modul prak statistika

Politeknik Telkom Praktikum Statistika

HALAMAN PERTAMA

MODUL 1 i


HALAMAN PENGARANG DAN COPYRIGHT

Penulis:1. SRI SURYANI PRASETOWATI M.Si2. YULIANT SIBARONI S.Si, M.T

MODUL 1 ii


KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT, yang telah melimpahkan

nikmat-Nya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan

penulisan modul praktikum ini. Modul ini digunakan oleh

penulis sebagai penunjang mata kuliah Statistika di Politeknik

Telkom. Course ware ini ditujukan bagi mahasiswa program

studi diploma.

Course ware ini terdiri dari 7 modul yang secara umum

berisi dasar – dasar untuk melakukan pengolahan dan analisis

data statistik baik secara deskriptif maupun inferensial

dimana secara teori hal ini dipelajari pada mata kuliah

Statistika. .Semua materi tersebut merupakan bahan kuliah

yang sesuai dan kurikulum yang berlaku di Politeknik Telkom.

Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima

kasih yang tulus kepada berbagai pihak atas segala bantuan

dan dukungannya sehingga penulis dapat menyelesaikan

penulisan course ware ini. Akhirnya, penulis mohon maaf jika

dalam tulisan ini masih banyak kekurangan. Sumbangan ide,

saran, dan kritik yang membangun untuk perbaikan diktat ini

sangat penulis harapkan.

Bandung, Juli 2008

Penulis,

MODUL 1 iii


DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.............................................................iiiDAFTAR ISI............................................................................iv1 PENGENALAN MINITAB 15, DATA, DAN

TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL.........1-11.1 Menu-menu pada Minitab 15............................1-21.2. Mengenal Data.....................................................1-161.2.1 Populasi dan sampel........................................1-161.2.2 Skala pengukuran.............................................1-171.3 Metode Sampling..................................................1-191.4 Aplikasi dengan minitab.....................................1-212 STATISTIKA DESKRIPTIF....................2-12.1 Ukuran Pemusatan..................................................2-22.2 Ukuran Penyebaran.................................................2-22.5 Penyajian dalam Bentuk Grafik..........................2-52.6 Aplikasi dengan minitab........................................2-63 KENORMALAN DATA..........................3-13.1 Distribusi normal......................................................3-23.2 Statistik uji kenormalan........................................3-33.3 Aplikasi dengan minitab........................................3-44 TRANSFORMASI DATA.......................4-14.1 Transformasi untuk satu angkatan data.........4-24.2 Transformasi untuk beberapa angkatan data

(menyamakan sebaran).......................................4-44.3 Aplikasi Minitab.......................................................4-55 UJI HIPOTESIS STATISTIK DAN PROPORSI

........................................................5-15.1 Hipotesis statistik.....................................................5-2

MODUL 1 iv


5.1.1 Pengujian hipotesis untuk satu nilai tengah5-3

5.1.2 Pengujian hipotesis untuk selisih dua nilai tengah.........................................................................5-5

5.1.3 Aplikasi dengan minitab..............................5-75.2 Uji proporsi..............................................................5-135.2.1 Uji terhadap satu nilai proporsi...................5-135.2.2 Aplikasi dengan Minitab............................5-155.2.3 Pendekatan normal baku untuk uji terhadap

satu nilai proporsi.................................................5-185.2.4 Aplikasi dengan Minitab............................5-195.2.5 Pengujian perbandingan dua proporsi......5-215.2.6 Aplikasi dengan Minitab............................5-226 ANALISIS VARIANSI...........................6-16.1 Asumsi-asumsi pada analisis variansi..............6-26.2 Uji Kesamaan Ragam..............................................6-26.3 Tabel analisis variansi............................................6-37 REGRESI LINIER DAN NON-LINIER

SEDERHANA......................................7-17.1 Regresi.........................................................................7-27.1.1 Model untuk regresi linier sederhana...7-27.1.2 Model regresi non linier....................................7-47.1.2.1 Model eksponensial........................................7-47.1.2.2 Model geometrik (power )............................7-5DAFTAR PUSTAKA................................................19

MODUL 1 v


1 PENGENALAN MINITAB 15, DATA, DAN TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL

Overview

Modul ini memberikan pengenalan singkat tentang software Minitab 15 kepada mahasiswa. Pengenalan tentang menu diberikan diawal, sehingga diharapkan mahasiswa memiliki gambaran umum tentang penggunaan software ini. Setelah dapat menjalankan software ini, mahasiswa akan dikenalkan pada beberapa jenis data berdasarkan skala pengukurannya. Pada tahap akhir, mahasiswa akan diajarkan tentang pengambilan sampel dari populasi dengan menggunakan beberapa teknik sampling

Tujuan

1. Mahasiswa mendapatkan gambaran singkat tentang software Minitab

2. Mahasiswa dapat membedakan data berdasarkan skala pengukurannnya

3. Mahasiswa dapat melakukan pengambilan data sampel

MODUL 1 1


berdasarkan data populasi dengan menggunakan beberapa metode sampling

1.1 Menu-menu pada Minitab 15

Pada software minitab, tampilannya ada 2, yaitu windows worksheet dan windows session. Worksheet merupakan tempat untuk mengetikkan data dan menampilkan hasil pengolahan data. Sedangkan session merupakan tempat untuk menampilkan semua perintah-perintah (command-command) yang telah kita lakukan dalam bentuk program dan hasil dari pengolahan data yang tidak dapat ditampilkan pada worksheet. Adapun tampilan minitab sebagai berikut :

MODUL 1 2


Adapun menu-menu pada minitab 15 yaitu :1. File

Pada menu file terdapat sub-sub menu antara lain :- New : menampilkan worksheet baru- Open project : menampilkan data yang telah disimpan

pada file kita. Di bawah open project, terdapat save projects, save projects as, project description.

MODUL 1 3


-

- Open worksheet : menampilkan data yang telah disimpan dan disediakan software minitab. Di bawah sub menu ini, terdapat save worksheet, save worksheet as.

MODUL 1 4


- Query database :

- Open graph : membuka grafik yang telah disimpan- Other file : membuka data dari file lain- Print session window : mencetak tampilan pada

session.- Print setup : mencetak dengan pengaturan tampilan

pada worksheet dan session.- Exit : Keluar dari minitabAdapun tampilan dari menu file sebagai berikut :

MODUL 1 5


2. EditSub-sub menu pada menu edit adalah :

MODUL 1 6


- undo : kembali ke pekerjaan ke- n-1 (bila kita diposisi n)

- redo : kembali ke pekerjaan ke- n+1 (bila kita diposisi n)

- Clear cells : membersihkan data pada sel-sel worksheet

- Delete cells : menghapus sel-sel- Copy cells : menyalin data pada sel- Cut cells : memotong sel (menyalin dan menghapus)- Worksheet link : memindahkan data yang telah disalin

baik dari sel, atau file minitab atau word, excel, dan lain-lain.

- Select all cells : memilih atau menyorot semua data pada sel-sel untuk pengolahan

- Edit last dialog : mengedit dialog terakhir- Command line editor : digunakan untuk mengeksekusi

perintah secara cepat atau mengekseksekusi ulang

MODUL 1 7


atau mengedit perintah yang digunakan pada sesi sebelumnya.

3. DataMenu data berisi perintah-perintah menampilkan data. Sub-sub menu yang terdapat pada menu data yaitu :

- Subset worksheet : menampilkan sebagian worksheet- Split worksheet : membagi worksheet menjadi

beberapa worksheet- Merge worksheet : menggabungkan beberapa

worksheet- Sort : mengurutkan data (mengurutkan suatu kolom

berdasarkan kolom lainnya ) - Rank : merangking data (membuat rangking suatu

kolom)- Delete rows : menghapus baris- Erase variabels : menghapus variabel-variabel

MODUL 1 8


- Copy columns : mengkopi kolom- Stack/unstack : menggabung data pada kolom yang

berbeda menjadi satu kolom/ memisahkan data pada satu kolom menjadi beberapa kolom berdasarkan kriteria tertentu

- Code : mengkonversi data (numerik ke numerik, numerik ke teks dsb)

- Change data type : merubah tipe data- Extract from Date/Time : ekstrak data numerik ke text

atau sebaliknya- Concatenate : menggabung dua atau lebih kolom yang

berisi data text menjadi satu kolom, syarat penjang kolom sama.

- Display data : menampilkan data

4. Calc (calculation)Pada menu calc terdapat sub-sub menu :- Calculator : untuk melakukan perhitungan

(penjumlahan, perkalian, pembagian, sinus, maksimum, eksponen, dan lain-lain)

- Column statistics : menghitung ukuran-ukuran statistik dari suatu kolom

- Row statistics : menghitung ukuran-ukuran statistik dari suatu baris

- Standardize : menormalisasikan data- Make patterned data : membuat suatu kolom(data)

dengan pola tertentu- Make mesh data : Membuat sebuah fungsi dua dimensi

seperti permukaan berdasarkan pasangan nilai x dan y - Make indicator variables : membuat variabel dummy

untuk data kualitatif- Set base : menetapkan titik awal untuk pembangkitan

data acak. Bila kita tidak mengeset titik tersebut, maka titik tersebut akan ditentukan oleh minitab.

MODUL 1 9


- Random data : membangkitkan data acak dari berbagai distribusi

- Probability distributions : menghitung peluang dan distribusi kumulatif peluang dan inversnya dari berbagai distribusi peluang.

- Matrices : merupakan sub menu untuk menghitung matriks dan operasi-operasinya

Adapun tampilan menu calc adalah

5. Menu StatSub-sub menu pada menu stat adalah :- Fit interceps : mendefault intersep pada persamaan

regresi- Basic statistics : a) descriptiv statistics : menampilkan

ukuran-ukuran statistics, seperti mean, median, trimean, standart deviasi, kuartil, maksimum dan minimum, b) uji hipotesis 1 sampel, 2 sampel , c) correlation, d) covariance, e) normallity test

MODUL 1 10


- Regression : mencari persamaan regresi serta analisisnya, baik regresi linier maupun non linier untuk kuantitatif maupun kualitatif

- Anova : menganalisis perbedaan lebih dari dua populasi berdasarkan nilai ragam

- DOE : membuat desain rancangan percobaan faktorial- Control charts : membuat bagan-bagan kendali- Quality tools : mengalisis data untuk pengendalian

kualitas- Reliability/survival : membuat plot untuk analisis

kehandalan sistem- Multivariate : menganalisis data banyak peubah- Time series : menganalisis data deret waktu untuk

peramalan- Tables : membuat tabel kontingensi dan analisis

korespondensi- Nonparametrik : menganalisis data kualitatif tanpa

asumsi distribusi tertentu- EDA (Eksploratory Data Analysis) : memahami dan

mengalisis data melalui diagram dahan daun, box plot, garis resisten, dll

- Power and sample size : digunakan untuk menghitung power (peluang kita akan menolak H0 ketika ia salah), ukuran sampel, perbedaan minimum (ditampilkan sebagai nilai proporsi alternatif) pada uji satu proporsi.

Tampilan menu stat adalah sebagai berikut :

MODUL 1 11


6. Menu GraphPada menu graph berisi sub-sub menu seperti pada tampilan di bawah yang digunakan untuk membuat grafik-grafik seperti histogram, diagram lingkaran, plot, countur, plot untuk data time series, box plot, diagram dahan daun. Untuk grafik-grafik tertentu dapat ditampilkan dalam dua dimensi maupun tiga dimensi.

MODUL 1 12


7. Menu EditorBerikut adalah sub-sub menu editor pada worksheet :- Next column : memindahkan kursor ke kolom

berikutnya- Go to active cell : memindahkan kursor ke sell yang

aktif- Format column : memformat kolom dalam numerik,

tanggal, text.- Column : mengatur ukuran-ukuran kolom

MODUL 1 13


- Formulas : menampilkan formula-formula ke kolom dan menghitung formula secara otomatis.

- Worksheet : mengedit sel yang sedang aktif dan merubah arah inputan

- Define custom list : mengurutkan data - Clipboard setting : merubah setting untuk data hilangAdapun tampilan menu editor adalah :

Berikut adalah sub-sub menu pada menu editor session :- Next command : memindahkan kursor ke command

berikutnya- Previous command : memindahkan kursor ke

command sebelumnya- Enable command language : menampilkan bahasa

pemrograman yang dieksekusi , MTB >- Output editable : mengeset tampilan output hanya

dapat di baca

MODUL 1 14


- Find : mencari kata tertentu dalam lingkup session- Replace : mencari kata tertentu dan menggantinya

dengan kata lain dalam lingkup session- Apply Font : command font untuk memberlakukan

pemilihan font untuk I/O, title, command.

8. ToolsAdapun sub-submenu pada menu tools adalah - Microsoft Calculator : Menampilkan menu calculator

microsoft- Notepad : Menampilkan notepad- Windows Explorer : Menampilkan menu windows

explorer- Toolbars : Untuk men-setting tool – tool yang ingin

ditampilkan atau tidak- Status Bar : Status bar terletak dibagian bawah layar

dan menampilkan pesan yang menjelaskan item menu dan toolbars yang saat ini sedang aktif.

