persamaan differensial orde i · • jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka...

of 26 /26
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I Nurdinintya Athari

Author: hoangtu

Post on 08-Mar-2019

236 views

Category:

Documents


2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

PERSAMAANDIFFERENSIAL ORDE I

Nurdinintya Athari

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

2

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Definisi

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu ataulebih turunan fungsi yang tidak diketahui.

Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebutPersamaan Diferensial Biasa (PDB).

Contoh:

Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan PersamaanDiferensial Parsial.

Contoh :

2 2' cos , " 9 , y'y"' 3y' 0xy x y y e

2 2

2 2 0u u

x y

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

3

PERSAMAAN DIFERENSIAL [2]

Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila persamaan diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunan yang bersifat linear.

Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikut

an(x) y(n) + an-1(x) y

(n-1) + + a0(x) y = f(x)

dengan an(x) 0 dan an(x), an-1(x), , a0(x) adalah koefisien PD.

Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen.

Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

4

CONTOH

dt

dN(1)

(2) y + 2 cos 2x = 0

(3) y + ex y + sin (xy) = ex sin x , orde 2, tidak linier, tidak homogen

x3 y+ cos 2x (y)3= x2 y2 , orde 2, tidak linier, homogen

= kN , N = N(t)

(4)

, orde 1 dengan N peubah tak bebas dan t peubah bebas, linier, homogen

, orde 1 dengan y peubah tak bebas dan x peubah bebas, linier, tidak homogen

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

5

SOLUSI

Misal ada suatu persamaan diferensial dimana y sebagai peubah tak bebas yang bergantung pada peubah bebas x atau suatu fungsi y = f (x) disebut solusi PDB jika fungsi y = f (x) disubtitusikan ke PDB diperolehpersamaan identitas.

Solusi umum dan solusi khusus

Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang maka solusi disebut solusiumum, sebaliknya disebut solusi khusus.

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

6

CONTOH

(1) y = cos x + c solusi umum

Persamaan Diferensial y + sin x = 0

Karena

(cos x + c) + sin x = -sin x + sin x = 0

(2) y = cos x + 6 solusi khusus

Persamaan Diferensial y + sin x = 0

Karena

(cos x + 6) + sin x = -sin x + sin x = 0

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

7

PDB ORDE 1

PDB terpisah

PDB dengan koefisien fungsi homogen

PDB Linier

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

8

PDB TERPISAHPDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :

g(y) dy = f(x) dx disebut PDB terpisah.

Penyelesaian : integralkan kedua ruas

Contoh : tentukan solusi umum PD

(x ln x) y' = y

3' yy x e , y(2) = 0

1.

2.

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

9

CONTOH1. Jawab:

(x ln x) y' = y

ydx

dyxx ln

xx

dx

y

dy

ln

xxdx

y

dy

ln

1ln ln lny x c

2ln ln lny c x

xcy ln

Jadi solusi umum PD tersebut

adalah

xcy ln

2ln ln ln lny x c

dengan 2c c

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

10

CONTOH2. Jawab:

y' = x3 e-y

yexdx

dy 3

dxxe

dyy

3

dxxdyey 3

cxe y 4

4

1

cxy 4

4

1ln

c4)2(

4

1ln0

Jadi solusi khusus PD tersebut

adalah

3

4

1ln 2xy

Diketahui y(2) = 0, sehingga

341 cc

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

11

LATIHAN

2

2

1 y

x

dx

dy

)1(2

243 2

y

xx

dx

dy

)1('

3

2

xy

xy

221' xyyxy

1)0(,21

cos2

yy

xy

dx

dy

0)0(),1)(1(2' 2 yyxy

)21)(21(' 32 xxyy

1)0(,0)1( yyedx

dye xx

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

12

FUNGSI HOMOGEN Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika

A(kx,ky) = knA(x,y),

k konstan sembarang

Contoh :

Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak !

1. A(x,y) = x + y

A(kx,ky) = kx + ky

= k (x + y) = k A(x,y)

Maka A(x,y) = x + y adalah fungsi homogen dengan derajat 1

2. A(x,y) = x2 + xy

A(kx,ky) = k2x2 + kx ky

= k2 (x2+xy) = k2 A(x,y)

Maka A(x,y) = x2 + xy adalah fungsi homogen dengan derajat 2

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

13

PD DENGAN KOEFISIEN FUNGSIHOMOGEN

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk),(

),('

yxB

yxAy

dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama

disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen.

Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x)

uxuy ''

dx

dy

dx

du= x + u

dy = x du + u dx

dengan

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

14

CONTOHSelesaikan solusi persamaan diferensial berikut

'x y

yx

1.

Jawab:

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx

x

yx

dx

dy

x

y

dx

dy1 u

dx

dxudux

1 dxudxudux 1

dxdux x

dxdu x

dxdu lnu x c

lny

x cx lny x x c x

Jadi solusi umum dari PD di atas adalah lny x x c x

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

15

CONTOH2.

