PEBYELESAIAN PENYELESAIAN DENGAN FUNGSI BESSEL DAN

TRANSFORMASI LAPLACE

Untuk penyelesaian PD dengan metode series akan diberikan dua metode

yang banyak digunakan pada Teknik Kimia, yaitu Persamaan Bessel dan Laplace

(banyak dipakai pada pengendalian proses/kontrol).

4.1. Persamaan Bessel

Persamaan umum persamaan Bessel adalah :

Penyelesaian umum PD Bessel

P =

Beberapa kasus :

1. a. Jika adalah real dan P atau bilangan bulat maka Zp dinyatakan

dengan Jp dan Z-p dinyatakan dengan J-p

b. Jika adalah real dan P = 0 atau bilangan bulat maka Zp dinyatakan

dengan Jn dan Z-p dinyatakan dengan Yn

2. a. Jika adalah imajiner dan P atau bilangan bulat maka Zp dinyatakan

dengan Ip dan Z-p dinyatakan dengan I -p

b. Jika adalah imajiner dan P = 0 atau bilangan bulat maka Zp dinyatakan

dengan In dan Z-p dinyatakan dengan Kn

56

Contoh 1

Selesaikan PD dibawah ini :

Penyelesaian :

Jika disesuaikan dengan PD Bessel :

a. 1 - 2β = a + 2bxr

jadi ; b = 0

a = 1 - 2β

b.

jadi ; c = 0

d = β2

s = β

Jadi :

P =

=

=

Karena =bilangan real dan P adalah bilangan bulat, maka

Zp dinyatakan dengan Jn

Z-p dinyatakan dengan Yn

57

Contoh 2

Persamaan pada fin pendingin :

Dimana :

x = jarak dari ujug pin

y = T - Ta, temperatur udara luar = 100 F

T = temperatur pada x

h = koefisien perpindahan konveksi = 2 Btu/hr.ft2.oF

k = koefisien perpindahan panas konduksi = 220 Btu/hr.ft.oF

L = total panjang pin = 1 ft

w = tebal pin = 1/12 ft

θ = sudut pada ujung pin, sec θ = 1

Penyelesaian :

Jika

Dan persamaan dikalikan dengan x maka akan diperoleh :

58

θ

L

w

Jika dibandingkan dengan Persamaan umum Bessel :

Akan diperoleh ;

a = 1 b = 0 c = 0

d = -α s = ½ r = 0

P =

=

Karena dan P = 0, maka :

Zp dinyatakan dengan Io

Z-p dinyatakan dengan Ko

Sehingga PUPD nya adalah :

Jika kondisi batas dimasukkan :

1. T = finite pada x = 0

2. T = 200, Ta = 200 pada x = L = 1

BC 1.

59

Pada x = 0 Ko = tak terhingga Io = 1 (Tabel 5-1, Sherwood)

Sehingga C2 = 0

BC. 2.

X =1 , T = 200 (pusat) Ta = 100

Untuk mencari harga Io(0,9338) lihat tabel 5.1 sherwood dengan inrpolasi

pada x = 0,5 dan x = 1, akan diperoleh ;

Io(0,9338) = 1,230

C1 = 81,2

Jadi persamaan akhirnya

4.2. Laplace

60

Umumnya persamaan differensial homogen untuk sistem berorde-n ditulis

Persamaan differensial ini disebut sebagai persamaan differensial linear jika koefisien

a1, a2,..., an+1. bukan fungsi dari y(t).

Alih Ragam Laplace

Alih ragam Laplace merupakan salah satu alat bantu matematika yang

digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial. Bila dibandingkan dengan

metode klasik dalam menyelesaikan persamaan differensial, alih ragam Laplace

memiliki keuntungan dua hal :

1. Penyelesaian persamaan homogen dan integral khusus diperoleh dalam satu

operasi

2. Alih ragam Laplace mengubah persamaan differensial ke persamaan aljabar

dalam s. Hal ini memungkinkan dapat memanipulasi persamaan aljabar dengan

aturan aljabar sederhana untuk memeperoleh solusi dalam wawasan s. Solusi

akhir diperoleh dengan melakukan alih ragam Laplace balik.

Definisi Alih-ragam Laplace

Diberikan suatu fungsi nyata f(t) yang memenuhi kondisi

untuk bilangan nyata terbatas, maka alih-ragam Laplace didefinisikan sebagai

atau F(s) = alih ragam Laplace dari f(t) = [f(t)]

Peubah s disebut sebagai operator Laplace, berupa peubah kompleks, s = + j.