- Customize : Digunakan untuk mengedit/menambah/menampilkan shortcut perintah (command), Toolbars, tool dan lain-lain pada Minitab

MODUL 1 15


- Options : Digunakan untuk merubah dan menyimpan settingan standar untuk berbagai macam operasi

- Manage Profiles :Digunakan untuk membuat, menghapus, mengaktifkan atau menonaktifkan satu atau beberapa profil termasuk mengubah urutan nya.

- File Security :digunakan untuk melindungi file proyek dari pihak lain

Tampilan menu tools adalah

9. Menu WindowsSub-sub menu pada menu windows digunakan untuk mengatur tampilan dari windows minitab dan menyimpan data, session, grafik yang telah dibuat untuk sementara, yaitu :

MODUL 1 16


10. Menu HelpMenu ini digunakan untuk membantu user, apabila terdapat kesulitan waktu menggunakan minitab, baik masalah teori, maupun commandnya.

MODUL 1 17


1.2. Mengenal Data

1.2.1 Populasi dan sampel

Persoalan-persoalan yang muncul dalam berbagai bidang, hampir seratus persen berhubungan dengan data. Data dalam bidang statistika merupakan keterangan atau informasi mengenai suatu kejadian, biasanya dinyatakan dengan angka. Diharapkan nantinya data dapat memberikan informasi lebih banyak bagi yang bersangkutan. Sebelum membahas tentang data, terlebih dahulu akan dibahas sekilas tentang statistika, populasi, dan sampel. Statistika yaitu suatu ilmu yang mempelajari tentang data, meliputi teknik pengambilan data, pengolahan dan penyajiannya, kemudian analisis dan kesimpulan serta pengambilan keputusan dari kesimpulan yang diperoleh lewat analisis. Sedangkan data itu sendiri merupakan keterangan yang menggambarkan kondisi saat itu.

MODUL 1 18


Berdasarkan sumbernya data dibedakan menjadi dua, yaitu 1) data primer dan 2) data sekunder. Data primer adalah keteranngan atau informasi secara umum yang diperoleh oleh dari penelitian peneliti sendiri. Sedangkan data sekunder merupakan data yang diambil dari penelitian orang lain pada suatu publikasi.

Berkaitan dengan pengambilan data, terdapat dua istilah yaitu populasi dan sampel. Populasi adalah seluruh objek yang diamati. Sedangkan sampel adalah objek yang diamati adalah sebagian dari populasi. Diharapkan pengambilan sampel yang dilakukan dapat mewakili populasi. Beberapa hal yang mendasari pengambilan sampel adalah :

1. WaktuBila waktu untuk penelitian terbatas, maka pengambilan sampel dapat dipilih sebagai alternatif pengambilan data.

2. BiayaUntuk penelitian mengenai suatu komponen yang harganya mahal, bila pengambilan populasi dilakukan, maka biaya yang dikeluarkan akan besar. Sehingga untuk biaya yang terbatas, perlu dilakukan pengambilan sampel.

3. Populasi tidak pastiSalah satu contoh populasi tidak pasti adalah, bila penelitian kita tentang orang berpenyakit flu burung, maka kita akan kesulitan menentukan populasinya, karena tanpa pemeriksaan akan sulit ditentukan seseorang kena flu burung atau tidak. Sehingga pengambilan sampel perlu dilakukan yaitu pasien flu burung pada suatu rumah sakit.

4. Ketelitian

MODUL 1 19


Hal ini berhubungan dengan waktu dan biaya yang terbatas. Misal biaya dan waktu penelitian terbatas, maka jumlah tenaga yang membantu penelitian akan menjadi pertimbangan, sehingga hasilnya pengolahannya berpengaruh pada tingkat ketelitian.

1.2.2 Skala pengukuran

Skala pengukuran merupakan bagian yang paling mendekati pengukuran data baik secara diskret maupun kontinu. Skala ini sangat penting, karena berkaitan dengan pemilihan teknik analisis statistika yang sangat bergantung pada sifat data dan skala pengukuran yang digunakan. Ditinjau berdasarkan skala pengukurannya, data dapat dibedakan menjadi beberapa kelompok, yaitu ( dari yang terendah sampai yang tertinggi ) :

a. Skala NominalData yang termasuk dalam kelompok ini memiliki ciri bahwa data tidak memiliki tingkatan. Satu – satunya operator matematika yang berlaku adalah persamaan dan pertidaksamaan. Contohnya adalah data tentang jenis kelamin, agama, jenis penyakit dan sebagainya.

b. Skala OrdinalSudah ada tingkatan pada data yang masuk kelompok ini, hanya saja belum ada ketentuan jarak yang sama antar tingkatan,serta ada hubungan lebih dari. Contohnya adalah data tentang golongan kepegawaian, kepangkatan, nilai huruf, peserta kontes kecantikan, jenis komputer dan sebagainya.

MODUL 1 20


c. Skala Interval Selain sudah memiliki tingkatan seperti data pada skala ordinal, data yang masuk dalam kelompok ini juga memiliki sifat bahwa jarak antar tingkatan adalah sama. Hal ini diperiksa melalui selisih antar tingkatan selalu tetap Sebagai contoh data suhu yang diukur dalam Celcius, selisih antara suhu 30 dan 29 akan sama dengan selisih suhu 10 dan 11 atau dengan yang lainnya. Ciri lain dari data ini adalah nilai 0 belum memiliki arti sebenarnya ( tidak ada).Contohnya adalah suhu 0 derajat bukan berarti tidak ada suhu, tahun 0 bukan berarti tidak ada tahun.

d. Skala RasioData yang memiliki skala ini memiliki tingkatan yang paling tinggi. Semua sifat pada skala interval juga ada pada data skala rasio ini. Tambahan sifat untuk jenis data ini adalah nilai 0 sudah memiliki arti yang sebenarnya ( tidak ada ).Contoh adalah data tentang berat, tinggi, harga, volume dan sebagainya.

Dengan mengetahui jenis data yang akan diolah, maka kita dapat menentukan analisis yang tepat untuk data tersebut. Sebagai contoh data yang memiliki skala Nominal hanya dapat disajikan dalam bentuk pie chart, bar chart dan tidak dapat ditentukan ukuran ukuran statistik seperti mean, standard deviation dan sebagainya. Data yang berskala Ordinal selain dapat dianalisa seperti nominal juga dapat dianalisa lebih lanjut tetapi sebelumnya harus ditransformasi ke bentuk numerik. Tetapi, kadang untuk pengolahan lebih lanjut, data berskala ordinal dan nominal dapat diolah dengan menggunakan statistika nonparametrik. Sedangkan data yang berskala interval atau Rasio dapat dilakukan analisa yang

MODUL 1 21


lebih lengkap secara langsung. Analisa yang dapat dilakukan pada data dengan kedua skala terakhir ini relatif sama.

1.3 Metode Sampling

Ditinjau dari pengambilan sampelnya, ada beberapa metode sampling (metode pengambilan sampel ) yaitu :

1. Acak sederhanaPada metode ini, pertama kita tentukan populasi yang akan diambil sampelnya. Misalkan jumlah populasi = 200, maka untuk setiap unit populasi tersebut diberikan nomor dari 1 sampai 200. Bila diinginkan jumlah sampel sama dengan 10, dengan menggunakan tabel random (lampiran A) dapat ditentukan 10 angka yang akan menentukan nomor unit populasi yang akan diambil.

Misalkan dipilih baris 5 kolom 4,5 dan 6 sebagai titik awal, dan dipilih arah ke kanan (boleh ke atas,kiri atau bawah) maka nomor sampel secara random yang diperoleh adalah

532, 115, 916, 239, 505, 956, 250, 961, 207, 868

Karena jumlah populasi = 200, maka angka – angka yang melebihi 200 akan dihilangkan digit ratusannya. Sehingga nomor sampel randomnya menjadi

32, 115, 16, 39, 05, 56, 50, 61, 07, 68

Banyaknya digit bilangan random sebagai titik awal tergantung dari banyaknya digit maksimal populasi.

2. Random Berstrata ( berlapis )Dalam metode ini, langkah pertama adalah populasi dikelompokkan dalam beberapa kelompok agar lebih

MODUL 1 22


homogen, kemudian dari masing masing kelompok diambil sampel berukuran tertentu ( secara proporsional ) secara acak seperti pada metode pertama.

3. Sistematik Dalam metode ini pertama tama populasi diberi nomor dari 1 sampai N. Kemudian secara acak ditentukan sebuah nomor antara 1 sampai N (misal k) dan dibuat suatu barisan aritmatika dengan suku awal k dengan pertambahan tertentu sampai didapat n data. Bila suatu suku bernilai lebih dari N maka suku tersebut harus dikurangi N atau kelipatannya. Nilai penambahan adalah bilangan bulat sedemikian hingga nilainya dekat dengan

dengan N : ukuran populasi dan n : ukuran sampel.

Contoh Sebuah populasi berukuran 100 dan akan diambil sampel berukuran 15. Misalkan bilangan acak pertama dipilih 70 agar merata maka pertambahannya bisa dipilih sekitar 7. Hasil selengkapnya bisa dilihat pada tabel berikut :

No

Barisan

Sampel yg terpilih

1 70 702 77 773 84 844 91 915 98 986 105 5

MODUL 1 23


7 112 128 119 199 126 2610 133 3311 140 4012 147 4713 154 5414 161 6115 168 68

4. Bergerombol ( cluster )Pada metode ini teknik yang digunakan mirip dengan metode acak sederhana hanya saja disini yang menjadi unit sampelnya adalah berupa cluster cluster yang mana masing masing cluster berisi elemen elemen yang yang lebih kecil. Yang menjadi pedoman untuk menentukan cluster adalah bahwa cluster cluster tersebut memiliki karakteristik yang hampir sama.

Contoh

Sebuah populasi berukuran 1000 tetapi dapat dikelompokan dalam kluster kluster yang berukuran 10, jadi total klusternya adalah 100. Misalkan dari 100 cluster tersebut akan diteliti sebanyak 6 cluster maka dengan metode acak sederhana dapat ditentukan 6 kluster yang terpilih. Unit unit sampel yang diteliti adalah keseluruhan unit populasi atau sebagian unit yang terletak didalam 6 kluster terpilih tersebut.

1.4 Aplikasi dengan minitab Menentukan sampel dengan beberapa metode sampling

A. Acak sederhana

MODUL 1 24


Pada metode ini, pertama kita tentukan populasi yang akan diambil sampelnya. Misalkan jumlah populasi = 200, maka untuk setiap unit populasi tersebut diberikan nomor dari 1 sampai 200. Bila diinginkan jumlah sampel sama dengan 20, dengan menggunakan tabel random dapat ditentukan 20 angka yang akan menentukan nomor unit populasi yang akan diambil. Adapun langkah-langkahnya adalah :

1. Pilih calc, make patterned Data kemudian Simple Set o Numbers

2. Isilah tabel yang keluar sesuai tabel berikut

Pada langkah ini merupakan proses pemberian nomor populasi

3. Pilih calc,Random Data kemudian Sample From Columns

4. Isilah tabel yang keluar sesuai tabel berikut ( proses ini merupakan pengambilan sampel berukuran 20 secara

MODUL 1 25


acak ). Dalam langkah ini kemungkinan setiap orang akan mendapatkan hasil yang berbeda.

5. Hasil yang keluar diatas merupakan nomor nomor unit populasi yang akan diambil sebagai sampel (pada kolom sampel) yaitu :

Sampel7210

10215664

169215

147164126

MODUL 1 26


11712148

17611011419979

135

B. Random Berstrata (berlapis)

Misalkan dimiliki data populasi yang terdiri atas 60 mahasiswa jurusan Teknik Telekomunikasi, 50 mahasiswa Teknik Informatika dan 40 mahasiswa Teknik Industri. Bila ingin diambil sampel sebanyak 20 mahasiswa secara sistematis maka dilakukan dengan langkah – langkah berikut .

1. Buat nomor 1 sampai 60 untuk mahasiswa Teknik Telekomunikasi, 1 sampai 50 untuk Teknik Informatika dan 1 sampai 40 untuk Teknik Industri.

2. Hitung jumlah sampel untuk masing – masing jurusan. Teknik Telekomunikasi

Teknik Informatika

Teknik Industri

MODUL 1 27


3. Buat patterned data sebanyak 60,50 dan 40 seperti pada langkah sebelumnya kemudian simpan(Store samples in) dalam kolom yang terpisah(C3,C4 dan C5).

4. Lakukan pengambilan secara acak untuk masing – masing jurusan(patterned data) seperti pada pengambilan sampel acak sederhana dengan ketentuan 8 berasal dari jurusan Teknik Telekomunikasi(C3), 6 dari jurusan Informatika(C4) dan 6 orang dari jurusan Teknik Industri(C5).

C. Sistematis

Misalkan dimiliki populasi sebanyak 200 dan akan diambil sampel sebanyak 30, maka langkah – langkahnya adalah sebagai berikut

1. Tentukan salah satu nilai sebagai titik awal misalkan 50.

2. Nilai pertambahan

3. Buat patterned data pada file baru dengan nilai pertambahan (in step of) = 7, nilai awal(From first value) = 50 dan nilai akhir (To last value) = 260.

