diferensial parsial/3/ekoma/1

MATEMATIKA EKONOMI

PENI MAWARNINGRUM,S.PdSTIE PUTRA BANGSA

BAB 3DIFFERENSIAL PARSIAL

MATEMATIKA EKONOMI


BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL

•Memahami pengertian diferensial parsial•Memahami teorema differensial total•Memahami tentang titik ekstrem •Memahami optimasi bersyarat•Menyelesaikan permasalahan ekonomi dengan diferensial parsial

TIK

Setelah mengikuti perkuliahan ini, mahasiswa dapat :

MATEMATIKA EKONOMI


NILAI EKSTREM : MAKSIMUM DAN MINIMUM

Syarat perlu

Syarat cukupMaksimum jika

Minimum jika

DEFINISI


Derivatif parsial

Diferensial total

CONTOH (1):

Carilah turunan parsial terhadap x1 dan x2 dari fungsi y = f(x1, x2) = 3x1

2 + x1x2 +4x22

dengan menganggap x2 konstan, turunan terhadap x1 adalah:

turunan terhadap x2:

211

6 xxx

y

121

8 xxx

y


MATEMATIKA EKONOMI BAB 3 DIFFERENSIAL PARSIAL

Carilah titik ekstrim dari fungsi:y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi tersebut merupakan titik maksimum atau minimum!1) Titik ekstrim: yx dan yz = 0

y = -(6)2 + 12(6) – (5)2 + 10(5) – 45 = 16letak titik ekstrim adalah (6, 16, 5) → 3-

dimensi

60122

xxx

y

50102

zzz

y

Contoh (2) :



2) Jenis titik ekstrim: yxx dan yzz :

Maka titik ekstrim adalah titik maksimum dengan

ymax = 16

022

2

x

y 022

2

z

y



MATEMATIKA EKONOMI


OPTIMASI BERSYARAT

optimumkan : z = f (x,y )

syarat yg harus dipenuhi : u = g (x,y )

Fungsi Lagrange :

TITIK EKSTREM

Syarat Perlu

Syarat cukup :

MaksMin


π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1)

s.t. X + Y = 12 .......... (2)

Fungsi Lagrangian:

L = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y

+ λ(X + Y – 12)

Dengan menggunakan derivatif parsial, solusi ditemukan pada saat f’(z) = 0:

0480 YXX

L

CONTOH :

..................(3)



Persamaan (3) dikurangi (4):

80 – 4X – Y + λ = 0

100 – X – 6Y + λ = 0

–20 – 3X + 5Y = 0

01006 YXY

L………. (4)

012

YXL

………. (5)

………. (6)



Kali (5) dengan 3 dan jumlahkan dengan (6):

3X + 3Y – 36 = 0

–3X + 5Y – 20 = 0

8Y – 56 = 0 ↔ Y* = 7

X + 7 – 12 = 0 ↔ X* = 5 π = 80(5) – 2(5)2 – 5(7) – 3(7)2 + 100(7) = $868 Jenis titik ekstrim:

d2π/dX2 = -4 < 0

d2π/dY2 = -8 < 0 Masukkan nilai Y* & X* ke (3) atau (4), nilai λ:

λ = –5 – 42 + 100 = –53

titik esktrim maksimum



MATEMATIKA EKONOMI


•Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi –fungsi berikut :

z = 2x + 2y dengan syarat

.

.

soal


PENERAPAN DIFFRENSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI


MATEMATIKA EKONOMI


MATEMATIKA EKONOMI DIFFERERNSIAL PARSIAL DALAM EKONOMI

PERMINTAAN MARJINAL

a

a

P

QdPermintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pa

b

a

P

QdPermintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pb

a

b

P

QdPermintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pa

b

b

P

QdPermintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pb



ELASTISITAS PERMINTAAN PARSIAL

Elastisitas permintaan (price elasticity of demand)Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka elastisitas permintaan atas perubahan harga barang itu sendiri:1) Barang a

2) Barang bb

b

b

b

b

bb Qd

P

P

Qd

P

Qdd

%

%

a

a

a

a

a

aa Qd

P

P

Qd

P

Qdd

%

%



Elastisitas Silang (cross elasticity of demand)Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka elastisitas silang yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan dengan perubahan harga barang lainnya:1) Elastisitas silang barang a dengan barang b

2) Elastisitas silang barang b dengan barang a

b

a

a

b

a

bba Qd

P

P

Qd

P

Qd

%

%

a

b

b

a

b

aab Qd

P

P

Qd

P

Qd

%

%



CONTOH : ELASTISITAS 2 BARANG1) Elastisitas permintaan:

cari Qda’ dan Qdb’:

bentuk persamaan elastisitas permintaannya:

Barang a: elastis, barang b: elastis-uniter

332

ba

a

a PPP

Qd 23

ba

b

b PPP

Qd

2232

33

ba

aba

a

a

a

aa

PP

PPP

Qd

P

P

Qdd

113

23

ba

bba

b

b

b

bb

PP

PPP

Qd

P

P

Qdd



2) Elastisitas silang:cari turunan pertama atas a dan b:

bentuk persamaan elastisitas silangnya:

