contents · pdf filepersamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial bagi fungsi...

Click here to load reader

Post on 02-Mar-2019

372 views

Category:

Documents

34 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Contents

1 Pendahuluan pdp 2

2 Persamaan Type Hiperbolik 62.1 Persamaan Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Metoda karakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Koefisien tak konstan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Persamaan Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1 Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Well-posed problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Metoda Beda Hingga pada Persamaan Tipe Hiperbolik 143.1 Persamaan Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.1 Metode Courant-Isaacson-Rees (FTBS, upwind) . . . . . . . . . . . 153.1.2 Metode Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.3 Metode Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.4 Metode Lax - Wendroff One Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Persamaan Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Persamaan Difusi 264.1 Prinsip Maksimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Fungsi Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 Metoda separasi variable, recall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Metode beda hingga bagi persamaan difusi 315.1 Metode FTCS (Forward Time Center Space) . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 Metode Implisit BTCS (Backward Time Center Space) . . . . . . . . . . . . 325.3 Metode Crank - Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.4 Metode - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.5 Soal-soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 Persamaan Laplace & Poisson 386.1 Prinsip maksimum dan ketunggalan solusi persamaan Laplace . . . . . . . . 396.2 Persamaan Laplace pada domain persegi panjang . . . . . . . . . . . . . . . 416.3 Rumus Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.4 Formula Green bagi solusi persamaan Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7 Metode beda hingga bagi persamaan Laplace 2D 467.1 Metode langsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.2 Metode Iterasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1

SR

P '1

2

Bab 1

Pendahuluan pdp

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial bagi fungsi peubah banyaku(x, y, ). Orde dari pdp adalah turunan tertinggi yang muncul pada pdp tersebut.

Untuk fungsi dua peubah u(x, y) bentuk umum pdp orde satu adalah:

F (x, y, u(x, y), ux(x, y), uy(x, y)) = F (x, y, u, ux, uy) = 0, (1.0.1)

sedangkan bentuk umum pdp orde dua adalah:

F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0. (1.0.2)

Solusi dari pdp adalah fungsi u(x, y) yang memenuhi persamaan diferensial tersebut, un-tuk suatu daerah di bidangxy.

Pada pencarian solusi persamaan diferensial biasa, kadang kala variabel bebas dan variabletak bebas boleh ditukar, misalnya mencari solusi dudx = u

3. Untuk persamaan diferensialparsial hal ini tidak diperbolehkan. Peran variabel bebas dan variabel tak bebas tak dapatditukar.

Berbagai persamaan diferensial parsial yang penting

1. ux + ut = 0 (persamaan transport)

2. ux+uut = 0 (persamaan Burgers, merupakan bentuk khusus pers. Buckley-Leverett)

3. ut = kuxx (persamaan panas, persamaan difusi)

4. utt c2uxx = 0 (persamaan gelombang)

5. uxx + uyy = 0 u = 0 (persamaan Laplace)

Semua pdp pada contoh di atas adalah pdp linier, kecuali pdp no.3.

Klasifikasi pdp

Perhatikan bentuk umum persamaan diferensial parsial orde-2 berikut

Auxx + 2Buxy + Cuyy = F (x, y, u, ux, uy). (1.0.3)

Persamaan diferensial dikatakan bertipe

1. eliptik jika AC B2 > 0,

2

SR

P '1

2

BAB 1. PENDAHULUAN PDP 3

2. parabolik jika AC B2 = 0,

3. hiperbolik jika AC B2 = 0.

Tunjukkan bahwapersamaan difusi ut = kuxx bertipe parabolik,persamaan gelombang utt = c

2uxx bertipe hiperbolik.persamaan Laplace uxx + uyy = 0 bertipe eliptik,

Persamaan diferensial yang bertipe sama mempunyai perilaku solusi yang serupa. Olehkarena itu pada kuliah ini kita akan mempelajari perilaku solusi persamaan bertipe parabo-lik melalui bentuk kanoniknya, yaitu persamaan difusi. Begitu pula dengan perilaku solusipersamaan tipe hiperbolik melalui persamaan gelombang, dan perilaku solusi persamaantipe eliptik melalui persamaan Laplace.

Definisi 1.0.1. Suatu operator L dikatakan linier jika

L(u+ v) = Lu+ Lv, and L(cu) = cLu, (1.0.4)

untuk setiap fungsi u, v dan untuk setiap bilangan real c.

Suatu pdp berbentuk

Lu = 0

dikatakan linier jika L operator linier.

Contoh 1.0.2. Akan dibuktikan bahwa persamaan difusi adalah pdp linier.Persamaan difusi dapat dituliskan dalam bentuk Lu = 0, dengan operator L = t kxx.Selanjutnya

L(u+ v) = (t kxx)(u+ v) = tu kxxu+ tv kxxv = Lu+ Lv.

Coba buktikan bahwa persamaan transport dan persamaan gelombang adalah juga pdplinier.

Semua pdp pada contoh di atas dikatakan homogen, karena dapat dituliskan dalam bentukLu = 0. Sedangkan ux+ut = x adalah pdp tak homogen. Bentuk umum pdp tak homogen:

Lu = g, dengan g = 0.

