modul statistika

MODUL STATISTIKA

BAHAN AJAR MATEMATIKA DASAR 2 SMA NEGERI 10 MELATI SAMARINDA

DI SUSUN OLEH :

KHAIRUL BASARI, S.Pd

khairulfaiq.wordpress.com e-mail : [email protected]

of 64

Modul Statistika Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : [email protected]

Kegiatan Pembelajaran 1

A. STANDAR KOMPETENSI Menerapkan konsep aturan statistika dalam pemecahan masalah

B. KOMPETENSI DASAR Mengidentifikasi pengertian statistik, statistika dan sampel

C. INDIKATOR PENCAPAIAN 1. Mengidentifikasi statistik dan statistika sesuai dengan defenisinya. 2 Mengidentifikasi populasi dan sampel berdasarkan karakteristiknya 3 Menyebutkan macam-macam data dan memberikan contohnya.

D. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah pembelajaran ini siswa dapat : 1. Siswa mampu membedakan pengertian statistik dan statistika 2. Siswa mampu menjelaskan pengertian populasi 3. Siswa mampu menjelaskan pengertian sampel 4. Siswa mampu memberikan contoh populasi

5. Siswa mampu memberikan contoh sampel 6. Siswa mampu membedakan macam-macam data 7. Siswa mampu memberikan contoh macam-macam data 8. Siswa mampu menjelaskan syarat data yang baik

of 64



E. URAIAN MATERI

Data Dalam Bentuk Statistik Deskriptif 1. Pengertian statistik dan statistika

a. Statistik adalah kumpulan data mengenai suatu keadaan yang dapat menggambarkan keadaan tersebut.

b. Statistika adalah cabang dari matematika yang mempelajari cara pengumpulan, penyajian, penganalisaan, dan penarikan kesimpulan dari data.

Statistika secara garis besar dapat digolongkan menjadi dua metode yaitu: a. Statistika deskriptif (deduktif) adalah metode statistika yang menggambarkan

statistik, disini berupa kegiatan pengumpulan data, pengolahan data, dan penyajian data dalam bentuk tabel, grafik atau diagram.

b. Statistika inferensial (induktif) adalah bagian dari statistika yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan mengenai populasi.

2. Pengertian populasi dan sampel a. Populasi adalah semua objek (orang atau benda) yang akan diteliti (semesta

pembicaraan). b. Sampel adalah bagian dari populasi yang akan dijadikan objek penelitian yang

bersifar representatif (mewakili populasi)

Contoh : 1. Seseorang akan membeli sekarung beras. Untuk mengetahui apakah beras yang akan

dibelinya berkualitas bagus atau tidak, maka orang tersebut cukup dengan meneliti segenggam beras yang diambil dari sekarung beras tersebut.

Dari contoh di atas maka

Populasinya adalah sekarung beras dan Sampelnya adalah segenggam beras

2. Seorang kepala kelurahan ingin mengetahui seberapa pendapatan rata-rata warganya. Karena waktu dan biaya, ia hanya mengambil dua RW saja untuk didata jumlah pendapatannya.

of 64



Populasinya adalah Penduduk kelurahan Sampelnya adalah dua RW dari kelurahan tersebut

3. Macam-macam data a. Datum adalah informasi tentang suatu masalah atau keadaan.

b. Data adalah sekumpulan informasi yang dapat menggambarkan suatu keadaan. Berarti data adalah kumpulan dari datum-datum atau dapat dikatakan bahwa data adalah bentuk jamak dari datum.

Contoh : Nilai ulangan susulan matematika dari 6 siswa kelas X- A SMA Merpati Samarinda adalah 7, 5, 6, 8, 9 ,6.

444444444 3444444444 21Data

datumdatumdatumdatumdatumdatum698657

Data dapat dkelompokkan dengan berbagai cara, diantaranya adalah : a. Data kuantitatif dan data kualitatif

Data kuantitatif adalah data yang diperoleh dari hasil mengukur atau menghitung yang hasilnya selalu berupa bilangan Contoh : - Kumpulan nilai matematika kelas X SMA y Samarinda

- Harga beras di Pasar Pagi Samarinda

Data kuantitatif di bagi 2 jenis yaitu : Data diskret (data tercacah) adalah data yang diperoleh dari hasil

menghitung.

Contoh : - Data Gaji karyawan PT. Maju Mundur - Data jumlah anak dalam suatu keluarga

Data kontinu adalah data yang diperoleh dari hasil mengukur

Contoh : - Data tinggi badan siswa SMA 10 Samarinda

of 64



Data kualitatif adalah data yang menyatakan keadaan atau karakteristik yang dimiliki oleh objek yang diteliti yang hasilnya tidak dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan. Contoh : - Data olahraga favourit siswa SMA 10 Samarinda.

- Data kualitas hasil panen padi di Tenggarong

Syarat data yang baik Objektif yaitu data harus dapat memberikan gambaran tentang keadaan yang

sebenarnya

Terpercaya (believable) yaitu data diperoleh dari sumber yang tepat atau dapat dipercaya

Representatif yaitu data yang diambil secara sampel harus bisa mewakili semua

data yang merupakan populasinya

Relevan yaitu data yang diperoleh harus benar-benar sesuai dan berhubungan

dengan obyek atau permasalahan yang diteliti

Terkini (up to date) yaitu data yang diperoleh merupakan data yang terbaru (terkini) dan bukan merupakan data usang yang sudah tidak sesuai lagi.

F. Tugas

1. Seorang peneliti ingin mengetahui ada tidaknya bakteri E. Sakazaki pada susu formula bayi. Untuk itu ia memeriksa 50 susu formula bayi dari berbagai merek. Apa yang menjadi populasi dan sampel penelitian tersebut?

2. Seorang petugas laboratorium ingin menyelidiki pencemaran air di Sungai Mahakam, tentukanlah populasi dan sampel dari pencemaran air di Sungai Mahakam tersebut?

3. Seorang peneliti dalam bidang pendidikan ingin mengetahui tingkat kelulusan siswa SMA di Samarinda. Tentukanlah populasi dan sampel dari penelitian tersebut!

4. Buatkanlah permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang terkait dengan populasi dan sampel?

5. Klasifikasikan data berikut sebagai data kualitatif dan data kuantitatif. Jika termasuk data kuantitatif maka tentukan apakah data tersebut diskret atau kontinu. a. Banyak mobil yang dimiliki oleh setiap keluarga

b. Berat badan dari sekelompok gajah c. Suhu udara suatu samudra sepanjang hari

of 64



d. Warna mobil yang ada di parkiran sekolah SMA Bunga Harapan Samarinda e. Data cita-cita siswa SD Bunga Harapan Samarinda f. Data ukuran sepatu siswa di kelasmu

Pilihlah satu jawaban yang paling benar 1. Kumpulan fakta berbentuk angka yang disusun dalam daftar yang menggambarkan

suatu persoalan disebut .....

a. statistik

b. statistika

c. sampel

d. populasi e. data

2. Pengetahuan tentang cara mengumpulkan, mengolah, menganalisis, menyajikan dan menafsirkan data disebut ..... a. statistik

b. statistika c. kinematika

d. ekonomimetri e. statis

3. Yang tidak termasuk kegiatan statistik adalah ..... a. mengumpulkan data b. mengolah data c. mempelajari teori statistik d. menganalisis data

e. menyimpulkan dan mengambil keputusan 4. Statistika yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan mengenai populasi

disebut .....

a. statistika deskriptif b. statistika induktif

c. populasi

d. sampel e. sampling

of 64



5. Di bawah ini yang bukan merupakan syarat data yang baik adalah ..... a. relevan

b. representatif

c. up to date d. objektif e. banyak

6. Sebagian data yang diambil dari objek penelitian dan bersifat representatif disebut a. populasi

b. sampel c. sensus

d. sampling e. referendum

7. Di bawah ini merupakan alasan sampling kecuali .....

a. biaya b. tenaga c. waktu

d. sistematis e. efektif

8. Yang termasuk data kontinu adalah ..... a. jumlah karyawan b. jumlah keuntungan c.jumlah penjualan d. jumlah kendaraan e. jumlah pemakaian listrik

9. Yang termasuk data diskret adalah ..... a. Tinggi badan Ardi = 170 cm

b. jumlah siswa tingkat 3 = 120 orang c. Berat badan Dadang = 52 kg d. Suhu badan Ika = 27,5 0C e. Jarak rumah Shinta ke sekolah = 7 km

of 64



10. Suatu data yang tidak dapat dinyatakan dengan bilangan disebut ..... a. data statistik b. data diskret

c. data kontinu d. data kualitatif e. data kuantitatif

11. Yang dimaksud data tunggal adalah ..... a. data yang isinya hanya satu datum saja b. data yang nilainya sama dengan satu c. data yang tidak/belum diklasifikasikan menuut aturan tertentu d. data yang berdiri sendiri e. data yang berfrekuensi

12. Data yang bersumber dari hasil pengukuran disebut dengan ..... a. data kontinu b. data diskret c. data primer d. data sekunder e. data asli

G. ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains

Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala.

Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI. Klaten : Intan Pariwara..

Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga

of 64





B. KOMPETENSI DASAR Membaca dan menyajikan data dalam tabel dan diagram

C. INDIKATOR PENCAPAIAN 1. Mampu menyajikan data tunggal dalam tabel dan diagram 2. Mampu menyajikan data berkelompok dalam tabel dan diagram 3. Mampu menafsirkan data tunggal dalam tabel dan diagram 4. Mampu menafsirkan data berkelompok dalam tabel dan diagram.

D. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah pembelajaran ini siswa dapat :

1. Menyajikan data tunggal dalam bentuk tabel 2. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram batang 3. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram batang daun 4. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram pitogram 5. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram garis 6. Menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram lingkaran 7. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk tabel distribusi frekuensi 8. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk histogram 9. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk poligon 10. Menyajikan data berkelompok dalam bentuk ogive

of 64



E. URAIAN MATERI

Membaca Dan Menyajikan Data 1. Data Tunggal

1.1 Membaca dan menyajikan data tunggal dalam bentuk tabel

Tabel adalah penyajian data dalam bentuk kumpulan angka yang disusun menurut kategori tertentu dalam suatu daftar. Dalam penyusunan tabel ada beberapa hal yang harus diperhatikan yaitu :

Judul dibuat jelas dan singkat. Apabila perlu diberi keterangan yang dicantumkan di kaki tabel

Judul atau kepala kolom dibuat ringkas. Jika ada penjumlahan data dalam baris dimuat pada kolom terakhir. Apabila jumlah kolom banyak dapat diberi nomor. Pencantuman unit ukuran tidak boleh dilupakan.

Jika dianggap perlu data dapat dikelompokkan. Kelompok data yang akan

dibandingkan, diletakkan berdekatan.

Keterangan di bawah (foot note) dimuat untuk memberi penjelasan mengenai judul, kepala kolom, atau angka-angka dalam tabel

Sumber data dicantumkan untuk mengetahui darimana data yang bersangkutan diperoleh, dan jika perlu dapat diadakan pengecekan dari sumber aslinya.

Contoh :

JUMLAH PELANGGAN DAN PEMAKAI INTERNET DI SAMARINDA TAHUN 2005 2009

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah 2005 866 8.081 8.947

2006 1.087 11.226 12.313

2007 1.500 16.400 17.900

2008 1.709 20.001 21.710

2009 2.010 25.195 27.205 Sumber : Diskenminfo Samarinda

of 64



Jumlah Pelanggan dan Pemakai Internet di Samarinda

8.94712.313

17.900

21.710

27.205

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

1 2 3 4 5

Tahun

Jumlah

h

Jenis diagram Batang tegak

2005 2006 2007 2008 2009

1. 2 Membaca dan menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram

a. Diagaram batang Diagaram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang digunakan untuk menyajikan data diskrit.

Contoh : Jumlah pemakai dan pelanggan internet Di Samarinda tahun 2005 2009 adalah sebagai berikut :

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah 2005 866 8.081 8.947

2006 1.087 11.226 12.313

2007 1.500 16.400 17.900

2008 1.709 20.001 21.710

2009 2.010 25.195 27.205

Jumlah Pelanggan dan Pemakai Internet di Samarinda

8.947

12.313

17.900

21.710

27.205

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

1

Tahu

n

Jumlah

Jenis diagram Batang mendatar

2009

2008

2006

2005

2007

of 64



b. Diagram Batang Daun Diagram batang digunakan untuk mengetahui penyebaran data. Dalam diagram daun data yang terkumpul di urutkan terlebih dahulu dari data terkecil sampai data terbesar. Diagram batang daun terdiri atas dua bagian yaitu bagian batang

dan bagian daun. Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun memuat angka satuan.

Contoh : Hasil ulangan matematika kelas X H SMA Mawar adalah sebagai berikut : 32 75 39 46 56 63 89 38 92 58 54 44 69 93 64 51 81 64 88 45 41 69 56 60 74 72 48 78 78 77 57 74 64 64 72 84 75 86 52 66 49 87 37

Sajikan data di atas dalam bentuk diagram batang daun

Penyelesaian

c. Diagram Piktogram Diagram lambang adalah penyajian data statistik dalam bentuk gambar-gambar dengan ukuran tertentu untuk menunjukkan nilai masing-masing data.

Contoh Jumlah Siswa di Kota Bangun berdasarkan Tingkat Pendidikannya Tahun 2007 ditunjukkan pada tabel dibawah ini

Batang Daun

9 23 8 146789 7 224455788 6 03444699 5 1246678 4 145689 3 2789

of 64



Data di atas jika disajikan dalam diagram pitogram adalah....

Keterangan : = 500

d. Diagram Garis Diagram garis biasanya dipakai untuk menggambarkan suatu data yang berkelanjutan dalam suatu kurun waktu tertentu. Misalnya data tentang produksi dari tahun ke tahun, nilai ekspor suatu jenis barang dari tahun ke tahun dan sebagainya.

Contoh Data curah hujan di Kota Bandung pada tahun 2008 sebagai berikut :

No Bulan Curah Hujan 1 Januari 290 2 Februari 580 3 Maret 230 4 April 320320 5 Mei 100 6 Juni 50 7 Juli 90 8 Agustus 110 9 September 170

10 Oktober 290 11 Nove,ber 310 12 Desember 220

Jumlah 2.760 Sumber : Kantor BMG Stasiun Bandung

Tingkat Pendidikan Jumlah Siswa

TK 4.000 SD 3.000 SLTP 2.500 SLTA 3.500

Tingkat Pendidikan Lambang Jumlah

TK

4.000 SD

3.000 SLTP

2.500 SLTA

3.500

of 64



Data diatas jika disajikan dalam diagram garis adalah

e. Diagram Lingkaran Diagram lingkaran digunakan untuk menyajikan data yang menunjukkan perbandingan. Diagram lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran besar sudut juring lingkaran sebanding dengan nilai data yang disajikan.

Contoh : Pekerjaan dari 300 penduduk Desa Makmur pada tahun 2009 ditunjukkan dala tabel berikut :

Pekerjaan Frekwensi Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

290

580

320

100

5090

110

170

290310

220230

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

Januar

i

Febr

uar

i

Mar

et

April Mei

Juni

Juli

Agust

us

Sept

embe

r

Okt

ober

Nov

e,be

r

Des

embe

r

of 64



Karyawan

10%

Pedagang40%

Peternak 3%

Guru17%

Petani30%

Untuk dapat menyajikan data tersebut ke dalam diagram lingkaran maka kita harus mencari besar sudut juring dan persentase dari masing-masing jenis pekerjaan , caranya sebagai berikut.