Hubungan kedua barang adalah komplementer

143

ba

a

b PPP

Qd423

ba

b

a PPP

Qd

3332

42

ba

bba

a

b

b

aab

PP

PPP

Qd

P

P

Qd

3313

14

ba

aba

b

a

a

bba

PP

PPP

Qd

P

P

Qd



FUNGSI BIAYA GABUNGAN

Andaikan sebuah perusahaan memproduksi 2 barang A dan B, dimana fungsi permintaan atas kedua barang dicerminkan oleh QA dan QB sedangkan fungsi biaya C = f(QA, QB)

maka:Penerimaan dari barang A: RA = QA x PA = f(QA)

Penerimaan dari barang B: RB = QB x PB = f(QB)

Penerimaan total: R = RA + RB = f(QA) + f(QB) Fungsi keuntungannya:

П = R – C = [f(QA) + f(QB)] – f(QA, QB) = g(QA, QB)



Keuntungan akan optimum ketika П’ = 0:

Titik optimum adalah maksimum jika П’’ < 0:

0

AQ0

BQ

02

2

AQ0

2

2

BQ



CONTOH : FUNGSI BIAYA GABUNGAN

Biaya total yg dikeluarkan sebuah perusahaan yg memproduksi dua barang, X dan Y, adalah:C = QX

2 + 3QY2 +QXQY

Harga jual per unit masing-masing barang adalah PX = 7 dan PY = 20

Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar keuntungan maksimum?

Berapakah besarnya keuntungan maksimum?



A. Berapa unit tiap barang harus diproduksi agar keuntungan maksimum?RX = PXQX = 7QX RY = PYQY = 20QY

R = 7QX + 20QY

П = 7QX + 20QY – QX2 – 3QY

2 – QXQY

7 – 2(20 – 6QY) – QY = 0

33 – 11QY = 0 → QY = 3

QY = 3 → 20 – 6(3) – QX = 0 → QX = 2

027

YX

X

QQQ

0620

XY

Y

QQQ



Jika ПXX dan ПYY < 0 maka titik maksimum:

Besarnya keuntungan maksimum:П = 7(2) + 20(3) – (2)2 – 3(3)2 – (2)(3)П = 37

Soal ini juga dapat diselesaikan melalui persamaan marjinalnya, П akan maksimum ketika MR = MC:MRX = MCX dan MRY = MCY

022

2

XQ06

2

2

YQ



MU DAN KESEIMBANGAN KONSUMSI

Derivatif pertama dari U terhadap X dan Y merupakan fungsi utilitas marjinal parsialnya:

Budget Line (garis anggaran):garis yang mencerminkan kemampuan konsumen membeli berbagai macam barang berkenaan dgn harga masing-masing barang dan pendapatan konsumen. Jika M adalah pendapatan konsumen dan Px dan Py harga barang X dan Y maka:

M = xPx + yPy

x

UUtilitas marjinal berkenaan dengan barang X

y

UUtilitas marjinal berkenaan dengan barang Y



Keseimbangan konsumsi—suatu keadaan atau tingkat kombinasi konsumsi beberapa barang yang memberikan tingkat kepuasan optimum—tercapai pada saat kurva indiferensi bersinggungan (tangent) dengan budget line konsumen

Optimalisasi dpt diselesaikan dengan membentuk persamaan Lagrange dan derivatif pertama = 0:

L = f(x, y) + λ(xPx + yPy – M) 0,

xx Pyxfx

L 0,

yy Pyxfy

L



Manipulasi Lx dan Ly:

Utilitas marjinal (MU) = U’ = f ‘(x, y), maka:

Keseimbangan konsumsi tercapai apabila hasilbagi utilitas marjinal dari setiap barang atas harganya adalah sama

x

xxx P

yxfPyxf

x

L ,0,

y

yyy P

yxfPyxf

y

L ,0,

y

y

x

x

P

yxf

P

yxf ,,

y

Y

x

X

P

MU

P

MU



•Fatah mempunyai usaha mebel yang punya banyak produk. Dua diantaranya adalah kursi ( x) dan meja ( y). Khusus untuk kedua produk tersebut ditarget perminggu menghasilkan 100 unit dengan biaya gabungan f(x.y) = 5x2 + 2y2+xy. Berapakah kombinasi kursi dan meja harus diproduksi perminggu ?

•Seorang konsumen ingin membeli dua jenis barang, yaitu kemeja dan kain sarung dengan harga masing-masing per unit Rp. 10.000,- dan Rp. 15.000,-. Uang yang tersedia sebesar Rp. 500.000. jika fungsi kegunaannya U = xy, berapakah jumlah kemeja dan jumlah kain sarung akan dibeli agar tercapai keseimbangan konsumsinya


MATEMATIKA EKONOMI

SEKIAAAAAAN........

.......

....

diferensial parsial/3/ekoma/1

Documents