BAB IV

INTEGRAL GARIS

4.1.Definisi

Jika F(x,y) = M(x,y) i + N(x,y) j suatu medan vektor dan C suatu

lintasan terbuka dari titik A ke B maka Intergral vektor F(u) terhadap

lintasan C atau disebut Integral Garis, yaitu :

∫ •C

dXyxF ),( dengan dX = dx i + dy j B

A

= ∫ +C

dyNdxM .

Contoh 1:

Hitunglah integral garis ∫ +C

dyxydxxy 22 di sepanjang lintasan

21 CUCC = yang menghubungkan titik (0,2), (3,2) dan (3,5).

(3,5) C2 (0,2) C1 (3,2)

Jawab:

Pada garis1C , y = 2 maka dy = 0

Sehingga ∫ +1

22

C

dyxydxxy = 18

Pada garis2C , x= 3 maka dx = 0

Sehingga ∫ +2

22

C

dyxydxxy = 117.

Jadi ∫ +C

dyxydxxy 22 = 135.

Jika C adalah busur lengkungan dari A ke B , maka integral garis adalah

∫C

dSyxF ),(

Perhitungannya menggunakan parameter t, dimana )(txx = dan )(tyy =

sehingga 2)]('[2)]('[ tytxds += dt , maka ∫ =C

dSyxF ),(

∫b

atytxF ))(),(( 2)]('[2)]('[ tytx + dt.

Contoh 2:

Hitunglah ∫C

dSyx2 jika C lengkungan persamaan parameter tx cos3=

, ty sin3= , 2

0π≤≤ t

Jawab:

∫C

dSyx2 = dttttt 2222

0)cos3()sin3()sin3()cos3( +−∫

π

= 27

4.2. Aplikasi

a. Massa (m)

Jika rapat massa ),,( zyxρρ = , maka m = ∫C

dSρ .

b. Momen massa ( M )

Terhadap sumbu x : =xM ∫C

dSyρ

Terhadap sumbu y : =yM ∫C

dSxρ .

c. Titik pusat massa ),( yx = ),(m

M

m

M xy

4.3. Tak Tergantung Lintasan ( Bebas Lintasan)

Definisi :

Untuk setiap C lengkungan dari titik A ke B. Nilai ∫C

dXXF )( tetap

harganya maka dikatakan ∫C

dXXF )( tidak tergantung lintasan dari A

ke B.

∫

1

)(C

dXXF = ∫

2

)(C

dXXF

Artinya ∫

CdXXF )( tidak tergantung lintasan dari titik A ke B melalui

C1 atau C2.

C1 B

A C2

Teorema 1 :

Jika C lengkungan licin dari titik A ke B. fungsi f(x) terdefinisi dan

kontinu pada daerah terbuka yang memuat C, maka :

∫ −=∇C

AfBfdXxf )()(.)(

Teorema 2 :

Jika F(x) medan vector yang kontinu pada daerah tersambung

sederhana. Maka ∫C

dXXF )( tidak tergantung lintasan dari A ke B jika

dan hanya jika terdapat medan konservatif f sehingga )()( xfxF ∇=

Untuk menunjukkan F medan konservatif :

1. Jika jyxNiyxMyxF ),(),(),( += maka F konservatif jika memenuhi

x

N

y

M

∂∂=

∂∂

2. Jika kzyxRjzyxQizyxPzyxF ),,(),,(),,(),,( ++= maka F konservatif

jika 0=Fcurl atau z

P

x

R

z

Q

y

R

y

P

x

Q

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂

;;

Langkah – langkah menunjukkan tidak tergantung lintasan dari

titik A ke B adalah :

1. Tunjukkan F konservatif.

2. Tentukan f agar )()( xfxF ∇= .

3. )()()( AfBfC

dXXF −=∫

Latihan Soal.

1. Tentukan apakah jyyxiyxxyxF )66()94(),( 53223 +++=

konservatif, dan jika ya tentukan fungsi f .

2. . Hitunglah

∫C

dyyyxdxyxx )5636()22934( +++ , dimana C adalah

sebarang lintasan dari (0,0) ke (1,2).

(langkah 1: Tunjukkan F konservatif, langkah 2: hitung menggunakan

teorema 1)

3. ∫C

dzzxydyxzyxdxzyyx )3()32()232( 22 ++++++ dimana C adalah

sebarang lintasan dari (0,1,1) ke (2,1,2).

4. ∫C

dzyzeyxdyzyxzexdxyzexy )322

1()sin2

2

1()cos( −+++++−

dimana C adalah sebarang lintasan dari )4,,2()0,,1( ππ ke

4.4. Teorema Green pada Bidang

Teorema Green :

Jika C lengkungan tertutup sederhana yang merupakan batas daerah

D dan jyxNiyxMyxF ),(),(),( += suatu medan vector . M(x,y) dan

N(x,y) kontinu dan mempunyai turunan parsial pada D dan C. Maka :

∫ ∫∫ ∂∂−

∂∂=

C DdA

y

M

x

NdXyxF )(.),(

atau ∫ ∫∫ ∂∂−

∂∂=+

C DdA

y

M

x

NdyyxNdxyxM )(),(),(

Note : arah positif C adalah berlawanan arah jarum jam.

Latihan Soal:

D D D C

1. Misalkan C adalah batas segitiga dengan titik-titk (0,0), (1,2) dan

(0,2), hitunglah ∫ +C

dyxdxyx 322

dengan menggunakan metode langsung dan Teorema Green.

2. Buktikan kebenaran Teorema Green dari∫ ++C

dyyxdxyx 2)2( jika

C adalah lengkungan yang dibatasi oleh 422 =+ yx dan

4)2( 22 =+− yx .

4.5. Fluks dan Curl F

a. Fluks

Fluks: jumlah (neto) fluida yang meninggalkan D per satuan waktu

dari medan vektor F yang menyeberangi kurva C ke arah luar .. Jika n

vektor normal satuan yang tegak lurus terhadap D , maka

Fluks yang menyeberangi C = ∫C

dSnF.

= ∫∫D

dAFdiv = dAy

N

D x

M][

∂∂+∫∫ ∂

∂

Dimana y

N

x

MF

∂∂+

∂∂=∇ .

n D D D C C

b. Curl F

Adalah Sirkulasi / kecenderungan fluida untuk berputar pada titik

),( 00 yx . Jika Curl F = 0 pada D, maka aliran fluida dikatakan tidak

dapat berputar.

Curl F = ∫C

dSTF. = dAD

kFCurl∫∫ .)( = dAy

M

D x

N][

∂∂−∫∫ ∂

∂

Dimana CurlF= Fx∇ =

NM

yx

ji

∂∂

∂∂ = k

y

M

x

N)(

∂∂−

∂∂

Contoh:

Diketahui Medan vektor jxyiyxF2

1

2

1),( +−= adalah medan

kecepatan dari roda stabil yang berlawanan dengan arah jarum jam

terhadap sumbu z..Hitunglah Fluks dan Sirkulasinya.

Jawab:

a. Fluks = ∫C

dSnF. = ∫∫D

dAFdiv = dAy

N

D x

M][

∂∂+∫∫ ∂

∂ = 0

b. Sirkulasi = Curl F = ∫C

dSTF. = dAkFCurlD∫∫ .)( = dA

y

M

D x

N][

∂∂−∫∫ ∂

∂

= Luas A.