Pekerjaan Frekwensi Besar sudut pusat juribng Presentase

Petani 90 oo 108360

30090

= %30%10030090

=

Peternak 10 oo 12360

30010

= %33,3%10030010

=

Pedagang 120 oo 144360

300120

= %40%100300120

=

Guru 50 oo 60360

30050

= %67,16%10030050

=

Karyawan 30 oo 36360

30030

= %10%10030030

=

Jumlah 300

Diagaramnya adalah sebagai berikut

of 64



2. Menyajikan data berkelompok 2. 1 Tabel Distribusi Frekuensi

Untuk data yang berukuran besar (lebih dari 30 datum) maka lebih mudah jika kita sajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel frekuensi adalah tabel yang menunjukkan atau memuat banyaknya kejadian atau frekuensi dari suatu kejadian. Tabel distribusi frekuensi adalah statistika untuk menyusun data dengan cara membagi nilai observasi ke dalam kelas-kelas dengan interval tertentu.

a. Langkah-langkah menyusun tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut: 1. Tentukan daerah jangkauan (range) = R

2. Tentukan banyaknya kelas / kelompok dengan menggunakan aturan Sturgess yaitu :

3. Tentukan Interval Kelas

4. Tentukan batas kelas yaitu batas atas dan batas bawah

5. Tentukan Tepi kelas

R = datum terbesar datum terkecil

k = 1 + 3,3 log n , dimana n adalah banyaknya datum

kRI =

Tepi atas Kelas = Batas atas kelas + 0,5 Tepi bawah Kelas = Batas bawah kelas - 0,5

of 64



Contoh Berikut ini merupakan nilai ulangan matematika dari 80 orang siswa SMA Harapan Jaya Samarinda : 75 84 68 82 68 90 62 88 93 76 88 79 73 73 61 62 71 59 75 85 75 65 62 87 74 93 95 78 72 63 82 78 66 75 94 77 63 74 60 68 89 78 96 97 78 85 60 74 65 71 67 62 79 97 78 85 76 65 65 71 73 80 65 57 88 78 62 76 74 53 73 67 86 81 72 65 76 75 77 85

Data di atas dapat kita sajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi Langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi adalah : 1. Tentukan daerah jangkauan (range) = R

Datum terbesar = 97 Datum terkecil = 53 Sehingga R = datum terbesar datum terkecil = 97 53 = 44

2. Tentukan banyaknya kelas/kelompok dengan menggunakan aturan Sturgess yaitu :

k = 1 + 3,3 log n k = 1 + 3,3 log 80 k = 1 + 3,3 (1,9031) (diambil dari kalkulator/table logaritma) k = 1 + 6,3 = 7,3 k 7

2. Tentukan Interval Kelas

3,6744

=

=

=

I

I

kRI

diambil 7; karena jika diambil 6, ada data yang tidak masuk

of 64



3. Tentukan batas kelas yaitu batas atas dan batas bawah Batas bawah kelas = 52 Batas atas kelas = 58

Sehingga tabelnya adalah sebagai berikut

Kelas Turus Frekuensi Batas bawah Batas atas

Tepi bawah kelas

Tepi atas kelas

52 58 2 52 58 51,5 58,5 59 65 17 59 65 58,5 65,5 66 72 11 66 72 65,5 72,5 73 79 27 73 79 72,5 79,5 80 - 86 10 80 86 79,5 86,5 87 93 8 87 93 86,5 93,5

94 100 5 94 100 93,5 100,5 Jumlah 80

b. Frekuensi kumulatif Distribusi frekuensi kumulatif adalah sebuah distribusi yang menyatakan

frekuensi total yang ada di bawah batas bawah tau frekuensi total yang ada di atas batas bawah suatu kelas.

Distribusi kumulatif yang ada di bawah batas bawah disebut frekuensi kumulatif kurang dari dan yang ada di atas atau sama dengan batas bawah disebut frekuensi kumulatif lebih dari atau sama dengan.

b. Frekuensi Relatif Frekuensi relatif adalah perbandingan antara frekuensi masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi seluruhnya yang dinyatakan dalam persen.

2.2 Data dalam bentuk Diagram dan Grafik Maksud dan tujuan menyajikan data statistik dalam bentuk diagram

maupun grafik adalah agar mudah memberikan informasi secara visual. Penyajian data dalam bentuk diagram atau grafik sangat efektif untuk menyebarkan informasi baik melalui surat kabar, majalah maupun laporan-laporan statistik.

of 64



1. Histogram Histogram merupakan diagram frekuensi bertangga yang bentuknya batang-batang berimpit. Untuk buat histogram yang diperhatikan adalah tepi kelas.

Contoh : Data nilai ulangan matematika dari 80 orang siswa SMA Harapan Jaya Samarinda yang telah kita buat tabel frekuensi diatas kita sajikan dalam jistogram.

Kelas Frekuensi Tepi

bawah kelas

Tepi atas kelas

52 58 2 51,5 58,5 59 65 17 58,5 65,5 66 72 11 65,5 72,5 73 79 27 72,5 79,5 80 - 86 10 79,5 86,5 87 93 8 86,5 93,5

94 100 5 93,5 100,5 Jumlah 80

2. Poligon

Dari histogram jika titik-titik tengah pada batang dihubungkan dengan garis maka garis tersebut disebut poligon.

0

5

10

15

20

25

30

151,5 58,5 65,5 72,5 79,5 86,5 93,5 100,5

of 64



Contoh

Data nilai ulangan matematika dari 80 orang siswa SMA Harapan Jaya Samarinda yang telah kita buat tabel frekuensi diatas kita sajikan dalam jistogram.


bawah kelas

Tepi atas kelas

Nilai tengah

52 58 2 51,5 58,5 552

5852=

+

59 65 17 58,5 65,5 622

6559=

+

66 72 11 65,5 72,5 692

7266=

+

73 79 27 72,5 79,5 762

7973=

+

80 - 86 10 79,5 86,5 832

8680=

+

87 93 8 86,5 93,5 902

9387=

+

94 100 5 93,5 100,5 97210094

=

+

Jumlah 80

0

5

10

15

20

25

30

155 62 69 76 83 90 97

of 64



3. Ogive Jika garis diagram poligon frekuensi kumulatif dijadikan kurva mulus maka

kurva tersebut disebut ogif. Ada 2 macam ogif yaitu :

Ogif positif, yang diperoleh dari poligon frekuensi kumulatif kurang dari

Ogif negatif, yang diperoleh dari poligon frekuensi kumulatif lebih dari Frekuensi kumulatif kurang dari (fkk) dari menyatakan jumlah frekuensi semua nilai data yang kurang dari atau sama dengan nilai pada tiap kelas.

Frekuensi kumulatif lebih dari (fkl) menyatakan jumlah frekuensi semua nilai data yang lebih dari atau sama dengan nilai tiap kelas.

Contoh :


bawah kelas

Tepi atas kelas

Fkum kurang dari TA

Fkum lebih

dari TB 52 58 2 51,5 58,5 2 80 59 65 17 58,5 65,5 19 78 66 72 11 65,5 72,5 30 61 73 79 27 72,5 79,5 57 50 80 - 86 10 79,5 86,5 67 23 87 93 8 86,5 93,5 75 13

94 100 5 93,5 100,5 80 5 Jumlah 80

Ogive Kurang Dari/Ogiv Positif

0102030405060708090

51,5 58,5 65,5 72,5 79,5 86,5 93,5 100,5

of 64



Setrika10%

Televisi20%Lemari Es

15%

Dispenser25%

Kipas angin12%

Kompor gas18%

F. TUGAS

1. Hasil Penjualan berbagai alat elektronik di toko Sinar disajikan dalam diagram berikut :

Jika diketahui banyaknya kipas angin yang terjual ada 24 buah tentukan : a. banyaknya dispenser yang terjual b. banyaknya kompor gas yang terjual

2. Data berikut adalah data tinggi badan dari 40 siswa SMA Harapan Bangsa Samarinda,

siukur sampai sentimeter terdekat. 168, 165, 176, 159, 163, 175, 158, 170, 170, 155, 156, 169, 170, 160, 160, 164, 153, 154, 150, 158, 147, 151, 150, 167, 168, 160, 150, 148, 161, 174, 176, 163, 149, 166, 175, 158, 166, 164, 167, 159 Sajikan data diatas dalam bentuk