4. Ambil 30 nomor sampel yang pertama, hasilnya adalah

No

Barisan

Sampel yg terpilih

1 50 502 57 573 64 64

MODUL 1 28


4 71 715 78 786 85 857 92 928 99 999 106 10610 113 11311 120 12012 127 12713 134 13414 141 14115 148 14816 155 15517 162 16218 169 16919 176 17620 183 18321 190 19022 197 19723 204 0424 211 1125 218 1826 225 2527 232 3228 239 3929 246 4630 253 53

D. Bergerombol

Misalkan akan diteliti kualitas suatu minuman mineral botol yang dikemas dalam kotak. Jumlah kotak keseluruhan adalah

MODUL 1 29


100 kotak dimana masing – masing kotak berisi 10 botol dan sampel yang diinginkan adalah 50 botol. Alternatif yang dapat dilakukan antara lain dari 100 kotak diambil 5 kotak secara acak kemudian semua botol dalam kotak tersebut diteliti. Alternatif lain yang dapat dipilih dari 100 kotak tersebut dipilih 10 kotak acak kemudian dari 10 kotak tersebut dipilih 5 botol secara acak. Misalkan alternatif kedua yang dipilih : 1. Beri nomor 1 sampai 100 semua kotak yang dimiliki.2. Buat patterned data pada file baru sebanyak 100 seperti

pada langkah sebelumnya kemudian simpan dalam kolom yang tertentu(C1)

3. Ambil 10 sampel secara acak berdasarkan kolom C1 simpan pada C2.

4. Beri nomor 1 sampai 10 pada seluruh botol untuk 10 kotak yang terpilih.

5. Buat patterned data pada file baru sebanyak 10 seperti pada langkah sebelumnya kemudian simpan dalam kolom C3

6. Ambil 5 sampel secara acak berdasarkan kolom C3 simpan pada C4, ulangi sampai 10X dan simpan dalam kolom yang berbeda.

7. Semua nomor sampel yang terpilih pada masing – masing kotak merupakan unit sampel yang akan diteliti.

Latihan 1. Tentukan sampel berukuran 30 dari populasi dengan

ukuan 3002. Tentukan sampel berukuran 30 yang diambil dari

populasi yang dikelompokkan dalam 4 kelompok dengan ukuran 25,50,75 dan 100

3. Tentukan sampel berukuran 20 yang diambil dari populasi berukuran 200 dengan metode sistematik

4. Suatu populasi berukuran 500 dan dikelompokkan dalam 25 kluster. Bila nomor populasi 1 20 masuk dalam kluster 1, nomor populasi 21 40 masuk dalam kluster 2

MODUL 1 30


dst. Bila dari 25 kluster tersebut diambil 5 secara acak, tentukan nomor nomor populasi mana yang akan masuk dalam sampel !

MODUL 1 31


2 STATISTIKA DESKRIPTIF

Overview

Modul ini memberikan panduan secara singkat tentang teknik penyajian dan analisis data secara deskriptif. Pada tahap awal, mahasiswa dikenalkan serta diajarkan menampilkan pada beberapa ukuran statistik seperti ukuran pemusatan, ukuran penyebaran dan ukuran letak dengan menggunakan software minitab. Ukuran – ukuran ini adalah ukuran – ukuran sering yang digunakan dalam penyajian data secara deskriptif. Pada tahap selanjutnya mahasiswa akan diajarkan cara menyajikan data dalam bentuk tabel frekuensi dan juga dalam graph seperti : histogram, box plot dan diagram dahan daun beserta analisa hasilnya

Tujuan

1. Mahasiswa dapat menentukan beberapa ukuran pemusatan dan penyebaran data

2. Mahasiswa dapat membuat tabel distribusi frekuensi3. Mahasiswa dapat menyajikan data dalam bentuk

histogram, box plot dan diagram dahan daun

MODUL 2 1


2.1 Ukuran Pemusatan

Terdapat beberapa ukuran pemusatan dalam statistika deskriptif antara lain mean, median, dan modus. Mean adalah ratarata dari data dan dinotasikan dengan

, di mana menyatakan ratarata sampel dan menyatakan ratarata populasi. Secara umum mean memiliki rumusan sebagai berikut :

, n banyaknya sampel

, N banyaknya populasi

Median adalah nilai yang membagi suatu gugus data yang telah terurut menjadi 2 bagian yang sama. Median memiliki sifat bahwa di bawah nilai median terdapat 50% data. Cara menentukan median sebagai berikut : Misal X1, X2, …, Xn adalah data yang sudah terurut dari kecil ke

besar, maka untuk n ganjil dan untuk n

genap .

Modus yaitu nilai yang paling sering muncul dalam suatu gugus data

Dalam penggunaannya, mean lebih sering digunakan dari pada ukuran pemusatan lainnya karena keakuratannya dalam menentukan nilai tengah suatu gugus data, walaupun ada beberapa kasus yang membuat nilai tengah menjadi kurang tangguh, misalkan ada nilai yang dianggap ekstrim.

MODUL 2 2


2.2 Ukuran PenyebaranBeberapa ukuran penyebaran antara lain : Range atau jangkauan yaitu menyatakan selisih antara

nilai maksimum dengan nilai minimum. Variansi adalah nilai tengah dari kuadrat penyimpangan

antara xi terhadap . Variansi merupakan ukuran penyebaran yang sering digunakan dalam statistika inferensia. Variansi dinotasikan S2 untuk sampel dan 2

untuk populasi. Variansi memiliki rumusan sebagai berikut :

, di mana n banyaknya sampel

, di mana N banyayknya populasi

Simpangan baku merupakan akar dari variansi.

2.3 Ukuran Letak

Kuartil menyatakan nilainilai yang membagi gugus data menjadi empat bagian yang sama besar. Q1 menyatakan kuartil 1 yang memiliki sifat bahwa ¼ data terletak di bawah Q1. Q2 sama dengan median. Sedangkan Q3 memiliki sifat bahwa ¾ data terletak di bawah Q3. Untuk ukuran letak yang lainnya adalh desil, persentil dll.

2.4 Distribusi Frekuensi

Distribusi frekuensi yaitu penyajian data dalam bentuk tabel. Di mana pada tabel tersebut menampilkan ciriciri penting sejumlah data yang diperoleh dengan cara mengelompokkan

MODUL 2 3


data menjadi beberapa kelas, kemudian dari masingmasing kelas dihitung banyaknya pengamatan yang masuk.Langkah-langkah membuat tabel frekuensi :1. Menentukan banyaknya kelas dengan kaidah Sturges

yaitu , dimana . Banyaknya kelas sebaiknya antara 5 sampai 15.

2. Menentukan interval kelas (KI)

KI sebaiknya kelipatan 5. 3. Untuk komposisi kelas, perhatikan bahwa kelas tidak

tumpang tindih.4. Bila tabel distribusi frekuensi, nantinya digunakan untuk

membuat histogram atau poligon, maka komposisinya diubah ke bentuk batas kelas (batas bawah kikurangi setengah dan batas atas di tambah setengah)Bila data disajikan sebagai data kelompok, maka ukuran

pemusatan, penyebaran dan letak dapat dihitung dengan menggunakan rumusan sebagai berikut :- Ukuran pemusatan

Mean :

= titik tengan kelas, = frekuensi kelas

Median :

= batas bawah kelas median = frekuensi total

= frekuensi kelas median = interval kelas

MODUL 2 4


= frekuensi kumulatif sebelum median

Modus :

= frekuensi kelas modus

= frekuensi sebelum kelas modus

= frekuensi sesudah kelas modus

- Ukuran penyebaran

- Ukuran letakKuarti ( )

= frekuensi pada kelas kuartil ke-i

= frekuensi sebelum kuarti

Pada tabel distribusi frekuensi, dapat juga diberikan coding untuk mempermudah perhitungan statistik. Coding dilakukan dengan cara membagi kelas menjadi dua yaitu kelas yang ditengah-tengah diberi kode nol, sedangkan dua kelas di bawah dan di atasnya diberi kode negatif dan positif.

MODUL 2 5


2.5 Penyajian dalam Bentuk Grafik

Histogram dibuat berdasarkan tabel distribusi frekuensi. Bila datanya memiliki skala interval atau rasio, maka histogram dapat digunakan untuk menyajikan data.

Box plot merupakan bentuk penyajian data yang hanya menggunakan beberapa statistik yang disebut ringkasan lima angka yaitu nilai minimum, Q1, median, Q3, nilai maksimum. Pada box plot dapat juga ditentukan adanya pencilan atau tidak. Pencilan yaitu suatu nilai pada data yang apabila dibandingkan dengan nilai data yang lain tidak konsisten. Pencilan dibedakan menjadi pencilan jauh (dalam) dan pencilan jauh sekali (luar). Untuk menentukan pencilan digunakan rumusan sebagai berikut :Pagar dalam (p)

Pagar luar (P)

Pencilan dikatagorikan sebagai pencilan jauh bila letaknya data di antara pagar dalam dan pagar luar. Sedangkan pencilan jauh sekali, bila data di luar pagar luar.

Diagram dahan daun adalah salah satu teknik penyajian data yang menggunakan data asli secara langsung. Pada dasarnya dalam diagram dahan daun, penyajian data terbagi atas dua kolom yaitu dahan dan daun, dimana dahan berisi data dengan satuan yang lebih besar dari pada kolom daun.

Dari ketiga bentuk penyajian data di atas, dapat dilihat bentuk distribusi data, apakah simetri, menjulur ke kiri atau

MODUL 2 6


ke kanan. Sedangkan untuk memeriksa kemencengan

digunakan metode Pearson yaitu . Jika , data

menceng ke kiri dan , data menceng ke kanan.

2.6 Aplikasi dengan minitabData adalah data penjualan voucher telepon di lima kota provinsi Jawa barat :

Bulan

Bandung

Sukabumi

Garut

Tasik

Bogor

1 42 8 32 56 512 45 14 33 60 583 51 25 41 58 574 61 43 52 62 675 69 54 62 63 816 76 64 72 68 887 78 71 77 69 948 78 69 75 71 939 72 58 68 69 85

10 62 47 58 67 7411 51 29 47 61 6112 44 16 35 58 55

Langkah-langkah menggunakan software minitab 15 adalah :1. Ketikkan atau copy data tersebut pada worksheet minitab

2. Pilih menu stat, kemudian basic statistics, lalu klik summary graphics

MODUL 2 7


3. Pada kotak dialog, isi kolom tempat data pada variables, lalu klik OK

MODUL 2 8


4. Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut :

MODUL 2 9


MODUL 2 10


MODUL 2 11


Dari keempat kota (Bandung, Sukabumi, garut, dan tasik) rata-rata penjualan voucher telepon tiap bulannya adalah kota tasik yaitu 63.5 dengan variansi terkecil 26,091. Untuk kota Bandung dan Garut penjualan voucher tiap bulannya hampir merata, kota sukabumi penjualan terbanyak pada bulan-bulan terakhir, sedangkan untuk kota tasik penjualan terbanyak pada bulan-bulan pertama. (Lakukan pengolahan data penjualan voucher di kota Bogor dan analisis)

MODUL 2 12


Latihan1. Jarak (mil) yang ditempuh oleh suatu tipe kendaraan per

gallon bahan baker adalah:15.7

16.2

18.2

16.3

17.9

18.1

16.8

17.6

18.1

16.7

16.7

16.0

17.4

17.0

18.6

17.1

14.1

17.5

17.0

17.6

15.6

16.0

17.7

16.1

18.6

15.2

17.1

19.5

17.0

16.9

16.9

16.7

17.3

16.3

17.3

17.0

15.6

15.6

17.9

16.0

17.7

18.2

14.7

17.1

15.2

17.0

17.8

16.1

18.2

16.5

17.7

18.8

14.6

16.5

16.6

15.6

14.9

17.5

16.1

18.5

15.8

16.9

17.3

17.1

15.9

17.1

17.1

16.4

15.6

16.3

a. Buatlah diagram dahan daun

b. Buat tabel distribusi frekuensi dan histogramnya

c. Hitung ukuran pemusatan, penyebaran, dan letak, kemudian buat box plotnya

d. Kesimpulan apa yang bisa dinyatakan dari data tersebut , berdasarkan a, b, c.

MODUL 2 13


e. Berapa persenkah jarak dari mobil tersebut yang kurang dari 15 mil/gallon, antara 15 dan 18 mil/gallon, dan lebih dari 18 mil/gallon.

2. Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui waktu respon sirkuit yang digunakan pada kalkulator elektronik. Data yang diperoleh sebagai berikut :

25

30

33

22

28

22

28

18

25

25

15

22

23

19

24

20

17

31

20

16

23

19

27

15

19

a. Buat box plot dari data tersebutb. Buat tabel distribusi frekuensi dan histogramc. Analisis data tersebut dari hasil a dan b

3. Ketikan data score toefl dari 100 mahasiswa berikut pada kolom minitab

356

510

345

400

480

423

500

560

456

500

420

460

513

450

400

450

469

426

476

427

45 43 49 47 48

MODUL 2 14


8 6 0 5 0400

400

475

500

368

386

320

518

518

350

520

480

360

346

423

500

479

400

420

446

390

480

436

463

465

475

400

463

460

525

465

500

523

400

468

476

360

500

515

465

475

520

500

375

475

513

348

520

445

525

400

365

500

426

342

476

470

518

450

386

482

473

476

455

346

346

500

482

456

420

400

428

345

468

423

Buat diagram dahan daun, tabel distribusi frekuensi, histogram, lalu beri kesimpulan

MODUL 2 15


3 KENORMALAN DATA

Overview

1. Modul ini memberikan pengenalan singkat tentang karakteristik data yang berdistribusi normal dan pengujian kenormalan data. Karakteristik data berdistribusi normal menyatakan gambaran dari data yang berdistribusi normal ditinjau secara matematis. Karakteristik data belum bisa digunakan dalam penentuan kenormalan data. Untuk menentukan kenormalan data, dapat digunakan beberapa uji kenormalan. Modul ini menyajikan 3 buah uji kenormalan yang dapat digunakan untuk menguji kenormalan suatu data dengan ukuran statistik yang berbeda – beda yaitu Statistik ShapiroWilk W, Statistik AndersonDarling dan Statistik KolmogorovSmirnov.

Tujuan

1. Mahasiswa mengenal tentang data berdistribusi normal

MODUL 2 16


2. Mahasiswa dapat menguji kenormalan data

3.1 Distribusi normal

Distribusi peluang kontinu yang paling penting adalah distribusi normal. Grafik dari suatu distribusi normal disebut kurva normal, bentuknya seperti lonceng pada gambar dibawah ini. Suatu peubah acak X yang distribusinya berbentuk lonceng, dinamakan peubah acak normal. Persamaan matematika dari distribusi peluang peubah acak normal kontinu bergantung pada dua parameter yaitu (rataan) dan (simpangan baku). Dengan demikian fungsi densitas X dapat dinyatakan oleh :

– < X < .

Sifat-sifat distribusi normal :

MODUL 2 17

x


1.

2.

3. dan

4.

5. Nilai maksimum dari f terjadi pada 6. Titik belok dari f terjadi pada Kurva setiap distribusi kontinu dibuat sedemikian rupa sehingga luas daerah dibawah kurva diantara dua koordinat

dan sama dengan peluang peubah acak X antara

dan . Hal tersebut dapat digambarkan sebagai berikut :

=

= Luas daerah yang diarsirUntuk mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi densitas maka dibuat table luas kurva normal sehingga akan memudahkan dalam penggunaannya.

MODUL 2 18

x2x1 x


3.2 Statistik uji kenormalan

Dalam statistika parametrik, distribusi normal mendasari beberapa uji statistik. Misal statistik tstudent, Fisher, Khai Square, dll. Sehingga dalam pengolahan data statistik, biasanya diasumsikan data berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Ada dua cara untuk melihat kenormalan data yaitu secara visual dan dengan uji statistik. Secara visual dengan menggunakan histogram, dahan daun, box plot, tetapi cara ini bersifat subyektif. Biasanya dengan uji statistik, akan lebih obyektif untuk mengatakan data berdistribusi normal.Ada beberapa statistik uji kenormalan data antara lain :2. Statistik ShapiroWilk W

Statistik ini dikembangkan oleh Shapiro dan Wilk tahun 1965. Statistik ini merupakan rasio antara dua penduga ragam. Statistik ujinya dinamakan statistik W. Statistik W ini mengukur straightness dari plot quantilquantilnya. Bila nilai dari W 1, maka data dikatakan normal.

3. Statistik AndersonDarlingStatistik ini dikembangkan oleh Anderson dan Darling tahun 1954. Statistik AndersonDarling berdasarkan pada fungsi distribusi empirik. Statistik ujinya dinamakan statistik yang merupakan kuadrat dari selisih antara luas histogram dengan luas daerah di bawah kurva normal. Bila nilai Pvalue , maka data berdistribusi normal. Biasanya digunakan untuk data berukuran besar.

4. Statistik KolmogorovSmirnovStatistik ini menggunakan fungsi distribusi kumulatif dan berdasarkan pada maksimum perbedaan antara dua distribusi, yaitu distribusi normal dengan distribusi data yang diamati. Biasanya digunakan untuk data berukuran

MODUL 2 19


30. Bila nilai Pvalue , maka data berdistribusi normal.

3.3 Aplikasi dengan minitab

Contoh 1Langkah-langkah1. Data adalah data produksi minyak bumi dalam periode

waktu 14 bulan dari 9 lokasi sumur pengeboran. Ketikan data ini pada kolom di minitab

t

Sm

r

56

Sm

r

59

Sm

r

66

Sm

r

68

Sm

r

70

Smr

77

Sm

r

99

Sm

r

14

4

Sm

r

16

3

150

7

67

7

63

3

50

3

47

7

63

6

40

2

46

4

30

9

246

8

76

3

66

1

57

3

49

8

67

2

36

5

50

4

46

3

350

0

73

8

42

0

57

1

46

6

59

7

58

2

50

1

39

0

449

8

60

8

42

5

53

4

58

8

59

7

35

1

52

6

41

3

544

9

43

3

45

1

41

4

58

9

52

1

58

5

41

4

39

3

6 51 46 34 57 54 57 62 47 58

MODUL 2 20


3 0 5 5 7 6 2 1 1

755

8

48

5

37

7

63

5

49

9

56

8

68

5

52

7

59

0

848

6

55

2

45

5

44

3

50

3

48

5

73

6

50

8

48

6

947

8

60

5

36

1

44

5

49

5

48

9

61

4

56

0

53

1

1

0

42

6

57

5

34

5

44

8

51

9

44

3

23

4

55

7

53

7

1

1

49

3

55

3

53

1

45

0

48

2

42

6

24

3

22

2

55

3

1

2

55

5

54

8

52

1

46

8

54

5

46

4

35

1

50

2

51

7

1

3

54

2

45

7

36

0

50

1

48

9

42

8

41

4

60

1

43

0

1

4

51

0

35

6

44

2

44

3

39

2

45

5

37

8

57

5

53

1

2. Pilih menu stat, kemudian pilih basic statistik, lalu

normality test

MODUL 2 21


3. Setelah muncul kotak dialog berikut, Ketik C1 pada isian variable, lalu klik pilihan tests for normality (asumsi

)

Output masing-masing pilihan sebagai berikut : ShapiroWilk

MODUL 2 22


P-Value (approx): > 0.1000R: 0.9938W-test for Normality

N: 126StDev: 96.5048Average: 498.310

700600500400300200

.999

.99

.95

.80

.50

.20

.05

.01

.001

Pro

babi

lity

produksi

Normal Probability Plot

Pada gambar terlihat bahwa nilai statistik W = 0.9938 1, dengan pendekatan nilai Pvalue > 0.1, maka dapat dikatakan bahwa data berdistribusi normal.

Statistik AndersonDarling

MODUL 2 23


P-Value: 0.478A-Squared: 0.346

Anderson-Darling Normality Test

N: 126StDev: 96.5048Average: 498.310

700600500400300200

.999

.99

.95

.80

.50

.20

.05

.01

.001

Pro

babi

lity

produksi


Dengan menggunakan statistik ini diperoleh nilai Pvalue = 0.478, nilai ini lebih besar dari pada nilai = 0.05.

MODUL 2 24


Statistik Kolmogorovsmirnov

Approximate P-Value > 0.15D+: 0.036 D-: 0.050 D : 0.050

Kolmogorov-Smirnov Normality Test

N: 126StDev: 96.5048Average: 498.310

700600500400300200

.999

.99

.95

.80

.50

.20

.05

.01

.001

Pro

babi

lity

produksi


Pada gambar terlihat bahwa pendekatan nilai Pvalue > 0.15, nilai ini lebih besar dari pada nilai = 0.05. Dari ketiga output di atas, terlihat bahwa untuk ukuran data besar, statistik AndersonDarling lebih powerfull.

Contoh 21. Buka software minitab kemudian pilih menu calc ,

Random Data kemudian binomial. Pada langkah ini kita akan membangkitkan data yang berdistribusi binomial. Pada box yang keluar isilah sesuai isian berikut ini kemudian ok

MODUL 2 25


2. Data yang sudah dipeoleh ini kita anggap sebagai data populasi. Dari data populasi ini selanjutnya akan kita ambil beberapa sampel berukuran 5, 10 dan 20 untuk selanjutnya akan dibandingkan variansi dari rataan sampelnya. Dari menu utama pilih calc , Random Data kemudian sample from column . Isilah box yang keluar seperti isian berikut

3. Ulangi langkah 2 sebanyak 5x untuk masing masing ukuran sampel, jadi akan terdapat 5 sampel berukuran 5, 5 sampel ukuran 10 dan 5 sampel ukuran 20

MODUL 2 26


4. Dari setiap sampel hitunglah rata ratanya kemudian untuk setiap ukuran sampel hitunglah rata rata dan variansinya. Anda bisa menggunakan software lain untuk menghitung ratarata dan variansinya misalnya microsoft Excel .Mungkin hasil yang keluar ini bisa berbeda dengan hasil perhitungan anda

no sampel

ukuran 5 ukuran 10 Ukuran 20

1 39.6 41.4 40.452 42.6 40.9 40.73 40 37.7 42.854 37 42.8 41.855 42 38.8 40.5

rata2 40.24 40.32 41.27variansi 4.908 4.207 1.10575

Dari hasil diatas terlihat rata rata semua sampel mendekati rata rata populasi yaitu =np = 40, tetapi untuk ukuran n = 20 variansinya adalah yang terkecil, ini juga dapat dilihat dari rataan sampel dari no 1 sampai 5 yang hanya berbeda tipis. Ini menunjukkan dengan pengambilan sampel yang makin besar keakuratan pendugaannya akan semakin tinggi.

5. Pada pembuktian distribusi rataan sampel, langkah – langkahnya sebenarnya tidak jauh berbeda dengan 4 langkah sebelumnya hanya saja dalam hal ini diperlukan jumlah pengacakan yang jauh lebih banyak daripada 4 langkah sebelumnya. Untuk itu akan digunakan progam matlab untuk membantu meyelesaikan masalah ini.

MODUL 2 27


6. Bila dilakukan dengan software matlab, akan keluar tampilan berikut

Pada program tersebut, pada baris ketiga angka 500 menyatakan jumlah pengacakan Pada baris 4, perintah random (0,1,100,1) menyatakan perintah pengambilan sampel dari populasi yang memiliki mean 0, simpangan baku 1, sampel berukuran 100 dari 1 populasi.Pada baris 6 dan 7 mengandung arti pendefisian variabel Y sebagai sampel acak pertama yang berukuran 100.Pada baris 9, mean sampel 1,2,…500 dihitungDan pada baris 12, dibuat histogram dari mean sampel hasil perhitungan pada baris 9

7. Sekarang ubahlah angka 100 pada baris 4 dan 6 dengan angka 5. Jalankan program ini dengan memilih debug kemudian run and save ( Dalam langkah ini kita berusaha mengambil sampel acak berukuran 5). Simpanlah output gambar/ histogram yang keluar dengan

MODUL 2 28


file tersendiri. Ulangi langkah ini dengan mengganti angka 10, 20 dan 30.

8. Dari keempat histogram yang keluar tersebut, analisa apakah keempat histogram sudah berbentuk kurva normal baku dengan mean 0 dan simpangan baku 1? apakah ada pengaruh ukuran sampel? jelaskan!

Latihan1. Data seperti contoh no. 1, kemudian dilakukan

pengacakan 15 kali dan diambil sampel ukuran 10, 20, 30. Buat histogram dengan kurva normalnya dan uji kenormalannya.

2. Bangkitkan data dari komputer, kemudian lakukan pengacakan 20 kali, dari data berdistribusi normal, poisson dengan rata-rata 2, binomial dengan p = 0.6 dan n = 15. Buatlah histogramnya.

MODUL 2 29


MODUL 2 30

4 TRANSFORMASI DATA

Overview

Modul ini memberikan panduan untuk melakukan tranformasi data baik untuk satu angkatan data maupun beberapa angkatan data. Transformasi terhadap satu angkatan data biasanya dilakukan agar asumsi data berdistribusi normal terpenuhi, sedangkan transformasi untuk beberapa data biasanya dilakukan agar asumsi ragam sama pada beberapa angkatan data terpenuhi. Tes kenormalan kemudian juga dilakukan untuk melihat apakah transformasi yang dilakukan sudah tepat.