Jawab:

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx

2

2 2

x

xyy

dx

dy

x

y

x

y

dx

dy2

2

uudx

dxudux22

dxuudxudux 22

dxuudux 2 x

dx

uu

du

2 x

dx

uu

du2

( 1)

du dx

u u x

1 1

1

dxdu

u u x

ln ln 1 ln lnu u x c

0xy2ydx

dyx 22 , y(1)=1

16-Mar-15

16

16-Mar-1516

ln ln | |1

uc x

u

ln ln | |

1

yx c x

yx

ln ln | |y

c xy x

| |y

c xy x

2( ); (k c)y k xy x

2

1

kxy

kx

Diketahui y(1) = 1, sehingga

11

k

k

1

2k

Jadi solusi khusus PD di atas adalahx

xy

2

2

2(1 )y kx kx

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

17

LATIHAN

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

xy

yx

dx

dy

2

3 22

2

2 2

x

xyy

dx

dy

yx

yx

dx

dy

3

2

22

x

yxyx

dx

dy

yx

yx

dx

dy

2

34

yx

xy

dx

dy

2

34

2y dx x dy = 0

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

18

PDB LINIERPDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :

y+ P(x) y = r(x)

disebut PDB linier.

Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integrasi

dxxPe)(

( ) ( ) ( )

'( ) ( )

' ( ) ( )

( )

P x dx P x dx P x dx

P x dx P x dx

y e P x y e r x e

ye r x e

Kemudian, kalikan kepada kedua ruas, sehingga diperoleh:

Integralkan kedua ruas

( ) ( )( )

P x dx P x dxye r x e dx

Solusi Umum PDB

( )

( )

( )P x dx

P x dx

r x e dx

y

e

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

19

CONTOH1. xy 2y = x3 ex

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

Jawab:

xexyx

y 22

' (bagi kedua ruas dengan x)

Sehingga diperoleh faktor integrasi:

2lnln2

22

xeee xxdx

x

kalikan kedua ruas dengan x-2, yaitu:

xeyx

yx

32

2'

1

'

2

1 xy ex

2

1 xy e dxx

22 xcexy x

Jadi solusi umumnya adalah 22 xcexy x

2

1 xy e cx

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

20

CONTOH2. y + y = (x + 1)2, y(0) = 3

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

Jawab:

Faktor integrasi dari PD di atas adalah:

xdx ee 1

kalikan kedua ruas dengan ex, yaitu:

21' xeyeye xxx 2( ) ' ( 1)x xe y e x

dxxeyexx 2)1( dxexexye

xxx )1(212

xcexxy 2121 2

ceexexye xxxx 2)1(21 2

sehinggaxcexy 12

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

21

CONTOH (NO. 2 LANJUTAN)Diketahui y(0) = 3, sehingga

c13 2c

Jadi solusi khusus PD di atas adalah2 1 2 xy x e

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

22

LATIHANSelesaikan persamaan diferensial di bawah ini:

211

2'.4

xx

yy

xxyy sectan'.3

xeyy 2'.1

1')1(.2 2 xyyx

-x6. xy'+ 1+x y=e , y(1)=0

22'.5 xyy

26

,2sincos2'sin.7

yxxyyx

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

23

TRAYEKTORI ORTOGONAL Masalah dalam TO ini adalah bagaimana mendapatkan

keluarga kurva yang ortogonal atau tegak lurus terhadapkeluarga kurva lain.

Cara untuk mendapatkan trayektori ortogonal dari suatukurva adalah sebagai berikut:

Turunkan secara implisit f(x,y) = c terhadap x, nyatakanparameter c dalam x dan y.

Karena tegak lurus maka trayeksi Ortogonal (TO) harusmemenuhi:

1'

( , )y

Df x y

Trayektori Ortogonal dari f(x,y) = c, didapatkan dengan mencari

solusi dari1

'( , )

yDf x y

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

24

CONTOH2cxy Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurvaJawab:

Langkah-langkah menentukan TO :

1. Tuliskan2cxy dalam bentuk

2x

yc

Kemudian turunkan yaitu:2cxy

2. TO akan memenuhi PD

cxy 2'

22'

x

yxy

x

yy 2'

1'

2 / 2

xy

y x y

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

25

CONTOH (LANJUTAN)3. TO dari adalah solusi dari PD berikut:

)(2

22

ellipscyx

'2

xy

y

y

x

dx

dy

2

xdxydy2 cx

y 2

22

2cxy

Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola2cxy

adalah )(2

22

ellipscyx

x

y

16-Mar-15[MUG1B3] KALKULUS II

26

LATIHANTentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva

berikut :

222 cyx cxy

222 cyx 4 x2 + y2 = c

4.

2.

1.

5.

y = cx3.