Ogive Lebih Dari/ogive Negatif

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

51,5 58,5 65,5 72,5 79,5 86,5 93,5 100,5

of 64



a. Tabel distribusi frekuensi data kelompok b. Histogram c. Ogive Positif





of 64





B. KOMPETENSI DASAR Menentukan ukuran Pemusatan Data

C. INDIKATOR PENCAPAIAN 1. Manpu menentukan ukuran pemusatan data tunggal (mean, median dan modus) 2. Manpu menentukan ukuran pemusatan data kelompok (mean, median dan modus)

D. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah pembelajaran ini siswa dapat : 1. Menghitung nilai mean data tunggal 2. Menghitung rata-rata gabungan

3. Menghitung nilai mean data berkelompok dengan menggunakan rumus 4. Menghitung nilai mean data berkelompok dengan menggunakan rata-rata sementara

5. Menghitung nuilai median data tunggal 6. Menghitung nilai median data berkelompok dengan menggunakan rumus 7. Menghitung nilai modus data tunggal 8. Menghitung nilai modus data berkelompok dengan menggunakan rumus

9. Menghitung nilai modus data berkelompok dengan menggunakan histogram 10. Menghitung nilai modus data berkelompok dengan menggunakan ogive

of 64



E. URAIAN MATERI

Ukuran Pemusatan Data Ukuran pemusatan data menggambarkan tempat dimana data cenderung berkumpul. Ada

3 ukuran pemusatan data yang biasa digunakan yaitu rata-rata hitung (mean), median dan modus.

A. Data Tunggal

1. Rata-rata Hitung (mean) Mean ( x ) adalah nilai rata-rata dari data. Mean paling sering dijadikan ukuran pusat data kuantitatif. Mean data tunggal merupakan jumlah nilai semua data dibagi dengan ukuran data tersebut. Misalkan kita memiliki data berukuran n dengan nilai-nilai x1, x2, ..., xn maka :

( )nn xxxnn

xxxx +++=

+++= ......

1....21

21

sehingga,

Jika data dalam bentuk tabel distribusi data tunggal berbobot maka rata-ratanya adalah adalah :

n

x

x

n

ii

=

=1

n

fxx

k

ii

=

=1

.

of 64



Contoh 1. Rata-rata dari data 7, 6, 4, 5, 3, 8 9 adalah

Penyelesaian

6742

79835467

=

=

++++++=x

2. Jika data umur (dalam bulan) dari 10 kelinci disajikan dalam tabel di bawah, maka rata-rata umur kelinci adalah:

Umur (bulan) Frekuensi

3 2 5 3 8 1 9 1

11 2 13 1

Total 10

Penyelesaian

3,71073

10)1.132.111.91.83.52.3(

==+++++

=x

3. Rata-rata dari 4 buah data adalah 5, jika data ditambah satu lagi maka rata-ratanya menjadi 5,5. Maka besar data penambah adalah

Penyelesaian Misalkan ke 4 data adalah a, b, c, d Data penambah adalah x Sehingga :

of 64



5,7205,27205,27

55,5

5

204

5

4

=

=

+=

++++=

++++=

+++=

+++=

+++=

x

x

x

xdcba

xdcbax

dcba

dcba

dcbax

4. Nilai rata-rata ujian sekelompok siswa sebanyak 40 orang adalah 51. Jika seorang siswa dari kelompok itu yang mendapat nilai 90 tidak dimasukan dalam perhitungan rata-rata tersebut, maka nilai rata-rata ujian akan menjadi Penyelesaian

204040

51

=

=

=

x

x

n

xx

jika seorang siswa yang mendapat nilai 90 tidak dimasukkan maka perhitungannya menjadi

5039

195039

902040190

=

=

=

=

n

xx

of 64



2. Median Median (Me) adalah nilai yang membagi data terurut menjadi dua bagaian yang sama banyak. Median untuk data berukuran n dapat ditentukan dengan aturan sebagai berikut:

Urutkan data dari datum terkecil sampai datum terbesar atau sebaliknya

Jika jumlah datum ganjil, median adalah nilai dari datum ke 2

1+n

Jika jumlah datum genap, maka median adalah nilai dari

2

122

++

nkedatumnkedatum

Contoh 1. Perhatikan data terurut berikut. Carilah mediannya.

a. 11 13 13 14 15 16 19 20 20 b. 5 10 10 12 16 20 25 25 27 28

Penyelesaian

a. 11 13 13 14 15 16 19 20 20

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

n = 9 (ganjil) maka mediannya adalah

Me = datum ke

+

219

= datum ke 5 = x5 = 15

b. 5 10 10 12 16 20 25 25 27 28

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10

n = 10 (genap) maka nilai mediannya

of 64



182

20162

65

12

102

1021

=

+=

+=

++

=

Me

Me

kedatumkedatumMe

kedatumkedatumMe

2. Diketahui data terdiri dari 3 pengamatan mempunyai rata-rata 15, median 15 dan jangkauan 10. Pengamatan yang terbesar adalah . Penyelesaian

Dimisalkan ke 3 data tersebut setelah diurutkan adalah a, b, c karena diketahui mediannya 15 maka nilai b = 15

jangkauan nya 10 berarti c a = 10 c = 10 + a sehingga

201010

10202

25245101545

315

3

=

+=

=

=

+=

+++=

++=

++=

c

c

makaa

a

a

aa

cba

cbax

Jadi ketiga data tersebut adalah 10, 15, 20

3. Median data di bawah adalah

Nilai 6 7 8 9

Frekuensi 7 13 15 5

of 64



Penyelesaian Dari tabel diketahui jumlah data adalah 7 + 13 + 15 + 5 = 40 Ternyata data genap, maka mediannya adalah

2

2

12

402

40

2120 xxMe

kedatumkedatumMe

+=

++

=

Jadi mediannya terletak diantara datum ke-20 dan ke 21 Datum ke 20 adalah 7 dan datum ke 21 adalah 8, sehingga Me adalah

5,72

152

87

=

=

+=

Me

Me

Me

3. Modus Pada sebuah kelompok data, modus (Mo) adalah nilai yang paling sering muncul

yaitu nilai-nilai yang memiliki frekuensi paling tinggi. Dalam satu kelompok data, modus tidak mungkin tunggal, pada kasus lain ada juga kelompok data yang tidak memiliki modus karena tiap datum memiliki frekuensi yang sama.

Contoh Modus dari data 7, 8, 3, 5, 7, 4, 6, 7, 3, 6, 3, 7, 8. adalah Penyelesaian Datum 3 sebanyak 3 kali Datum 4 sebanyak 1 kali

Datum 5 sebanyak 1 kali Datum 6 sebanyak 2 kali Datum 7 sebanyak 4 kali

Datum 8 sebanyak 2 kali

Sehingga modus data di atas adalah 7

of 64



B. Data Kelompok

1. Mean/Rata-rata. Jika kita hanya mempunyai data berkelompok tanpa mengetahui detail setiap data

dalam kelompok tersebut, maka mean ditentukan dari nilai titik tengah kelompok-

kelompok tersebut.

Rataan ( x ) data berkelompok dihitung sebagai berikut :

=

=

= k

i

k

ii

f

fxx

11

11.

dengan xi adalah titik tengah kelas ke-i

selain cara diatas untuk menghitung rata-rata suatu databis menggunakan rumus rata-

rata sementara yakni :

=

=+=n

ii

n

iii

s

f

dfxx

1

1.

Dimana :

sx = rata-rata sementara biasanya diambil pada nilai tengah pada kelas

dengan frekuensi tertinggi.

di = simpangan (deviasi) yakni nilai tengah tiap-tiap kelas dikurang rata-rata sementara ( ( )si xx

Contoh Tentukan rata-rata hitung dari data berikut :

Nilai Frekuensi 1 - 50 4 51 100 7 101 150 10 151 200 16 201 250 30 251 300 13

of 64



Penyelesaian

Dari tabel diketahui

= 80if

= 15040. ii fx Maka rata-ratanya adalah

18880

15040

.