Tujuan

1. Dapat melakukan transformasi data dengan menggunakan Tangga Transformasi Tukey untuk melihat bagaimana bentuk distribusi data setelah dilakukan transformasi

2. Dapat memilih transformasi yang tepat untuk me-

MODUL 4 1

normalkan data

4.1 Transformasi untuk satu angkatan data

Dalam ilmu statistik sering kali digunakan asumsi dari bentuk data yang akan di analisa. Asumsi yang lazim digunakan adalah distribusi Normal. Bentuk data yang berdistribusi Normal dengan mean dapat digambarkan seperti grafik berikut

Bila dilihat, data yang berdistribusi Normal akan simetris terhadap dan sebagaian besar data akan mengelompok di tengah. Dalam kenyataannya seringkali bentuk data yang diperoleh tidak berbentuk seperti distribusi normal tetapi berbentuk menjulur ke kanan seperti gambar berikut

Bentuk data yang lainnya adalah menjulur ke kiri yang dapat dilihat pada gambar berikut :

MODUL 4

2

Agar asumsi bahwa data berdistribusi Normal tetap dipenuhi, maka perlu dilakukan suatu transformasi terhadap data asli. Transformasi dilakukan untuk satu angkatan data bila data yang akan ditransformsi hanya satu angkatan data. Untuk memilih fungsi transformasi yang tepat digunakan tangga transformasi Tukey yang digambarkan sebagai berikut :

Tangga transformasi ini dapat diartikan sebagai berikut :Transformasi akan membuat bentuk distribusi data menjadi menjulur kekanan secara kuat, sedangkan

transformasi akan membuat bentuk distribusi data

menjadi menjulur kekiri secara kuat. Sebagai contoh bila kita memiliki data yang menjulur kekanan secara lemah maka kita dapat transformasi agar data menjadi Normal, sebaliknya bila data menjulur kekanan secara sedang maka transformasi x3 agar data menjadi Normal. Penentuan bahwa suatu data menjulur secara lemah,sedang atau kuat besifat subyektif sehingga akan lebih baik bila digunakan beberapa

MODUL 4

3

Kuat sedang lemah lemah sedang kuat

MENJULUR KE KIRI SIMETRIS MENJULUR KE KANAN

transformasi sekaligus kemudian baru dibandingkan hasilnya. Penentuan apakah hasil transformasi sudah Normal atau tidak adalah melalui uji kenormalan

4.2 Transformasi untuk beberapa angkatan data (menyamakan sebaran)

Ketika dimiliki beberapa angkatan data, maka biasanya ingin dilakukan pembandingan antara angkatan satu dengan angkatan lainnya. Proses membandingkan ini lebih mudah bila semua angkatan data memiliki

Bentuk distribusi baku Sebaran data yang sama

Bila kedua syarat diatas sudah dipenuhi, maka untuk membandingkan angkatan angkatan tersebut, cukup dibandingkan masing masing tarafnya ( nilai Median ) saja. Untuk menyamakan sebaran semua angkatan ( membuat sebaran hampir sama), digunakan transformasi seperti pada tangga transformasi Tukey tetapi dengan acuan yang sedikit berbeda. Sebaran masing masing angkatan diukur dengan dQ = Q3 Q1 yaitu simpangan kuartil.

Penentuan transformasi yang tepat dilakukan dengan prosedur berikut1. Hitung taraf dari setiap angkatan2. Hitung sebaran dari setiap angkatan3. Tentukan Taraf terbesar (TA), Taraf terkecil (TB), Sebaran

yang berseuaian dengan TA (= SA) dan Sebaran yang berseuaian dengan TB (= SB) dari seluruh angkatan

4. Hitung koefisien arah b yang memiliki rumus

MODUL 4 4

Berdasarkan nilai b, pilihlah transformasi yang tepat sesuai dengan tabel berikutNilai b (disekitar)

Transformasi yang dipilih

Keterangan

Negatif xk Makin kecil b > makin besar k (k : bulat)

0,51 Log x

1,5

2

4.3 Aplikasi Minitab

Berikut ini contoh data (tabel data transformasi) yang menjulur ke kanan yang digambarkan dengan histogram.

Tabel data transformasi7.2 5.6 9.7 2.9

2.3 14.3 2.6 6.8

1.8 3.0 15.3 1.8

5.9 2.5 8.3 3.4

17.3 3.8 2.4 6.9

2.0 1.7 1.9 8.8

4.8 5.5 3.6 6.5

10.9 3.7 4.9 1.9

3.4 2.9 9.3 3.6

4.4 4.6 3.4 3.4

9.6 4.8 10.4 3.7

7.5 8.3 4.0 2.4

MODUL 4 5

1.7 5.8 3.8 13.7

4.6 2.8 4.9 15.3

3.4 6.3 1.5 1.3

2.1 3.1 4.8 4.9

1.5 7.6 4.4 12.0

3.7 5.5 2.9 2.3

5.3 8.0 6.4 3.2

4.1 3.5 0.5 5.9

9.1 1.7 2.1 3.0

5.7 11.4 8.1 3.7

0.9 6.5 3.6 3.6

1.9 1.7 11.9 2.4

2.3 2.1 5.2 2.9

1. Buat file baru : file transformasi, kemudian simpan data diatas pada kolom c1

2. Buat histogramnya

20100

20

10

0

jlrkanan

Fre

quency

Histogram menjulur ke kanan

3. Lakukan tes kenormalan data terhadap data C1

MODUL 4 6

Dari hasil uji Anderson-Darling (lihat modul kenormalan data) ,didapatkan p-value = 0.000 ini berarti secara kuat disimpulkan bahwa data tidak berdistribusi Normal.

4. Lakukan transformasi terhadap C1, simpan datanya pada C2. Buat Histogram berdasarkan data C2, diperoleh

4.53.52.51.50.5

15

10

5

0

akar x

Fre

quency

Histogram Transformasi dg akar x

5. Lakukan tes kenormalan data terhadap data C2Dari Dari hasil uji Anderson-Darling,didapatkan p-value = 0.001 ini berarti disimpulkan bahwa data juga tidak berdistribusi Normal.

6. Lakukan transformasi Log x terhadap C1, simpan datanya pada C3. Histogram berdasarkan data C3, diperoleh

MODUL 4 7

1.00.50.0

15

10

5

0

log x

Fre

quen

cy

Histogram Transformasi dg log

7. Lakukan tes kenormalan data terhadap data C3Dari hasil uji Anderson-Darling,didapatkan p-value = 0.849 ini berarti secara kuat disimpulkan bahwa data berdistribusi Normal.

Dari kedua transformasi diatas dapat dilihat bahwa data yang sebelumnya menjulur kekanan secara sedang, dengan transformasi bentuk data menjadi menjulur ke kanan secara lemah, sedangkan dengan transformasi Log x data menjadi Normal. Nantinya yang diolah dengan statistik adalah data Log x bukan data aslinya.

Sebagai eksperimen lainnya, lakukan tranformasi x2 atau x3 , simpan datanya pada C4, C5 kemudian buat histogram dan lakukan tes kenormalan maka diperoleh bentuk data akan

MODUL 4 8

semakin menjulur kekanan seperti ditunjukkan dari histogram berikut.

3002001000

35

30

25

20

15

10

5

0

transf x

Fre

qu

en

cy

Histogram of hasil transformasi x2

5000450040003500300025002000150010005000

80

70

60

50

40

30

20

10

0

transf x

Fre

qu

en

cy

Histogram of transformasi x3

MODUL 4 9

LatihanPeriksa distribusi data berikut, bila belum simetris, lakukan transformasi yang tepat seperti pada langkah – langkah praktikum diatas

605

507

633

477

575

468

661

498

553

500

420

466

548

498

425

588

457

449

451

589

356

513

345

547

445

558

377

499

448

486

455

503

450

478

361

495

468

426

345

519

501

493

531

482

443

555

521

545

489

542

360

489

44 51 44 39

MODUL 4 10

3 0 2 2426

677

503

636

464

763

573

672

428

738

571

597

455

608

534

597

552

433

414

521

443

460

575

576

485

485

635

568

MODUL 4 11

5 UJI HIPOTESIS STATISTIK DAN PROPORSI

Overview

Modul ini memberikan panduan untuk melakukan uji hipotesis terhadap nilai tengah dan proporsi. Uji hipotesis terhadap nilai tengah meliputi uji terhadap terhadap satu nilai tengah maupun perbandingan antara dua nilai tengah, sedangkan uji proporsi meliputi uji satu proporsi dan perbandingan dua proporsi. Semua uji hipotesis yang dilakukan berdasarkan beberapa asumsi yaitu ragam diketahui maupun ragam tidak diketahui.

Tujuan

1. Mahasiswa memahami tentang uji hipotesis statistik2. Mahasiswa memahami tentang uji satu nilai tengah

dengan diketahui atau tidak dan dapat menerapkannya3. Mahasiswa memahami tentang uji selisih nilai tengah dari

dua sampel dengan diketahui atau tidak dan dapat menerapkannya

4. Mahasiswa memahami tentang uji proporsi satu dan dua proporsi

MODUL 5 1

5.1 Hipotesis statistik

Hipotesis statistik merupakan hal sangat penting dalam statistika inferensia. Hipotesis statistik yaitu suatu anggapan atau pernyataan yang mungkin benar atau tidak mengenai satu populasi atau lebih. Suatu hipotesis dianggap benar atau salah, tidak bias diketahui dengan pasti kecuali dilakukan pemeriksaan terhadap seluruh populasi. Tetapi hal tersebut tidak efisien. Untuk mengatasi hal tersebut dilakukan pengambilan sampel secara acak.

Dalam uji hipotesis sering digunakan istilah menerima atau menolak hipotesis yang dirumuskan, artinya jika diterima maka hipotesis yang dirumuskan benar dan jika ditolak maka berlaku sebaliknya. Dari hal tersebut, dapat dikatakan bahwa perumusan suatu hipotesis sering dipengaruhi oleh bentuk peluang dari kesimpulan yang salah. Hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan ditolek disebut hipotesi nol. Penolakan terhadap hipotesis nol tersebut akan mengakibatkan pada penerimaan terhadap suatu hipotesis lain yang disebut hipotesis alternatif.

Prosedur pengambilan kesimpulan kadangkadang dapat membawa pada kesimpulan yang salah. Dalam pengujian hipotesis statistik, ada dua jenis kesalahan yaitu:a. Kesalahan jenis pertama (galat jenis I)

Yaitu penolakan hipotesis nol, padahal hipotesis nol benar. Peluang galat jenis I disebut taraf nyata yang dinotasikan dengan . Biasanya taraf nyata disebut dengan ukuran wilayah kritis.

b. Kesalahan jenis kedua (galat jenis II)

MODUL 5 2

Yaitu penerimaan hipotesis nol, padahal hipotesis nol salah. Peluang galat jenis II dinotasikan dengan . Nilai dari tidak mungkin dihitung, kecuali bila hipotesis alternatifnya lebih spesifik.

Sifat dari pengujian hipotesis nol melawan hipotesis alternatif ada dua yaitu : Hipotesis alternatif yang bersifat dua arah

H0 : = 0

H1 : 0

Pada hipotesis jenis ini, wilayah kritisnya terbagi menjadi dua bagian, yang letaknya pada masingmasing ekor dari sebaran statistik ujinya.

Hipotesi alternatif yang bersifat satu araha) H0 : 0 atau b) H0 : 0

H1 : > 0 H1 : < 0

Wilayah kritis untuk a) terletak seluruhnya di ekor sebelah kanan dari sebaran statistik ujinya. Sedangkan untuk b) sebaliknya.

Dalam menentukan keputusan akhir untuk menerima atau menolak H0 , didasarkan pada wilayah kritis dengan pvalue yang mendukung keberartian suatu uji dalam bentuk peluang. Pvalue adalah taraf keberartian terkecil, sehingga nilai suatu uji statistik yang diamati masih berarti.Bila pvalue , maka H0 ditolak.