Contoh:

61

Misalkan f(t) merupakan fungsi tangga satuan yang didefinisikan sebagai

f(t) = us(t) = 1 t > 0

= 0 t < 0

Alih ragam Laplace f(t) ini diperoleh sebagai berikut

Untuk memudahkan penerapan alih-ragam Laplace, dibawah ini diberikan tabel

teorema alih-ragam Laplace :

Tabel Teorema alih-ragam Laplace :

Perkalian dengan konstanta [kf(t)] = kF(s)

Penjumlahan dan beda [f1(t) + f2(t)]=F1(s)+F2(s)

Differensiasi

Pergeseran kompleks

Integral

Teori nilai-akhir

Tabel Alih-ragam Laplace suatu fungsi

Fungsi Bentuk Alih-ragam

Laplace

62

Unit Impuls 1

Unit Step u(t) 1/s

Unit Ramp t 1/s2

Polinomial t2 n!/sn+1

Eksponensial

Gel. sinus sin t

Gel. cosinus cos t

Gel sin teredam

Gel. cos teredam

Contoh 2 :

Misalkan f(t) merupakan fungsi berikut

Tentukan alih ragam Laplace f(t) tersebut

Penyelesaian :

Dengan melihat tabel alih ragam Laplace, maka diperoleh :

Alih-ragam Laplace Balik

Operasi menentukan f(t) dari alih ragam laplace F(s) disebut sebagai alih-ragam

Laplace balik, dan ditandai

f(t) = [F(s)]

Alih ragam Laplace balik adalah

63

(2-1)

dengan c adalah konstanta nyata yang lebih besar dari bagian nyata semua

singularitas F(s).

Contoh 3

Misalkan suatu fungsi Laplace diberikan oleh

Tentukan alih ragam Laplace balik fungsi F(s) ini.

Penyelesaian :

Dengan memperhatikan table 2-1 dan 2-2 diperoleh

Contoh 4

Diberikan alih ragam Laplace sebagai berikut

2942)( 2

ssssF

Tentukan alih ragam Laplace balik dari fungsi ini.

Penyelesaian :

Dengan memperhatikan tabel 2-2 diperoleh

Alih-ragam Laplace balik

dengan ekspansi pecahan bagian

Dalam kebanyakan sistem kontrol, evaluasi alih-ragam Laplace balik tidak

langsung menggunakan integral balik persamaan (2-1). Sebaiknya, operasi alih ragam

Laplace balik yang didalamnya berupa fungsi rasional diselesaikan menggunakan

64

tabel alih-ragam Laplace dan ekspansi pecahan-bagian. Ketika solusi persamaan

differensial bentuk alih-ragam Laplace merupakan fungsi rasional, maka solusi dapat

ditulis sebagai

dengan Q(s) dan P(s) adalah polinomial dalam s. Dengan anggapan bahwa orde dari

P(s) lebih besar dari Q(s). Polinomial P(s) ditulis

dengan a1, a2, ..., an adalah koefisien nyata. Nol dari Q(s) dapat berupa nyata atau

pasangan kompleks, orde tunggal atau rangkap.

Ekspansi Pecahan-bagian

Untuk semua pole X(s) adalah sederhana dan nyata

Bentuk :

dengan . Dengan menerapkan ekspansi pecahan-bagian, maka

persamaan ini ditulis

dengan

Contoh 5 :

Diberikan fungsi X(s) berikut

Tulislah dalam bentuk pecahan bagian ! dan tentukan x(t)

65

Penyelesaian :

X(s) ditulis dalam bentuk ekapansi bagian-pecahan sebagai berikut

sehingga

Ekspansi saat pole dari X(s) berbentuk orde rangkap

Bentuk :

Maka

dengan

Contoh 6 :

Diketahui fungsi X(s) berikut :

Susunlah dalam bentuk pecahan bagian ! dan tentukan x(t)

66

Penyelesaian :

X(s) dalam bentuk ekspansi bagian-pecahan ditulis

sehingga

Aplikasi Alih-ragam Laplace Untuk Solusi Pers. Differensial

Persamaan differensial dapat diselesaikan menggunakan metode alih-ragam

Laplace dengan bantuan tabel alih-ragam Laplace. Prosedur ringkasnya sebagai

berikut

1. Ubah persamaan differensial ke bentuk alih ragam Laplace menggunakan tabel alih

ragam Laplace

2. Manipulasikan persamaan aljabar hasil alih ragam dan selesaikan untuk variabel

keluaran

3. Bentuklah ekspansi pecahan-bagian sehingga alih ragam Laplace balik dapat

diperoleh dari tabel Laplace

4. Lakukan alih ragam balik

Untuk ilustrasi akan diberikan satu contoh berikut :

Contoh 7 :

Diketahui persamaan differensial :

67

dengan u(t) adalah fungsi langkah-satu. Kondisi awal x(0) = -1 dan

.

Penyelesaian :

Untuk menyelesaikan persamaan differensial, pertama kali kita alihragamkan Laplace

pada kedua sisi :

Dengan memasukkan kondisi awal kedalam persamaan dan menyelesaikan untuk

X(s) diperoleh

Kemudian dikembangkan ke ekspansi bagian-pecahan :

Dengan melakukan alih ragam Laplace balik, diperoleh solusi persamaan differensial:

68