=

=

=

x

x

x

fxx

i

ii

Selain cara di atas rata-rata juga bisa kita tentukan dengan menggunakan rata-rata sementara yaitu :

Nilai Frekuensi xi xi.fi

1 - 50 4 50,252501

=

+ 102

51 100 7 50,75210051

=

+ 528,50

101 150 10 50,1252

150101=

+ 1255

151 200 16 50,1752

200151=

+ 2808

201 250 30 50,2252

250201=

+ 6765

251 300 13 50,2752

300251=

+ 3581,5

80 15040

of 64



Jika rata-rata sementara diambil 225,5

Maka :

1885,375,225

8030005,225

=

=

+=

x

x

x

2. Median Data kelompok biasanya tersaji dalam bentuk daftar distribusi. Median untuk data berkelompok ditentukan oleh rumus berikut ini :

+=Me

kum

ffn

itbMe 2

Dimana :

tb = tepi bawah kelas median

kelas median 2n

n = frekuensi/banyaknya data i = interval kelas fkum = frekuensi kumulatif sebelum kelas median fMe = frekuensi pada kelas median

Nilai Frekuensi xi di fi.di

1 - 50 4 50,252501

=

+ 25,5 - 225,5 = - 200 - 800

51 100 7 50,75210051

=

+ 75,5 225, 5 = - 150 - 1050

101 150 10 50,1252

150101=

+ - 100 - 1000

151 200 16 50,1752

200151=

+ - 50 - 800

201 250 30 50,2252

250201=

+ 0 0

251 300 13 50,2752

300251=

+ 50 650

80 - 3000

of 64



Contoh Tentukan median dari data yang dinyatakan dalam daftar distribusi frekuensi berikut.

Berat Badan (kg) Frekuensi 40 49 5

50 59 14

60 69 16

70 79 12

80 89 3

Penyelesaian Dari tabel dia atas diketahui

n = 50

Berarti median terletak antara datum ke 252

50= dan datum ke 261

250

=+ . Kedua

datum terletak di kelas 60 69

tepi bawah kelas median adalah 60 0,5 = 59,5

fkum = 5 + 14 =19 fMe = 16 i = 50 40 = 10 maka :

( )

25,6375,35,59

375,0105,59166105,59

16

192

50

105,59

2

=

+=

+=

+=

+=

+=Me

kum

ffn

itbMe

Jadi median adalah 63,25

of 64



3. Modus Pada kasus distribusi frekuensi berkelompok, kelas yang paling tinggi frekuensinya disebut kelas modus. Nilai modus dapat ditentukan sesuai dengan rumus berikut :

++=

21

1

ddditbMo

Dimana :

tb = tepi bawah kelas modus

d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

i = panjang kelas

Contoh 1. Tentukan modus dari data yang dinyatakan dalam daftar distribusi frekuensi

berikut :

Berat Badan (kg) Frekuensi

40 49 5 50 59 14 60 69 16 70 79 12 80 89 3

Penyelesaian Diketahui :

Kelas modusterletak pada kelas ke 3

tb =59,5

d1 = 16 14 = 2

d2 = 16 12 = 4

i = 50 40 = 10 maka :

of 64



( )

83,6233,35,59

333,0105,5931105,59

422105,59

21

1

=

+=

+=

+=

++=

++=

ddditbMo

Jadi modusnya 62,83

2. Tentukanlah modus dari data yang dinyatakan dengan histogram seperti berikut ini

Penyelesaian Berdasarkan histogram diketahui Kelas modus terletak pada kelas 49,5 54,5 Tepi bawah kelas 49,5 Panjang kelas 54,5 49,5 = 5 d1= 18 14 = 4 d2= 18 10 = 8

Sehingga :

39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5

18

16

14

12

10 8

6

4

2

of 64



4038

34

27

16

8

4

10

5

10

15

20

25

30

35

40

45

25,5 30,5 35,5 40,5 45,5 50,5 55,5 60,5 65,5 70,5

16,5166,15,49

)333,0(55,4984

455,49

=

+=

+=

++=Mo

Jadi modusnya adalah 51,16

3. Tentukan mean, median dan modus dari ogive di bawah

Penyelesaian Data dari ogif negative kita sajikan dalam table berikut

Nilai Frekuensi xi xifi 31 35 36 40 41 45 46 50 51 55 56 60 61 65 66 - 70

2 4 7 11 8 4 3 1

33 38 43 48 53 58 63 68

66 152 301 528 424 232 189 68

Jumlah 40 404 1960

of 64



Mean

4940

1960

=

=

x

x

Median

68,4818,35,4511755,45

11132055,45

2

=

+=

+=

+=

+=Me

kum

ffn

itbMe

Modus

36,4886,25,45

)571,0(55,4534

455,45

=

+=

+=

++=Mo

F. TUGAS

1. Data berikut menunjukkan hasil 20 pertandingan hoki dari suatu tim. Banyak gol 1 2 3 4

Jumlah pertandingan 10 7 2 1

Tentukan rata-rata banyak gol di setiap pertandingan!

2. Sebuah uji coba dilakukan untuk menyelidiki lamanya waktu yang digunakan untuk menyelesaikan suatu tugas yang sederhana. Rata-rata lamanya waktu yang dilakukan oleh sukarelawan laki-laki adalah 16,5 menit dan sukarelawan perempuan adalah 21,3

of 64



menit. Tentukan rata-rata lamanya waktu (dalam detik) yang dilakukan oleh seluruh sukarelawan tersebut!

3. Hitunglah mean dari data berikut ini ! a. 5, 5, 4, 5, 6, 7, 6, 8, 9 b. 12, 13, 14, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 18

4. Hitunglah mean dari data berikut ini :

Nilai 3 4 5 6 7

Frekuensi 2 3 5 4 1

5. Hitunglah mean dari data berikut ini !

Nilai Frekuensi 50 52 5 53 55 18 56 58 42 59 61 27 62 64 8

6. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 38 siswa adalah 64,5. Ternyata dua siswa ikut ulangan susulan. Setelah nilai kedua siswa itu digabung, rata-ratanya menjadi 65,1. Jika siswa pertama mendapat nilai 69, tentukan nilai yang diperoleh siswa kedua!

7. Tentukanlah median dari data berikut ini : 6, 8, 5, 2, 6, 4, 6, 7, 3, 5 8. Tentukan median dari data nilai ulangan bahasa Inggris sejumlah siswa berikut :

Nilai Frekuensi 21 25 3 26 30 7 31 35 8 36 40 12 41 45 6 46 50 4

9. Perhatikan nilai ujian yang dinyatakan pada tabel berikut ini:

of 64



4

10

18

34

44

4850

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

49,5 54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5

Nilai 56 59 60 63 67 71 86 91

Frekuensi 2 3 8 10 9 5 2 1

Seorang siswa dinyatakan lulus ujian jika nilai ujiannya lebih tinggi dari rata-rata nilai ujian tersebut. Tentukan banyaknya siswa yang lulus

10. Tentukan modus dari berikut berikut ini :

11. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 20 siswa adalah 7,2. Jika nilai matematika

Anggi ditambahkan maka rata-ratanya menjadi 7,3. Berapakah nilai Anggi 12. Kelas X- A siswanya berjumlah 40 orang, mempunyai nilai rata-rata 63,15. Kelas

X- B siswanya berjumlah 38 orang, mempunyai nilai rata-rata 68,62. Kelas X- C siswanya berjumlah 39 orang, mempunyai nilai rata-rata 65,23. Tentukan nilai rata-rata dari seluruh siswa tersebut