Prosedur pengujian hipotesis dapat mengikuti langkahlangkah berikut :1. Merancang hipotesis nol dan hipotesis alternatif2. Menguji kenormalan3. Memilih taraf keberartian 4. Menguji kesamaan ragam5. Menentukan dan menghitung nilai statistik uji yang sesuai

MODUL 5 3

6. Menentukan daerah kritis dan membuat keputusan apakah menerima atau menolak H0 (di mana pengambilan keputusan dapat didasarkan pada tiga hal yaitu nilai kristis dari statistik uji, selang kepercayaan, atau pvalue)

7. Membuat kesimpulan akhir mengenai sampel yang diambil

5.1.1 Pengujian hipotesis untuk satu nilai tengah

X1, X2, …, Xn merupakan peubah acak yang menyebar secara normal dengan nilai tengah tidak diketahui. Perumusan hipotesinya sebagai berikut :

H0 : = 0 atau H0 : 0 atau H0 : 0

H1 : 0 H1 : > 0 H1 : < 0

Pengujian hipotesis terhadap nilai tengah ada dua asumsi :1. Ragam diketahui

Uji hipotesis untuk ratarata x, di mana hipotesis nol menyebar normal dengan nilai tengah 0 dan simpangan baku ratarata populasi /n, statistik ujinya adalah :

Kriteria penolakan terhadap hipotesis nol ditampilkan dalam tabel berikut :

NO Hipotesis Alternatif

Kriteria penolakan

1 H1 : 0H0 ditolak pada saat Z Z/2 atau Z Z1/2

2 H1 : > 0 H0 ditolak pada saat Z Z1

3 H1 : < 0 H0 ditolak pada saat Z Z

MODUL 5 4

2. Ragam tidak diketahui Bila ragam tidak diketahui, maka statistik ujinya adalah tstudent, di mana ragam populasi diduga oleh ragam sampel. Statistik ujinya didefinisikan sebagai berikut

Adapun kriteria penolakan terhadap hipotesis nol dijelaskan pada tabel berikut


Kriteria penolakan

1 H1 : 0H0 ditolak saat t t/2, n1 atau t t1/2, n1

2 H1 : > 0 H0 ditolak pada saat t t1, n1

3 H1 : < 0 H0 ditolak pada saat t t, n1

5.1.2 Pengujian hipotesis untuk selisih dua nilai tengah

X1, X2, …, Xn dan Y1, Y2, …, Yn merupakan dua peubah acak yang saling bebas dan menyebar secara normal dengan nilai tengah x dan y, simpangan baku x dan y. Perumusan hipotesinya sebagai berikut :H0 : x y = 0 atau H0 : x y 0 atau H0 : x y 0 H1 : x y 0 H1 : x y > 0 H1 : x y < 0

Di mana 0 adalah suatu konstanta bernilai positif atau nol yang menunjukkan selisih antara dua nilai tengah yang tidak diketahui.seperti pada pengujian hipotesis untuk satu nilai tengah, ada dua asumsi yaitu :

MODUL 5 5

1. Ragam diketahuiStatistik uji didefinisikan sebagai berikut

Kriteria penolakan terhadap hipotesis nol adalah :


Kriteria penolakan

1 H1 : x y 0H0 ditolak pada saat Z Z/2 atau Z Z1/2

2 H1 : x y > 0 H0 ditolak pada saat Z Z1

3 H1 : x y < 0 H0 ditolak pada saat Z Z

2. Ragam tidak diketahuiBila ragam tidak diketahui, maka sebelum dilakukan pengujian hipotesis terlebih dahulu dilakukan pengujian terhadap ragam. Pengujian tersebut dilakukan untuk menduga apakah ragam kedua sampel sama atau tidak. Hipotesisnya adalah sebagai berikut : H0 : x = y H1 : x y

Sedangkan statistik ujinya adalah statistik uji Fisher yaitu

.

Bila didapatkan bahwa F F(, (nx1, ny1)), maka H0 ditolak, artinya ragam kedua sampel tidak sama. Sehingga derajat bebas yang akan digunakan dalam statistik ujinya adalah

MODUL 5 6

Statistik uji pengujian hipotesis terhadap selisih antara dua nilai tengah untuk ragam berbeda adalah

Sedangkan untuk ragam sama, dalam statistik ujinya menggunakan ragam gabungan, yaitu :

dimana statistik ujinya adalah

.

Kriteria penolakan terhadap hipotesis nol adalah :


Kriteria penolakan

1 H1 : x y 0 H0 ditolak pada saat t t/2, m

MODUL 5 7

atau t t1/2, m

2 H1 : x y > 0 H0 ditolak pada saat t t1, m

3 H1 : x y < 0 H0 ditolak pada saat t t, m

5.1.3 Aplikasi dengan minitab

Teknologi telekomunikasi di Indonesia berkembang sangat pesat, mulai dari teknologi berbasis AMPS, GSM, dan CDMA. Kehadiran produk telekomunikasi berbasis CDMA, merupakan alternatif bagi pengguna jasa telekomunikasi untuk memilih yang kualitasnya terbaik dan termurah. Saat ini banyak operator selular menggunakan teknologi berbasis CDMA, antara lain Bakrie Telecom dengan produknya esia, Telkom dengan flexi, dan Mobile-8 dengan fren. Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui rata-rata pengguna produk esia, flexi, dan fren dari 15 kecamatan di kota Bandung. Berikut adalah datanya :

NO Fren

Flexi

Esia

1 55 60 372 42 33 603 45 39 354 71 61 615 83 40 316 47 94 567 75 71 658 48 61 789 60 77 5910 69 64 2711 85 65 30

MODUL 5 8

12 54 70 4513 31 80 3814 25 61 2515 30 50 35

Langkah-langkah pengolahan dengan menggunakan minitab 15 : 1. Simpan data tersebut pada worksheet minitab2. Kemudian uji kenormalan data, bila data sudah normal,

maka dilakukan uji dua ragam (ragam sama atau berbeda) dengan cara pilih menu stat, lalu basic statistics, kemudian dua ragam, maka akan muncul kotak dialog seperti di bawah kemudian ketikkan kolom data pada isian sampel, klik option atau storage bila perlu, lalu OK

3. Hasil yang diperoleh sebagai berikut :

MODUL 5 9

Dari hasil yang diperoleh di atas, dapat diketahui bahwa ragam kedua sampel sama, karena Pvalue = 0.582 > 0.05

4. Pengujian hipotesis, dilakukan dengan cara pilih stat, basic statistics, kemudian pilih 2-sample t, kemudian isi kotak dialog

MODUL 5 10


MODUL 5

Two-sample T for Fren vs Flexi N Mean StDev SE MeanFren 15 54.7 19.0 4.9Flexi 15 61.7 16.3 4.2

Difference = mu (Fren) - mu (Flexi)Estimate for difference: -7.0795% CI for difference: (-20.31, 6.18)T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value =-1.09 P-Value = 0.284 DF = 28Both use Pooled StDev = 17.7062

11

Untuk menolak atau menerima Ho dapat dilihat dari 3 hal yaitu :- Karena selang kepercayaan untuk selisih nilai tengah

adalah , sehingga nol termasuk di selang tersebut, maka Ho diterima

- Pvalue = 0.284 > 0.05, maka Ho diterima- Nilai kritis (t hitung = -1.09 > t tabel) maka Ho

diterima

Karena Ho diterima, maka dapat disimpulkan bahwa rata-rata jumlah pengguna produk fren dan flexi di 15 kecamatan kota Bandung sama. Hal itu dimungkinkan dua produk tersebut masing-masing mempunyai kelebihan dan kekurangan, sehingga konsumen akan memilih produk yang sesuai dengan kebutuhannya.

MODUL 5 12

6. Untuk latihan, lakukan langkah dan analisis yang sama untuk fren vs esia, flexi vs esia.

5.2 Uji proporsi

Proporsi menyatakan perbandingan “banyaknya sukses” terhadap total pengamatan. Bila x menyatakan banyaknya sukses dari n ulangan, maka nilai proporsi p dihitung dengan

rumus : .Uji proporsi dapat dilakukan terhadap satu nilai

proporsi atau perbandingan beberapa nilai proporsi. Asumsi yang digunakan adalah proporsi berdistribusi binomial.

5.2.1 Uji terhadap satu nilai proporsi

Hipotesis yang digunakan untuk uji satu nilai proporsi dengan taraf antara lain berbentuk :a.

Wilayah kritik: dimana a adalah bilangan bulat terbesar yang bersifat

: Distribusi Binomial dengan parameter n dan p0

n : banyaknya eksperimen/ulanganp0 : peluang “sukses”

b.

MODUL 5 13

Wilayah kritik dimana a adalah bilangan bulat terkecil yang bersifat

: binomial dengan parameter n dan p0


c.

Wilayah kritik atau dimana a adalah bilangan bulat terkecil untuk atau bilangan bulat terbesar untuk yang bersifat

atau

: binomial dengan parameter n dan p0


Bila dari hasil perhitungan, nilai berada diwilayah kritik, maka tolak H0.

MODUL 5 14

5.2.2 Aplikasi dengan Minitab

Contoh Dimiliki suatu pernyataan bahwa 70% rumah yang ada di kota A sudah terpasang AC. Dari 15 yang rumah yang diamati, ternyata hanya 8 rumah yang telah terpasang AC. Benarkah pernyataan tersebut ?

Langkah – langkah 1. Karena yang ingin disimpulkan adalah proporsi rumah

terpasang AC = 70% atau tidak, maka uji hipotesis yang dipilih adalah

Taraf = 5% = 0,052. Pilih menu Basis Statistic , 1 Proportion

MODUL 5 15

3. Isilah kotak dialog dengan isian berikut

MODUL 5 16

Number of event = 8, menyatakan banyaknya kejadian sukses

Number of trial = 15, menyatakan banyaknya sampel yang diambil

Hypothesized proportion =0,7 menyatakan nilai dari H0

4. Klik option untuk menentukan tingkat signifikan () dan jenis hipotesis yang akan dipilih

5. Hasilnya adalah sebagai berikut :

Karena nilai P-value=0.258 >0.05, maka H0 tidak ditolak. Data tidak cukup kuat untuk menolak pernyataan bahwa 70% rumah terpasang AC.

MODUL 5

Test and CI for One Proportion

Test of p = 0.7 vs p not = 0.7

Exact

Sample X N Sample p 95% CI P-Value1 8 15 0.533333 (0.265861, 0.787333) 0.258

17

5.2.3 Pendekatan normal baku untuk uji terhadap satu nilai proporsi

Pada pengujian satu nilai proporsi, ada situasi dimana tabel binomial sulit untuk digunakan, misalkan untuk nilai n yang sangat besar(kecuali dengan bantuan komputer). Salah satu pendekatan yang bisa digunakan adalah dengan melakukan transformasi ke bentuk normal baku. Parameter dan

ditaksir dengan rumus : dan . Statistik uji yang digunakan adalah

n : banyaknya eksperimen/ulanganp0 : peluang “sukses” / proporsi

Z berdistribusi normal baku dengan dan . Wilayah kritiknya menjadi

bila uji hipotesisnya


atau bila uji hipotesisnya


Contoh Obat untuk ketegangan syaraf selama ini memiliki kefektifan 60%. Sebuah obat baru diuji terhadap 100 pasien, 70 orang sembuh sehingga tingkat keefektifannya 70%. Apakah obat baru tersebut bisa dikatakan lebih efektif dari obat lama?

Langkah – langkah

MODUL 5 18

1. Karena yang ingin disimpulkan adalah tingkat keefektifan obat baru > 60% atau tidak, maka uji hipotesis yang dipilih adalah

Taraf = 5% = 0,052. Langkah – langkah yang dilakukan untuk uji hipotesis ini

mirip dengan uji hipotesis tanpa menggunakan pendekatan normal. Perbedaannya adalah ketika memilih kotak option kita memilih check list “use test and interval test based on normal distribution” seperti berikut ini

MODUL 5 19


Berarti nilai z masuk dalam wilayah kritik karena P-value= 0,021 < 0,05.Jadi dapat disimpulkan bahwa tingkat keefektifan obat baru lebih tinggi dari obat lama.

5.2.5 Pengujian perbandingan dua proporsi

Pengujian terhadap proporsi tidak hanya bisa dilakukan terhadap satu nilai proporsi. Bila kita sedang meneliti dua

MODUL 5

Test and CI for One Proportion

Test of p = 0.6 vs p > 0.6

95% LowerSample X N Sample p Bound Z-Value P-Value1 70 100 0.700000 0.624623 2.04 0.021

Using the normal approximation.

20

buah proporsi, maka kedua proporsi tersebut dapat diperbandingkan yaitu berdasarkan sebaran selisih proporsinya. Selisih proporsi ini kemudian ditransformasi kebentuk normal baku dengan rumus z yaitu :

Dimana

: Banyaknya sukses kategori 1

: Banyaknya sukses kategori 2

: Banyaknya ulangan/sampel kategori 1

: Banyaknya ulangan/sampel kategori 2

Hipotesisnya

Wilayah kritiknya sama seperti pendekatan normal baku untuk pengujian terhadap satu nilai proporsi yaitu :



atau bila uji hipotesisnya


Contoh

MODUL 5 21

Suatu penelitian dilakukan untuk melihat apakah proporsi lulusan smu kotamadya Bandung(p1) yang akan melanjutkan ke PT(Perguruan Tinggi) lebih tinggi daripada proporsi lulusan smu kabupaten Bandung(p2) yang akan melanjutkan ke PT dengan taraf 2,5%. Dari sampel acak yang diambil, diperoleh hasil bahwa dari 200 lulusan asal kotamadya, 120 orang akan melanjutkan ke PT. Sedangkan dari 500 lulusan asal kabupaten, 240 orang akan melanjutkan ke PT.

