penyelesaian masalah sturm-liouville dari metode …... · kontinuitas, persamaan momentum, dan...

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

PENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLE DARI

PERSAMAAN GELOMBANG SUARA DI BAWAH AIR DENGAN

METODE BEDA HINGGA

oleh

FIQIH SOFIANA

M0109030

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2013

i


commit to user

ii


commit to user

ABSTRAK

Fiqih Sofiana, 2013. PENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLEDARI PERSAMAANGELOMBANG SUARADI BAWAHAIR DENGANMETODEBEDA HINGGA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universi-tas Sebelas Maret.

Persamaan gelombang suara di bawah air merupakan penerapan dari bidangfisika yang dapat diformulasikan ke dalam bentuk matematis. Melalui persamaankontinuitas, persamaan momentum, dan persamaan keadaan dapat dikonstruk-sikan persamaan gelombang suara di bawah air

1

r∂r(rpr) + ρ(z)∂z

(1

ρ(z)pz

)+

ω2

c2(z)p = 0.

Persamaan gelombang suara di bawah air dapat diformulasikan ke dalam masalahSturm-Liouville (

1

ρ(z)Z ′(z)

)′

+ω2

c2(z)ρ(z)Z(z) = λ

Z(z)

ρ(z),

dengan ρ sebagai densitas, z sebagai kedalaman, dan λ sebagai nilai eigen. Bentuknormal masalah Sturm-Liouville

−y′′(x) + V (x)y(x) = λy(x),

digunakan untuk mempermudah dalam perhitungan numerik. Metode beda hing-ga dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville dari persa-maan gelombang suara di bawah air. Melalui bentuk normal masalah Sturm-Liouville dapat diperoleh pendekatan sistem persamaan linear y′′, kemudian di-bentuk ke dalam matriks (N − 1) × (N − 1). Dari matriks (N − 1) × (N − 1)dapat ditentukan penyelesaian pendekatan nilai eigen λ dan fungsi eigen y.

Kata kunci: masalah sturm-liouville, persamaan gelombang suara di bawah air,metode beda hingga, nilai eigen, fungsi eigen

iii


commit to user

ABSTRACT

Fiqih Sofiana, 2013. SOLUTION OF STURM-LIOUVILLE PROBLEMSFROM UNDERWATER ACOUSTICS EQUATION BY FINITE DIFFERENCEMETHOD. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret Uni-versity.

Underwater acoustics equation is an application of physics which can beformulated into a mathematical form. An underwater acoustics equation is cons-tructed by a continuity equation, a momentum equation, and an equation ofstate

1

r∂r(rpr) + ρ(z)∂z

(1

ρ(z)pz

)+

ω2

c2(z)p = 0.

We obtain Sturm-Liouville problems of underwater acoustics equation(1

ρ(z)Z ′(z)

)′

+ω2

c2(z)ρ(z)Z(z) = λ

Z(z)

ρ(z),

where ρ is a densitas, z is a depth, and λ is an eigenvalue. The normal form ofSturm-Liouville problems, which is

−y′′(x) + V (x)y(x) = λy(x),

is used to simplify the numerical computation. Here we use finite differen-ce method to solve Sturm-Liouville problems of underwater acoustics equation.Through normal form of Sturm-Liouville problems, we approach the solution ofthe linear equation system y′′. Then, it is formed into matrix of (N−1)×(N−1).From that matrix we find the solution of the approximation of eigenvalues λ andeigenfunction y.

Key words: underwater acoustics equation, sturm-liouville problem, finite dif-ference method, eigenvalue, eigenfunction

iv


commit to user

MOTO

SEMANGAT itu sejatinya ada pada DIRI SENDIRI,

jadi sehebat apapun PENYEMANGATmu jika tak ada TEKAD dan SEMANGAT

tak akan ada gunanya.

Jangan takut untuk memulai sesuatu, ketika sudah memulai jangan

ragu untuk menyelesaikannya, percayalah Allah SWT akan memberi

hasil terbaik

v


commit to user

PERSEMBAHAN

Karya sederhana ini kupersembahkan kepada :

kedua orang tuaku yang tersayang.

vi


commit to user

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah

melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari

bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis

mengucapkan terima kasih kepada

1. Bapak Drs. Sutrima, M.Si sebagai Pembimbing I dan Ibu Dra. Etik Zu-

khronah, M.Si sebagai Pembimbing II yang telah membimbing dan meng-

arahkan dalam penyusunan skripsi ini.