13. Rata-rata data di bawah adalah 6 maka nilai x

Nilai 4 5 6 7 8 9

Frekuensi 5 x 12 8 3 2

14. Empat kelompok siswa yang masing-masing terdiri atas 5, 8, 10, dan 17 orang menyumbang korban bencana alam. Rataan hitung sumbangan masing-masing kelompok adalah Rp4.000,00; Rp2.500,00; Rp2.000,00; dan Rp1.000,00. Tentukan rataan hitung sumbangan setiap siswa seluruh kelompok tersebut.

of 64



15. Perhatikan histogram di bawah

Dari data di atas tentukan a. Mean

b. Median c. Modus





13

11

21

43

32

9

0

2

46

8

10

1214

1618

20

22

24

262830

32

34

36

38

4042

44

46

129,5 39,5 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5

of 64





B. KOMPETENSI DASAR Menentukan ukuran penyebaran data

C. INDIKATOR PENCAPAIAN 1. Menentukan ukuran letak data tunggal (Kuartil, Desil, dan Persentil) 2. Menentukan ukuran letak data berkelompok (Kuartil, Desil, dan Persentil) 3. Menentukan ukuran penyebaran data tunggal

4. Menentukan ukuran penyebaran data berkelompok

D. TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Siswa mampu menentukan jangkauan data tunggal 2. Siswa mampu menentukan jangkauan data kelompok 3. Siswa mampu menghitung simpangan rata-rata data tunggal 4. Siswa mampu menghitung simpangan rata-rata data kelompok 5. Siswa mampu menghitung simpangan baku data tunggal 6. Siswa mampu menghitung simpangan baku data kelompok 7. Siswa mampu menghitung kuartil data tunggal 8. Siswa mampu menghitung kuartil data kelompok

9. Siswa mampu membedakan nilai kuartil suatu data 10. Siswa mampu menentukan desil data tunggal 11. Siswa mampu menentukan desil dari data kelompok 12. Siswa mampu menentukan jangkauan desil suatu data 13. Siswa mampu menentukan persentil data tunggal 14. Siswa mampu menghitung persentil data kelompok

15. Siswa mampu menentukan jangkauan persentil suatu data 16. Siswa mampu menentukan nilai angka baku suatu data 17. Siswa mampu menentukan nilai koefisien variasi suatu data 18. Siswa mampu menentukan nilai kemiringan suatu data

of 64



E. URAIAN MATERI

Ukuran Letak Dan Penyebaran Data A. UKURAN LETAK DATA

Data Tunggal

1. Kuartil Kuartil adalah membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang

sama banyak pada data dengan banyaknya data 4n . Kuartil dibagi menjadi 3 yakni : a. Kuartil pertama/bawah (Q1)

Kuartil bawah (Q1) adalah membagi 41

bagian, untuk menentukan Q1 adalah

( )4

11

+=

nkeDatumQbawahKuartilLetak

b. Kuartil kedua/tengah (Q2)

Kuartil tengah membagi data terurut menjadi 42

atau 21

bagian, cara menentukan

adalah

( )( )

++

+

genapnjikankeDatumnkedatum

ganjilnjikankeDatumQtengahKuartil

,

4

122

2

,

412

2

c. Kuartil ketiga/atas (Q3)

kuartil atas membagi data terurut menjadi 43

bagian, cara menentukan :

( ) ( )4

133

+=

nkedatumQatasKuartil

Langkah- langkah menentukan kuartil ke-i atau Qi terutama jika datanya genap adalah :

Hitunglah ( )4

1+ni

Jika ( ) rni =+4

1, dimana r adalah bilangan bulat maka ( )ri xrkedatumQ =

of 64



Jika ( ) rni =+4

1, dimana r bukan bilabgan bulat, dan Qi terletak pada datum ke r dan

r + 1 maka :

( ) ( )rkedatumrkedatumrnirkedatumQi +

++= 1

41

Contoh 1. Tentukan kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2) dan kuartil atas (Q3) dari data

3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12

Penyelesaian Kuartil bawah (Q1)

Q1 pada datum ke 75,34114

=

+

( )( )

4)0)(75,0(4

)44)(75,0(434375,331

=

+=

+=

+= kedatumkedatumkedatumQ

Jadi kuartil bawah (Q1) adalah 4 Kuartil tengah (Q2)

Q2 terletak pada datum ke

++ 1

214

214

Q2 terletak diantara datum ke 7 dan 8, sehingga

72

772

=

+=Q

Jadi kuartil tengahnya Q2 adalah 7 Kuartil Atas (Q3)

Q3 terletak pada datum ke ( ) 25,1141143

=

+

of 64



( )( )

25,8)1)(25,0(8

)89)(25,0(811121125,11113

=

+=

+=

+= kedatumkedatumkedatumQ

Jadi kuartil atasnya (Q3) adalah 8,25

2. Tentukan Q1, Q2 dan Q3 dari 3, 4, 5, 6, 8, 8, 9

Penyelesaian Kuartil bawah

Q1 terletak pada datum 2417

=

+

Jadi kuartil bawahnya (Q1) adalah 4 Kuartil tengah

Q2 terletak pada datum 4217

=

+

Jadi kuartil bawahnya (Q2) adalah 6 Kuartil atas

Q3 terletak pada datum ( ) 64173

=

+

Jadi kuartil bawahnya (Q3) adalah 8

2. Desil Desil adalah datum yang membagi data terurut menjadi sepuluh bagian. Untuk

membagi data menjadi 10 bagian sama besar diperlukan sembilan sekat. Misalkan x1, x2, ..., xn adalah data berukuran n yang telah diurutkan dengan Di adalah hasil yang

dicari, dengan i = 1, 2, ..., 9. Desil dirumuskan dengan

( )

dataukuranni

nikeDatumDi

=

=

+=

9...,,3,2,110

1

Langkah- langkah menentukan desil ke-i atau Di adalah :

of 64



Hitunglah ( )10

1+ni

Jika ( ) rni =+10

1, dimana r adalah bilangan bulat maka ( )ri xrkedatumD =

Jika ( ) rni =+10

1, dimana r bukan bilabgan bulat, dan Di terletak pada datum ke r dan

r + 1 maka :

( ) ( )rkedatumrkedatumrnirkedatumDi +

++= 1

101

3. Persentil Persentil adalah datum yang membagi data terurut menjadi seratus bagian. Untuk

data dengan banyaknya data 100n maka ada 99 persentil. Persentil biasanya dilambangkan dengan P. Untuk membagi data menjadi seratus bagian yang sama besar diperlukan sembilan puluh sembilan sekat. Untuk menentukan persentil maka urutkan data dari yang terkecil sampai yang terbesar. Persentil di rumuskan :

( )

dataukuranni

nikeDatumPi

=

=

+=

99...,,3,2,1100

1

Langkah menentukan persentil sama dengan menentukan letak kuartil dan desil

Contoh : Tentukan D1, D9, P10 dan P70 dari data 7 5 6 5 3 6 4 8 2 6 8 7 Penyelesaian Data di urutkan 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8 Desil ke-1 (D1)

( )

3,11013

101121

1

kedatum

kedatum

kedatumD

=

=

+=

Datum ke 1, 3 terletak antara datum ke 1 dan datum ke 2, dan r = 1 sehingga

of 64



( )( )

3,2)1(3,02

2313,12

1

1

1

=

+=

+=

DDD

Jadi desil ke-1 (D1) adalah 2,3 Desil ke-9 (D9)

( )

7,1110

11710

11299

kedatum

kedatum

kedatumD

=

=

+=

Datum ke 11,7 terletak antara datum ke 11 dan datum ke 12, dan r = 11 sehingga

( )( )

8)0(7,08

88117,118

9

9

9

=

+=

+=

DDD

Jadi desil ke-9 (D9) adalah 8 Persentil ke-10 (P10)

( )

3,1100130100

1121010

kedatum

kedatum

kedatumP

=

=

+=


( )( )

3,2)1(3,02

2313,12

10

10

10

=

+=

+=

PPP

Persentil ke-70 (P70) ( )

1,9100910

10011270

70

kedatum

kedatum

kedatumP

=

=

+=


of 64



( )( )