Langkah – langkah 1. Karena yang ingin disimpulkan proporsi lulusan smu

kotamadya Bandung(p1) yang akan melanjutkan ke PT(Perguruan Tinggi) lebih tinggi daripada proporsi lulusan

smu kabupaten Bandung(p2), maka uji hipotesis yang dipilih adalah

atau

atau Taraf = 5% = 0,025 selang kepercayaan = 97,5 %

2. Pilih menu Basis Statistic , 2 Proportion

MODUL 5 22

3. Isilah kotak dialog dengan isian berikut

MODUL 5 23

Number of event menyatakan banyaknya kejadian sukses (siswa yang melanjutkan ke PT). First : kodya, Second : kabupatenNumber of trial , menyatakan banyaknya sampel yang

diambil

4. Klik option untuk menentukan tingkat signifikan () dan jenis hipotesis yang akan dipilih


MODUL 5 24

Karena nilai P-value =0.002 <0.025, maka H0 tidak ditolak. Proporsi lulusan siswa SMA kodya yang melanjutkan ke PT lebih tinggi daripada lulusan siswa SMA kabupaten

Latihan1. Suatu penelitian diadakan untuk mengetahui apakah rata-

rata banyaknya panggilan tiap 2 jam yang diterima oleh swicthboard pada dua wartel sama atau tidak. Berikut adalah rata-rata banyaknya panggilan dari dua wartel tiap 2 jam selama 15 hariH 1 2 3 4 5 6 7 8W1 20 10 12 6 12 8 22 13W2 10 10 23 6 8 6 15 12W1 10 8 9 15 20 15 10 10W2 11 5 10 18 8 6 12 12

a. Buatlah hipotesisnya b. Uji dan buat kesimpulannya

MODUL 5

Test and CI for Two Proportions

Sample X N Sample p1 120 200 0.6000002 240 500 0.480000

Difference = p (1) - p (2)Estimate for difference: 0.1297.5% lower bound for difference: 0.0392076Test for difference = 0 (vs > 0): Z = 2.91 P-Value = 0.002

Fisher's exact test: P-Value = 0.003

25

1. Suatu sampel acak berukuran 20 diambil dari nilai UTS matakuliah Statistika dari mahasiswa 01. 02, dan 03 Penelitian tersebut dimaksudkan untuk membandingkan kemampuan akademik antara mahasiswa kelas 01. 02, dan 03, berdasarkan uji selisih nilai tengah antara dua sampel. Adapun datanya sebagai berikut :

NO Nilai UTS 01

Nilai UTS 02

Nilai UTS 03

1 43 92 632 75 47 833 43 56 444 78 74 375 60 79 346 76 28 537 60 71 538 63 68 609 60 69 4210 53 80 3611 60 63 3712 25 86 5013 50 65 7214 40 99 5215 50 59 6516 65 65 7317 70 78 5818 65 66 8119 75 66 1520 5 96 63

a. Pengujian selisih nilai tengah antara nilai UTS mahasiswa 01 dengan 02Misal X adalah peubah acak yang menyatakan nilai UTS mahasiswa 01

MODUL 5 26

Misal Y adalah peubah acak yang menyatakan nilai UTS mahasiswa 02

b. Pengujian selisih nilai tengah antara nilai UTS mahasiswa 02 dengan 03Misal X adalah peubah acak yang menyatakan nilai UTS mahasiswa 02 Misal Y adalah peubah acak yang menyatakan nilai UTS mahasiswa 03

3. Lakukan uji proporsi pada data-data berikut, yaitu :

2) Data miskonsepsi siswa dengan model konstruktivis terhadap suatu mata pelajaran

NO PRA TEST

POST TEST

JENIS

1 8 15 P2 7 15 P3 10 21 L4 10 15 P5 11 21 L6 12 25 L7 16 21 P8 15 22 P9 17 10 P10 17 21 L11 16 23 P12 17 25 L13 18 25 P14 18 12 L15 18 20 L16 19 25 L17 20 26 L18 19 20 L

MODUL 5 27

19 23 27 P20 20 26 P21 18 27 L22 21 20 P23 22 25 P24 22 25 P25 20 26 L26 18 27 L27 21 28 P28 19 29 L29 23 29 L30 21 29 P31 25 29 P32 25 29 P33 23 29 L34 26 30 P35 25 30 L

MODUL 5 28

6 ANALISIS VARIANSI

Overview

Analisis variansi ini merupakan alternatif lain bagi pengujian nilai tengah selain menggunakan uji-t. Salah satu perbedaan utama antara analisis variansi dengan uji-t adalah kemampuan uji untuk membandingkan beberapa angkatan data secara serempak. Pada analisis variansi yang lebih kompleks (banyak faktor), nilai tengah bisa berasal dari beberapa faktor. Modul ini memberikan penjelasan mengenai analisis satu faktor saja.

Tujuan

1. Mahasiswa memahami tentang konsep analisis variansi dan asumsi-asumsinya

2. Mahasiswa dapat membuat tabel analisis variansi untuk membandingkan nilai tengah beberapa angkatan data secara serempak

3. Mahasiswa dapat membuat kesimpulan yang tepat terkait dengan uji hipotesis yang dibuat

MODUL 6 1

6.1 Asumsi-asumsi pada analisis variansi

Pada modul IV, telah dibahas masalah kenormalan data. Hal tersebut merupakan landasan yang penting pada tahap pengujian hipotesis dan analisis variansi. Hal mendasar pada analisis variansi adalah membandingkan lebih dari dua populasi berdasarkan pada lebih dari dua buah angkatan data. Asumsi-asumsi yang diperlukan pada analisis variansi adalah :1. Setiap angkatan data berasal dari populasi yang berdistribusi normal.2. Setiap populasi memiliki variansi yang sama.3. data yang satu dengan yang lainnya merupakan pengamatan yang saling bebas.

Dalam prakteknya asumsi-asumsi tersebut tidak dituntut terlalu ketat, yaitu :1. Mengenai kenormalan data, bila distribusinya cukup dekat

ke normal, maka asumsi tersebut sudah dipenuhi2. Mengenai kesamaan variansi, bila nilai variansi terbesar <

3 x variansi terkecil, maka hal tersebut tidak sudah cukup3. Mengenai kebebasan antar pengamatan, dapat dilakukan

dengan metode pengambilan sampel secara acak.

6.2 Uji Kesamaan RagamHipotesis kesamaan ragam :

H0 : 21 = 2

2 = .... = 2n

H1 : ragam-ragam tersebut tidak semuanya sama

Ada dua kasus pada uji bartlett :

MODUL 6 2

a. Ukuran sampel sama

adalah ragam gabungan yaitu

adalah ragam masing-masing sampel

Bila , maka H0 ditolak pada taraf nyata

b. Ukuran sampel tidak sama

Pada kasus ini, bila , maka H0

ditolak pada taraf nyata . Dalam hal ini,

6.3 Tabel analisis variansi

Berdasarkan asumsi-asumsi di atas, maka terdapat hubungan bahwa variansi hasil penggabungan dari semua angkatan data terdiri atas rata-rata variansi setiap angkatan dan variansi daris semua rata-rata angkatan. Misalkan akan dibandingkan m buah angkatan data, maka hubungan tersebut dapat dinyatakan sebagai :

MODUL 6 3

di mana JKT = Jumlah Kuadrat TotalJKD = Jumlah Kuadrat Dalam angkatanJKA = Jumlah Kuadrat Antar angkatan

ni = banyaknya data dalam angkatan ke-iV = variansi dari semua rata-rata angkatanN = Total data penggabungan semua angkatanS2 = variansi gabungan

= variansi angkatan ke-i

= rata-rata angkatan ke-i

= rata-rata gabungan N – 1 = derajat kebebasan total N – m = derajat kebebasan dalam angkatan m – 1 = derajat kebebasan antar angkatan

Misal diketahui data setiap angkatan sebagai berikut :Angkatan ke-1

Angkatan ke-2

......

...Angkatan ke-m

X11 X21 .........

Xm1

X12 X22 ........

Xm2

: : :X1n1 X2n2 ......

..Xmnm

MODUL 6 4

Untuk menghitung JKT, JKD, dan JKA digunakan rumusan sebagai berikut :

Untuk membandingkan m populasi berdasarkan m buah angkatan data, dan berdasarkan asumsi-asumsi analisis variansi, maka hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya didefinisikan sebagai berikut :

H0 : 1 = 2 = ..... = m H1 : paling sedikit ada satu pasangan (i, j) sehingga i

≠ j

Sedangkan statistik uji yang digunakan adalah statistik Fisher

yang didefinisikan sebagai . Kemudian

nilai F hasil perhitungan debandingkan dengan nilai F dari

tabel, yaitu F, (m-1), (N-m). Bila Fhit F, (m-1), (N-m), maka

MODUL 6 5

H0 ditolak, sehingga paling sedikit ada satu pasangan (i, j)

sehingga i ≠ j.

Tabel analisis variansi dapat ditampilkan sebagai berikut :Sumber Variansi

Jumlah Kuadrat

Derajat bebas

Rata-rata Kuadrat

Fhit

Antar angkatan

JKA m – 1 RKA RKA/RKD

Dalam angkatan

JKD N – m RKD

Total JKT = JKA + JKD

N – 1

6.4 Aplikasi dengan minitabTeknologi telekomunikasi di Indonesia berkembang sangat pesat, mulai dari teknologi berbasis AMPS, GSM, dan CDMA. Kehadiran produk telekomunikasi berbasis CDMA, merupakan alternatif bagi pengguna jasa telekomunikasi untuk memilih yang kualitasnya terbaik dan termurah. Saat ini banyak operator selular menggunakan teknologi berbasis CDMA, antara lain Bakrie Telecom dengan produknya esia, Telkom dengan flexi, dan Mobile-8 dengan fren. Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui rata-rata pengguna produk esia, flexi, dan fren dari 15 kecamatan di kota Bandung. Berikut adalah datanya :

NO Fren

Flexi

Esia

1 55 60 372 42 33 603 45 39 354 71 61 615 83 40 31

MODUL 6 6

6 47 94 567 75 71 658 48 61 789 60 77 5910 69 64 2711 85 65 3012 54 70 4513 31 80 3814 25 61 2515 30 50 35

Langkah-langkah pengolahan dengan menggunakan minitab 15 : 1. Simpan data tersebut pada worksheet minitab2. Kemudian uji kenormalan data, bila data sudah normal,

maka dilakukan uji kesamaan ragam dengan cara pilih menu stat, lalu ANOVA, kemudian test for equal variances, maka akan muncul kotak dialog seperti di bawah kemudian ketikkan kolom data pada isian response dan kolom subcript pada factor, klik option atau storage bila perlu, lalu OK (catatan kolom harus di stack dulu, pada menu data)

MODUL 6 7

3. Hasil yang diperoleh sebagai berikut :

MODUL 6 8

Dari hasil yang diperoleh di atas, dapat diketahui bahwa ragam ketiga sampel sama, karena Pvalue = 0.811 > 0.05

4. Pengujian hipotesis, dilakukan dengan cara pilih Stat, ANOVA, kemudian pilih 2-sample t, kemudian isi kotak dialog


MODUL 6 9

MODUL 6

Test for Equal Variances: C4 versus C5

One-way ANOVA: Fren, Flexi, Esia

Source DF SS MS F PFactor 2 1996 998 3.35 0.045Error 42 12520 298Total 44 14516

S = 17.27 R-Sq = 13.75% R-Sq(adj) = 9.64%

Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDevLevel N Mean StDev ----+---------+---------

+---------+-----Fren 15 54.67 18.98 (--------*--------)Flexi 15 61.73 16.33 (--------*--------)Esia 15 45.47 16.35 (--------*--------) ----+---------+---------+---------+----- 40 50 60 70Pooled StDev = 17.27

10

Untuk menolak atau menerima Ho dapat dilihat dari 2 hal yaitu :- Pvalue = 0.045 < 0.05, maka Ho ditolak- Nilai kritis (F hitung = 3.35 > F tabel) maka Ho ditolak

Karena Ho ditolak, maka dapat disimpulkan bahwa rata-rata jumlah pengguna produk fren, flexi dan esia di 15 kecamatan kota Bandung berbeda. Hal itu dimungkinkan satu atau dua dari tiga produk tersebut ada yang mempunyai kelebihan, sehingga konsumen akan cenderung memilih produk tersebut.

MODUL 6 11

Latihan1. Berikut adalah data pengunjung dari lima warnet dalam

waktu 1 minggu.

Warnet/hr

1 2 3 4 5 6 7

A 10

20

25

8 35

20

20

B 18

15

10

26

25

30

30

C 12

25

30

35

9 10

10

D 15

15

20

10

25

20

25

E 20

10

8 9 35

35

15

Lakukan pengujian apakah rata-rata pengunjung dari lima warnet dalam waktu satu minggu sama atau tidak, dengan taraf nyata 0.05 dan 0.01.

2. Berikut adalah data penjualan dari lima merk Laptop yang dijual di BEC dari 8 pusat penjualan selama satu bulan.

Merk/ Toko

I II III

IV V

Accer 6 10

8 12

5

Toshiba 4 3 9 10

2

Compac 15

10

8 12

10

IBM 5 3 6 8 2

MODUL 6 12

HP 4 3 6 10

3

Dengan menggunakan analisis ragam dan taraf nyata 0.05, uji apakah rata-rata penjualan dari kelima merk laptop di BEC sama, dengan menggunakan hipotesis seperti pada dasar teori di atas.