2. Teman-teman mahasiswa Jurusan Matematika angkatan 2009 atas keber-

samaan dan kebahagiaan yang telah menambah semangat penulis, serta

seluruh pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang memerlukan.

Surakarta, Oktober 2013

Penulis

vii


commit to user

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II LANDASAN TEORI 4

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Persamaan Gelombang Suara Di Bawah Air . . . . . . . . 4

2.1.2 Masalah Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.3 Ruang Fungsi Eigen Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . 6

viii


commit to user

2.1.4 Bentuk Normal Masalah Sturm-Liouville . . . . . . . . . . 8

2.1.5 Metode Beda Hingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

IIIMETODE PENELITIAN 14

IVPEMBAHASAN 16

4.1 Persamaan Gelombang Suara di Bawah Air . . . . . . . . . . . . . 16

4.1.1 Persamaan Kontinuitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.1.2 Persamaan Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.3 Persamaan Keadaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Masalah Sturm-Liouville dari Persamaan Gelombang Suara di Ba-

wah Air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 Bentuk Normal Masalah Sturm Liouville dari Persamaan Gelom-

bang Suara di Bawah Air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville dengan Metode Beda Hingga 27

4.5 Contoh Penerapan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

V PENUTUP 38

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

DAFTAR PUSTAKA 40

ix


commit to user

DAFTAR TABEL

4.1 Penyelesaian pendekatan nilai eigen dan eksak dari Contoh 4.5.1

dengan metode beda hingga dengan N = 5, 10, 20, 40, 80, 160 . . . 29

4.2 Eror penyelesaian pendekatan nilai eigen dari Contoh 4.5.1 dengan

metode beda hingga dengan N = 5, 10, 20, 40, 80, 160 . . . . . . . 30

4.3 Penyelesaian pendekatan nilai eigen dan eksak dari Contoh 4.5.2


4.4 Eror penyelesaian pendekatan nilai eigen dari Contoh 4.5.2 dengan

metode beda hingga dengan N = 5, 10, 20, 40, 80, 160 . . . . . . . 33

4.5 Penyelesaian pendekatan nilai eigen dari Contoh 4.5.3 dengan me-

tode beda hingga dengan N = 5, 10, 20, 40, 80, 160 . . . . . . . . . 37

4.6 Estimasi eror penyelesaian pendekatan nilai eigen dari Contoh 4.5.3


x


commit to user

DAFTAR GAMBAR

3.1 Diagram alur penulisan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1 Pusat sumber untuk gelombang suara di medium bertingkat . . . 23

4.2 Gelombang suara yang dipantulkan dari Contoh 4.5.3. . . . . . . . 36

xi


commit to user

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL

u(x, t) : fungsi gelombang

ϕ : fungsi potensial

v : kecepatan

t : waktu

ω : frekuensi sudut (2πf)

f : frekuensi

∇ : operator Laplace atau gradien (turunan berarah)

t : waktu

c : kecepatan suara

k : frekuensi getaran suara

ρ : densitas

ρ0 : densitas awal

P : tekanan

p : perubahan tekanan

p0 : tekanan awal

λ : nilai eigen dari suatu matriks A

u|x : disubstitusikan x ke u

δ : delta atau perubahan

<< : jauh lebih sedikit

yj : fungsi eigen dari suatu matriks A

Zj : fungsi eigen dari suatu matriks A dengan kedalaman z

[a, b] : interval tertutup a dan b

τj : eror pemotongan lokal ke-j

ηj : sisa dari pendekatan y′(xj)

ξj : sisa dari pendekatan y′′(xj)

O(h2) : eror pemotongan lokal pada orde dua

xii


commit to user

∥x∥ : norma dari x

u : vektor u

∂ : turunan parsial

∂t : turunan parsial terhadap t

ρt : ρ diturunkan terhadap t

· : dot product pada R3

R3 : ruang vektor berdimensi tiga

C : himpunan bilangan kompleks

H : ruang Hilbert

L2 : himpunan fungsi penyelesaian (ruang Hilbert) dari masalah Sturm-Liouville

X : ruang vektor kompleks

0 : vektor 0

⟨f, g⟩ : hasil kali dalam dari fungsi f dan g

L : operator Sturm-Liouville

y(n) : turunan ke-n

△V : elemen volume

∆x : panjang

∆y : lebar

∆z : tinggi

N : pengambilan nilai N

h : panjang langkah (step)

i :√−1 atau bilangan imajiner

xiii

penyelesaian masalah sturm-liouville dari metode …... · kontinuitas, persamaan momentum, dan...

Documents