7)0(1,07

7791,97

70

70

70

=

+=

+=

PPP

DATA BERKELOMPOK 1. Kuartil

Menentukan kuartil pada data kelompok sama seperti menentukan median pada data

kelompok. Kuartil pada data kelompok di rumuskan

+=Qi

kum

i ffni

ptbQ 4

2. Desil Desil untuk data kelompok dapat dicari dengan rumus berikut :

+=iQ

kum

i ffni

ptbD 10

3. Persentil Persentil dirumuskan :

+=iP

kum

i ffni

ptbP 100

Contoh : Berat badan dari 50 siswa ditunjukkan pada tabel di bawah

Berat Badan (kg) Frekuensi 40 49 5 50 59 14 60 69 16 70 79 12 80 89 3

of 64



Dari data di atas tentukan : a. Kuartil atas dan bawah b. Desil ke- 6 (D6 ) c. Persentil ke-20 (P20)

Penyelesaian a. Kuartil

Kelas Q1 adalah 5,12450

= maka Q1 terletak pada datum ke 12 dan datum ke

14 maka terletak pada kelas 50 59 sehingga

( )

9,544,55,49

54,0105,4914

55,12105,491

=

+=

+=

+=Q

Jadi kuartil bawahnya adalah 54,9

Kelas Q3 adalah ( ) 5,374503

= maka Q3 terletak pada datum ke 37 dan datum

ke 38 maka terletak pada kelas 70 79 sehingga

( )

3,718,15,69

18,0105,6912

355,37105,693

=

+=

+=

+=Q

Jadi kuartil atasnya adalah 71,3

b. Desil ke- 6

Kelas D6 adalah ( ) 3010506

= maka D6 terletak pada datum ke 30 terletak pada

kelas 60 69 sehingga

of 64



( )

38,6688,65,59

688,0105,5916

1930105,596

=

+=

+=

+=D

Jadi desil ke-6 adalah 66,38

c. Persentil ke-20

Kelas P20 adalah ( ) 10

1005020

= maka P20 terletak pada datum ke 10 terletak pada

kelas 50 59 sehingga

( )

07,5357,35,49

357,0105,4914

510105,4920

=

+=

+=

+=P

Jadi persentil ke- 20 adalah 53,07

B. UKURAN PENYEBARAN DATA Data Tunggal

1. Jangkauan Jangkauan = J = Nilai datum terbesar nilai datum terkecil

2. Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata menyatakan ukuran berapa jauh penyebaran nilai-nilai data terhadap nilai rataan. Simpangan rata-rata (SR) dirumuskan

n

xx

SR

n

ii

=

=1

Dimana : n = ukuran data/banyaknya data x = rata-rata xi = datum ke i

of 64



3. Ragam

( )n

xx

S

n

ii

=

=1

2

2

4. Simpangan Baku

( )n

xx

SS

n

ii

=

==1

2

2

Contoh : Nilai ulangan susulan matematika adalah 5, 7, 10, 9, 7, 8, 8, 6, 8, maka tentukan a. Jangkauan b. Simpangan rata-rata c. Ragam d. Simpangan Baku

Penyelesaian

a. Jangkauan = minmax xx

5510

=

=

b. Simpangan rata-rata

6,7968

98688791075

1

=

=

++++++++=

=

=

x

n

xx

SR

n

ii

Sehingga simpangan rata-ratanya adalah

of 64



16,19

4,109

4,06,14,04,06,04,14,26,06,29

6,786,766,786,786,776,796,7106,776,75

=

=

++++++++=

++++++++=SR

c. Ragam

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

03,2924,18

916,036,06,016,036,096,176,536,076,6

94,06,14,04,06,04,14,26,06,2

96,786,766,786,786,776,796,7106,776,75

222222222

222222222

1

2

2

=

=

++++++++=

++++++++=

++++++++=

=

=

n

xx

S

n

ii

d. Simpangan baku

42,103,2

2

=

= SS

5. Jangkauan Antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil atas dengan kuartil bawah

( ) 13 QQHilantarkuartJangkauan =

6. Simpangan Kuartil Simpangan kuartil atau rentang semi antarkuartil adalah setengah dari hamparan

( )22

13 QQHQd

==

of 64



7. Langkah Satu langkah (L) sama dengan satu setengah kali hamparan

( )13211

211 QQHL ==

8. Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama. Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga.

LQLuarPagarLQDalamPagar

+=

=

3

1

Contoh : Diketahui data terurut dari banyak novel yang dimiliki delapan siswa adalah sebagai berikut : 4, 6, 7, 7, 10, 12, 13, 18. Tentukan a. Jangkauan antarkuartil

b. Simpangan kuartil c. Langkah

d. Pagar luar dan pagar dalam

Penyelesaian a. Jangkauan antarkuartil

25,6)67)(225,2(6

25,24

18

,

41

1

1

1

=

+=

=

+=

+=

QQ

keDatum

keDatum

nkeDatumQ

of 64



75,12)1213)(675,6(12

75,64

274

)18(3

3

3

3

=

+=

=

=

+=

QQ

kedatum

kedatumQ

Sehingga jangkauan antarkuartil

5,625,675,12

13

=

=

= QQH

b. Simpangan kuartil

25,325,6

2

=

=

=

HQd

c. Langkah

( )75,9

5,62323

=

=

= HL

d. Pagar

5,375,925,6

1

=

=

= LQluarPagar

5,2275,975,12

3

=

+=

+= LQdalamPagar

of 64



Data Kelompok

1. Jangkauan Jangkauan = J = Nilai tengah kelas terakhir nilai tengah kelas pertama

2. Simpangan rata-rata

n

xxfSR

n

iii

=

=1

Dengan : n = ukuran data xi = nilai tengah kelas ke i fi = Frekuensi kelas ke i x = rata-rata

3. Ragam

( )n

xxfS

n

iii

=

=1

2

2

4. Simpangan Baku

( )n

xxfS

n

iii

=

=1

2

Contoh Soal Perhatikan data tinggi badan berikut :

Nilai Frekuensi 141 147 2 148 154 7 155 161 12 162 168 10 169 175 9 176 182 7 183 189 3

of 64



Dari data di atas tentukan : a. Jangkauan

b. simpangan rata-rata c. Ragam

d. Simpangan baku

Penyelesaian

16550

8250

=

=

=

i

ii

fxf

x

a. Jangkauan

J = 186 144 = 42

b. Simpangan rata-rata

96,850448

1

=

=

=

=

n

xxfSR

n

iii

Nilai Titik

Tengah (xi)

Frekuensi (fi) xi . fi xxi

xxf ii

( )2xxi

( )2xxf ii

141 147 144 2 288 -21 42 441 882 148 154 151 7 1.057 -14 98 196 1.372 155 161 158 12 1.896 -7 84 49 588 162 168 165 10 1.650 0 0 0 0 169 175 172 9 1.548 7 63 49 441 176 182 179 7 1.253 14 98 196 1.372 183 189 186 3 558 21 63 441 1.323

50 8250 448 1372 5978

of 64



c. Ragam

( )

56,11950

5978

1

2

2

=

=

=

=

n

xxfS

n

iii

d. Simpangan baku

9,1056,119

=

=S

Rataan Kuartil Rataan kuartil (RK) dirumuskan

( )2

31 QQRK+

=

Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan

( )4

2 321 QQQRt++

=

Angka Baku

Nilai standar atau angka baku (z-score) adalah suatu bilangan yang menunjukkan posisi suatu data terhadap rata-rata di dalam kelompoknya.

Angka baku digunakan untuk membandingkan posisi dua buah data atau lebih di dalam

kelompoknya masing-masing.

Angka baku dilambangkan dengan z-score yang dirumuskan sebagai berikut :

Sxx

z

=

of 64



Contoh Nilai ujian matematika Delon adalah 85, rata-rata nilai matematika di kelasnya adalah 76 dan simpangan baku 9. Sedangkan nilai ujian pelajaran Fisika adalah 90 dengan rata-rata kelas 80 dan simpangan bakunya 15. Dalam pelajaran manakah pelajaran Delon lebih baik?