Contoh 1.0.3. 1. Buktikan prinsip superposisi solusi pdp linier. Untuk suatu pdplinier Lu = 0, dengan L operator linier, maka berlaku prinsip superposisi solusi. Jikau1 dan u2 masing-masing solusi, maka u1 + u2, dengan , juga merupakansolusi.

2. Jika u1 solusi pdp linier tak homogen Lu = g untuk suatu g, sedangkan u0 adalahsolusi pdp homogennya Lu = 0, maka u1 + u0 solusi pdp yang mana? Buktikanjawab Anda.

3. Perhatikan bahwa pdp berikut dapat dicari solusinya dengan cara persamaan difer-ensial biasa.

(a) ux = x

SR

P '1

2

BAB 1. PENDAHULUAN PDP 4

(b) uxx = 0

(c) uxx + u = 0

(d) uxy = 0

4. (a) Cari semua polinom derajat satu berbentuk p(x, y) = ax+by+c yang memenuhiuxx + uyy = 0.

(b) Cari semua polinom homogen derajat dua berbentuk p(x, y) = ax2 + bxy+ cy2

yang memenuhi uxx + uyy = 0. Sketsakan solusi polinom derajat dua yangrelatif sederhana.

Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa solusi dari pdp memuat bukan hanyakon

stanta sebarang melainkan fungsi sebarang.

5. Buktikan bahwa u(x, t) = f(bxat), untuk sebarang fungsi f , memenuhi persamaantransport aux + but = 0. Misalkan diketahui a = 2, b = 1, dan

u(x, 0) = f(x) =

{1, 0 < x < 30, untuk x lainnya

Sketsakan u(x, 0), u(x, 1), u(x, 2) pada satu sumbu koordinat. Amati apa yang ter-jadi.

6.

Cari solusi dari u = 0 pada persegi satuan [0, 1][0, 1] yang memenuhisyarat batas u(x, 1) = sinx dan u = 0 pada ketiga sisi lainnya. (Petun-juk: Mengingat syarat batasnya, cobalah solusi berbentuk u(x, y) =a(y) sinx.)Catatan: Jika disubstitusikan akan diperoleh solusi u(x, y) =(sinhy/ sinh) sinx. Gambar di samping menunjukkan permukaansolusi persamaan Laplace u(x, y). Plot solusi persamaan Laplace den-gan syarat batas tipe Dirichlet dapat dibayangkan berupa permukaanmembran yang tepinya dibengkokkan mengikuti syarat batas Dirichletyang diberikan.

7.

Diketahui persamaan Laplace beserta syarat batasnya

uxx + uyy = 0, pada pers. panj. [0, 2] [0, 1]ux(0, y) = 0, ux(2, y) = 2, uy(x, 0) = 0, uy(x, 1) = 1,

Tentukan solusi u(x, y) berbentuk polinom berderajat-2 yang memenuhipersamaan Laplace beserta syarat batasnya.Catatan: Plot solusi masalah ini diberikan pada gambar di samping.Yakinilah bahwa permukaan pada gambar di samping memenuhi keem-pat syarat batas yang diberikan.

Soal Latihan 1.0.4. 1. Manakah diantara operator berikut yang merupakan operatorlinier?

(a) Lu = ux + xuy(b) Lu = ux + uuy(c) Lu = ux + u2y(d) Lu = ux + uy + 1

SR

P '1

2

BAB 1. PENDAHULUAN PDP 5

(e) Lu =1 + x2(cos y)ux + uyxy [arctan(x/y)]u

2. Buktikan bahwa u(x, y) = f(x)g(y) adalah solusi dari pdp uuxy = uxuy untuksebarang fungsi f dan g yang diferensiabel.

3. Buktikan melalui substitusi langsung bahwa

un(x, y) = sinnx sinhny

adalah solusi dari uxx + uyy = 0 untuk setiap n > 0.

4. Perhatikan persamaan Laplace uxx + uyy = 0 dengan syarat batas

ux(0, y) = 0, ux(1, y) = 1 uy(x, 0) = 0, uy(x, 1) = 1.

Carilah solusi eksak masalah di atas yang berbentuk polinom derajat dua

5. (Pembuktian solusi pdp dengan substitusi langsung) Soal-soal Kreyszig 11.1 no 2 -13, 14(b).

6. (Pdp yang dapat diselesaikan sebagai ode) Soal-soal Kreyszig 11.1 no 15 - 22.

SR

P '1

2

Bab 2

Persamaan Type Hiperbolik

2.1 Persamaan Transport

Persamaan transport, dikenal juga sebagai persamaan konveksi, seringkali muncul padamasalah transport dari berbagai substansi, misalnya polutan, gas, atau fluida lainnya.Bentuk umum persamaan transport adalah sbb:

at + bx = 0. (2.1.1)

Berikut ini akan diturunkan model persamaan transport melalui konservasi massa. Per-hatikan fluida yang mengalir dengan kecepatan u pada sebuah kanal dengan penampangkonstan. Misalkan (x, t) menyatakan ketinggian fluida pada posisi x saat t. Perhatikanmassa fluida pada domain dengan batas kiri x dan batas kanan x + x. Dalam selangwaktu t

u

u

( , )x th

x x+ D

b

[akumulasi] = [lajumasuk] [lajukeluar]

(|t