(

),('

yxB

yxAy

dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama

disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen.

Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x)

uxuy ''

dx

dy

dx

du= x + u

dy = x du + u dx

dengan


14

CONTOHSelesaikan solusi persamaan diferensial berikut

'x y

yx

1.

Jawab:

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx

x

yx

dx

dy

x

y

dx

dy1 u

dx

dxudux

1 dxudxudux 1

dxdux x

dxdu

x

dxdu lnu x c

lny

x cx lny x x c x

Jadi solusi umum dari PD di atas adalah lny x x c x


15

CONTOH2.

Jawab:

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx

2

2 2

x

xyy

dx

dy

x

y

x

y

dx

dy2

2

uudx

dxudux22

dxuudxudux 22

dxuudux 2

x

dx

uu

du

2 x

dx

uu

du2

( 1)

du dx

u u x

1 1

1

dxdu

u u x

ln ln 1 ln lnu u x c

0xy2ydx

dyx 22 , y(1)=1

16-Mar-15

16

16-Mar-1516

ln ln | |1

uc x

u

ln ln | |1

yx c x

yx

ln ln | |y

c xy x

| |y

c xy x

2( ); (k c)y k xy x

2

1

kxy

kx

Diketahui y(1) = 1, sehingga

11

k

k

1

2k

Jadi solusi khusus PD di atas adalahx

xy

2

2

2(1 )y kx kx


17

LATIHAN

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

xy

yx

dx

dy

2

3 22

2

2 2

x

xyy

dx

dy

yx

yx

dx

dy

3

2

22

x

yxyx

dx

dy

yx

yx

dx

dy

2

34

yx

xy

dx

dy

2

34

2y dx – x dy = 0


18

PDB LINIERPDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :

y’+ P(x) y = r(x)

disebut PDB linier.

Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integrasi

dxxP

e)(

( ) ( ) ( )

'( ) ( )

' ( ) ( )

( )

P x dx P x dx P x dx

P x dx P x dx

y e P x y e r x e

ye r x e

Kemudian, kalikan kepada kedua ruas, sehingga diperoleh:

Integralkan kedua ruas

( ) ( )( )

P x dx P x dxye r x e dx

Solusi Umum PDB

( )

( )

( )P x dx

P x dx

r x e dx

y

e


19

CONTOH1. xy’ – 2y = x3 ex

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

Jawab:

xexyx

y 22' (bagi kedua ruas dengan x)

Sehingga diperoleh faktor integrasi:

2lnln2

22

xeee xxdx

x

kalikan kedua ruas dengan x-2, yaitu:

xeyx

yx

32

2'

1

'

2

1 xy ex

2

1 xy e dxx

22 xcexy x

Jadi solusi umumnya adalah 22 xcexy x

2

1 xy e cx


20

CONTOH2. y’ + y = (x + 1)2, y(0) = 3

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

Jawab:

Faktor integrasi dari PD di atas adalah:

xdx

ee 1

kalikan kedua ruas dengan ex, yaitu:

21' xeyeye xxx

2( ) ' ( 1)x xe y e x

dxxeye xx 2)1( dxexexye xxx )1(212

xcexxy 21212

ceexexye xxxx 2)1(212

sehinggaxcexy 12


21

CONTOH (NO. 2 LANJUTAN)Diketahui y(0) = 3, sehingga

c13 2c

Jadi solusi khusus PD di atas adalah2 1 2 xy x e


22

LATIHANSelesaikan persamaan diferensial di bawah ini:

211

2'.4

xx

yy

xxyy sectan'.3

xeyy 2'.1

1')1(.2 2 xyyx

-x6. xy'+ 1+x y=e , y(1)=0

22'.5 xyy

26

,2sincos2'sin.7

yxxyyx


23

TRAYEKTORI ORTOGONAL• Masalah dalam TO ini adalah bagaimana mendapatkan

keluarga kurva yang ortogonal atau tegak lurus terhadapkeluarga kurva lain.

• Cara untuk mendapatkan trayektori ortogonal dari suatukurva adalah sebagai berikut:

• Turunkan secara implisit f(x,y) = c terhadap x, nyatakanparameter c dalam x dan y.

• Karena tegak lurus maka trayeksi Ortogonal (TO) harusmemenuhi:

1'

( , )y

Df x y

Trayektori Ortogonal dari f(x,y) = c, didapatkan dengan mencari

solusi dari1

'( , )

yDf x y


24

CONTOH2cxy Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva

Jawab:

Langkah-langkah menentukan TO :

1. Tuliskan2cxy dalam bentuk

2x

yc

Kemudian turunkan yaitu:2cxy

2. TO akan memenuhi PD

cxy 2'

22'

x

yxy

x

yy 2'

1'

2 / 2

xy

y x y


25

CONTOH (LANJUTAN)3. TO dari adalah solusi dari PD berikut:

)(2

22

ellipscyx

'2

xy

y

y

x

dx

dy

2

xdxydy2 cx

y 2

22

2cxy

Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola2cxy

adalah )(2

22

ellipscyx

x

y


26

LATIHANTentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva

berikut :

222 cyx cxy

222 cyx 4 x2 + y2 = c

4.

2.

1.

5.

y = cx3.

persamaan differensial orde i · • jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka...

Documents