Penyelesaian

Untuk pelajaran matematika : x = 85, 76=x dan S = 9 dan Untuk pelajaran Fisika : x = 90, 80=x dan S = 15

Sxx

z

=

Untuk nilai matematika

199

97685

=

=

=

m

m

m

z

z

z

Untuk nilai Fisika

67,01510

158090

=

=

=

F

F

F

z

z

z

Jadi kedudukan nilai matematika Delon lebih baik dari pada nilai Fisika-nya.

Koefisien Variasi Koefisien variasi adalah suatu bilangan yang menyatakan tingkat keragaman (variasi) data dalam suatu kelompok.

Jika koefisien variasi dari kelompok data semakin kecil menunjukkan data-data tersebut homogen

Jika koefisien variasi dari kelompok data semakin besar menunjukkan data-data tersebut semakin beragam (heterogen)

of 64



Koefisien variasi dari kelompok data dirumuskan sebagai berikut :

%100=x

SKV

Contoh Dari hasil tes matematika di suatu kelas diketahui bahwa : Pada sub kompetensi geometri : rata-ratanya 76 dengan simpangan baku 9 dan pada sub kompetensi statistika : rata-ratanya 80 dengan simpangan baku 15, maka pada sub kompetensi manakah yang bernilai lebih beragam?

Penyelesaian

Untuk geometri

%8,11

%100769

%100

=

=

=x

SKV

Untuk statistika

%75,18

%1008015

%100

=

=

=x

SKV

Jadi, nilai statistika lebih bervariasi dibandingan dengan geometri.

Ukuran Kemiringan Ukuran kemiringan disebut juga kecondongan. Ukuran kemiringan suatu distribusi frekuensi dapat menunjukkan apakah penyebaran data terhadap nilai rata-rata hitungnya bersifat simetris atau tidak. Ada 3 macam bentuk kurva berdasarkan kemiringannya :

1. Simetris yaitu nilai-nilai data tersebar secara merata di sebelah kiri dan sebelah kanan dari nilai rata-ratanya.

of 64



a) Bentuk simetris tidak mempunyai ukuran kemiringan atau ukuran kemiringannya sama dengan 0

b) Nilai mean = median = modus 2. Positif dengan kurva condong ke kanan

a) Ukuran kemiringannya bernilai positif b) Modus < median < mean

3. Negatif dengan kurva condong ke kiri a) Ukuran kemiringannya bernilai negatif b) Modus > median > mean

Koefisien Kemiringan Koefisien kemiringan selalu brnilai antara -1 dan 1. Kemiringan distribusi frekuensi dapat kita

tentukan dengan menghitung nilai koefisien kemiringannya. a. Koefisien kemiringan pertama dari Karl Pearson (KP1)

SMoxKP =1

b. Koefisien kemiringan kedua dari Karl Pearson (KP2)

( )S

MoxKP = 32

c. Koefisien kemiringan dari Al Bawley (KB)

13

123 2QQ

QQQKB

+=

d. Koefisien kemiringan dari Kelly (KY)

1090

101090 2PP

QPPKB

+=

Contoh Kuartil dari sekelompok data yaitu : Q1, Q2, Q3 berturut-turut adalah 30, 42, dan 50. Tentukan koefisien kemiringan kurva

of 64



Penyelesaian

( )

2,020

43050

3042250

2

13

123

=

=

+=

+= QQ

QQQKB

Karena KB = - 0,2 < 0 maka kurva condong ke kiri (kemiringan negatif)

Ukuran Keruncingan Ukuran keruncingan adalah suatu ukuran yang digunakan untuk menentukan runcing

atau tidaknya suatu kurva distribusi frekuensi sehingga dapat diketahui apakah kumpulan data

terkonsentrasi di sekitar mean atau menyebar. Ada tiga bentuk kurva distribusi frekuensi yaitu 1. Pliatikurtis yaitu kurva yang bentuknya agak mendatar atau lebih tumpul. Kurva ini

menunjukkan nilai data-datanya lebih menyebar 2. Mesokurtis yaitu kurva dengan keruncingan sedang dan simetris sehingga dianggap

menggambarkan distribusi normal 3. Leptokurtis yaitu kurva yang bentuknya sangat runcing. Kurva ini menunjukkan nilai

data-datanya terpusat atau terkonsentrasi di sekitar nilai rata-ratanya. Ukuran keruncingan disebut dengan koefisien kurtosis yaitu dengan rumus :

1090

13

1090 PPQQ

PPQd

=

=

F. TUGAS

1. Diketahui data sebagai berikut :

of 64



155 172 186 162 168 196 153 160 201 185 175 168 180 194 186 163 170 210 Tentukan :

a. Jangkauan

b. Kuartil bawah, kuartil tengah dan kartil atas c. Hamparan

d. Simpangan kuartil 2. Diketahui data sebagai berikut :

Dari data di atas tentrukanlah, Kuartil bawah, kuartil tengah dan kartil atas, hamparan serta Simpangan kuartil

3. Tentukan D9, D1, dan jangkauan desil dari data berikut ini : 6, 7, 8, 9, 8, 8, 9, 10, 12, 11, 11, 7, 7, 10, 12, 13

4. Tentukan desil ke 3 dari data berikut ini :

5. Tentukan P10, P50 dan P90 dari data berikut ini : 2, 4, 5, 2, 6, 5, 7, 8, 5, 9, 6, 4, 10, 9, 7

Nilai Frekuensi 41 50 19 51 60 11 61 70 18 71 80 22 81 90 20

91 100 10

Berat Frekuensi

51 55 4

56 60 16

61 65 15

66 70 35

71 75 22

76 - 80 8

of 64



6. Tentukan jangkauan persentil dari data berikut ini : Nilai Frekuensi

21 25 6 26 30 4 31 35 6 36 40 8 41 45 4 46 - 50 2

7. Berat badan Arif 85 kg. Jika berat rata-rata seluruh siswa dalam kelas 79 kg dan simpangan bakunya 0,05, maka berapakah angka baku untuk berat badan arif?

8. Mean dari sekelompok data adalah 75. Jika sebuah data yang besarnya 72 mempunyai angka baku -0,25, tentukan simpangan bakunya?

9. Diketahui data berikut ini : Data A : 16 35 48 57 66 70 79 Data B : 42 45 50 53 58 63 67 Data C : 13 40 54 60 65 75 78 Tentukan nilai koefisien variasi ketiga data, dan data manakah yang paling seragam?

10. Distribusi frekuensi dari nilai ulangan matematika kelas 3 mempunyai rata-rata = 75, modus = 67 dan simpangan standar = 12,5. Tentukanlah koefisien kemiringan kurva tersebut.

11. Tentukanlah simpangan rata-rata, ragam, simpangan baku, dan koefisien variasi dari

data berikut ini : 6 4 8 2 10 12. Tentukanlah simpangan kuartil, jangkauan desil dan P30 dari data berikut

4 5 4 5 3 4 6 7 4 8 13. Diketahui tabel berikut ini :

Nilai Frekuensi

11 15 1

16 20 4

21 25 8

26 30 10

31 35 9

of 64



Tentukanlah :

a. Simpangan baku b. Simpangan kuartil

c. Jangkauan persentil

14. Rata-rata tinggi badan siswa pria di kelas XI A adalah 163 cm dengan simpangan baku 6. Jika angka baku untuk tinggi Erwin adalah -0,5 maka tentukanlah tinggi badan Erwin.

15. Berikut adalah data berat badan 100 orang karyawan pabrik konveksi MAJU :

Berat badan (kg) Frekuensi 60 62 5

63 65 18

66 68 42

69 71 27

72 74 8

Total 100

Tentukanlah koefisien kemiringan dengan rumus kedua Karl Pearson (KP2)

G. ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR

Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala.



36 40 6

41 - 45 2

modul statistika

Documents