3. Berikut adalah data nilai toefl tiga jurusan yaitu TE, IF, dan TI angkatan 2006

ST TI IF426.6

67450.0

00453.3

33520.0

00506.6

67480.0

00216.6

67456.6

67550.0

00290.0

00576.6

67460.0

00410.0

00360.0

00403.3

33400.0

00500.0

00380.0

00370.0

00430.0

00443.3

33490.0

00413.3

33216.6

67343.3

33386.6

67450.0

00390.0

00363.3

33453.3

33373.3

33433.3

33216.6

67430.0

00543.3

33463.3

33

MODUL 6 13

456.667

350.000

430.000

580.000

436.667

363.333

410.000

386.667

430.000

436.667

350.000

216.667

423.333

416.667

473.333

413.333

410.000

403.333

396.667

386.667

406.667

430.000

366.667

413.333

410.000

406.667

446.667

430.000

543.333

416.667

510.000

426.667

416.667

216.667

363.333

443.333

420.000

383.333

540.000

420.000

380.000

473.333

483.333

413.333

413.333

370.000

383.333

520.000

433.333

216.667

510.000

MODUL 6 14

476.667

420.000

420.000

Lakukan analisis ragam dengan taraf nyata 0.05 pada data tersebut. Kemudian uji apakah rata-rata nilai toefl mahasiswa dari tiga juruan sama ataukah berbeda.

MODUL 6 15

7 REGRESI LINIER DAN NON-LINIER SEDERHANA

Overview

Dalam sebuah penelitian, sering kita memiliki data yang berpasangan (X,Y). Data tersebut bisa jadi diperoleh dari sebuah percobaan terhadap peubah X sedangkan respon yang terjadi dicatat sebagai peubah Y. Hal menarik yang bisa disimpulkan dari data yang berpasangan adalah tingkat keeratan hubungan antara X dan Y serta bentuk hubungan fungsionalnya. Modul ini memberikan panduan langkah – langkah kepada mahasiswa dalam menentukan hubungan antara dua peubah X,Y yang paling tepat, langkah – langkah pengujian koefisien regresi beserta penentuan tingkat keeratannya.

Tujuan

1. Mahasiswa dapat membuat model regresi linier maupun non-linier sederhana dari data berpasangan (X,Y).

2. Mahasiswa dapat memahami keterkaitan antara model linier dan model non-linier.

3. Mahasiswa dapat menentukan model regresi yang terbaik berdasarkan pengujian terhadap koefisien regresi dan nilai

MODUL 7 1

R2

7.1 Regresi

Suatu permasalahan penelitian biasanya dapat dijelaskan oleh dua atau lebih variabel yang saling berhubungan satu sama lain. Variabel-variabel yang saling berhubungan tersebut membentuk suatu persamaan matematis yang dapat digunakan untuk menentukan nilai sebuah variabel yang bergantung pada nilai variabel yang lain. Dalam statistika, hubungan fungsional antara variabel tak bebas ( dinotasikan Y ) dengan variabel bebas ( dinotasikan X ) disebut regresi antara Y dan X. Persamaan regresi yang akan dibahas pada bab ini persamaan linier sederhana, persamaan non-linier yang dibangkitkan dari persamaan linier yaitu eksponensial dan geometrik.

7.1.1 Model untuk regresi linier sederhana

Bentuk umum :

: variabel takbebas: variabel bebas: error yang terjadi pada eksperimen

Nilai selalu berubah ubah pada setiap x jadi sulit untuk ditebak, model ini kemudian diduga oleh dengan metode kuadrat terkecil yaitu meminimumkan jumlah kuadrat

error ( ). Dari metode kuadrat terkecil didapatkan

nilai untuk a dan b

MODUL 7 2

dan

Untuk melihat seberapa baik model regresi yang diperoleh, dapat dilihat melalui nilai koefisien korelasi determinasi R2

yang memiliki nilai 0 sampai 1 dan memiliki rumus

Selain menggunakan R2, untuk mengetahui kelayakan suatu model regresi yang telah diperoleh yang digunakan menduga hubungan antara variabel X dengan variabel Y, dilakukan dengan pengujian terhadap koefisien-koefisien regresi yaitu :

1. Pengujian koefisien regresi secara serentakHipotesis : - H0 : a = b = 0- H1 : paling tidak terdapat satu koefisien tidak sama

dengan nolTabel analisis ragam untuk uji koefisien regresi secara serentakSumber keragaman

Derajatbebas

Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah

Fhitung

Regresi p

Galat n-p-1 Sisa

Total n-1

MODUL 7 3

Statistik uji untuk penolakan H0 adalah :

2. Pengujian koefisien regresi secara individuHipotesis :- H0 : bp = 0- H1 : bp ≠ 0

Statistik uji yang digunakan :

Kriteria penolakan H0 adalah

Arti penolakan terhadap H0 adalah variabel bebas berpengaruh nyata terhadap variabel tak bebas Y (untuk H0 : b1 = 0), sehingga model regresi linier dikatakan layak.

7.1.2 Model regresi non linier

7.1.2.1 Model eksponensial

Bentuk umum regresi model eksponensial adalah .

Model tersebut diduga dengan .Nilai a dan b diperoleh dengan cara langkah langkah berikut :

- Dengan melogaritmakan persamaan , diperoleh

- Model tersebut berubah menjadi model linier, sehingga nilai c dan d didapatkan dari rumusan model linier yaitu

MODUL 7 4

dan

dimana dan

7.1.2.2 Model geometrik (power )

Regresi model geometrik mempunyai bentuk umum . Pendugaan model tersebut adalah .Nilai a

dan b diperoleh dengan cara sebagai berikut :- Dengan melogaritmakan persamaan , diperoleh

- Nilai c dan d bisa didapatkan dari rumusan model linier yaitu

dan

dimana

7.1.3 Aplikasi dengan minitab

Regresi Linier

MODUL 7 5

Berikut adalah data produksi pulsa tingkat nasional (106)

a. Gambarkan diagram pencarb. Tentukan persamaan regresinyac. Hitung korelasinya

d. berapakah produksi pulsa pada tahun 2007

Langkah-langkah :1. Ketik data tersebut pada kolom C1(X) dan C2(Y)

2. Membuat diagram pencar dengan cara: pilih menu graph, lalu pilih scatter plot, klik with regression. Setelah muncul kotak dialog, ketik kolom yang sesuai untuk variabel Y dan X, dan atur skala, dan lain-lain, kemudian OK

MODUL 7

Tahun

Pulsa

1998

35451

1999

37221

2000

40905

2001

45875

2002

50260

2003

56852

2004

59981

2005

67230

2006

70020

6

Outputnya sebagai berikut :

MODUL 7 7

3. Pilih menu stat, kemudian basic statistics, lalu correlation. Setelah muncul kotak dialog berikut, isi kotak variabel dengan kolom tempat X dan Y, kalau ingin menyimpan matriknya klik store matrix, bila tidak, langsung klik OK

MODUL 7 8

Hasilnya adalah Correlation of X and Y = 0.994, Pvalue = 0.00Karena korelasi antara X dan Y nilainya mendekati 1, maka antara tahun dengan produksi pulsa terdapat hubungan linier, sehingga dapat dianalisis dengan regresi linier.

4. Pilih menu stat, kemudian regression, lalu regression. Setelah muncul kotak dialog, pada kotak respon ketik kolom tempat Y, dan predictor dengan kolom tempat X, kemudian OK

MODUL 7 9

Hasil yang diperoleh adalah :

MODUL 7

Regression Analysis: Pulsa versus Tahun The regression equation isPulsa = 28413 + 4624 Tahun

Predictor Coef SE Coef T PConstant 28413 1066 26.66 0.000Tahun 4623.9 189.4 24.41 0.000

S = 1467.20 R-Sq = 98.8% R-Sq(adj) = 98.7%

10

Dari hasil yang diperoleh tersebut, dapat diketahui bahwa tiap tahun peningkatan produksi pulsa linier. Hal tersebut dapat dilihat dari uji koefisien regresi, semua koefisien, nilai P value nya nol (P value yang dihitung dari T). Dari segi kelayakan model regresi dapat dilihat dari nilai R2 = 98.8% dan pada analisis variansi, nilai P value juga nol. Sehingga dengan menggunakan model regresi di atas, dapat diprediksi produksi pulsa tingkat nasional pada tahun 2007 adalah 74653 (106).

Regresi Non Linier

Berikut ini merupakan contoh dari regresi non linear, diketahui bahwa data penjualan suatu produk dari mulai diproduksi sampai produk tersebut berumur 24 bulan (2 tahun).

Bulan ke-Keuntungan(dalam ribuan rupiah)

MODUL 7

Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 1282808577 1282808577 595.91

0.000Residual Error 7 15068810 2152687Total 8 1297877388

Unusual ObservationsObs Tahun Pulsa Fit SE Fit Residual St Resid 1 1.00 35451 33037 902 2414 2.09R

R denotes an observation with a large standardized residual.

11

1 1502 2703 4804 7505 13506 23107 36258 53909 995010 1551011 2650012 4035013 7751014 11195015 16530016 31160017 62748018 80425019 154098020 231425021 392325022 601050023 1233423024 15975210

Dari data diatas, kita akan mencoba memprediksi keuntungan perusahaan saat produksi berlangsung selama 3 tahun (36 bulan).Seperti yang telah diketahui sebelumnya, kita dapat membuat diagram pencar (scater plot) dengan mintab, yaitu :

MODUL 7 12

Jelas bahwa regresi linear kurang baik untuk diterapkan. Melihat bentuk diagram pencar diatas kita akan mencoba mendekatinya dengan fungsi non linear yaitu atau

. Untuk menentukan persamaan regresi yang terbaik antara dua model tersebut dapat dilihat dari nilai R2.

Langkah – langkah dengan Minitab

1. Pilih stat, kemudian Regression dan Fitted Line Plot

MODUL 7 13

2. Isi kotak dialog dan optionnya seperti berikut,

MODUL 7 14

Untuk model geometrik isi seperti ini

Untuk model eksponensial isi seperti ini

MODUL 7 15

3. Hasilnya adalah sebagai berikutUntuk model geometrik

Untuk model eksponensial

4. Kedua model, berdasarkan uji T cukup layak digunakan, tetapi berdasarkan nilai R2 masing – masing model, maka diperoleh kesimpulan bahwa model eksponensial lebih baik daripada model geometric.Jadi persamaan regresi nonlinier yang terbaik adalah

MODUL 7

The regression equation isylog = 0.798 + 3.98 xlog

Predictor Coef StDev T PConstant 0.7983 0.3558 2.24

0.035xlog 3.9751 0.3381 11.76

0.000

S = 0.5848 R-Sq = 86.3% R-Sq(adj) = 85.6%

The regression equation isylog = 2.01 + 0.218 x

Predictor Coef StDev T PConstant 2.01111 0.01549 129.83 0.000x 0.218240 0.001084 201.31 0.000

S = 0.03676 R-Sq = 99.9% R-Sq(adj) = 99.9%

16

Atau bila dituliskan dalam menjadi

5. Bila dihitung keuntungan pada akhir tahun ke-3 (bulan ke 36) maka diperoleh hasil

ribu.

Latihan 1. Berikut adalah pengaruh temperatur pada proses

deodorizing terhadap warna suatu produk :Temperatur

(X)Warna

(Y)460 0.3450 0.3440 0.4430 0.4420 0.6410 0.5450 0.5440 0.6430 0.6420 0.6410 0.7400 0.6420 0.6410 0.6400 0.6

a. tentukan model regresi linier Y = a + b Xb. Hitung korelasi antara Y dan X

2. Seorang distributor ingin mengetahui hubungan antara biaya pemasangan iklan per minggu dengan hasil penjualannya, datanya sebagai berikut :

MODUL 7 17

Biaya iklan ($)

Penjualan ($)

40 38520 40025 39520 36530 47550 44040 49020 42050 56040 52525 48050 510

a. Buat diagram pencarb. Tentukan persamaan garis regresi yang terbaik untuk

meramalkan penjualan mingguan berdasarkan biaya iklan

3. Berikut adalah data tentang pengaruh antara nilai ujian pertama dengan nilai ujian kedua :

Nilai ujian pertama (X)

Nilai ujian kedua (Y)

4.1 2.12.2 1.52.7 1.76.0 2.58.5 3.04.1 2.19.0 3.28.0 2.87.5 2.58.5 3.0

MODUL 7 18

9.3 2.89.5 3.07.4 1.7

a. Gambarkan diagram pencarb. Tentukan persamaan regresi linier dan non-liniernyac. Hitung korelasinya dan tentukan regresi yang terbaikd. berapakah nilai ujian kedua, jika nilai ujian pertama 6.4

MODUL 7 19

DAFTAR PUSTAKA

1. Devore J. L., 1991, Probability and Statistics for Engineering in The Sciences, third edition, Pacific Grove California.

2. Erickson, B. H., dan Nosanchuk, T. A., 1993, Memahami Data, Terjemahan : R. K. Sembiring, LP3ES, Jakarta.

3. Djauhari, M., Catatan Kuliah, ITB, Bandung.

4. Minitab Inc, 1994, MINITAB Reference Manual 10 for Windows , Minitab Inc, New York.

5. Walpole, R. E., 1997, Pengantar Statistika, Edisi ke-3, Penerbit PT Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.

6. Hines William M. W., and Montgomery D. C., 1990, Probability and Statistics in Engineering and Management Science, third edition, Jhon Wiley & Sons, New York.

20

modul prak statistika

Documents